Сообщение на тему дроби в старинных задачах 5 класс
Обновлено: 11.05.2024
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3 , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.
Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была дробь 2/3.
В папирусе Ахмеса (древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. ) есть задача: "Разделить 7 хлебов между 8 людьми". Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.
А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.
В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому "черному люду".
Но кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали "согласно", приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.
Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.
Старинные задачи на дроби
Эти задачи пришли к нам из глубины веков, от наших предков. Разные народы нашей планеты придумывали их, оттачивали условия и логику заданий. Они остроумны и занимательны, в них собраны замечательные находки многих поколений.
Очень многие задачи воспевают смекалку и скорость мышления, благодаря которым обретаешь такие качества, как сообразительность, оригинальность слова и дела, уникальность и мастерство, что всегда было и будет в цене.
Конечно, задач и головоломок за века было придумано неисчислимое множество. В своей работе я представляю задачи на дроби, это задачи с интересным содержанием и определенным способом решения.
Задача Герона Александрийского (I в. н. э. ), древнегреческий инженер, физик, механик, математик, изобретатель
1. Бассейн вместимостью 12 куб. ед. наполняется через две трубы, из которых через одну поступает в каждый час 1 куб. ед. воды, а через другую - 4 куб. ед. За какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
1)4+1=5(куб. ед. ) наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.
2)12:5=(часа) наполнят трубы бассейн.
Ответ: за 2 часа 24 минуты наполнится весь бассейн.
Задача из "Арифметики" Леонтия Филипповича Магницкого. Учебник арифметики, по которому учился Михаил Васильевич Ломоносов. Эта задача трехвековой давности.
2. Один человек выпьет бочонок за 14 дней, а с женой выпьет тот же бочонок за 10 дней. За сколько дней жена его отдельно выпьет этот бочонок?
Решение 1 способом.
Весь бочонок принят за - 1.
1)1:14=бочонка пьёт один человек в день.
1:10=бочонка пьёт муж и жена в день.
2) пьёт жена в день.
3)1:дней понадобится жене чтобы выпить бочонок.
Ответ:35 дней понадобится жене чтобы выпить бочонок.
Решение 2 способом.
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
Ответ: за 35 дней выпьет жена.
Анания Ширакаци (615 г. ) - армянский философ, математик и географ середины 7 века.
3. В городе Афины был водоем, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоем за 1 ч, другая, более тонкая, - за 2 ч, третья, еще более тонкая, - за 3 ч. За какую часть часа все три трубы вместе наполнят водоем?
Весь водоём принят за - 1.
1)1:1==1 (водоёма) наполняет первая труба за 1 ч.
2)1:2= (водоёма) наполняет вторая труба за 1 ч.
3)1:3= (водоёма) наполняет третья труба за 1 ч.
4) 1+ (часа) понадобится всем трубам чтобы наполнить водоём.
Ответ: 2 ч понадобится трубам чтобы наполнить водоём.
За десять дней пират Ерема
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем?
вся бочка принята за - 1.
1)1:10=бочки рома выпивает пират Ерёма в день.
1:14=бочки рома выпивает пират Емеля в день.
2) бочки рома выпивают оба пирата в день.
3)1: дней выпьют бочку рома оба пирата.
Ответ: за 5 дней выпьют бочку рома оба пирата совместно.
5. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй - за 2 года, третий - за 3 года, четвертый - за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?
Решение. Способ 1.
Вся работа принята за – 1.
1) 1:1=1за 1 год 1-ый плотник сделает всю работу.
1:2=(работы) делает 2-ой плотник за 1 год.
1:3=(работы) делает 3-ий плотник за 1 год.
1:4=(работы) делает 4-ый плотник за 1 год.
2)1+(домов) сделают плотники за 1 год, работая совместно.
3)1:(года) понадобится плотникам, чтобы сделать 1 дом.
Ответ: за года или 175 дней часа сделают плотники 1 дом работая совместно.
Решение. Способ 2.
Пусть все мастера работали 12 лет.
1)12:1=12(домов) построит 1-ый плотник за 12 лет.
12:2=6(домов) построит 2-ой плотник за 12 лет.
12:3=4(дома) построит 3-ий плотник за 12 лет.
12:4=3(дома) построит 4-ый плотник за 12 лет.
2)12+6+4+3=25(домов) построят плотники за 12 лет.
3)12:25=(года) построят плотники 1 дом совместно.
Ответ: за 175 дней часа построят плотники 1 дом, работая совместно.
6. Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй - за 36, третий - за 20 и четвертый - 18 дней. Какую часть сочинения напишут они за один день, если будут работать вместе?
Всё сочинение принято за - 1.
1)1:24=сочинения пишет первый писец за 1 день.
1:36= сочинения пишет второй писец за 1 день.
1:20= сочинения пишет третий писец за 1 день.
1:18= сочинения пишет четвёртый писец за 1 день.
2) сочинения пишет первый и второй писец за 1 день.
3) сочинения пишет первый, второй и третий писец за 1 день.
4) сочинения пишут все писцы за 1 день.
5)1: дня напишут сочинение писцы работая вместе.
Ответ: за 5 дня напишут писцы сочинение, работая вместе.
7. Старинная задача (Китай, II в. ).
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Весь путь принят за - 1.
1)1:7=(пути) пролетает дикая утка в день.
1:9=(пути) пролетает дикий гусь в день.
2) (пути) пролетают дикий гусь и дикая утка в день.
3)1:(дней) встретятся дикая утка и дикий гусь.
Ответ: за 3 дней встретятся дикая утка и дикий гусь.
8. Старинная задача
Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за 2 месяца, овца – за 3 месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят вместе такой же воз сена?
Всё сено принято за - 1.
1)1:1=(сена) съедает лошадь за 1 месяц
1:2=(сена) съедает коза за 1 месяц
1:3=(сена) съедает осёл за 1 месяц
2)1+=2(месяца) хватит на всех (лошадь, коза, овца) сена.
Ответ: на 2 месяца хватит сена для животных.
В результате анализа решений данных задач я составил алгоритм решения задач на дроби:
1. Определить из условия задачи, что принято за 1 целое.
2. Найти, какую часть от целого составляет каждая из величин.
3. Найти общую часть от целого всех величин.
4. Ответить на вопрос задачи.
В любой творческой деятельности, в учёбе, в труде, в игре, да и просто в жизни – внимание, смекалка, умение логически мыслить, необходимы человеку, потому что помогают решать проблемы, находить выход из сложных ситуаций и, между прочим, полезны для здоровья. Тот, кто хочет попробовать решать эти задачи, не бойтесь сложного сюжета, здесь всё легко. Награда, которую я получил, решая эти задачи - удовольствие от своей находчивости, наблюдательности, логического мышления.
Всё-таки поразительно, что эти задачи трехвековой давности до сих пор подходят нам и по сложности, и по занимательности. Занимательные сюжеты задач доставят удовольствие и детям, и взрослым.
СОДЕРЖАНИЕ: 1 Что такое дроби? Как появились дроби? Нумерация и дроби на руси Старинные задачи Задачи Вывод Литература
Что такое дроби? Дробь — это число, составленное из целого числа долей единицы. ДРОБЬ В МАТЕМАТИКЕ – ЧИСЛО СОСТОЯЩЕЕ ИЗ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТЕЙ ДОЛЕЙ ЕДИНИЦЫ. ДРОБИ ЯВЛЯЮТСЯ ЧАСТЬЮ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Министерство образования Московской области
Проект по математике
Учитель Рупакова Л. О.
г.о. Балашиха, 2021год
Содержание:
II. Дроби в древних государствах:
1) Как появились дроби.
2) Дроби и задачи на них в древнем Риме.
3) Дроби и задачи на них в древнем Египте.
4) Дроби и задачи на них в древней Руси.
5) Словарь единиц измерения.
IV . Список литературы.
Цель проекта:
Рассказать о важности дробей в жизни людей. Узнать о роли дробей в жизни людей в древности и рассказать о задачах на дроби с которыми они сталкивались.
Ø Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других подобных случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.
Ø Каждый человек в своей жизни сталкивался с дробями.
Ø Жизнь человека не обходится без дробей.
Актуальность:
Трудно представить, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной. Математика – основа точных наук. Без неё невозможно построить корабль и самолет, автомобили и метрополитены, даже строительство домов требует точности. Любовь к точным наукам развивает умение логически мыслить, анализировать.
Важной частью математики являются дроби, с которыми мы познакомились в этом году на уроках математики. Невозможно представить себе любые сложные расчёты без дробей. Дроби востребованы во многих науках. Многие люди не задумываются о том, как важны дроби в нашей повседневной жизни. Без них мы не смогли бы построить здание, космический корабль, произвести какие-либо расчеты и многое, многое другое.
Ø Недооценка моими одноклассниками важности дробей в школьных предметах и в повседневной жизни.
Ø Неумение учеников использовать дроби при решении школьных задач и задач, встречающихся в быту.
ДРОБИ В ДРЕВНИХ ГОСУДАРСТВАХ.
1). Как появились дроби.
Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.
Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII – XIV веках оно было заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта, она стала постоянно использоваться лишь около 300лет назад.
2) Дроби и задачи на них в древнем Риме.
Задачи на дроби древнего Рима:
Решим ещё две задачи
Задача 2: От шести унций отнять одну унцию (6/12 -1/12 = 5/12).
Задача 3: От десяти унций отнять четыре унции (10/12 - 4/12 = 6/12 = 1/2).
3) Дроби и задачи на них в древнем Египте
Египтяне ставили иероглиф:
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.
Задачи на дроби древнего Египта:
Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
– Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?
– Я привожу две трети от трети скота. Сочти!
Сколько быков было во всем стаде?
1) 70:2*3=105 быков - треть скота;
2) 105 *3=315 быков - всего в стаде.
Ответ: 315 быков.
А вот еще одна занимательная задача:
4) Дроби и задачи на них в древней Руси.
В шестнадцатом веке в России, как и во всем мире, начала распространяться десятичная система.
Задачи на дроби древней Руси:
Решение: муж за день будет выпивать 1/14 часть кади, а вместе с женой - 1/10 часть, значит, жена за один день выпьет 1/10-1/14=4/140=1/35 часть кади, а всё содержимое выпьет за 35 дней.
От числа одну восьмую
Взяв, прибавь ты к ней любую1
Половину от трехсот,
И восьмушка превзойдёт
Не чуть-чуть – на пятьдесят
Три четвёртых. Буду рад,
Если тот, кто знает счёт,
Мне число то назовёт.
Решение: тот, кто знает счёт, составит уравнение
Ответ. 160.
5) Словарь единиц измерения.
Аликвотные дроби – дроби, у которых числитель равен единице (использовались в древнем Египте);
Асc – единица веса в древнем Риме;
Ро – единице измерения в древнем Египте, равная 1/320 хеката;
Унция – название мелкой монеты в древнем Риме, также римляне так называли дробь 1/12;
Дробь – это не изобретение математиков, это понятие, которое люди разных стран и в разные исторические периоды сами придумали и использовали в своей жизни. Каждый народ придумывал свои названия и запись дробей, а математики только систематизировали это и придумали удобную форму записи.
Содержимое разработки
Слонёнок- 1 озеро 6ч
5озер 30ч.
1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов,
2)30:21=1 3/7(ч) они вместе выпьют озеро.
Ответ: 1 3/7 часа
2. Староиндийская задача математика Сриддхары (XI век н. э.).
Есть кадамба цветок.
На один лепесток
Пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла
Вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди,
Ее трижды сложи
И тех пчел на кутай посади.
Только две не нашли
Себе место нигде.
Все летали то взад, то вперед и везде
Ароматом цветов наслаждались.
Назови теперь мне.
Подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?
3) Древний Египет
Позднее древние египтяне ввели в обращение дроби 1/2, 1/3, 1/28 – их называли основными или единичными, было специальное обозначение для дроби 2/3, не совпадающее с обозначениями для других дробей.
Все остальные дроби египтяне старались записать как суммы долей, т.е. дробей вида 1/n.
Например, вместо 8/15 они писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно
-Древнеегипетский папирус около 2000 лет до н.э.
Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу.
Старинная задача на дроби: Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г. до н. э.),
"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
— Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
— Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"
Используя схему, найди, сколько быков было во всем стаде?
Вавилонские дроби, в отличие от всей шестидесятеричной системы счета, были заимствованы древними греками, а от них и европейцами. Этой системой пользовались в Западной Европе, в основном астрономы, до конца XVI века. В Древнем Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятеричную систему счисления, решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третей степени при помощи специальных таблиц. Например:
7) Древняя Русь
Дроби в Древней Руси называли долями, позднее ломаными
числами. Так у дробей с числителем 1 были свои названия.
1/2- половина, полтина.
1/4 - четь.
1/6 - полтреть.
Послан человек из Москвы на Вологду, и велено ему в хождении своем совершати на всякий день по 40 верст; потом другий человек в другий [на следующий] день послан в след его, и велено ему идти на день 45 верст, и ведательно есть, в коликий день постигнет [догонит]второй первого.
Двенадцать человек:
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.
Сколько было мужчин, женщин и детей?
8) Словарь единиц измерения
Верста (поприще) – мера длины, равная 1,06 км
Аршин – мера длины, равная 0,71 м
Алтын – денежная единица, равная 3 копейкам
Полушка – денежная единица, равная 0,25 рублей
Гривна – денежная единица, равная 10 копейкам
Фунт – мера веса, равная 453,6 г
Сажень – мера длины, равная 2,13 м
Четверть – мера, равная четвертой части какой-либо единицы
Пядь – расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении. (19 – 23 см)
Локоть – расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. (38 – 46 см)
Вершок – мера длины, равная 4,5 см
Дробь – это не изобретение математиков, это понятие, которое люди разных стран и в разные исторические периоды сами придумали и использовали в своей жизни. Каждый народ придумывал свои названия и запись дробей, а математики только систематизировали это и придумали удобную форму записи.
-80%
2. СОДЕРЖАНИЕ:
1 ЧТО ТАКОЕ ДРОБИ?
2
КАК ПОЯВИЛИСЬ ДРОБИ?
3
НУМЕРАЦИЯ И ДРОБИ НА РУСИ
4
СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ
5
ЗАДАЧИ
6
ВЫВОД
7
ЛИТЕРАТУРА
3. Цель работы: сбор информации составление задач и решений их.
4. Что такое дроби?
ДРОБЬ — ЭТО ЧИСЛО, СОСТАВЛЕННОЕ ИЗ ЦЕЛОГО
ЧИСЛА ДОЛЕЙ ЕДИНИЦЫ.
ДРОБЬ В МАТЕМАТИКЕ – ЧИСЛО СОСТОЯЩЕЕ ИЗ ОДНОЙ
ИЛИ НЕСКОЛЬКИХ ЧАСТЕЙ ДОЛЕЙ ЕДИНИЦЫ. ДРОБИ
ЯВЛЯЮТСЯ ЧАСТЬЮ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
5. Как появились дроби?
6. Нумерация и дроби на Руси
ВЫВОД:ВЫПОЛНЯЯ ЭТУ РАБОТУ,Я НАУЧИЛСЯ
РЕШАТЬ ЗАДАЧИ,ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСТНЫМИ ДЛЯ
МЕНЯ СПОСОБАМИ. ОНИ ОКАЗАЛИСЬ ОЧЕНЬ
ЗАНИМАТЕЛЬНЫМИ И ПОУЧИТЕЛЬНЫМИ.
Читайте также: