Развитие геометрических знаний от евклида до лобачевского сообщение
Обновлено: 17.05.2024
3. Свечников, А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать / А.А. Свечников – М.: Просвещение, 1995.
В течение многих веков постепенно накапливали древние египтяне различные научные знания, в том числе знания по геометрии. Они сумели довольно точно определять площади фигур, объемы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи.
Но геометрии, как науки, у них не было. У них было много различных правил - рецептов, не соединенных между собой общей идеей, не приведенных в единую стройную систему. Этими рецептами владели чаще всего жрецы храмов, которые держали их в секрете.
Цари древнего Египта постоянно вели долгие изнурительные войны, которые ослабляли экономическую мощь страны. Были периоды, когда Египет завоевывался разными другими народами – это были периоды жестокой эксплуатации страны – наука и искусство пришли в упадок.
Но к северу от Египта, уже зародилось новое государство – Греция. Греческие купцы посещали Египет и, возвращаясь, много рассказывали об этой чудесной стране. Вместе с купцами Египет стали посещать ученые. И достижения египетской науки постепенно стали известны древним грекам.
Но Греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправили их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой.
В VII веке до н.э. центром математического творчества становится так называемая пифагорейская школа в южной Италии. Здесь были открыты несоизмеримые отрезки, создано учение о подобии, найдены способы построения некоторых правильных многоугольников и многогранников, доказана теорема Пифагора и т.д.
Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Немецкий философ-идеалист XVIII в. И. Кант и многие его последователи считали, что понятия и идеи евклидовой геометрии (единственно возможной, чуть ли не божественной) были заложены в человеческое сознание еще до того, как человек научился что-либо осознавать.
Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопросов геометрии внесли Архимед (ок. 287 -212 гг. до н. э.), Апполоний (III в. до н. э.) и другие древнегреческие учёные.
Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь много веков спустя – в XVII в. н. э. – и были связаны с накопленными к этому времени достижениями алгебры. Французский математик и философ Р. Декарт (1596 – 1650) предложил новый подход к решению геометрических задач: ввёл метод координат, связав геометрию и алгебру, что позволило решать многие геометрические задачи алгебраическими методами.
В течение XVII века геометрические знания на Руси распространялись медленно.
В XVIII веке геометрия получила большое распространение. В России была открыты Академия наук, в Москве был открыт университет, во многих городах открывались школы и гимназии, появились учебники геометрии, как отечественные, так и переводные.
Открытие новой геометрии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представлений о пространстве: до Лобачевского казалось, что геометрией окружающего нас мира может быть только евклидова геометрия.
Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замечательных открытий. Так, выдающимся немецким математиком Б. Риманом (1826 – 1866) была создана новая геометрия, обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского.
В настоящее время геометрия широко используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, химии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии широко применяются практически во всех разделах науке и техники и, конечно же, в самой математике.
Развитие новых идей и методов в математике. Определения, изложенные в "Началах" Евклида. Аксиома о свойствах прямоугольного треугольника. Критика евклидовского обоснования геометрии. Основоположники неевклидовой геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.11.2010 |
| Размер файла | 31,7 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1. Жизнь и математические взгляды Евклида
2. Основоположники неевклидовой геометрии
Список использованных источников
Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.
Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.
Развитие математики со времен Евклида до второй половины XIX века до сих пор представляет собой научный интерес, поэтому изучение этой темы является достаточно актуальным.
1.Жизнь и математические взгляды Евклида
Евклид - древнегреческий математик (III века до н.э.) работал в Александрии и написал несколько трудов, которые стали основой для образования и использовались около 2200 лет.
Точка есть то, что не имеет частей (такое аналитическое определение точки, по-видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).
Линия есть длина без ширины.
Границы линии суть точки.
Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
Границы поверхности суть линии.
Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.
Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.
Такие определения нельзя считать логически конкретными. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и т.д.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например, 4 и 7. Вообще же определения Евклида являются лишь описанием геометрических образов, и, как правило, для доказательства теорем он ими не пользовался.
К собственно евклидовой геометрии относятся: обратная теорема параллельных линиях (то есть о том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны), теорема о пересечении перпендикуляра и наклонной одной и той же прямой, о сумме углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов многоугольника).
Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств.
Рис. 1. Аксиома Евклида о свойствах прямоугольного треугольника
Иначе говоря, система аксиом или аксиоматика, построенная Евклидом, не является полной. Возникает естественный вопрос, нельзя ли освободить евклидовы доказательства от этого недостатка, заменив, быть может, их другими, опирающимися только на постулаты и аксиомы. Ответ на этот вопрос был получен сравнительно недавно. Оказалось, что это возможно только после надлежащего пополнения системы постулатов и аксиом (аксиоматики) Евклида.
Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.
2.Основоположники неевклидовой геометрии
Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период её становления был длительным. В течение двух тысяч лет после Евклида и появления первых, сформулированных им, аксиом многие математики вели напряжённый научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического процесса.
Исходной точкой логической системы Евклида является положение о том, что выдвинутые им постулаты очевидны и единственно верны. Имеются пять постулатов:
Через две точки проходит единственная прямая.
Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить.
Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.
Все прямые углы равны между собой.
Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны от третьей прямой, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Последний, пятый постулат известен как постулат о параллельных.
Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддаётся восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже.
Многие комментаторы Евклида пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода оканчивались безрезультатно. Не исключено, что и сам Евклид пришёл к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата после нескольких неудачных попыток найти его доказательство, основываясь на остальных сформулированных аксиомах. По-видимому, его исследования в этом направлении скорее также не увенчались успехом, чем были незавершёнными.
Этот опыт породил в настоящее время целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей математической теории.
Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о том, что постулат о параллельных верен, и наоборот, допустив, что любое из приведённых суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведённые утверждения равносильны, или, как ещё говорят, эквивалентны. Среди попыток доказательства пятого постулата Евклида особого внимания заслуживают исследования Дж. Саккери (1677 - 1733) и Адриена Мари Лежандра (1752 - 1833).
Рассматривая четырехугольник, носящий его имя, Саккери стремится доказать, что гипотезы тупого и острого углов приводят к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которой вытекает евклидов V постулат.
После смерти Гаусса выяснилось, что он также еще до Лобачевского и Бояй пришел к той же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли, Клейта и Пуанкаре более широким кругом математиков стало ясно, что V постулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой геометрии.
В начале XIX века начал свои попытки доказательства пятого постулата русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Первое время он шёл тем же путём, что и его предшественники, то есть пытался рассуждать от противного.
Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.
Сегодня является общепризнанным, что Бойяи, Лобачевский и Гаусс одновременно и независимо друг от друга открыли неевклидову геометрию, т. е., по сути, непротиворечивую систему основывающуюся на своей непротиворечивой аксиоматике.
Однако вызывает удивление тот факт, что неевклидова геометрия рассматривалась лишь в пределах гипотезы острого угла. Неевклидова геометрия, основанная на гипотезе тупого угла была рассмотрена Риманом в 1854 году. В его новой геометрии на сферической поверхности любые две линии пересекаются.
Гаусс пытался выяснить, какова геометрия реального пространства Вселенной - гиперболическая, эллиптическая или параболическая. Для этого необходимо было ответить на вопрос, какова сумма внутренних углов треугольника. Известно, что Гаусс, будучи научным руководителем астрономической обсерватории, проводил измерения углов треугольников, образованных вершинами гор. Однако он не вполне отдавал себе отчёт в том, сколь значительны неизбежные погрешности таких измерений.
математика евклид аксиома геометрия
Открытие неевклидовой геометрии, начало которому положил Лобачевский, не только сыграло огромную роль в развитии новых идей и методов в математике естествознании, но имеет и философское значение. Проведенное исследование развития математики со времен Евклида до второй половины XIX века позволяет сделать следующие выводы.
В основе геометрии Евклида лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой.
В заключение необходимо отметить, что только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
Список использованных источников
Архангельский Н.В. История математики. - М.: Просвещение, 2005. - 341 с.
Батаршев А.В. Неевклидова геометрия. - СПб.: Питер, 2000. - 583 с.
Гордин А.Ю. Выдающиеся личности России. - СПб.: Специальная литература, 2004. - 619 с.
Иващенко Ф.И. Развитие математики в России. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 357 с.
Петровская Л.А. Н.И. Лобачевский и его геометрия. - М.: Гардарики, 2001. - 261 с.
Таранский И.В. Отличительные особенности неевклидовой геометрии // Современная математика. - 2007. - №4. - С. 31-39
Якунин В.А. Развитие геометрии. - М.: Фаир, 2004. - 211 с.
Подобные документы
История возникновения неевклидовой геометрии. Сравнение постулатов параллельности Евклида и Лобачевского. Основные понятия и модели геометрии Лобачевского. Дефект треугольника и многоугольника, абсолютная единица длины. Определение параллельной прямой.
курсовая работа [4,1 M], добавлен 15.03.2011
Происхождение Неевклидовой геометрии. Возникновение "геометрии Лобачевского". Аксиоматика планиметрии Лобачевского. Три модели геометрии Лобачевского. Модель Пуанкаре и Клейна. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).
реферат [319,1 K], добавлен 06.03.2009
Краткая биография Н.И. Лобачевского. История открытия неевклидовой геометрии. Основные факты и непротиворечивость геометрии Лобачевского, её значение и применение в математике и физике. Путь признания идей Н.И. Лобачевского в России и за рубежом.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 21.08.2011
Изучение истории развития геометрии, анализ постулатов Евклида, аксиоматики Гильберта, обзор других систем аксиом геометрии. Характеристика неевклидовых геометрий в системе Вейля. Элементы сферической геометрии. Различные модели плоскости Лобачевского.
дипломная работа [245,5 K], добавлен 13.02.2010
Студенческие годы Н.И. Лобачевского. Первые годы преподавательской деятельности. Организация печатного университетского органа. История открытия неевклидовой геометрии. Признание геометрии Н.И. Лобачевского и ее применение в математике и физике.
дипломная работа [4,4 M], добавлен 05.03.2011
Биография Н.И. Лобачевского. Деятельность Лобачевского по организации печатного университетского органа и его попытки основать при университете Научное общество. История признания геометрии Н.И. Лобачевского в России. Появление неевклидовой геометрии.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 14.09.2011
Геометрия Евклида — теория, основанная на системе аксиом, изложенной в "Началах". Гиперболическая геометрия Лобачевского, ее применение в математике и физике. Реализация геометрии Римана на поверхностях с постоянной положительной гауссовской кривизной.
Вокруг изобретателей новых ценностей вращается мир — неслышно вращается он.
История неевклидовой геометрии — самый замечательный пример развития Математической Идеи. Для нас эта история интересна вдвойне, т. к. ее главный участник — гениальный русский математик Николай Иванович Лобачевский.
Каким же образом Евклид сумел изложить геометрию так просто и с таким изяществом, что покорил целые поколения, а по числу изданий и читаемости его книга сравнима только с Библией?
Аксиомы должны быть достаточно простыми и соответствовать нашему опыту. А дальнейшее развитие теории состоит в доказательстве теорем, вытекающих только из заданных аксиом.
Система аксиом Евклида на протяжении более 2000 лет совершенствовалась многими авторами. В настоящее время существует много различных редакций системы аксиом евклидовой геометрии. Вот одна из них.
Аксиомы евклидовой геометрии на плоскости
Первая группа: аксиомы связи
1. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.
2. На каждой прямой имеются по крайней мере две различные точки.
3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
Вторая группа: аксиомы порядка
1. Если точка В лежит между точками А и С, то В лежит между С и А.
2. Из трех различных точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Всякая прямая разбивает плоскость на две части таким образом, что для любого отрезка на плоскости выполняется следующее: если концы отрезка принадлежат одной и той же части, то прямая не пересекает этот отрезок; если же концы отрезка принадлежат разным частям, то прямая его пересекает.
Третья группа: аксиомы движения
1. Каждое движение сохраняет принадлежность точки прямой.
2. Каждое движение сохраняет порядок точек на прямой.
3. Композиция двух движений также является движением.
4. Для каждого движения существует обратное движение.
5. Если некоторое движение оставляет на месте луч и его начало, то оно оставляет на месте каждую точку этого луча.
6. Какую бы пару точек мы ни взяли, существует движение, которое переставляет их местами.
7. Какую бы пару лучей с общим началом мы ни взяли, существует движение, которое переставляет их местами.
Четвертая группа: аксиома непрерывности (Дедекинда)
Пусть все точки прямой разбиты на два непустых класса так, что каждая точка первого класса предшествует каждой точке второго класса. Тогда либо в первом классе существует точка, следующая за всеми остальными точками первого класса, либо во втором классе существует точка, предшествующая всем точкам второго класса.
Пятая группа: аксиома параллельности (пятый постулат Евклида)
На плоскости через точку М, не лежащую на прямой А, можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой А.
Аксиома параллельности — самое знаменитое математическое предложение в истории. Ее обсуждение на протяжении 2000 лет завершилось гениальным открытием Лобачевского и привело к открытию неевклидовых геометрий, возникновению новых областей в математике и новым взглядам на пространство и время.
Почему же так получилось? Дело в том, что, начиная со времен Евклида, многие математики не воспринимали аксиому параллельности именно как аксиому, а стремились ее доказать, потому что она казалась сложнее остальных аксиом. Позже появился другой мотив. Утверждение, содержащееся в пятом постулате, стало казаться настолько соответствующим действительности и человеческому опыту, что никто из математиков до Лобачевского (кроме великого Гаусса) не сомневался в существовании доказательства.
На плоскости через точку М, не лежащую на прямой а, проходит более одной прямой, параллельной данной прямой а,
Оставив остальные аксиомы Евклида без изменения. Затем он стал доказывать с помощью новой системы аксиом различные теоремы в надежде получить противоречие. Если бы на некотором этапе рассуждений таковое оказалось, то это означало бы, что аксиома параллельности Лобачевского неверна, а следовательно, верна только аксиома Евклида. Но, доказав несколько десятков теорем, Лобачевский никакого противоречия не получил. И тогда он понял, что с математической точки зрения его система аксиом имеет такое же право на существование как и система аксиом Евклида. Так родилась неевклидова геометрия. Датой рождения считается 1826 год, когда Лобачевский доложил результаты своих исследований на заседании математического факультета Казанского университета.
Изменение всего лишь одной аксиомы привело к удивительным фактам. В новой, неевклидовой геометрии
Сумма углов любого треугольника оказалась меньше 180°, причем эта сумма зависела от площади S треугольника:
Здесь K — некоторая постоянная, определяемая выбором масштаба. Из этой формулы видно, что площадь любого треугольника не может быть более K2.
Далее, оказалось, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур! Например, получалась такая теорема: если у двух треугольников углы равны, то эти треугольники равны. Этот удивительный факт объясняется тем, что теория подобия основана на понятии параллельности. Отменяя аксиому параллельности Евклида, мы отменяем и подобие.
Кроме параллельных и пересекающихся прямых, на плоскости Лобачевского существуют Расходящиеся или Сверхпараллельные прямые; помимо обычных окружностей, есть окружности, центр которых находится в бесконечности, и т. д.
Лобачевский понимал, что, открыв новую геометрию, он должен найти ответ на некоторые вопросы. Важнейший из них такой: как новая геометрия соотносится с реальным миром? Лобачевский был убежден, что его геометрия — не абстрактная математическая теория, не только плод его ума, а что она отражает свойства реального пространства. Он считал, что во Вселенной действует именно его геометрия, но люди этого не замечают, т. к. различие между евклидовой и новой геометрией проявляется только при измерении очень больших расстояний. Если же измерять небольшие фигуры, то результаты, полученные с помощью формул старой и новой геометрии, отличаются настолько мало, что это различие заметить практически невозможно. Точнее: чем меньше измеряемые фигуры, тем геометрия Лобачевского ближе к геометрии Евклида.
Чтобы проверить эту гипотезу, Лобачевский решил найти сумму углов треугольника, две вершины которого находятся в противоположных концах земной орбиты, а третья — на звезде Сириус. Если бы сумма углов оказалась меньше 180°, то гипотеза Лобачевского получила бы подтверждение.
Проведя предварительные вычисления, Лобачевский установил, что если сумма углов в этом треугольнике и окажется меньше чем 180°, то не более чем на 4 миллионных секунды! (Секунда — 1/3600 часть градуса.) Поэтому практические измерения выполнить невозможно, т. к. ни один из астрономических приборов не обладал (и до сих пор не обладает) требуемой точностью.
Другая важная проблема заключалась в необходимости выяснить, не содержит ли система аксиом новой геометрии каких-либо внутренних противоречий? Ведь никто не может доказать Все теоремы, поэтому нужно как-то гарантировать, что пользуясь аксиомами, мы никогда не получим взаимоисключающих результатов. Лобачевский много работал над этой проблемой, но она оказалась настолько глубокой и сложной, что завершить ее удалось только через несколько десятилетий усилиями многих замечательных математиков.
Расстояние (в смысле геометрии Лобачевского) между точками A И В вычисляется по следующей формуле
Аналогичную формулу можно записать и для углов.
Расстояние (в смысле геометрии Лобачевского) между точками А и В вычисляется по формуле
Для вычисления углов специальная формула не нужна: на модели Пуанкаре углы в смысле геометрии Лобачевского — это обычные углы.
Есть и другие модели геометрии Лобачевского.
Существование моделей доказывает, что система аксиом Лобачевского является Непротиворечивой. Так решается одна из важнейших проблем, над которой в последние годы жизни работал сам Лобачевский.
С другой стороны, наличие моделей, или как еще говорят, Реализации геометрий Евклида и Лобачевского, закрывает проблему 2000-летней давности: можно ли Доказать аксиому параллельности, т. е. вывести ее из других аксиом? Теперь ясно, что нельзя, потому что эта аксиома Не зависит от остальных аксиом. Независимость вытекает из того факта, что после замены аксиомы параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского мы вновь получаем непротиворечивую систему аксиом.
Переоценить значение открытия Лобачевского невозможно. Никакой другой математический результат не имел столько значительных последствий. Благодаря открытию геометрии Лобачевского возникли новые важнейшие области математики: основания геометрии, основания математики, математическая логика. Математики поняли силу аксиоматического метода и стали его широко применять во всех разделах математики и даже в физике. Далее, поскольку возник новый математический объект — система аксиом — появились и специальные методы его исследования, так называемая метаматематика. Бурно развилась теория алгоритмов, тесно связанная с математическими основами функционирования электронно-вычислительных устройств. В итоге было подвергнуто анализу все здание математики.
История пятого постулата показывает, как конкретная математическая идея, пройдя тысячелетия, как бы связала различные эпохи и стала одним из тех стержней, около которых вращается мир. Гениальные умы и великие мастера вращают наш мир, создавая настоящие ценности, и среди них математика — одна из звезд первой величины.
Ни одно из замечательных открытий в математике не остается без приложений. Совершенную теорию конических сечений* создал еще греческий математик Аполлоний за 200 лет до н. э. Первое же практическое приложение этой теории было дано только в начале XVII в. величайшим астрономом Кеплером, который сформулировал один из своих законов так: Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.**
* Это эллипсы, гиперболы и параболы, которые получаются как линии пересечения кругового конуса с различными плоскостями.
** Напомним, что Эллипсом называется кривая, все точки которой обладают одним и тем же свойством: сумма расстояний от каждой точки эллипса до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, т. е. одна и та же для всех точек эллипса.
Таким образом, теория конических сечений ждала своего приложения 1800 лет.
Когда Лобачевский открыл свою геометрию, многие его современники, в том числе даже такой выдающийся математик, как Остроградский, считали неевклидову геометрию не более чем подозрительной забавой. Но уже через 50 лет появилось много неевклидовых геометрий, а через 75 лет Эйнштейн сформулировал принципы теории относительности, и с этого момента неевклидовы геометрии стали рабочим инструментом физиков.
Еще меньше времени прошло от рождения математической логики, которая вначале считалась сугубо формальной наукой, до того момента, когда вдруг выяснилось, что развитые ею методы — основа для создания будущих ЭВМ.
И таких примеров немало. Все они показывают, что на великом дереве математики зреет может быть и не так много плодов, но каждый из них, созрев, продвигает человечество на шаг вперед.
Геометрия - довольно древняя наука, родиной которой принято считать Восток. В своем становлении она прошла несколько этапов, которые включает в себя история развития математики, так как первые геометрические понятия были связаны с землемерием. И только гораздо позже произошло выделение геометрии в самостоятельную науку.
Начальный этап развития
Начальным периодом можно назвать зарождение науки в Вавилоне и Египте. Это был примерно пятый век до нашей эры, но тогда всевозможные вычисления были связаны не столько с изучением понятий, сколько с применением их для практических нужд. Строились жертвенники, измерялись земельные площади, что привело к заложению научных основ. Именно там, на Востоке, и берет свое начало история возникновения геометрии.
Второй этап в становлении геометрии
Знаменательным для развития этой науки становится седьмой век до нашей эры, когда землемерная восточная мудрость находит свое распространение в Греции. История развития геометрии делает довольно резкий скачок, так как греческие философы начинают заниматься систематическим изложением основ, доказывая любое предложение. Этот период известен теоремой Фалеса о сумме углов треугольника, открытием иррациональных чисел Пифагором, знаменитыми "Началами" Евклида. Именно последний в своем 13-томнике систематизировал геометрию как науку, где основными положениями выступали аксиомы.
История развития геометрии - третий этап
Многие греческие, индийские, арабские ученые продолжали развивать "Начала" и обогащать своими открытиями, но новый качественный рывок развитие геометрии испытывает в 17-м веке. Именно это время считается началом третьего периода, который прочно связан с именами Декарта и Ферма. Их называют создателями аналитической геометрии. Суть этой прикладной науки заключается в том, что свойства фигур начинают изучаться по их алгебраическим уравнениям, где за основу берется метод координат. Но качественное развитие геометрии не заканчивается на этом. Появляются еще две ее разновидности: дифференциальная, связанная с именами Монжа и Эйлера, и проективная, вклад в которую внесли Паскаль и Дезарг.
Четвертый этап в развитии науки о фигурах
В 19-м веке история развития геометрии ознаменована возникновением так называемой "неевклидовой" геометрии. Ее основателем принято считать Лобачевского. Именно он был родоначальником, то есть рассмотрел положение фигур, а именно параллельных прямых, в пространстве. Чуть позже еще одним ученым - Риманом - было сформулировано понятие пространства как совокупности любых однородных явлений и объектов. Здесь стоит уточнить, что ни геометрия Лобачевского, ни геометрия Римана не отрицают учения Евклида, они рассматривают свои положения с точки зрения теории пространственных отношений, но нисколько не умаляет заслуг Евклида, труды которого положены в основу школьной программы.
Таким образом, в становлении науки четко прослеживаются ее основные вехи. Но надо сказать, что история развития геометрии не является застывшей и мертвой. Геометрическая наука постоянно в действии: расширяется круг фигур, их изучаемые свойства, меняются сами понятия об объектах.
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Аннотация к презентации
Посмотреть презентацию на тему "Развитие геометрических знаний от Евклида до Лобачевского" для студентов в режиме онлайн с анимацией. Содержит 15 слайдов. Самый большой каталог качественных презентаций по математике в рунете. Если не понравится материал, просто поставьте плохую оценку.
Содержание
Слайд 2
Содержание
Слайд 3
Введение Цель моей исследовательской работы: углубить знания математики, совершенствовать навыки исследовательской деятельности. Объект моего исследования: развитие математической науки от древних веков до Лобачевского.
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
В настоящее время считается установленным, что книги 1-4 (построение фигур на плоскости) и книга 11 (плоскости и линии в пространстве) содержат результаты Гиппократа; книги 5-6 (отношения величин, подобие фигур) и книга 12 ( площади фигур и объемы тел)- результаты Евдокса; книги 7-9 (натуральные числа, их отношения, пропорции) – результаты пифагорейцев; книги 10 и 13 (классификация иррациональностей, построение тел Платона)- результаты Теэтета. До сих пор учебники элементарной геометрии пишутся по Евклиду.
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Перечислим некоторые утверждения из новой геометрии Лобачевского: Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости. (Рис. 1) Среди них две прямые b иc называются параллельными а, остальные –расходящимися с а. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия. Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π. Площадь треугольника, как было выведено еще Ламбертом, вычисляется по формуле S = r2(π –A–B–C), где r– радиус кривизны пространства, а A, B, C–величины углов треугольника, выраженные в радианах. Рис. 1
Слайд 10
2.4. Модели новой геометрии Первой, сразу возникшей проблемой, стало доказательство непротиворечивости новой геометрии. Чтобы убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского, надо было реализовать ее на некоторой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве. Первым осуществил такую интерпретацию геометрииЛобачевского в 1863 г. итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900). Для этого он взял кривую на плоскости, обладающуютем свойством, что отрезок касательной к этойкривой,заключенный между точкой касания иосью абсцисс, имеет постоянную длину длявсех точеккривой (рис. 1). Эту кривую называют трактрисой.Если вращать трактрису вокруг оси Ох, то онаопишет поверхность (рис. 2), которую называют псевдосферой. Рис. 2 Рис. 1
Слайд 11
Бельтрами доказал, что на достаточно малой части псевдосферы имеет место геометрия Лобачевского. Позднее Гильбертом было доказано, что невозможно вложить плоскость Лобачевского в трехмерное евклидово пространство так, чтобы сохранялись расстояния и чтобы не было ребер или каких-нибудь других особенностей. Очень простую модель всей плоскости Лобачевского нашел в 1871 г. Ф. Клейн: точки плоскостиизображаются точками внутреннейобласти круга (рис.3), прямые – хордами этого круга без точек, лежащих на граничной окружности. Рис. 3
Слайд 12
2.5. Значение геометрии Лобачевского Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все естественные науки. Ее результаты используются внутри математики, в частности сам Лобачевский с помощью своей геометрии вычислил около 200 интегралов. Но наиболее широкое применение она нашла в современной физике. Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир.Ученыестали более восприимчивыми к новым неожиданным научным открытиям. Более того, подобно работам Куммера в теории чисел, Галуа в алгебре, работы Лобачевского знаменовали начало нового, современного этапа в геометрии. Принцип построения неевклидовой геометрии Лобачевским, лег в основу создания других геометрий. В результате появился целый ряд новых геометрий.
Слайд 13
3. Заключение Итак, работа над темой реферата позволила мне окунуться в сказочный мир древней Греции, Египта. Я узнала много нового, интересного, расширила свой кругозор. В процессе работы над рефератом я совершенствовала умения работать со справочной литературой, интернетом, более глубоко поняла закономерности развития науки от древних веков до наших дней, важность открытия, сделанных Евклидом и Лобачевским. Конечно, не каждому дано понять мудрость рассуждения великих математиков, но, даже прикоснувшись к этой сокровищнице знаний, я получила много полезного для себя.
Слайд 14
4. Список литературы Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986 Ван дерВарден Б. Л.Пробуждающая наука. – М.: Физматгиз, 1959 Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. – М.: Наука, 1985 Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. – М.: Наука, 1974 Начала Евклида. – М.: ОГИЗ, 1948–1950. – Т. 1 – 3 Розенфельд Б. А. История неевклидовой геометрии. – М.: Наука, 1976 Юшкевич А. П. История математики в средне века. М.: Физматгиз, 1961
Слайд 15
Читайте также: