Извлечение квадратного корня из больших чисел сообщение

Обновлено: 02.07.2024

Это умение очень пригодится на ЕГЭ и ОГЭ, потому как калькулятором пользоваться нельзя, подбором, умножая в столбик, получается долго и муторно, а в восьмой раз в туалет уже никто не выпустит.

Так что смотрим и запоминаем, чтобы потом научить своих детей, которым наверняка не рассказывали это в школе, но это сильно сэкономит время на экзаменах.

Этот способ подойдет для тех чисел, из которых корень извлекается целым числом. Именно поэтому этот способ очень удобен как раз для ОГЭ и ЕГЭ, потому как там не дают корни, из которых корень не извлекается (часть С не в счет).

Покажу на примерах. Кому удобнее смотреть видео, смотрите.

Допустим нам надо извлечь корень из числа 54756. Дальше листаем галерею, смотрим подписи к фотографиям и запоминаем алгоритм.

Делим число под корнем на грани, справа-налево. Одна грань — это две цифры, в последней левой грани может быть одна цифра, как у нас. Сколько граней под корнем, столько значным будет извлеченный корень. В данном случае грани три.

Ищем ближайший квадрат, не превышающий левую грань. Справа от знака равенства записываем корень из этого числа — 2. Теперь вычитаем из пяти четыре, получаем единицу и сносим следующую грань. Получается 147.

Теперь умножаем то, что стоит справа от знака равенства на два, записываем результат в сторонке (зеленым) и рисуем два квадратика. В них должны быть одинаковые цифры, такие чтобы верхнее число, умноженное на нижнее дало что-то максимально близкое, но не превышающее 147.

Второй пример. Извлечем корень из числа 259081. Попробуйте сами. На втором слайде будет решение.

Снова делим число под корнем на грани. Тут получается в каждой грани по две цифры. Всего три грани, поэтому в ответе получится трехзначное число. Дальше попробуйте сделать всё сами и проверьте себе по второму слайду.

С первой гранью нам повезло, потому что 25 — 5². Умножаем 5 на два и подбираем в зеленых квадратиках цифры по принципу, описанному в предыдущей задаче. Тут подходит только ноль, потому что даже если взять единицу, 101•1=101 будет больше 90. Поэтому записываем ноль на второе место после знака равно. Дальше сносим третью грань и получаем 9081. 50•2=100. В синие квадраты подбираем такие одинаковые цифры, чтобы при перемножении они давали 9081 или чуть меньше. Идеально подходит 9. Всё, извлекли корень — 509.

На первый взгляд схема весьма непростая, но стоит один-два раза попробовать извлечь корни таким образом самостоятельно и вы будете щелкать такие задачи, как семечки. Попробуйте извлечь корень из 112225; 210681 и 998001.

С числами поменьше, всё ещё проще, даже писать ничего не придется. Можно в уме вычислять. Вот, например, как извлечь корень из 3136? Понятно, что грани две, поэтому в ответе двухзначное число. Первая цифра в ответе — это 5, потому что 5²=25, а 6²=36>31. Так как 3136 заканчивается на 6, а при возведении в квадрат шестерку могут давать только 4 или 6, ответом будет либо 54, либо 56. Как выбрать? Давайте вспомним чему равен 55². Если не помните, то это легко посчитать (подробно читайте тут ), надо в конце записать 25, а в начале 5•6=30 Итого 55²=3025. 3025

Аналогично извлекаем корень из 4624. 6²=36, а 7²=49, поэтому первая цифра ответа — 6. При возведении в квадрат четверку на конце дают только 2 и 8, то есть ответ 62 или 68. Чтобы выбрать, мы должны сравнить подкоренное число с 65². 6•7=42, дописываем в конце 25 и получаем 65²=4225. 4225

Ну и последний корень попробуйте снова извлечь самостоятельно. Чему равен √2116? Проверьте себя по картинке ниже.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Наименование предмета: Алгебра

Тема: Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора

Автор работы: Боронилов Никита

Яновская Светлана Ивановна,

г. Находка

2019 г.

Введение 3-4 Глава 1. История квадратного корня 4 Глава 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 5

Заключение 10 Список литературы 11

Актуальность исследования. В этом году я изучал тему квадратные корни. Всё хорошо пока под рукой таблица квадратов, но однажды на уроке геометрии при решении задачи надо было извлечь квадратный корень из большого числа, а таблицы квадратов нет. Пришлось число разложить на простые множители. Корень был извлечён, но вопрос существуют ли другие способы для извлечения квадратного корня, остался. Я решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе.

Практическая значимость: данный материал можно использовать в 8, 9, 10, 11 классах на уроках, олимпиадах, ОГЭ и ЕГЭ.

Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.

Изучить литературу по данному вопросу.

Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.

Показать практическое применение полученных знаний и оценить

степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.

Сравнение найденных способов.

Анализ полученных способов.

Все знают, что извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора - это сложная задача. Когда нет под рукой калькулятора, то начинаем методом подбора стараться вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. Также на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено и нет таблицы квадратов целых чисел, а надо извлечь корень из чисел больше 100 или 1000.

Но изучая информацию по данной теме, я узнал, что извлекать корни из таких чисел возможно и без таблицы и калькулятора, люди научились делать это задолго до изобретения микрокалькулятора. Исследуя эту тему, я нашел несколько способов решения данной проблемы.

Глава 1. История квадратного корня

Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы алгебраистов в 1525 году. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен данному числу a .

Теорема о последней цифре квадрата числа

Если числа оканчиваются на цифру от 1 до 9 и когда мы возводим их в квадрат, то на конце полученного числа будут стоять цифры:

Если в конце числа стоят цифры 2,3,7,8, то полный квадратный корень извлечь из него нельзя.

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки умножаем на следующее, т.е. это же число плюс единица и к полученному числу справа приписываем 25. Например,

15 2 = (1∙(1+1))25 = 225

25 2 = (2∙(2+1))25 = 625

85 2 = (8∙(8+1))25 = 7225

Глава 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел.

Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

Глава 3. Формула Древнего Вавилона.

Число x представлено в виде суммы , где ближайший к числу х точный квадрат натурального числа .

Извлечем с помощью этой формулы квадратный корень, например из числа 40:

Этот способ удобен для нахождения приближённого значения квадратного корня.

Глава 4. Канадский метод.

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула: , где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 40

Глава 5. Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

В предисловии к своему первому изданию “В царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет: “. умственную самодеятельность, сообразительность и “смекалку” нельзя ни “вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову. Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью”.

В предисловии к изданию 1911 г “Роль памяти в математике” Е.И. Игнатьев пишет “… в математике следует помнить не формулы, а процесс мышления”.

Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2*2*52441. Методом проб и ошибок, подбором – это, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что это целое число. Способ, который я хочу предложить, позволяет извлечь квадратный корень в любом случае.

Когда-то в институте (Пермский государственный педагогический институт) нас познакомили с этим способом, о котором сейчас хочу рассказать. Никогда не задумывалась, есть ли у этого способа доказательство, поэтому сейчас пришлось некоторые доказательства выводить самой.

Основой этого способа, является состав числа =.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа &.

3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа &: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа &.

Далее процесс повторяется.

Доказательство приведено мной для случаев:

1. Извлечение квадратного корня из трехзначного числа;

2. Извлечение квадратного корня из четырехзначного числа.

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора) [2].

1.Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа (в качестве а₁ можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа найдется по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а₁=5; а₂= 5,3; а₃=5,2915.

- итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а_n - n-е приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Исследовательский проект по теме "Извлечение квадратных корней из чисел без калькулятора".

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №5

«Извлечение квадратных корней из чисел

Авторы проекта:

Руководитель:

Проблема исследования и её актуальность. 3-4

История квадратного корня 5

Приближенные методы извлечения квадратного корня

Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 6

Формула Древнего Вавилона 7

Канадский метод 7

Метод Ньютона 8

Метод подбора угадыванием 9

Точные методы извлечения квадратного корня

2.3.1 Способ разложения на простые множители 10

2.3.2 Способ подбора 11-12

2.3.3 Извлечение квадратного корня уголком 13

«В математике следует помнить не формулы,

Е.И. Игнатьев

Проблема исследования и её актуальность.

Цель проекта: изучить способы извлечения квадратных корней из чисел без калькулятора.

Задачи проекта:

изучить литературу по данному вопросу;

исследовать способы извлечения квадратного корня

показать практическое применение полученных знаний и оценить

степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов;

создать мини-книжечку по самым интересным способам извлечения квадратных корней из чисел.

Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе: изучал литературу, искал информацию в Интернете. Узнал, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения электронно-вычислительных машин. Исследуя эту тему, я выяснил, что способов извлечения квадратных корней из чисел без калькулятора много, у каждого есть плюсы и минусы. Я предположил, что если сам больше узнаю об этих способах, то смогу выбрать самые интересные и создать мини-книжечку по самым интересным способам извлечения квадратных корней из чисел, которая поможет многим интересующимся учащимся разобраться в данном вопросе.

Гипотеза: способы извлечения квадратного корня из числа без калькулятора могут вызвать интерес у учащихся, найти практическое применение в учебной деятельности.

Вид проекта: исследовательский, предметный, среднесрочный.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: способы извлечения корней из чисел без калькулятора.

Методы исследования: поиск способов извлечения квадратного корня из числа без калькулятора; сравнение и анализ найденных способов.

Основная часть

2.1 История квадратного корня

Квадратный корень из числа a, — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной влат. radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой: ранее, надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения его в скобки. Так что есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения r .

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Кристоф ( по другим источникам, Томас) Рудольф в 1525 году.

Во время работы над данным проектом я обнаружил интересную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвященный квадратному корню.

День квадратного корня - праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 5 мая 2025 года: 05-05-25).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, Калифорния, США. По состоянию на 2010 год Гордон продолжает публиковать заметки о придуманном им празднике, активно контактируя по этому поводу со СМИ. Его дочь с помощью Facebook собрала группу поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.

По объективным математическим причинам этот праздник может отмечаться строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года

2 февраля хх04 года

3 марта хх09 года

4 апреля хх16 года

5 мая хх25 года

6 июня хх36 года

7 июля хх49 года

8 августа хх64 года

9 сентября хх81 года

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7 и т. д.

2.2 Приближенные методы извлечения квадратного корня

2.2.1 Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел

Про этот способ я узнал из Интернета. Способ очень простой и позволяет мгновенно извлечь квадратный корень из любого целого числа от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

(Таблица квадратов натуральных чисел до 99 есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)

Итак, воспользуемся таблицей квадратов чисел до 99. Несколько рекомендаций: цифра столбика десятков – это целая часть результата, а цифра в сроке единиц – это десятые. А дальше всё просто: закроем две последние цифры числа в таблице и найдем нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Например. Найдём значение .

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 74 – таких только два 7396 и 7569. Но 75 – это уже много.

Значит, остаётся только одно –7396.

Верхняя строчка - 6 (это десятых).

Значит, ≈ 8,6.

Проверим на МК: ≈ 8,6023252.

Плюсы метода: быстро, просто, доступно на экзамене.

Минусы метода:

корни из чисел больше 100 этим способом извлечь невозможно;

обязательно наличие таблицы квадратов.

2.2.2 Формула Древнего Вавилона

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел 7 сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский способ приближенного вычисления квадратных корней можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в одной из найденных при раскопках клинописных табличек.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 . (1)

Например. Найдём значение .

625

Проверим на МК: ≈ 8,6023252.

Плюсы метода: способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2.2.3 Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Вот их формула:

, где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Попробуем извлечь квадратный корень из 74: X = 74, S = 81. Это означает, что = 9.

Просчитаем по этой формуле :

= 9 + (- = 8,612.
Проверим на МК: ≈ 8,6023252.

При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности.

Плюсы метода: метод не сложный и удобный.

Минусы метода: его точность – не более двух – трёх знаков после запятой.

2.2.4 Метод Ньютона

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Следующее, более точное приближение а₂ числа найдется по формуле

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле

Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а₁=8; а₂= 8,625; а₃=8,602355 и т.д.

- формула Ньютона для нахождения квадратного корня

из числа х (n=2,3,4,…, а_n - n-е приближение ).

Такой способ приближенного вычисления квадратных корней называется методом итераций. Итерация (с латинского iteratio - повторение) - результат повторного применения какой-либо математической операции.

Плюсы метода: позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью.

Извлечение квадратных корней

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления существует операция возведения числа в степень и ей обратная – извлечение квадратного корня. С данной операцией я познакомилась в этом учебном году и меня увлекла неординарность этой операции. Так появилась заинтересованность и желание узнать, как можно вычислить квадратный корень из разных чисел, особенно тех, которые не вошли в таблицу квадратов. На экзаменах по математике не разрешены калькуляторы, а при решении текстовых задач часто требуется извлечь квадратный корень из чисел, больших тех, которые входят в таблицу квадратов двузначных чисел. Этим требованием к нам, избалованным различными гаджетами, современным учащимся обусловлена актуальность данной работы.

Цель работы: исследовать методы извлечения квадратных корней, которыми возможно воспользоваться, не имея калькулятора.

- изучить литературу по данному вопросу;

- рассмотреть особенности каждого найденного метода и его алгоритм;

- показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных методов.

Объект исследования: квадратные корни из действительных чисел.

Предмет исследования: особенности методов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

- поиск методов извлечения квадратных корней из больших чисел;

- сравнение найденных способов;

- анализ полученных способов.

Определение квадратного корня из числа.

О возникновении операции извлечения квадратного корня на примере S = a 2 , когда а=3 S =9; a =7 S =49, а если S =81 то а*а=81 а=9, а если S =3 а*а=3 а 2 =3 а=√3

Квадратным корнем из неотрицательного числа аназывают такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначают √а, число а при этом называют подкоренным числом.

Если а - неотрицательное число, то

Если а 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.

Таким образом, выражение √а имеет смысл лишь при а ≥ 0.

Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня.

Числа, квадратный корень из которых извлекается и является целым числом, часто называют квадратными 1=1 2 ; 4=2 2 ; 16=4 2 ; 81=9 2
Эта операция является обратной по отношению к возведению в квадрат.

Во время работы над данным исследованием мною была обнаружена интересная информация. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвященный квадратному корню.

День квадратного корня – праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02-02-04).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81).

Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, Калифорния, США.

По объективным математическим причинам этот праздник может отмечаться строго девять раз в столетие: семь раз в первой половине века и дважды – во второй, всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года

2 февраля хх04 года

3 марта хх09 года

4 апреля хх16 года

5 мая хх25 года

6 июня хх36 года

7 июля хх49 года

8 августа хх64 года

9 сентября хх81 года

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечетных чисел: 3,5,7,9,11,13,15,17.

Итак, извлечение корня n-ой степени из числа a – это нахождение числа b, n-ая степень которого равна a. Когда такое число b найдено, то можно утверждать, что мы извлекли корень.

Некоторые признаки существования квадратного

корня из числа

1)Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей:

√3600=60 √6561=81 √2704=52 √8649=93 √7056=84 √4225=65

2)Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1:

1089 8 Число 1089 выполняет это условие, но мы

8 136 должны проверить его еще и на другом свойстве.

3)Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

1089/9=121 Число 1089 выполняет все 3 условия,

поэтому оно является квадратом числа, а именно

Можно ли утверждать, что если число удовлетворяет одному или двум признакам оно является целым квадратом?

Возьмем 2 числа: 2916 и 2849

Число 2916 заканчивается цифрой 6, то есть оно может иметь точный квадрат.

Число 2849 заканчивается цифрой 9, и оно также удовлетворяет 1 признаку.

Проверим их на другом признаке:

Число 2916 поделим на 4, получим 729, оно удовлетворяет 2 признаку.

Число 2849 делиться на 4, но остатком, получим 712,25. Проверим делиться ли оно на 8 с остатком 1. Получим 356 . Оно также удовлетворяет 2 признаку.

Проверим последний признак:

Число 2916 поделим на 9, получим 324, оно удовлетворяет 3 признаку.

Число 2849 делим на 9, получаем 316,(5). Поделим его на 3, получим 949,(6). Это число не удовлетворяет 3 признаку, поэтому из этого следует, что полный квадрат числа должен удовлетворять всем 3 признакам. Недостаточно, чтоб число удовлетворяло 1 или 2 признакам.

Числа, из которых нельзя извлечь точный квадратный корень, можно извлечь лишь приближенный корень

Подбор числа

Вычислим число √3136:

Имеем: 54 2 =2916 – это число не подходит
56 2 =3136 – это то, что нужно. Значит, √3136=56.

Но этот способ затратный повремени и не всегда возможный, но самый распространенный, ведь хотя бы единожды, но им пользовался каждый.

Разложение на множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.
Возьмем число 5184 и разложим его:
5184 2

1296 2 √2 2 *2 2 *2 2 *3 2 *3 2 =2*2*2*3*3=72

Но этот способ затратный по времени и не всегда полезен если забыть таблицу умножения.

Использование таблицы квадратов

В первом столбце таблицы квадратов записаны десятки, а в первой строке таблицы - единицы. Поэтому, чтобы посчитать квадрат числа нужно сначала посмотреть на первый столбец таблиц квадратов, а затем на первую строчку

Пример 1: Необходимо посчитать квадрат числа 76. Для этого находим в первом столбце таблицы квадратов число 7, а в первой строке - число 6. На пересечения нужной строки и нужного столбца находим число 5776, что и является квадратом числа 76.

Пример 2: Необходимо найти по таблице квадратов квадрат числа 38. Для этого в первом столбце выбираем число 3, а в первой строке таблицы квадратов находим число 8, спускаемся на пересечение нужной строки и нужного столбца ответ 1444.

Пример 3: Необходимо найти корень из числа 7056. Найти корень, значит найти такое число, квадрат которого дает 7056. Ищем в таблице квадратов указанное число, смотрим на заголовок строки 8, смотрим на заголовок столбца 4. Таким образом, ответ 84

Но этот способ может быть недействительный, когда под рукой нет таблицы

Метод отбрасывания полного квадрата

( только для четырехзначных чисел)

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

Извлечение корней до числа 75 2 = 5625

Например: √3969= √3800+169=38+25=63

Число 3969 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 169, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (38) прибавляем всегда 25. Получим ответ 63.

Извлечение корней после 75 2

Например: √7744=√7600+144=76+12=88

Число 7744 представим в виде суммы 7600 и выделенного квадрата 144. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 144, равный 12.

Получим ответ 88

Число 7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.

Способ доступен если помнить квадраты чисел от 11 до 29.

Метод разбиение на грани

Вычислим: √763876.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 76`38`76. В числе три грани – значит, в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 76.

Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 76. Это число 8 (т.к. 8*8=64, а 9*9 = уже 81, то есть > 76).
Заносим 8 в ответ - это старший разряд ответа (сотни).
Вычитаем 64 из 76 - остаётся 12.
Сносим к 12-ти следующую грань - 38. Получается 1238.
Удваиваем то что в ответе - восьмёрку. Получается 16 - запишем 16 слева от 1238.
Приписываем к 16 справа коробочку для ещё одного разряда.

Способ универсальный, применим к целым и дробным числам, но угадывание цифры требует логического мышления и умения быстро вычислять столбиком.

76ʼ38ʼ76=874 Алгоритм основан на формуле:

64 (10а+в) 2 =100а 2 +20ав+в 2 =100а 2 +(20а+в)в

16 7 1238 Первый раз вычитаем квадрат, далее,

7 1169 приписывая по одной цифре к результату,

1169 1744 6976 к числу под корнем, тем самым, приписываем

4 6976 две десятичных цифры. Отсюда разбиение на

0 пары (видно из формулы). Вычтя квадрат,

Необходимо вычитать дальше числа вида (20а+в)в, где 2а – удвоенный известный на данный момент результат, приписывая к нему цифру, получаем 20а+в, умножаем на эту самую цифру, имеем (20а+в)в.

Вавилонский способ

Число х древние вавилоняне представляли в виде суммы а 2 + b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой: х=а 2 +в

3)√1700=√1600+100= 40+ = 40+ =41,25

Метод вычетов нечетного числа

Этот метод заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ. Например: найдем корни 529 и 784 . Возьмем число 529

Общее количество вычитаний = 23, поэтому √529 = 23 2

Общее количество вычитаний = 28, поэтому √784=28 2

Использование формул сокращённого умножения

Используя формулы квадрата суммы или квадрата разности

(- a - b ) 2 =( a + b ) 2 ; ( b – a ) 2 =( a – b ) 2 можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1,2,8 и 9.

71 2 =(70+1) 2 =70 2 +2*70*1+1 2 =4900+140+1=5041

91 2 =(90+1) 2 =90 2 +2*90*1+1 2 =8100+180+1=8281

85 2 =(80+5) 2 =80 2 +2*80*5+5 2 =80(80+10)+25=80*90+25=7200+25=7025.

Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать в других случаях. Например, 35 2 =1225 (3*4=12 и к полученному числу приписали справа 25); 65 2 =4225; 125 2 =15625 (12*13=156 и к полученному числу приписали справа 25)

Доказательство отмеченного факта.

Пусть число а оканчивается цифрой 5, это значит, что а=10 b +5, где b – число, полученное из числа а отбрасыванием последней цифры 5.

Тогда а 2 =(100 b +5) 2 =100 b 2 +25=100 b ( b + 1) +25.

Получили, что число b надо умножить на b +1, умножить полученное произведение на 100 и затем прибавить 25. Это равносильно тому, что к числу b ( b +1) справа приписать 25.

В ходе работы исследовались методы извлечения квадратных корней, которыми возможно воспользоваться, не имея калькулятора. Для этого мною изучена различная литература и сайты Интернета по данному вопросу. Во время изучения обнаружила восемь методов извлечения квадратных корней, описанных в литературе. Рассмотрены особенности и алгоритм семи методов, а также показано практическое применение этих методов. Сравнивая степень сложности в применении каждого из методов можно сделать следующий вывод: в различных случаях применимы разные способы в зависимости от чисел и степени подготовленности извлекающего квадратный корень. Но, несомненно, владение каким-либо навыком извлечения квадратного корня из действительного числа необходимо, чтобы чувствовать себя уверенно в вычислениях на экзаменах и не зависеть от приборов для вычислений.

Список использованной литературы

А. Г. Мордкович Алгебра 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций – 19-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2014.

А. Г. Мордкович Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций – 9-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2007.

Я познаю мир, Детская энциклопедия, Математика, Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю., 1998

Читайте также: