Сообщение на тему основная теорема алгебры

Обновлено: 02.07.2024

В предыдущем параграфе мы рассмотрели попытки, длившиеся три столетия, дать решение в радикалах для уравнения степени. Вопрос оказался очень глубоким и трудным и привел к созданию новых идей, важных не только для алгебры, ной для всей математики в целом. Что же касается практического решения уравнений, то итогом всей этой огромной работы было следующее. Выяснилось, что решение в радикалах есть далеко не у всех алгебраических уравнений, а если оно и есть, то, в силу своей сложности, за исключением случая квадратного уравнения, оно мало пригодно для практики.

Ввиду этого математики давно стали работать над теорией алгебраических уравнений еще в трех совсем других направлениях, а именно: 1) над вопросом о существовании корня, 2) над вопросом о том, как по коэффициентам уравнения, не решая его, узнать что-нибудь о его корнях, например имеет ли оно действительные корни и сколько их; наконец, 3) над приближенным вычислением корней уравнения.

Прежде всего надо было доказать, что вообще всякое алгебраическое уравнение степени с действительными или комплексными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.

Обычно считается, что первые строгие доказательства основной теоремы алгебры были даны Гауссом; однако некоторые из его доказательств для полной строгости требуют дополнений не меньших, чем их требует доказательство Даламбера. Сейчас известен ряд различных вполне строгих доказательств этой теоремы.

В настоящем параграфе мы рассмотрим доказательство основной теоремы алгебры, основанное на лемме Даламбера, причем приведем полное доказательство и упомянутой леммы анализа.

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие 1. Любой многочлен степени можно представить в виде произведения линейных двучленов:

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Если многочлены и , степени которых не превосходят , имеют равные значения более чем при различных значениях переменной .

В самом деле, по условию многочлен имеет более, чем корней, хотя его степень меньше или равна , что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени . Так как он имеет корни, то . Следовательно, , то есть .

Это следствие позволяет рассматривать многочлен не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной , определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях двух функций при всех значениях с действительными коэффициентами . Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид

где — корни многочлена (могут быть комплексные).

Если комплексное число является корнем этого многочлена, то есть

то сопряженное число также является его корнем, т.е. . Это вытекает из равенства . Поскольку числа и не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение

Так как сумма и произведение , то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.

Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число — корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число является его корнем той же кратности.

В самом деле, если — корень кратности


следует, что — корень той же кратности Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):

где — действительные корни кратности , причем .

Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены ).

Пример В.14. Многочлен

а) представить в виде (В.14);

б) представить в виде (В.13).

Решение. Данный многочлен имеет двойной корень и простой корень (см. пример В.13). Поэтому его можно представить в виде

Разделим многочлен на многочлен "уголком":

Следовательно, имеем . Это разложение имеет вид (В.14), поскольку дискриминант отрицательный, что и требовалось в пункте "а";

б) разложим квадратный трехчлен на линейные множители, что возможно над полем комплексных чисел:

так как уравнение имеет два комплексных корня .

Тогда разложение (В. 13) для данного многочлена принимает вид

Согласно следствию 1, многочлен имеет один двойной корень , один простой действительный корень и пару простых сопряженных корней , то есть всего 5 корней (с учетом их кратности).

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в полекомплексных чисел.

Эквивалентная формулировка теоремы следующая:

Поле комплексных чисел Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что многочлен

степени " width="" height="" />
над полем комплексных чисел имеет в нём не больше " width="" height="" />
корней.

Доказательство. У многочлена " width="" height="" />
есть корень " width="" height="" />
, значит, по теореме Безу, он представим в виде " width="" height="" />
, где " width="" height="" />
— другой многочлен. Применим теорему к " width="" height="" />
и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте " width="" height="" />
не окажется линейный множитель. На самом деле существует еще несколько прямых следствий.

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция, обратная многочлену должна иметь хоть один История

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (ум. Жирару , Маклорен и Эйлеруточнили формулировку придав ей форму, эквивалентную современной:

Всякий многочлен с вещественнымикоэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Эйлера, поля разложения многочлена .

Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.


Эквивалентная формулировка теоремы следующая:

Содержание

Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом кратности корней.

Доказательство.

У многочлена есть корень , значит, по теореме Безу, он представим в виде , где — другой многочлен. Применим теорему к и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте не окажется линейный множитель.

Доказательство.

Представим полином +. +a_n" width="" height="" />
в виде суммы , где , +. +a_n" width="" height="" />
. Составим соотношение =\frac\frac +..+\frac\frac " width="" height="" />
. Легко видеть, что для любых коэффициентов всегда найдется такое значение , что для всех значений имеет место неравенство . В силу теоремы Руше следует, что полное число нулей функции в круге равно числу нулей в этом круге функции . Но функция на всей комплексной плоскости имеет один единственный n-кратный корень . Отсюда, в силу произвольности и следует утверждение теоремы.

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Посему, функция 1/p, где p — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

История

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте (р. 1617). Первые доказательства основной теоремы алгебры принадлежат Жирару, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличной от современной. Маклорен и Эйлер уточнили формулировку, придав ей форму, эквивалентную современной:

Всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Д'Аламбер первым в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какого-нибудь x f(x)≠0, где f(x) — многочлен степени ≥1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)| Ссылки

Читайте также: