Гипотеза энергии формоизменения сообщение

Обновлено: 06.07.2024

Правила знаков
1. Нормальные растягивающие напряжения
считаются положительными, сжимающие –
отрицательными.
2. За положительные составляющих касательных
напряжений принимают положительные
направления осей координат, если направление
растягивающих нормальных напряжений по той
же площадке совпадает с положительным
направлением соответствующей оси координат.

4. Тензор напряжений

Закон парности касательных напряжений
На двух взаимно-перпендикулярных площадках
составляющие
касательных
напряжений,
перпендикулярных общему ребру, равны и
направлены обе либо к ребру, либо от ребра.

5. Главные напряжения

6. Инварианты тензора напряжений

7. Деформированное состояние в точке

8. Главные деформации

9. Объемная деформация

10. Уравнения связи деформаций и перемещений в декартовой системе координат

11. Уравнения Коши (геометрические уравнения)

12. Уравнения неразрывности деформаций

13. Уравнения неразрывности деформаций

14. Уравнения неразрывности деформаций

Все 6 компонентов деформаций произвольно
задавать нельзя. Между ними существуют
зависимости, приведенные выше.
Физический смысл уравнений
Если, задаваясь деформациями, не учитывать
уравнения неразрывности деформаций, и для
каждого параллелепипеда, на которые мысленно
разбито тело, назначить 6 независимых
составляющих деформаций, то из отдельных таких
деформированных параллелепипедов нельзя
собрать непрерывного деформированного тела.
Тело, сплошное и непрерывное до деформации
остается сплошным и непрерывным после
деформации

15. Обобщенный закон Гука

16. Обобщенный закон Гука

17. Обобщенный закон Гука

18. Основные гипотезы предельных состояний

Предельное НС – НС, при котором происходит качественное
изменение свойств материала – переход от одного механического
состояния в другое:
пластический материал – возникновение заметных остаточных
деформаций;
хрупкий материал – начало разрушения материала.
Предельное НС может рассматриваться как характеристика свойств
материала.
Трудность создания теории предельных состояний – недостаточность
наших представлений о внутренних процессах, происходящих в
материале.
Задача решается в основном путем анализа и обобщения
экспериментальных данных.
2 направления в ТПС
на основе гипотез;
феноменологический подход (применяется при описании
явлений, детальный механизм которых недостаточно ясен:
физика – закон всемирного тяготения; геология – при описании
закономерностей расположения залежей полезных ископаемых).

19. Коэффициент запаса прочности

Под коэффициентом запаса понимается число,
показывающее, во сколько раз следует увеличить все
компоненты НС, чтобы оно стало предельным.
Если в двух НС коэффициенты запаса равны, то такие
НС называются равноопасными.
При растяжении
При сжатии

20. 1. Гипотеза наибольшего нормального напряжения

В качестве критерия прочности берется
величина наибольшего нормального
напряжения 1.
Два других главных не учитываются.

21. 2. Гипотеза наибольших линейных деформаций

Отрыв материала по плоскости можно
рассматривать как результат нарушений
межмолекулярных сил сцепления вследствие
увеличения расстояния между молекулами.
Была выдвинута гипотеза использовать в
качестве
ПС
наибольшую
линейную
деформацию.
Эта гипотеза получила довольно широкое
распространение, однако детальная проверка
обнаружила в ней ряд существенных
недостатков.

22. 3. Гипотеза максимальных касательных напряжений

Образование остаточных деформаций в металлах происходит
сдвигом частиц друг относительно друга.
Поэтому критерием перехода от упругого состояния в
пластическое являются наибольшие касательные напряжения в
точке.
Это означает, что пластические деформации начинают
образовываться тогда, когда максимальные касательные
напряжения достигают некоторого предельного значения
Пластичные материалы – удовлетворительные результаты.
Недостатки – для материалов, имеющих различные
механические характеристики на растяжение и сжатие.

23. 4. Гипотеза энергии формоизменения

Внутренняя потенциальная энергия = энергия изменения
объема + энергия формоизменения.
В основе перехода из упругого состояния в пластическое
учитывается только энергия формоизменения.

24. 4. Гипотеза энергии формоизменения

Гипотеза применима к оценке ПС пластичных
материалов и дает результаты менее
удовлетворительные для материалов, неодинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Гипотезы 3 и 4 являются основными гипотезами ПС и
сохраняют свое значение до настоящего времени.

25. Теория прочности Мора

26. Дифференциальные уравнения равновесия в декартовой системе координат

27. Дифференциальные уравнения равновесия в декартовой системе координат

28. Дифференциальные уравнения равновесия в декартовой системе координат

29. Дифференциальные уравнения равновесия в декартовой системе координат

30. Дифференциальные уравнения равновесия в декартовой системе координат

31. Формулировка линейной задачи теории упругости

32. Формулировка линейной задачи теории упругости

33. Формулировка линейной задачи теории упругости

34. Запись основных соотношений теории упругости в цилиндрической системе координат (осесимметричная задача)

35. Запись основных соотношений теории упругости в цилиндрической системе координат (осесимметричная задача)

36. Запись основных соотношений теории упругости в цилиндрической системе координат (осесимметричная задача)

37. Математические модели решения задач теории упругости

1. Одномерные модели
Растяжение/сжатие, чистый сдвиг, кручение
2. Плоские модели
плоское напряженное состояние;
плоское деформированное состояние;
обобщенная плоская деформация.
3. Осесимметричная модель
4. Плоские осесимметричные модели
осесимметричное ПНС;
осесимметричное ПДС.
5. Трехмерная модель

38. Методы решения линейной задачи теории упругости

1.
2.
3.
Метод перемещений
из уравнений обобщенного закона Гука
выразить напряжения через деформации;
выразить напряжения через перемещения,
используя геометрические соотношения;
подставить эти соотношения в уравнения
равновесия.
Метод сил: основные неизвестные –
напряжения.
Смешанный метод: за основные неизвестные
приняты некоторые из перемещений и
некоторые из напряжений.

Найди готовую курсовую работу выполненное домашнее задание решённую задачу готовую лабораторную работу написанный реферат подготовленный доклад готовую ВКР готовую диссертацию готовую НИР готовый отчёт по практике готовые ответы полные лекции полные семинары заполненную рабочую тетрадь подготовленную презентацию переведённый текст написанное изложение написанное сочинение готовую статью

Лекция 5. Теории прочности. Чистый сдвиг

Теории прочности. В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

Гипотеза наибольших нормальных напряжений. Эта гипотеза была выдвинута Галилеем 1638 году и носит название первой теорией прочности.

В основу теории наибольших напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений.

Рекомендуемые материалы

ДМ1519 - Проектирование привода цепного транспортера с двухступенчатым цилиндрическим редуктором выполненным по развернутой схеме

Вариант 1635, привод ленточного транспортера с двухступенчатым цилиндрическим редуктором, по развернутой схеме

ДМ № ПСА 25 - Привод ленточного транспортера с червячным редуктором (нижее расположение червяка) и ременной передачей от электродвигателя к редуктору

Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Эта теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.

Гипотеза наибольших линейных деформаций. Эта гипотеза была выдвинута Мариоттом в 1682 году и носит название второй теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю относительная линейная деформация достигает предельного значения при простом растяжении или сжатии.

Максимальные относительные деформации согласно обобщенному закону Гука определяются при растяжении и сжатии соответственно по зависимостям:

Предельное значение относительной деформации при растяжении

Тогда условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд существенных недостатков, поэтому она не применяется для расчетов.

Гипотеза наибольших касательных. Эта гипотеза была выдвинута Кулоном в 1773 году и носит название третьей теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала.

При объемном напряженном состоянии

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

или .

Во многих практических случаях третья теория прочности дает удовлетворительные результаты.

Подставляя значения главных нормальных напряжений, выраженных через нормальные и касательные напряжения, получаем

Гипотеза энергии формоизменения. Эта гипотеза была выдвинута Бельтрами в 1885 году и Губером в 1904 году и носит название четвертой теории прочности.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

Предельное значение при простом растяжении

Условие прочности в этом случае имеет вид:

Гипотеза прочности Мора (пятая теория прочности). Гипотеза прочности Мора позволяет учесть различие в свойствах материала при растяжении и сжатии. Ее можно получить путем модификации гипотезы наибольших касательных напряжений.

Условие прочности по гипотезе Мора имеет следующий вид:

Чистый сдвиг.

Напряжения при чистом сдвиге. Чистым сдвигом называют такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях действует только поперечная сила. Сдвиг, как вид нагружения, встречается редко и имеет место в заклепочных и сварных соединениях.

При чистом сдвиге (рис. 17) в окрестности точки можно выделить элементарный параллелепипед с боковыми гранями, находящимися под действием одних лишь касательных напряжений.

Внутренняя поперечная сила при чистом сдвиге определяется методом сечений. Распределение касательных напряжений принимается равномерным и тогда связь между поперечной силой и касательным напряжением имеет вид:

откуда

При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол с вертикальной исходной площадкой равны:

Касательные напряжения, показанные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Следовательно, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и образуют с главными площадками углы, равные 45 0 .

Подставляя угол 45 0 , получаем

Следовательно, при чистом сдвиге главные напряжения и экстремальные касательные напряжения равны друг другу. Подставив в уравнения значения углов , получаем

При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

Деформации при чистом сдвиге. При чистом сдвиге длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями. Первоначально прямые углы становятся равными (рис. 18).

Величина называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между противоположными гранями называется относительным сдвигом. При малых деформациях имеем

т.е. относительный сдвиг равен углу сдвига.

Угол сдвига пропорционален касательным напряжениям. Математическая зависимость между углом сдвига и касательным напряжением называется законом Гука при сдвиге.

где коэффициент пропорциональности или модуль упругости второго рода.

Объемная деформация и потенциальная энергия при сдвиге. Относительное изменение объёма при сдвиге определяется из объёмного закона Гука

Величина не зависит от того, как в окрестности точки выделен элементарный параллелепипед. Так как при чистом сдвиге боковые грани выделенного элементарного параллелепипеда являются площадками чистого сдвига, то . Тогда относительное изменение объёма при чистом сдвиги .

Полная удельная потенциальная энергия равна сумме удельной потенциальной энергии изменения объёма и удельной потенциальной энергии изменения формы

Учитывая, что при чистом сдвиге, получаем

Работа при чистом сдвиге. В результате деформации выделенного параллелепипеда работа силы будет определяться по выражению

где сила, действующая на грань параллелепипеда.

Ее величина будет равна

где размер параллелепипеда в направлении, перпендикулярном чертежу (рис. 18)

Учитывая, что получаем

Так как работа силы при статическом действии числена равна потенциальной энергии, имеем

Удельная потенциальная энергия в этом случае равна

Приравнивая полученные выражения для удельной потенциальной энергии, получаем соотношение

= ,

откуда получаем связь между модулем упругости первого рода и модулем упругости второго рода

В качестве критерия прочности принимается количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом.

Согласно этой теории, выдвинутой Губером (1904 г.), опасное состояние (текучесть) в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения. Последнее можно легко определить при простом растяжении в момент текучести.

Условие наступления текучести:

Удельная потенциальная энергия формоизменения при сложном напряженном состоянии равна:

При простом растяжении в момент наступления текучести (s₁=s_т; s₂=s₃=0):

Следовательно, условие наступления текучести через напряжения можно записать в виде:

Условие прочности будет иметь вид:

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

Теория прочности предельных напряженных состояний (теория Мора).

Теория прочности предельных напряженных состояний, предложенная Мором (начало ХХв.), основывается на предположении, что прочность материалов в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего s₁ и наименьшего s₃ из главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение лишь незначительно влияет на прочность.

Если при данных значениях s₁ и s₃ нарушается прочность материала, то круг, построенный на этих напряжениях, называется предельным. Меняя предельное напряженное состояние, получим для данного материала семейство предельных окружностей (рис. 39):

Опыты показывают, что по мере перехода из области растяжения в область сжатия прочность увеличивается. Это соответствует увеличению диаметров предельных окружностей по мере движения влево. Огибающая АВСД семейства предельных кругов ограничивает область прочности.

При наличии предельной огибающей расчет прочности производится весьма просто. По найденным значениям главных напряжений s₁ и s₃ строим круг. Прочность будет обеспечена, если он целиком лежит внутри огибающей. Огибающую определяют путем построения по опытным данным нескольких кругов при различных комбинациях главных напряжений.

О применимости той или иной теории прочности для практических расчетов можно сказать следующее. Разрушение материалов происходит путем отрыва за счет растягивающих напряжений и путем среза за счет наибольших касательных напряжений. При этом разрушение путем отрыва может происходить при весьма малых остаточных деформациях или вовсе без них (хрупкое разрушение). Разрушение путем среза имеет место лишь после некоторой остаточной деформации (вязкое разрушение). Отсюда ясно, что первую и вторую теории прочности, отражающие разрушение путем отрыва, следует применять для материалов, находящихся в хрупком состоянии. Третью и четвертую теории прочности, отражающие наступление текучести и разрушение путем среза, следует применять для материалов, находящихся в пластическом состоянии. Теория прочности Мора является универсальной и пригодной для всех материалов.

Так как первая и вторая теории прочности имеют существенные недостатки, то в настоящее время все более утверждается мнение о нежелательности их применения.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать:

а) третью теорию (или четвертую) – для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию;

б) теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластическое состояние материала определяется не только его характером, но и видом напряженного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показывают опыты, пластичные материалы при определенных условиях нагружения и температуре ведут себя как хрупкие, в то же время хрупкие материалы при определенных напряженных состояниях ведут себя как пластичные.

Так, например, при напряженных состояниях, когда все три главных напряжения - растягивающие и близки по величине, пластичные материалы ведут себя как хрупкие.

При напряженных состояниях, близких к всестороннему сжатию, хрупкие материалы могут вести себя как пластичные. При всестороннем сжатии материалы могут выдерживать, не разрушаясь, очень большие давления.

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности)

В основу энергетической теории прочности (Бельтрами, 1885 г, Хубер, 1904 г) положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении .

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы (3.49), выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

При простом растяжении ( s 2 = s 3 =0)

Предельное значение удельной потенциальной энергии изменения формы при растяжении

На основании сформулированной гипотезы, имеем

или с учетом (9.7) - (9.9)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (9.2), получим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:

Условие прочности в соответствии с (9.1) имеет следующий вид:

Последнее условие прочности хорошо согласуется с результатами испытания изотропных материалов, поэтому оно широко применяется при расчете деталей из металлических материалов.

Предыдущая Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности) Следующая

Читайте также: