Системы линейных уравнений в курсе электротехника сообщение

Обновлено: 06.07.2024

B= -столбец правых частей; X= - столбец неизвестных.

Используется также и расширенная матрица системы A_р_, полученная добавлением столбца n+1 к матрице А.Элементы этого столбца равны соответствующим элементам столбца свободных

На рис.3.1 изображена разветвленная электрическая схема постоянного тока.

Как правило, в таких схемах при заданных активных сопротивлениях R и электродвижущих силах (ЭДС) Е требуется найти токи I. Одним из способов расчета таких схем является составление уравнений для токов ветвей на основании законов Кирхгофа с последующим их решением [4]. Составим эти уравнения.

По первому закону Кирхгофа - алгебраическая сумма токов подтекающих к узлу, равна нулю ( = 0, где k- номер узла), имеем для узла 1:

По второму закону Кирхгофа - алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме ЭДС по этому контуру ( ) - выбирая контуры и положительные направления в них как на рис.3.1, получим:

Получили 3 уравнения для трех неизвестных токов. Приведем данные уравнения к виду (3.1), вводя нулевые коэффициенты при отсутствующих в уравнениях токах по второму закону Кирхгофа и 1 или -1 в уравнении, составленном по первому закону Кирхгофа:

или в матричной форме записи

RI=E. (3.5)

Сравнивая (3.4) c (3.1) видим, что матрица R есть матрица А, столбец Е- столбец В, столбец I - столбец неизвестных X.

R = - матрица сопротивлений;

Е= - столбец ЭДС контуров; I= - столбец токов.

Решив полученную систему относительно неизвестных токов I₁,I₂ и I₃ ,получим требуемый результат. Если один или несколько токов получатся со знаком минус, то это будет означать, что реальное направление тока противоположно принятому направлению при составлении исходных уравнений.

К решению систем линейных алгебраических уравнений приходится прибегать также при численном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. главу 4), с помощью которых решаются задачи динамики (переходные процессы) электрических и электромеханических систем. Для них и для других задач приходится находить определители матриц,обратные матрицы,собственные числа матриц и т. д.[1,5,6,10]. Все это находится с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений.

Существуют два класса методов решения систем уравнений: прямыеиитерационные. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем сравнительно невысокого порядка (n

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задачи электротехники, приводящие к решению систем линейных уравнений

Расчет токов и напряжений в электрических цепях часто сводится к решению системы из n (число неизвестных величин) линейных алгебраических уравнений

или в матричной форме записи:

A X = B,(3.2)

A = - матрица коэффициентов;

B= -столбец правых частей; X= - столбец неизвестных.

На рис.3.1 изображена разветвленная электрическая схема постоянного тока.

или в матричной форме записи

RI=E. (3.5)

Сравнивая (3.4) c (3.1) видим, что матрица R есть матрица А, столбец Е- столбец В, столбец I - столбец неизвестных X.

R = - матрица сопротивлений;

Е= - столбец ЭДС контуров; I= - столбец токов.

Прямой задачей анализа цепи называют расчет токов и напряжений ветвей при условии, что известны источники энергии и сопротивления ветвей. Такая задача для линейной цепи имеет единственное решение. Решить ее можно, использую законы Кирхгофа. При расчете цепи необходимо составить систему таких независимых уравнений (необходимых и достаточных), что бы задача имела единственное решение. Проведенный анализ показал, что из всех уравнений, которые могут быть составлены как уравнения равновесия цепи, только часть являются линейно-независимыми; именно они и должны включаться в систему. Система линейных уравнений может быть решена любым методом, например, с использованием теории определителей или какой-либо пакетной программы ПЭВМ. Предварительно система должна быть переписана в матричной форме, где функции источников оформляются в виде вектора-столбца в правой части равенства.

1. Перспективный облик отказоустойчивых цифровых систем управления маневренных ла / В.В. Косьянчук, С.В. Константинов, Т.А. Колодяжная, П.Г. Редько, И.П. Кузнецов. Полет. Общероссийский научно-технический журнал. 2010. № 2. С. 20–27.

2. Литвин Д.Б., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Применение операционного исчисления в моделировании экономических систем // Аграрная наука, творчество, рост. 2013. С. 263–265.

3. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Элементы алгоритмизации в процессе обучения математике в высшей школе // Современные проблемы развития экономики и социальной сферы: сб. материалов Междунар. науч.-практ. конф., посвященной 75-летию Ставропольского государственного аграрного университета. 2005. С. 526–531.

Обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности.

Это положение касается одного из тех вопросов, по которому особенно часто критикуются как математические курсы в высших технических учебных заведениях, так и учебники по математике для них. Безусловно, что простейшие конкретные примеры, иллюстрирующие применение математических понятий для изучения реальных явлений, как-то: иллюстрация понятия производной скоростью движения материальной точки, интеграла – работой силы, составления дифференциальных уравнений – выводом уравнения радиоактивного распада и т.п. весьма полезны.

Однако, систематическое обучение применению математических методов, изучаемых ими в курсе математики, к решению прикладных задач обязательно должно осуществляться на профилирующих кафедрах. Это должно являться непреложной обязанностью этих кафедр. Только в этом случае у студентов может создаться убеждённость в полезности и необходимости знания и использования математических методов в его профессии.

Если на профилирующих кафедрах это не делается, то, возможно, это признак того, что для данной специальности вовсе и не нужна математика в том объёме, в котором она изучается в данном ВУЗе, а может быть, и признак неблагополучной постановки изучения в нём специальных дисциплин. Во всяком случае, существенно большая польза от изучения математики будет в том случае, когда в процессе всего обучения она будет достаточно широко использоваться при изложении специальных дисциплин, когда на старших курсах будут читаться нужные для специальности дополнительные главы математики, не входящие в основной курс, короче тогда, когда в ВУЗе будет осуществлено непрерывное математическое образование.

Смысл этого положения отнюдь не в разделе сфер влияния, а, наоборот, в эффективном сотрудничестве математических и специальных кафедр.

К математическим курсам нередко предъявляются претензии, что в них в недостаточном количестве выводятся дифференциальные уравнения, описывающие реальные явления. В этом вопросе следует чётко отдать себе отчёт в том, что математическое моделирование реальных явлений, т.е. составление математической модели такого явления, – это не задача математики.

Безусловно, что обучение умению составлять математические модели реальных явлений является одной из первоочередных задач в процессе образования специалистов, и потому этому должно уделяться гораздо больше времени и внимания, чем это часто делается.

Особенно следует подчеркнуть важность и необходимость для многих специальностей умения составлять не только детерминированные математические модели, но и вероятностно-игровые, умения выбирать и использовать для этого статистические и опытные данные, обрабатывая их в случае необходимости с помощью современной вычислительной техники.

Методика обучения математическому моделированию разработана в настоящее время совершенно недостаточно. Однако было бы неправильно возлагать основную работу в этом направлении на математиков. Главную роль здесь должны играть специалисты.

Не следует, конечно, думать, что математики не должны принимать участие в составлении математических моделей и обучать этому составлению. Совсем наоборот. Это не только желательно, но и необходимо. Хотя математическое моделирование не входит в математику, но оно входит в деятельность математиков. Поэтому обучение ему студентов должно проводиться совместно специалистами в соответствующих областях и математиками, но делаться это должно в специальных курсах на высоком профессиональном уровне.

Математическое моделирование заслуживает особенного внимания, поскольку оно играет все большую роль во многих областях современной науки и техники, являясь мощным и экономически выгодным средством для проведения научных исследований, так и для выполнения самых разнообразных экспериментальных и конструкторских работ. Например, использование математических моделей при проектировании технических систем и расчёт их на ЭВМ экономически во много раз более выгоднее создания экспериментальных образцов.

Не нужно, впрочем, думать, что математический эксперимент полностью заменяет реальный. Это не так, прежде всего потому, что математический эксперимент имеет дело не с самим явлением, а лишь с его математической моделью. Однако интересно и важно отметить, что математический эксперимент, как и всякий эксперимент, может привести к открытию новых реальных явлений, например, физических.

Таким образом, математическое моделирование в сочетании с современной вычислительной техникой даёт в руки учёных качественно новые методы исследования, качественно новые методы управления процессами как естественными, так и порождёнными деятельностью человека. Его широкое использование необходимо для успешного развития наук. Оно составляет неотъемлемую часть процесса накопления знаний человеческим обществом и приводит к необходимости подготовки специалистов нового типа, владеющих не только своей специальностью, но и математикой, знающих методы математического моделирования и умеющих их творчески использовать. Поэтому в наши дни должно быть затрачено особое усилие на подготовку специалистов, способных квалифицированно решать задачи математического моделирования.

Вопрос о подготовке таких специалистов делается сейчас одним из самых важных и актуальных вопросов современного образования. Правильная организация обучению составления математических моделей возможна лишь при хорошей координации усилий в этом направлении математиков и специалистов в соответствующих областях.

Системы линейных алгебраических уравнений являются важным атрибутом при расчете сложных электрических цепей различными методами: по законам Кирхгофа, контурными токами, узловыми потенциалами. Остановимся на методе контурных токов [1].

Он основан на введение промежуточных неизвестных значений – контурные токи. Уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Метод удобно применять, когда число уравнений составленных по первому закону Кирхгофа, больше числа составленных по второму. [2]

Рассмотрим алгоритм расчета:

1. Вначале задаются токи ветвей;

2. Задаются направления контурных токов для каждого независимого контура;

3. При наличии идеальных источников тока, через него будет проходить контурный ток, равный величине источника

4. Для неизвестных контурных токов составляется линейное уравнение;

5. После определения значений контурных токов, определяются токи ветвей [3].

В качестве примера рассчитаем электрическую схему (рисунок).

E1 = 15 B, E2 = 20 B, E3 = 17 B,

R1 = 12 Ом, R2 = 17 Ом, R2 = 25 Ом,

R2 = 17 Ом, R3 = 25 Ом,

R4 = 10 Ом, R5 = 15 Ом.

Два условия выполнены, пропуская пункт 3, переходим к 4.

Методом Крамера решим эту систему, для этого составим квадратную матрицу R и матрицу-столбец Е:

РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Данная статья направлена на исследование эффективности использования способов решения алгебраических уравнений с использованием линейных систем для определения параметров и характеристик электрических цепей.

Электротехника имеет прямую зависимость от математики. Использование математических операций облегчают жизнь огромному множеству инженеров, позволяя решать сложные электротехнические задачи с минимальными временными затратами. Можно утверждать, что развитие инженерных наук, электроэнергетики и электротехники стимулируют формирование математических методик, т.к. великое множество теоретических методов сформировалось благодаря практической потребности. [5] Одним из таких методов является метод наименьших квадратов, появившийся в результате потребности геодезической практики, использование которого позволяет многократно упростить обработку результатов наблюдений. Цель инженерной математики – упрощение понимания инженером-практиком важных математических методов и моделей, направленных на решение тех или иных инженерных задач. Можно утверждать, что инженерия, в том числе и электроэнергетика, не может развиваться без математического аппарата.

Электроэнергетики-практики, при работе с электротехническими расчетами электрических цепей, часто используют системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). [3]

Система уравнений – это условие, заключающееся в единовременном исполнении некоторого количества уравнений относительно нескольких переменных. СЛАУ, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система подобного вида:

где: , , – коэффициенты системы;

– неизвестные переменные, которые нам необходимо определить.

Принцип данного метода состоит в приведении системы линейных уравнений в результате простейших алгебраических преобразований к ступенчатому виду:

где . Коэффициенты – главные элементы СЛАУ.

После составления ступенчатой системы приступаем к ее решению. В случае, когда СЛАУ является треугольной (), система будет иметь одно единственное решение, если – множество решений.

В электроэнергетике и электротехнике часто встречаются задачи, в которых необходим расчёт электрической цепи, то есть необходим расчёт напряжения и силы тока во всех ветвях цепи. Например, известны сопротивления и ЭДС, но нет значений силы тока. Для решения таких задач используют правила Кирхгофа. [4]

Рассмотрим данный метод на примере конкретной задачи, для решения которой будет использовать метод Гаусса, позволяющий решить практически любую систему и являющийся наиболее простым.

Рассмотрим типовую электрическую схему (рисунок 1). Нам известны сопротивления резисторов и ЭДС источников (). Необходимо определить токи в ветвях цепи.

Рисунок 1. Типовая электрическая цепь

Для расчетов воспользуемся I законом Кирхгофа:

Воспользовавшись II законом Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контура:

Теперь из трёх уравнений составляем систему уравнений:

Подставляем известные значения:

Составляем матрицу, используя коэффициенты, стоящие перед неизвестными:

Решение данной системы можно разбить на две стадии. Для начала, используя простейшие алгебраические преобразования, приводим СЛАУ к ступенчатому виду:

Для начала нам необходимо первую строку данной матрицы разделить на 100, что в дальнейшем позволит упростить расчеты и сократить время на их проведение:

Теперь нам необходимо найти сумму первой и третьей строки, умноженной на 1:

Проведем деление второй строки исследуемой матрицы на 150:

Просуммируем вторую и третью строки:

Теперь осталось только решить ступенчатую систему и определить значения токов:

Так как , выходит, что данная система имеет единственное правильное решение, которое нам и осталось найти.

Находим значения токов:

Использования данного метода решения СЛАУ упрощает процесс нахождения параметров электрических схем, а использование ЭВМ позволяет проводить данные расчеты за десятые доли секунды. Таким образом, системы линейных алгебраических уравнений имеют огромное значение в электроэнергетике и электротехнике, упрощая расчеты и сокращая время нахождения переменных. [ 6]

Маркушевич, А.И. Комплексные числа и конформные отображения. Выпуск 13. Популярные лекции по математике / А.И. Маркушевич – 2-е изд.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике: учебное пособие. / А.Д. Мышкис – 5-е изд.: Лань, 2007. - 640 с.

C икоренко M . A ., Ушакова В.С. Использование методов математической статистики и теории вероятностей в экономике // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3.

Долгополова А.Ф., Ковчина Ю.С. Применение методов теории игр при оптимизации выпуска продукции // Международный студенческий научный вестник . 2018. №3-1 . С. 62-65.

Шеин В.Г., Долгополова А.Ф. Особенности математического моделирования при прогнозировании спроса // Современные наукоемкие технологии . 2014. №5-2 . С. 181-183.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Математика – царица наук Карл Фридрих Гаусс

Системы линейных уравнений широко используются в задачах экономики, физики, электротехники, программирования и других наук.

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных. Система линейных уравнений с n переменными:

Числа aij (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) называются коэффициентами при переменных, а bi (i=1,2,…,m) – свободными членами. Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, . kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2. xn дает верное числовое равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной. Методы решения: По формулам Крамера; Исключение неизвестных ( метод Гаусса); С помощью обратной матрицы.

Метод Крамера Если главный определитель системы то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: где –определитель, полученный из главного заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

Метод Гаусса Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Расширенная матрица содержит вместе с коэффициентами при неизвестных свободные члены системы уравнений.

Матричный метод Cистему линейных уравнений записывают в матричной форме: AX = B, где A - основная матрица системы; B - столбец свободных членов; X - столбцы решений системы; Матричное уравнение умножают слева на A–1 (матрицу, обратную к матрице A). Так как A− 1A = E, то X = A -1B. Метод применим, если определитель системы не равен 0.

Проверка домашнего задания Решить систему линейных уравнений всеми известными методами

Применение систем линейных уравнений для решения прикладных задач. Цель занятия: формировать умение составлять системы линейных уравнений по текстовому условию задачи; закрепить применение методов Крамера и Гаусса решения систем линейных уравнений.

Доклад №1. Задача по электротехнике Два источника постоянного тока соединены параллельно, имеют E1=11,5 B, r1=2,5 Oм, E1=16,5 B, r1=6 Oм, и нагрузочный резистор сопротивлением Rн=30 Oм. Определить значения и направление токов через источники и нагрузку.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа Для контура, включающего в себя два источника и имеем: Для контура с источником и сопротивлением нагрузки при обходе по часовой стрелке имеем: Подставив числовые данные, получим:

Первое уравнение умножим на 6 и сложим со вторым и третьим. Получим: второе уравнение умножим на (-6) и сложим с третьим. Получим: Отсюда

Доклад №2. Из Москвы в Казань необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа — 95 ед., II типа — 100 ед., III типа — 185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице. Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки этого оборудования. Тип оборудования Количество оборудования Т1 Т2 Т3 I 3 2 1 II 4 1 2 III 3 5 4

Доклад №3. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тип заготовки Способ раскроя 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5

Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. По условию задачи составим систему уравнений:

Ответ: первым способом раскраивается 90 листов, вторым – 15, третьим – 60.

Доклад №4. Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 485 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 5 ден. ед. за акцию, второй – по 20, третьей – по 13. Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 6, 14 и 19 ден. ед., а стоимость всего пакета была 550 ден. ед. Еще через месяц они стоили по 8, 22 и 20 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 660 ден. ед. Cколько акций каждой группы было куплено?

Пусть акции I-ой группы было куплено х штук, акций II-ой группы y штук, акций III-ей группы z штук. Согласно условию задачи имеем: Решим систему уравнений методом Крамера: Δ = = = 1400+3040+1716-1456-2090-2400=210;

Закрепление нового материала. Задача №1. Рассчитать сложную электрическую цепь, если E1=246 B, R1=0,3 Ом, E2=230 B, R2=1 Ом, R3=24 Ом, RВТ1= RВТ2=0.

Задача №2. Предприятием по производству бытовой техники в 1 квартале выпущено 4000 вентиляторов, 2000 миксеров и 6000 электрочайников на общую сумму 23 млн рублей. Во 2 квартале выпущено 3000 вентиляторов, 1000 миксеров и 4000 электрочайников на общую сумму 15,6 млн рублей. В 3 квартале выпущено 1000 вентиляторов, 3000 миксеров и 1000 электрочайников на общую сумму 7,8 млн рублей. Найти стоимость одного вентилятора, одного миксера и одного электрочайника.

Рефлексия Выберите смайлик, характеризующий ваше состояние на занятии.

Домашнее задание. Если ширину производственной прямоугольной площадки увеличить на 4 м, а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на 32 ; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить на 1 м, то ее площадь уменьшится на 39 . Найдите длину и ширину площадки.

Читайте также: