Сходимость рядов по признаку даламбера сообщение

Обновлено: 04.07.2024

Если начиная с какого-то номера [latex]n_\epsilon \mathbb[/latex] [latex]\forall n>n_[/latex] выполняется неравенство [latex]\frac>>\leq q n_[/latex] [latex]\frac>>\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство [latex]\frac>>\leq q[/latex] для [latex]n=1[/latex] и [latex]n=2[/latex].

Таким образом [latex]\forall n[/latex] будет справедливо неравенство [latex]a_\leq q^*a_[/latex]. При этом ряд [latex]\sum_^ <\infty>q^*a_[/latex] является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_^ <\infty>a_[/latex] тоже сходится.

Если [latex]\frac>>\geq 1[/latex], то справедливо неравенство [latex]a_\geq a_>0[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_a_=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_^ <\infty>a_[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

Если существует предел:

Если [latex]K 1[/latex], то ряд расходится.
Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_>>>=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_:\forall n>N_\left |\frac>>-K \right | 1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac[/latex], тогда [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится. Для случая [latex]K=1[/latex] приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида [latex]\sum_^ <\infty>\frac[/latex] расходится и при этом [latex]\lim_<\frac>=1[/latex]. В то же время ряд [latex]\sum_^ <\infty>\frac[/latex] сходится и при этом [latex]\lim_<\frac<(n+1)^>>=\lim_<\frac>=1[/latex].

Дан ряд [latex]\sum_^<\infty>\frac>[/latex]. Определить характер сходимости ряда.

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

число в степени,
факториал,
цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть

а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Решаем примеры

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Так как

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Признак Д'Аламбера (или признак Даламбера) используется для исследования сходимости рядов, общий член которых строго больше нуля, т.е. $u_n > 0$. Такие ряды называют строго положительными. В стандартных примерах признак Д'Аламбера используют в предельной форме.

Признак Д'Аламбера (в предельной форме)

Если ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ строго положителен и $$ \lim_\frac>=L, $$ то при $L 1$ (и при $L=\infty$) ряд расходится.

Формулировка довольно проста, но остаётся открытым следующий вопрос: что будет, если $L=1$? Ответа на данный вопрос признак Д'Аламбера дать не в состоянии. Если $L=1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах признак Д'Аламбера применяется, если в выражении общего члена ряда присутствуют многочлен от $n$ (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Например, $u_n=\frac$ (см. пример №1) или $u_n=\frac>$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ – это своеобразная "визитная карточка" признака Д'Аламбера.

Что обозначает выражение "n!"? показать\скрыть

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Кроме того, нередко признак Д'Аламбера используют для выяснения сходимости ряда, общий член которого содержит произведение такой структуры: $u_n=\frac$.

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в темах "Пределы с иррациональностями", "Предел отношения двух многочленов", а также в теме "Второй замечательный предел".

Проверять выполнение необходимого условия сходимости здесь несколько затруднительно, поэтому эту проверку мы пропустим.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $\frac>$. Общий член ряда у нас есть, вот он: $u_n=\frac$. А формулу для $u_$ запишем отдельно. Чтобы записать $u_n$, нужно в формулу $u_n=\frac$ вместо $n$ подставить $n+1$:

При желании знаменатель можно записать без скобок, так как $2(n+1)^3-1=2n^3+6n^2+6n+1$, однако в этом нет необходимости. Итак, найдём чему же равно значение $\lim_\frac>$. При упрощении получившегося выражения учтём, что $\frac>=5^=5^1=5$.

Чтобы вычислить получившийся предел, нужно разделить и числитель и знаменатель на $n^4$ (см. пример №1 на этой странице):

Так как $\lim_\frac>=5>1$, то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Честно говоря, признак Д'Аламбера – не единственный вариант в данной ситуации. Можно использовать, например, радикальный признак Коши. Однако применение радикального признака Коши потребует знания (или доказательства) дополнительных формул. Поэтому использование признака Д'Аламбера в данной ситуации более удобно.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac>$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.

Общий член ряда содержит многочлен под корнем, т.е. $\sqrt$, и факториал $(3n-2)!$. Наличие факториала в стандартном примере – почти стопроцентная гарантия применения признака Д'Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $\frac>$. Чтобы записать $u_$, нужно в формулу $u_n=\frac>$ вместо $n$ подставить $n+1$:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1),$$

то формулу для $u_$ можно записать по-иному:

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом. Если равенство с факториалами требует пояснений, то прошу раскрыть примечание ниже.

Как мы получили равенство $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? показать\скрыть

Запись $(3n+1)!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $3n+1$. Т.е. данное выражение можно записать так:

Непосредственно перед числом $3n+1$ стоит число, на единицу меньшее, т.е. число $3n+1-1=3n$. А непосредственно перед числом $3n$ стоит число $3n-1$. Ну, а непосредственно перед числом $3n-1$ имеем число $3n-1-1=3n-2$. Перепишем формулу для $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Что представляет собой произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Это произведение равно $(3n-2)!$. Следовательно, выражение для $(3n+1)!$ можно переписать в такой форме:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом.

Общий член ряда содержит как факториал $(2n+5)!$, так и степень $4^$. Применяем признак Д'Аламбера.

Нам потребуется $u_$. Подставляя в формулу $u_n=\frac>$ вместо $n$ выражение $n+1$, будем иметь:

Так как $\lim_\frac>=\infty$, то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д'Аламбера рассмотрим во второй и третьей частях.

В отличие от признака сравнения, где многое зависит от догадки и запаса “эталонных” рядов, признак Даламбера часто позволяет исследовать сходимость ряда, проделав лишь некоторые операции над ним. Сформулируем признак без доказательства.

Признак Даламбера: Пусть дан положительный числовой ряд , и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера удобно по следующему алгоритму:

1) найти ;

2) найти ;

3) найти ;

4) найти предел отношения на бесконечности и проанализировать полученное значение:

Обратимся к примерам использования признака Даламбсра для исследования сходимости положительных рядов.

Пример №33.4.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Даламбера.

Решение:

Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера воспользуемся алгоритмом:

1) найдём : ;

2) найдём : ;

3) найдём :

;

4) найдём :

(при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). Получили, что .

Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: расходится.

Пример №33.5.

Исследуйте ряд на сходимость, применяя признак Даламбера.

Решение:

Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера воспользуемся алгоритмом:

1) найдём : ;

2) найдём : ;

3) найдём :

;

4) найдём : .

Получили, что . Значит, по признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: сходится.

Заметим, что признак Даламбера целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда содержит выражение вида или .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: