Осевая симметрия сообщение 11 класс

Обновлено: 21.07.2024

Презентация на тему: " Осевая симметрия 11 В класс Выполнила Степаненко Инна." — Транскрипт:

1 Осевая симметрия 11 В класс Выполнила Степаненко Инна

2 Определение Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

3 Осевая симметрия Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно данной прямой.

4 Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. а

5 Фигуры, обладающие одной осью симметрии Угол Равнобедренный треугольник Равнобедренная трапеция

6 Фигуры, обладающие двумя осями симметрии Прямоугольник Ромб

7 Фигуры, имеющие более двух осей симметрии Равносторонний треугольник Квадрат Круг

8 y y x x A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 M K K1K1 M1M1

9 Фигуры, не обладающие осевой симметрией Произвольный треугольник Параллелограмм Неправильный многоугольник

10 Построение точки, симметричной данной А с А Определение 1. АОс О 2. АО=ОА

11 Построение отрезка, симметричного данному А с А В В Определение O O' 1.ААс, АО=ОА. 2.ВВс, ВО=ОВ. 3. АВ – искомый отрезок.

12 Построение треугольника, симметричного данному А с А В В D D Определение 1. AAc AO=OA 2. BBc BO=OB 3. DDc DO=OD 4. ABD – искомый треугольник. O O O

13 Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АООВ. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с? Ответ: нет 2. Прямая а пересекает отрезок МК в его середине под углом, отличным от прямого. Симметричны ли точки М и К относительно прямой а? Ответ: нет 3. Точки А и В расположены в различных полуплоскостях с границей р так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой р и делится ею пополам. Симметричны ли точки А и В относительно прямой р? Ответ: да

14 Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А' и В', симметричные точкам А и В относительно прямой с. В В'В' АА'А' с А А'А' В В'В' с АВ с А'А'В'В'

15 Постройте треугольники, симметричные данным, относительно прямой с. с с

16 Симметрия в природе

21 Математик любит прежде всего симметрию Максвелл Д. Максвелл Д. Красота тесно связана с симметрией Вейль Г. Вейль Г. Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство Вейль Г. Вейль Г. Для человеческого разума симметрия обладает, по - видимому, совершенно особой притягательной силой Фейнман Р. Фейнман Р.

В этом видеофрагменте мы повторим такое понятие, как осевая симметрия на плоскости. Дадим определение понятия осевой симметрии в пространстве. И докажем, что осевая симметрия является примером движения пространства.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Осевая симметрия"

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии.

Ещё мы давали такое определение:

Точки и называются симметричными относительно прямой , если прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая называется осью симметрии.

Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NОN₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

Заменив отрезок равным ему отрезком , а отрезок – равным ему отрезком , получим, что .

Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N₁.

Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости.

В пространстве осевой симметрией с осью мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси .

Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М₁ с координатами x₁, y₁,z₁, симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ₁, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что и .

То есть , .

Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ₁ даёт нам, то что аппликаты точек М и М₁ равны .

Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства.

Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М₁ будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки и . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .

Получим, что .

Теперь давайте найдём расстояние между точками и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , , при осевой симметрии относительно координатных осей.

Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , , при осевой симметрии относительно оси Ох.

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Если точка симметрична точке относительно оси то справедливы формулы: .

Точка отобразится в точку .

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.

Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.

Что такое симметрия

Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.

В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.

Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.

Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Осевая симметрия

Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.

Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии

Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же - центр симметрии.

В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.

Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.

Рис. 4 Примеры осевой симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Осевая симметрия. Презентация на заданную тему содержит 23 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!

Определение Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

Осевая симметрия Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно данной прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

Построение точки, симметричной данной отрезка, симметричного данному треугольника, симметричного данному

Задачи Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АО≠ОВ. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с? 2. Прямая а пересекает отрезок МК в его середине под углом, отличным от прямого. Симметричны ли точки М и К относительно прямой а? 3. Точки А и В расположены в различных полуплоскостях с границей р так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой р и делится ею пополам. Симметричны ли точки А и В относительно прямой р?

Задачи Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АО≠ОВ. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с? Ответ: нет 2. Прямая а пересекает отрезок МК в его середине под углом, отличным от прямого. Симметричны ли точки М и К относительно прямой а? Ответ: нет 3. Точки А и В расположены в различных полуплоскостях с границей р так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой р и делится ею пополам. Симметричны ли точки А и В относительно прямой р? Ответ: да

4. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А' и В', симметричные точкам А и В относительно прямой с. 4. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А' и В', симметричные точкам А и В относительно прямой с.

5. Постройте треугольники, симметричные данным, относительно прямой с. 5. Постройте треугольники, симметричные данным, относительно прямой с.

Читайте также: