Сообщение было построчно записано в таблицу

Обновлено: 19.05.2024

Решение. Исходный текст разбивается на группы по 64 знака, каждая из которых шифруется одинаково: буквы, расположенные на одном и том же месте каждой группы, попадает в одинаково расположенные клетки соответствующих квадратов. Поэтому для нахождения исходного текста выпишем в столбик буквы из одинаково расположенных клеток квадратов:
ВРИЕАЬИЛРЕЕЬГПЫПАОСНЛХАЛНЫНФИООПТЕРГЬРДГЦРЕФЙИКПНОАИТИСЖДНОЛИХРЕИАТЕИЛЯОТЛСЬЛРЕСАУЮРКЙЕЕХЯХИСОШВГИВИСКГIВОЯИЧИИСМАВЗБЫСИРКТСРГДРЫД

АИНСЗЕНЦОАЗЮНФЮЗЕЛИКИБИБХЬИНИТДНЖДУОЕНМБАИЬОМЙФЕЮЦАЙВАРНРАЭРЛЛАЕЛЬВЗЕММЫАФНАСКЕКСТАТСЧЗЪIСЪЯЕТУДН РИЧЮНСЕ ЕАОБПОШЫНТЕАЕ РЕААЯООМЛТТ

Затем будем подбирать порядок расположения столбиков, исходя из читаемости фрагментов в строках. Подбор резко упростт4тся, если угадать слово (фрагмент слова), присутствующее в тексте. В первой строке можно подобрать такие столбцы со словом КРИПТОГРАФ. в первой строке:

Ответ: В ПОСЛЕДНИЕ ГОДЫ СФЕРА РЕАЛЬНЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ КРИПТОГРАФИИ РАСШИРИЛАСЬ И ВКЛЮЧИЛА В СЕБЯ РЯД ДРУГИХ ОБЛАСТЕЙ, В КОТОРЫХ СИСТЕМЫ СВЯЗИ ИГРАЮТ ВАЖНЕЙШУЮ РОЛЬ СОЗДАНИЕ И ХРАНЕНИЕ БАЗ КОНФИДЕНЦИАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ ЭЛЕКТРОННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ И ТАК ДАЛЕЕ ЗАЧАСТУЮ ИМЕЕТСЯ БОЛЬШАЯ СЕТЬ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ ЛЮБЫЕ ДВА ИЗ КОТОРЫХ ДОЛЖНЫ ИМЕТЬ ВОЗМОЖНОСТЬ СДЕЛАТЬ ПЕРЕПИСКУ МЕЖДУ НИМИ СЕКРЕТНОЙ КАК, ДЛЯ ДРУГИХ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ СЕТИ ТАК И ДЛЯ ПОСТОРОННИХ МНОЖЕСТВО УЧАСТНИКОВ, МЕЖДУ КОТОРЫМИ ПОДДЕРЖИВАЕТСЯ СВЯЗЬ, МОЖЕТ ПОСТОЯТЬ.
Задание 6.

Ответ: ПОЛЬЗУЯСЬШИФРОМРЕШЕТКАНЕЛЬЗЯОСТАВЛЯТЬПУСТЫЕМЕСТА
Задание 8.

После того как столбцы с пятого по девятый выстроены так, чтоб прочитывалось учащихся, получение ответа становится совсем простым делом.

Решение Раскрасим клетки таблицы в три цвета (назовем их условно 1, 2 и 3).


Решение. Сначала восстановим магический квадрат. Сумма чисел во всех клетках квадрата равна 1 + 2 + … + 16 = 16 · 17/2 = 136, значит, в каждом столбце (а также в строке, на диагонали) сумма чисел составляет 136 : 4 = 34. Попытаемся построить магические квадраты с суммой на линии, равной 34, и единицей в правом нижнем углу. Имеется несколько таких квадратов. Например,

Расставляя буквы в соответствии с условием, только в одном случае, отвечающем четвертому квадрату, получаем читаемый текст:


Ответ:
Задание 12.

Решение. Ключом шифра служит систематически перемешанный алфавит, записанный в квадратную таблицу. Такие алфавиты широко использовались в криптографии. Первые буквы алфавита составляли легко запоминаемое ключевое слово (в условии данной задачи это слово CODE), остальные же буквы следовали в их естественном порядке.

Такое мнемоническое правило позволяло быстро восстановить ключ и произвести зашифровывание или расшифровывание.

Правило шифрования состоит в следующем. Строки и столбцы квадратной таблицы пронумеруем числами от 1 до 5. Теперь каждая буква алфавита имеет свой номер, состоящий из пары чисел

Например, буква S имеет номер (4,3). Выпишем буквы открытого текста в строку, разделяя пробелом каждую пятерку букв, а под ней - номера соответствующих букв. Фраза, взятая из условия задачи, запишется в виде


Затем заменим номера букв. Для этого выпишем две строчки из пяти цифр под каждой пятеркой в одну строку из десяти цифр. Например, для второй пятерки получается строка 1222445344. В получившейся строке каждая последовательная пара цифр и будет новыми номерами букв пятерки, которые выпишем под соответствующими буквами.

Так, для букв второй пятерки получаем новые номера:


Наконец, заменяем буквы открытого текста буквами, номера которых в квадратной таблице указаны теперь под соответствующими буквами. В результате этой замены получаем шифрованный текст. Например, пятерка EIGHT будет зашифрована в пятерку OFTXT. Зашифруем на том же ключе фразу ENTER OTHER LEVEL, заполнив следующую таблицу:

Буквы русского алфавита занумерованы в соответствии с таблицей:

Для проверки телетайпа, печатающего буквами русского алфавита

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

передан набор из 9 слов, содержащий все 33 буквы алфавита.

В результате неисправности телетайпа на приемном конце получены слова ГЪЙ АЭЕ БПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЫЛЗ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ

Восстановите исходный текст, если известно, что характер неисправности таков, что каждая буква заменяется буквой, отстоящей от нее в указанном алфавите не дальше, чем на две буквы. Например, буква Б может перейти в одну из букв .
Задание 4.

Обоснуйте свой ответ. (Предполагается, что таблица шифрования криптографу неизвестна).
Задание 7.

Цифры 0, 1, …9 разбиты на несколько непересекающихся групп. Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа, для записи каждого из которых все цифры группы используются ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и k-ому числу поставили в соответствие k-ую букву алфавита

Трехзначные цифровые группы без пересечений и пропусков. Затем, каждое из полученных трехзначных чисел умножили на 77 и оставили только три последние цифры произведения. В результате получилась следующая последовательность цифр: 317564404970017677550547850355:

Для шифровании текстов каждую букву заменяли парой цифр. При этом разные буквы текста заменялись разными парами, а одинаковые - одинаковыми. Даны два зашифрованных текста:

Архив задач олимпиады по математике и криптографии

Перестановка столбцов

Решение

ЯНЛВРАЛОЕГОМЗЕ
Й Л Т А Ф Ы И П И О Г Е Б Р
ЧРДЧЕСМОКИНТКО
НУЛАРЕБЫЕИОНЫД
ЫТДОМППТАИПТЗЛ
ИКСИТЧНОЕЛУЛТЖ

Рис 1

РАН ЗАН ЯЛВРЛОЕГОМЕ ЗАНЯТИЕКР
ФЫЛ БЫЛ ЙТАФИПИОГЕР БЫЛОУДЕЛО
ЕСР КСР ЧДЧЕМОКИНТО КСРЕДИНИХ
РЕУ ЫЕУ НЛАРБЫЕИОНД ЫЕУЧЕНЫЕЗ
МПТ ЗПТ ЫДОМПТАИПТЛ ЗПТСВЯЩЕН
ТЧК ТЧК ИСИТНОЕЛУЛЖ ТЧК------

Рис 2

Цифра X на неподвижном диске зашифровывается в цифру Y подвижного диска, лежащую на том же радиусе, что и X.

Для построения вписанного 10-угольника без транспортира надо уметь строить угол в 36 ° . Попытайтесь вычислить с точностью до 0,1 значение какой-либо тригонометрической функции такого угла без таблиц и калькулятора.

Решение

Отсутствует.
Задача 5.Криптограмма

12 2 24 5 3 21 6 29 28 2 20 18 20 21 5 10 27 17 2 11 2 16 -

19 2 27 5 8 29 12 31 22 2 16, 19 2 19 5 17 29 8 29 6 29 16:

8 2 19 19 29 10 19 29 14 19 29 29 19 10 2 24 2 11 2 16

10 14 18 21 17 2 20 2 28 29 16 21 29 28 6 29 16.

получена заменой букв на числа (от 1 до 32) так, что разным буквам соответствуют разные числа. Отдельные слова разделены несколькими пробелами, буквы - одним пробелом, знаки препинания сохранены. Буквы "е" и "ё" не различаются. Прочтите четверостишие В. Высоцкого.

Решение

Один из вариантов решения состоит из следующих этапов.


1. 19=н из второй строки ("19,2 19,5").

2. 29=о из третьей строки ("29,н,10") и 10=а или 10=и.

3. 14=щ из "но,14,но".

4. 8=д, 2=е, 10=и из "денно и нощно".


5. 5=а и 27=з из второй строки.

6. 17=в 6=п 16=й - последнее слово второй строки - водопой.


7. 21=т 18=у 28=л 20=с из последней строки "ищут веселой толпой".

8. 11=р из "з в е 11 е й" первой строки.


9. 24=г из "егерей".

10. 12=б 3=ю из "бегают".

11. 31=ы 22=ч из "добычей".

Задача 6.Ключом шифра, называемого "решеткой", является прямоугольный трафарет размера 6×10 клеток. В трафарете вырезаны 15 клеток так, что при наложении его на прямоугольный лист бумаги размера 6×10 клеток четырьмя возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа.

Р П Т Е Ш А В Е С Л
О Я Т А Л - Ь З Т -
- У К Т - Я А Ь - С
Н П - Ь Е У - Ш Л С
Т И Ь З Ы Я Е М - О
- Е Ф - - Р О - С М

Решение

Исходный текст состоит из 48 букв, следовательно, при зашифровании было использовано три положения решетки полностью и еще три буквы вписаны в четвертом положении. Значит, незаполненные 12 клеток совпадают с вырезами решетки в четвертом положении. Так как текст вписывается последовательно, то неизвестные нам три выреза могут располагаться только в первой строке таблицы и первых пяти клетках второй строки (до первого известного выреза). Считаем, что трафарет лежит в четвертом положении. Учитывая, что в одну клетку листа нельзя вписать две буквы, получаем, что вырезы могут быть только в отмеченных знаком "?" местах трафарета ("*" - места известных вырезов):

Очевидно, что из отмеченных в первой строке двух клеток вырезается только одна (так как они совмещаются поворотом). Получаем два возможных варианта решетки (либо первый "?", либо второй "?" в первой строке). Читаемый текст получается при втором варианте.

Гг

Задача 1.Решите уравнение:


Ответ

Решение

Во втором случае известны пары цифр, которыми шифруются буквы "р", "е", "м", "о", "н", "т", а в первом - пары цифр для тех же букв, за исключением буквы "н".

Задача 3.Из точки О внутри треугольника ABC на его стороны AB , BC , AC опущены перпендикуляры OP, OQ , OR . Докажите, что OA+OB+OC >= 2(OP+OQ+OR).

Решение.
Отсутвует

Я Н Л В К Р А Д О Е Т Е Р Г О М И З Я Е
Й Л Т А Л Ф Ы И П Е У И О О Г Е Д Б О Р
Ч Р Д Ч И Е С М О Н Д К Х И Н Т И К Е О
Н У Л А Е Р Е Б Ы Ы Е Е З И О Н Н Ы Ч Д
Ы Т Д О Е М П П Т Щ В А Н И П Т Я З С Л
И К С И - Т Ч Н О - - Е - Л У Л - Т - Ж

Решение

Я Н Л В Р А Л О Е Г О М З Е
Й Л Т А Ф Ы И П И О Г Е Б Р
Ч Р Д Ч Е С М О К И Н Т К О
Н У Л А Р Е Б Ы Е И О Н Ы Д
Ы Т Д О М П П Т А И П Т З Л
И К С И Т Ч Н О Е Л У Л Т Ж

К Е Т Р И Я
Л Е У О Д О
И Н Д Х И Е
Е Ы Е З Н Ч
Е Щ В Н Я С
- - - - - -

Р А Н З А Н Я Л В Р Л О Е Г О М Е З А Н Я Т И Е К Р
Ф Ы Л Б Ы Л Й Т А Ф И П И О Г Е Р Б Ы Л О У Д Е Л О
Е С Р К С Р Ч Д Ч Е М О К И Н Т О К С Р Е Д И Н И Х
Р Е У Ы Е У Н Л А Р Б Ы Е И О Н Д Ы Е У Ч Е Н Ы Е З
М П Т З П Т Ы Д О М П Т А И П Т Л З П Т С В Я Щ Е Н
Т Ч К Т Ч К И С И Т Н О Е Л У Л Ж Т Ч К - - - - - -

Задача 5. Комбинация (x,y,z) трех натуральных чисел, лежащих в диапазоне от 10 до 20 включительно, является отпирающей для кодового замка, если выполнено соотношение F(x,y,z)=99. Найдите все отпирающие комбинации для замка с

Решение

Найдите допустимые варианты для остатков от деления неизвестных x и y на 7. Таких вариантов будет восемь. Учитывая принадлежность неизвестных к заданному диапазону, найдите допустимые варианты для (x,y) (19 вариантов). Для каждой пары (x,y) найдите z.
1996-1997 гг

Задача 1.Найдите все значения параметра a , при которых уравнение


имеет ровно 1997 различных решений.

Решение

При a ≤ 0 рассматриваемое уравнение равносильно |x-a|-1995a=1996, которое имеет не более двух решений.

При a ≥ 0 из графика функции в левой части уравнения видно, что если 1996 ∈ (0, a), число решений будет четным, поэтому не может быть равно 1997. Если 1996 ∈ (a, + ∞), то уравнение имеет ровно 2 решения. Если же a=1996, то уравнение имеет ровно 1997 решений.

Задача 2. Докажите, что для каждого простого числа р последовательность a1, a2, a3. является периодической с периодом 2,

если an равно остатку от деления числа p n+2 на 24 при всех n ≥ 1.

Решение

Последовательность остатков от деления чисел a1, a2, . на 24 - периодическая с периодом 2, так как для любого натурального n справедливо:


Кроме того, p 3 -p=(p-1)p(p+1) кратно 24, то есть остатки у an+2 и an равны.

Укажите условия, при которых порядок цифр на данной окружности можно однозначно восстановить по двум цифровым текстам - результатам расшифрования и зашифрования одного и того же цифрового текста с помощью данной окружности.


Решение

Рассмотрим некоторую расстановку ненулевых цифр на окружности. Упорядоченную пару (a,b) соседних цифр на этой окружности назовем 1-соседней, если b является соседней с a по часовой стрелке. Пару (a,c) назовем 2-соседней, если существует цифра b, для которой пары (a,b) и (b,c) являются 1-соседними.

Каждой расстановке ненулевых цифр на окружности однозначно соответствует цепочка 1-соседних пар вида: (1,a1), (a1,a2), (a2,a3), . (a7,a8), (a8,1), которой, в свою очередь, однозначно соответствует цепочка 2-соседних пар вида:

Если из цепочки (*) удалить любую пару, то по оставшимся парам она восстанавливается однозначно.

Если из цепочки (*) удалить две соседние пары, то она также восстанавливается однозначно.

Удаление из (*) любых трех пар приводит к неоднозначности восстановления цепочки (*). В этом можно убедиться, рассмотрев следующие фрагменты цепочки вида (*):

(a,b)(b,c)(c,d) и (a,c)(c,b)(b,d), (a,b,c,d - различные цифры),
(a,b)_(c,d)(d,e) и (a,d)(d,b)_(c,e), (a,b,c,d,e - различные цифры),
(a,b)_(c,d)_(e,f) и (a,d)(e,b)_(c,f), (a,b,c,d,e,f - различные цифры)

Таким образом, при наличии двух указанных в условии задачи цифровых текстов нам будут известны некоторые 2-соседние пары, в которых первая цифра берется из первой криптограммы, а вторая - из второй. Поэтому с учетом вышесказанного получаем условие однозначного восстановления порядка расстановки цифр на данной окружности.

Задача 4.На каждой из трех осей установлено по одной вращающейся шестеренке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестеренке 33 зубца, на второй - 10, на третьей - 7. На каждом зубце первой шестеренки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

На зубцах второй и третьей шестеренки в порядке возрастания по часовой стрелке написаны цифры от 0 до 9 и от 0 до 6 соответственно. Когда стрелка первой оси указывает на букву, стрелки двух других осей указывают на цифры.

а) зашифруйте слово О Л И М П И А Д А;

Решение

а) Определим моменты остановок после начала шифрования. Для этого каждой букве русского алфавита припишем ее порядковый номер: А - 0, Б - 1, и т. д. Тогда буквам из шифруемого слова будут соответствовать номера: О - 15, Л - 12, И - 9, М - 13, П -16, А - 0, Д - 4. Моменты остановок будем указывать числом одношаговых (на один зубец) поворотов I колеса до соответствующей остановки.

остановки
Буква I колеса О Л И М П И А Д А
Число одношаговых поворотов от начала до остановки
Цифра II колеса
Цифра III колеса

Искомый шифртекст: 515355128523864354

б) Пусть tk - количество одношаговых поворотов I колеса от начала до остановки с номером k, k=1,2.

ak - цифра, на которую указывает стрелка II колеса в момент остановки с номером k,

bk - цифра III колеса, на которую указывает стрелка III колеса в момент остановки с номером k.

Тогда, учитывая, что начальное положение стрелок соответствует букве А на первом колесе и 0 на II и III колесах, справедливы равенства

для подходящих неотрицательных целых чисел mk и nk.

Заметим, что 1=7·3-10·2. Отсюда справедливы равенства

Подставляя эти значения в равенства предыдущие, получим

Правая и левая части делятся на 70, то есть имеют вид 70sk для подходящего неотрицательного целого sk. Поэтому

Ниже приводятся задачи семи олимпиад по криптографии и математике. Нумерация задач двойная: первая цифра — номер олимпиады, вторая — номер задачи в олимпиаде. Для решения задач не требуется специальных знаний. Все необходимые определения даны в условиях. Задачи рассчитаны на учащихся 9, 10 и 11 классов.

сторон трафарета помечена. При наложении этого трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, причем каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз.

Найдите число различных ключей для произвольного четного числа

1.3. Для передачи информации от резидента Гарриваса в Нагонии только что внедренному разведчику был установлен следующий порядок.

Для передачи числа в условленном месте оставлялась равная этому числу денежная сумма.

На момент разработки операции в Нагонии имели хождение денежные купюры достоинством денежная единица Нагонии). Однако в результате денежной реформы купюры достоинством были изъяты из обращения.

1.4. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел а и 6, для которых известны их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное Сформулируйте ответ и в общем

случае, используя канонические разложения на простые множители.

1.5. Дана криптограмма:

Восстановите цифровые значения букв, при которых справедливы все указанные равенства, если разным буквам соответствуют различные цифры. Расставьте буквы в порядке возрастания их цифровых значений и получите искомый текст.

1.6. Одна фирма предложила устройство для автоматической проверки пароля. Паролем может быть любой непустой упорядоченный набор букв в алфавите Будем обозначать такие наборы большими латинскими буквами. Устройство перерабатывает введенный в него набор в набор Отображение держится в секрете, однако про него известно, что оно определено не для каждого набора букв и обладает следующими свойствами. Для любого набора букв

3) набор получается из набора выписыванием букв в обратном порядке.

Устройство признает предъявленный пароль верным, если Например, трехбуквенный набор является верным паролем, так как Подберите верный пароль, состоящий более чем из трех букв.

2.3. Рассмотрим преобразование цифрового текста, в котором каждая цифра заменяется остатком от деления значения многочлена на число 10, где фиксированные натуральные числа.

Выясните, при каких значениях указанное преобразование может быть шифрпреобразованием (то есть допускает однозначное расшифрование).

2.4. При установке кодового замка каждой из 26 латинских букв, расположенных на его клавиатуре, сопоставляется произвольное натуральное число, известное лишь обладателю замка. Разным буквам сопоставляются не обязательно разные числа. После набора произвольной комбинации попарно различных букв происходит суммирование числовых значений, соответствующих набранным буквам. Замок открывается, если сумма делится на 26.

Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок.

2.6. Буквы русского алфавита занумерованы в соответствии с таблицей:

3.1. Установите, можно ли создать проводную телефонную сеть связи, состоящую из 993 абонентов, каждый из которых был бы связан ровно с 99 другими.

3.2. Шифрпреобразование простой замены в алфавите состоящем из различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита А. Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:

то получится слово Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?

3.4. Дана последовательность чисел в которой есть последняя цифра числа пп. Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

3.6. Равносторонний треугольник разбит на четыре части так, как показано на рисунке, где середины сторон и соответственно. Известно, что В каком отношении точки делят сторону если известно, что из этих частей можно составить квадрат?

так, что при наложении его на прямоугольный лист бумаги размера клеток четырьмя возможными способами его вырезы полностью покрывают всю площадь листа.

получена заменой букв на числа (от 1 до 32) так, что разным буквам соответствуют разные числа. Отдельные слова разделены несколькими пробелами, буквы — одним пробелом, знаки препинания сохранены. Буквы не различаются. Прочтите четверостишие В. Высоцкого.

Цифра X на неподвижном диске зашифровывается в цифру подвижного диска, лежащую на том же радиусе, что и

Для построения вписанного -угольника без транспортира надо уметь строить угол в 36°. Попытайтесь вычислить с точностью до 0,1 значение какой-либо тригонометрической функции такого угла без таблиц и калькулятора.

4.4. Зашифрование фразы на латинском языке осуществлено в два этапа. На первом этапе каждая буква текста заменяется на следующую в алфавитном порядке (последняя заменяется на первую А). На втором этапе применяется шифр простой замены с неизвестным ключом. Его применение заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, при этом разные буквы заменяются

разными буквами. Ключом такого шифра является таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита. По данному шифртексту

Латинский алфавит состоит из следующих 24 букв:

4.5. Для проверки телетайпа, печатающего буквами русского алфавита

передан набор из 9 слов, содержащий все 33 буквы алфавита. В результате неисправности телетайпа на приемном конце получены слова

Восстановите исходный текст, если известно, что характер неисправности таков, что каждая буква заменяется буквой, отстоящей от нее в указанном алфавите не дальше, чем на две буквы. Например, буква может перейти в одну из букв

4.7. Чтобы запомнить периодически меняющийся пароль в математики придумали следующий способ. При известном числе а (например, номере месяца в году), пароль представляет собой первые шесть цифр наименьшего решения уравнения

(Число меньшей значности дополняется справа необходимым числом нулей.)

Решите такое уравнение при произвольном

5.1. Комбинация трех натуральных чисел, лежащих в диапазоне от 10 до 20 включительно, является отпирающей для кодового замка, если выполнено соотношение Найдите все отпирающие комбинации для замка с

5.3. Из точки О внутри треугольника на его стороны опущены перпендикуляры Докажите, что

5.5. Решите уравнение:

6.1. В системе связи, состоящей из 1997 абонентов, каждый абонент связан ровно с N другими. Определите все возможные значения

6.2. Квадратная таблица размером заполнена натуральными числами от 1 до 1997 так, что в каждой строке присутствуют все числа от 1 до 1997. Найдите сумму чисел, стоящих на диагонали, которая соединяет левый верхний и правый нижний углы таблицы, если заполнение таблицы симметрично относительно этой диагонали.

6.4. На каждой из трех осей установлено по одной вращающейся шестеренке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестеренке 33 зубца, на второй — 10, на третьей — 7. На каждом зубце первой шестеренки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:

На зубцах второй и третьей шестеренки в порядке возрастания по часовой стрелке написаны цифры от 0 до 9 и от 0 до 6 соответственно. Когда стрелка первой оси указывает на букву, стрелки двух других осей указывают на цифры.

третья стрелки. В начале шифрования стрелка колеса указывала на букву А, а стрелки колес — на цифру 0.

а) зашифруйте слово

Укажите условия, при которых порядок цифр на данной окружности можно однозначно восстановить по двум цифровым текстам — результатам расшифрования и зашифрования одного и того же цифрового текста с помощью данной окружности.

6.6. Докажите, что для каждого простого числар последовательность является периодической с периодом 2, если равно остатку от деления числа на 24 при всех

6.7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно 1997 различных решений.

7.1. Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие

7.2. В компьютерной сети используются пароли, состоящие из цифр. Чтобы избежать хищения паролей, их хранят на диске в зашифрованном виде. При необходимости использования происходит однозначное расшифрование соответствующего пароля. Зашифрование пароля происходит посимвольно одним и тем же преобразованием. Первая цифра остается без изменения, а результат зашифрования каждой следующей цифры зависит только от нее и от предыдущей цифры.

Известен список зашифрованных паролей:

имеющиеся в зашифрованном виде в этом списке. Можно ли определить какие-либо другие пароли? Если да, то восстановите их.

7.4. Знаменитый математик Леонард Эйлер в 1759 г. нашел замкнутый маршрут обхода всех клеток шахматной доски ходом коня ровно по одному разу. Прочтите текст, вписанный в клетки шахматной доски по такому маршруту (см. рис. 7). Начало текста в

7.5. При докажите неравенство:

7.6. Для рисования на большой прямоугольной доске используется мел с квадратным сечением со стороной 1 см. При движении мела стороны сечения всегда параллельны краям доски. Как начертить выпуклый многоугольник площадью с наименьшей площадью границы (площадь границы не входит в площадь многоугольника)?

7.7. Цифры разбиты на несколько непересекающихся групп. Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа, для записи каждого из которых все цифры группы используются ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и к-ому числу поставили в соответствие букву алфавита

Читайте также: