Действия над комплексными числами заданными в тригонометрической форме сообщение
Обновлено: 17.05.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Тригонометрическая форма комплексного числа
1.Геометрическое изображение комплексных чисел.
2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.
3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (рис.3).
Тригонометрическая запись комплексных чисел.
Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).
Рисунок 4
Определение . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается или r .
Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .
Определение . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается А rg z или φ .
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π] , то есть -π arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2 π ) ).
a = r · cos φ, b = r · sin φ .
Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде: z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · ( cos φ + i sin φ).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i .
1 – i = ( cos + i sin ).
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах: z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 ( cos φ 1 + i sin φ 1 ) ,
z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) .
На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:
z 1· z 2 = r 1 · r 2 (cos ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ( φ 1 + φ 2 )); r 1 · r 2 >0 .
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1
2º. Ассоциативность: ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) .
Пример 9. Найти произведение комплексных чисел
z 1 = 2 cos 50º + 2 i sin 50º , z 2 = cos 40º + i sin 40º .
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z 1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z 2 = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда
z 1 · z 2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.
2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z 1 и z 2 заданы в тригонометрической форме z 1 = r 1 ( cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 ( cos φ 2 + i sin φ 2 ) , причем z 1 ≠ 0 , то комплексное число является частным чисел z 1 и z 2 (то есть z 1 y = z 2 ).
Пример 10. Найти частное комплексных чисел z 1 = 2 cos 50º + 2 i sin 50º , z 2 = cos 40º + i sin 40º .
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z 1 = 2 · (cos50º + i sin50º), z 2 = 1· (cos40º + i sin40º).
Тогда (cos (50º - 40º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos10º + i sin10º) .
3) Возведение в степень.
Определение . n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.
Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.
Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле: z n = ( r n ) [ cos ( nφ ) + i sin ( nφ )] .
Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Пример 11. Вычислите (1 + i ) 100 .
Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:
если b > о , то ;
если b , то .
Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 можно найти по известной формуле:
Пример 12. Вычислите .
Так как b , то воспользуемся формулой
1. Записать в тригонометрич еской форм е число
Т.к. то нужно взять равным . Значит ,
2. Записать в тригонометрич еской форм е число - 1 – і.
3. Записать в тригонометрич еской форм е число 1. Имеем , или
4. Выполнить действия
5. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:
1) 1, 1, i , i ;
2) z = 3 3 i ;
Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Вопросы для самопроверки :
1.Дать определение модуля комплексного числа. Каков его геометрический смысл?
2. Комплексное число умножили на 2. изменился модуль этого числа?
3. Почему равны модули чисел: i; -i; 1; 1; 0?
4. Что такое аргумент комплексного числа?
5. Как определить главное значение аргумента числа z = a + bi?
6. Могут ли аргументом комплексного числа быть одновременно углы а и -а?
7. Найти геометрическое место точек плоскости, изображают комплексные числа с одинаковыми модулями.
8.Как размещаются на плоскости точки, изображающие комплексные числа с одинаковыми аргументами?
9. Как представить комплексное число вида а + b i в тригонометрической форме? Как найти модуль и аргумент этого числа?
10. Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа в алгебраической?
11. Вывести правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
12. По какому правилу выполняют действие возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?
Читайте также: