Законы кирхгофа для электрической цепи реферат

Обновлено: 05.07.2024

Правильнее было бы говорить правила Кирхгофа для расчетов сложных электрических цепей постоянного тока. Электрическая цепь на практике может состоять из нескольких резисторов и источников тока. Такие цепи называют разветвленными. Уравнения позволяющие провести расчеты, например, сил токов, текущих в сопротивлениях, в любых сетях можно составить, воспользовавшись законом Ома и законом сохранения заряда. Правила Кирхгофа являются следствиями вышеназванных законов и принципиально нового ни чего не привносят, однако, с их помощью можно упростить процедуру написания необходимых уравнений. Существует два правила Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока. Одно правило называют правилом узлов, так как оно связывает в одно уравнение токи, сходящиеся в узле. Второе правило касается замкнутых контуров, которые можно выделить в сложной цепи.

Первый закон (правило) Кирхгофа

В электрической цепи в одной точке могут сходиться более двух проводников с токами, тогда такую точку цепи называют узлом (разветвлением). Учитывая, что сила тока алгебраическая величина для любого узла:

$\sum^N_<n=1> \qquad (1)$

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (1) называют первым правилом Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда.

Второй закон (правило) Кирхгофа

Во втором правиле Кирхгофа рассматриваются замкнутые контуры, поэтому оно носит название правила контуров: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) ( ), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

$\sum^N_<m=1> =\sum^L_ \qquad (2)$

Величины называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.

Примеры решения задач

Задание

Рассчитайте шунт, который следует подключить к амперметру, если максимальный ток, на который амперметр рассчитан, равен , а измерить необходимо ток (

). Сопротивление Амперметра равно .

Решение

Для того чтобы измерить при помощи имеющегося амперметра ток, который больше, чем тот на который амперметр рассчитан, к нему параллельно подключают дополнительное сопротивление, называемое шунтом (рис.1). Направления токов, которые текут через элементы схемы, выбираем произвольным образом.

Рассмотрим узел B на рис.1. Примем за положительные токи, входящие в узел. В соответствии с первым правилом Кирхгофа запишем для него:

$I-I_A-I_<sh> =0 \qquad (1.1)$

В качестве направления обхода контура выберем движение по часовой стрелке. Для замкнутого контура BCDEB по второму правилу Кирхгофа имеем уравнение:

$I_AR_A-I_ R_=0 \qquad (1.2)$

Мы получили систему из двух линейных, не зависимых уравнений:

$\left\< \begin I-I_A-I_=0\ \\ I_AR_A-I_R_=0 \end \qquad (1.3)$

Из полученной системы уравнений выразим сопротивление шунта:

$R_<sh> =\frac$

За направление обхода контура примем движение по часовой стрелке. Тогда для контура ADFEA второе правило Кирхгофа даст уравнение:

Для контура EABCDFE получим:

В результате мы имеем систему независимых уравнений:

$\left\< \begin I-I_1-I_2=0,\ \\ IR+I_2r_2=\varepsilon \\ IR+I_1r_1=\varepsilon \end \qquad (2.4)$

Из первого уравнения системы:

Втрое и третье уравнения дают:

$I_2=\frac ;\ I_1=\frac \qquad (2.6)$

Используя (2.5) и (2.6), получим:

$I=\frac<\varepsilon(r_1+r_2)> $

Содержание

Первый закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа

Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю. Согласно этому закону, если к некоторому узлу цепи подсоединено n ветвей с токами i ₁ , i ₂ , . i _n , то в любой момент времени

где , если направление тока положительно и ориентировано от узла (ток выходит из узла), или , если ток входит в узел. Таким образом, любому узлу цепи соответствует уравнение, связывающее токи в ветвях цепи, соединенных с данным узлом.

В качестве примера приведем схему на рисунке 1.

В соответствии с первым законом Кирхгофа:

Общее число уравнений, которое можно составить по первому закону Кирхгофа для цепи, равно числу узлов цепи .

Так, для четырех узлов графа (рисунок 2) можно составить следующие четыре уравнения:

Рис.2.

узел 1: ,

узел 2: ,

узел 3: ,

узел 4: .

Первый закон Кирхгофа часто называют законом Кирхгофа для токов и сокращенно в тексте обозначают ЗКТ.

Число независимых уравнений равно трем, так как любое из этих уравнений отличается от суммы трех остальных только знаком. Итак, если цепь содержит узлов, то для неё можно составить по первому закону Кирхгофа независимых уравнений. Совокупность из N узлов цепи, уравнения для которых образуют систему линейно независимых уравнений, называют совокупностью независимых узлов цепи .

Примеры на применение первого закона Кирхгофа. Параллельное соединение элементов

В качестве примера на применение первого закона Кирхгофа рассмотрим параллельное соединение нескольких элементов активных сопротивлений, конденсаторов, катушек индуктивности.

Особенностью параллельного соединения нескольких элементов является равенство напряжений, приложенных к зажимам любого из элементов, входящих в соединение. Цепь при таком соединении характеризуется только одним независимым узлом.

Пусть параллельно соединены n элементов активного сопротивления. Если выбрать направления отчетов токов в элементах такими как это показано на рисунке 3, то согласно первому закону Кирхгоффа при параллельном соединении элементов запишем:

;

учитывая, что , имеем ,

где .

Зависимость не отличается от зависимости между напряжением на зажимах и током в элементе активного сопротивления с проводимостью G . Следовательно, цепь, составленная из нескольких сопротивлении, включенных параллельно, может быть заменена одним активным сопротивлением, при этом проводимость эквивалентного элемента равна сумме проводимостей элементов, входящих в соединение.

При параллельном соединении конденсаторов (рисунок 4) ток ветви можно определить по формуле: .

Рис.4.

Для вычисления общего тока необходимо просуммировать токи ветвей:

где _. .

Таким образом, при параллельном соединении нескольких конденсаторов эквивалентная ёмкость равна сумме емкостей, входящих в соединение.

В случае параллельного соединения катушек индуктивностей (рисунок 5)

ток каждой из ветвей равен:

Уравнение для вычисления общего тока имеет вид:

Следовательно , то есть .

Это означает, что значение эквивалентной индуктивности будит меньше наименьшего из значений соединённых параллельно индуктивностей.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре цепи тождественно равна нулю. Для замкнутого контура, изображённого на рисунке 6, можно записать соотношение:

Рис.6.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа при обходе контура по часовой стрелке справедливо соотношение:

Изменение направления обхода эквивалентно изменению знаков напряжений на противоположные (умножению на минус единицу).

Примеры на применение второго закона Кирхгофа

Последовательное соединение элементов

Пусть n элементов активного сопротивления соединены последовательно (рисунок 7).

В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение:

характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение.

При запишем:

, то есть .

Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение.

При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок 8) можно записать:

Рис.8.

Если , то ,

следовательно .

Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение.

В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать:

Заменяя получим: .

Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение:

При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение.

Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа

Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера рассмотрим вариант расчета с помощью уравнений Кирхгофа электрической цепи (рисунок 10). Цепь содержит = 4 узлов и= 6 ветвей, включая источники напряжения.

Для определения всех токов и напряжений в схеме достаточно найти значения токов во всех ветвях цепи. Зная ток, проходящий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряжение этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов цепи.

Если мы зададимся произвольно положительными направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем произвольно эти токи, то по первому закону Кирхгофа можно составить уравнений относительно токов в ветвях цепи.

По второму закону Кирхгофа будет линейно-независимых уравнений для напряжений ветвей схемы.

Совокупность из уравнений по первому закону Кирхгофа, и уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, образует систему линейно – независимых уравнений. Эта система будет неоднородной системой уравнений, так как ее свободными членами являются заданные напряжения источников.

Подобная система уравнений имеет единственное решение, позволяющее найти токи в ветвях цепи, а по ним и значения напряжений между любой парой узлов цепи.

Для примера составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа (рисунок 10).

Число уравнений: .

Узел 1: ,

узел 2: ,

узел 3: .

В тоже время по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III можно составить систему из уравнений.

Контур I: ,

контур II: ,

контур III: .

Таким образом, решая систему из 6 уравнений с шестью неизвестными токами, например по методу Крамера, определим неизвестные. Если в цепи будет источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а ток через источник будет равен току задающего источника. Общее число неизвестных сохранится прежним.

Пример 2

Для цепи (рисунок 11) определить токи и , если E = 20 В, I ₀ = 2 A, R ₁ = 15 Ом, R ₂ = 85 Ом.

Рис.11.

Решение

Выберем направления токов , и обхода в контуре, составим уравнения по законам Кирхгофа. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа:

Число уравнений по второму закону Кирхгофа:

Уравнение токов для узла 1:

. (a)

Уравнение по второму закону Кирхгофа:

. (б)

Подставим в уравнения (а) и (б) числовые значения получим:

Решив эту систему, определим токи и :

; .

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986.

2. Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.

3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.

Реферат содержит 26 страниц и состоит из следующих пунктов: Законы Кирхгофа для электрической цепи; электрическая цепь с активным сопротивлением; электрическая цепь с индуктивностью и емкостью; электрическая цепь при последовательном соединении элементов; треугольник напряжений и сопротивлений; резонанс напряжения; электрическая цепь при параллельном соединении элементов; резонанс токов.

Законы Ома. Законы Кирхгофа

формат docx
размер 132.45 КБ
добавлен 18 сентября 2008 г.

Законы сохранения в механике

формат doc
размер 64.27 КБ
добавлен 03 сентября 2009 г.

Закон сохранения импульса. Импульс частицы и системы частиц, закон сохранения импульса. Законы сохранения и симметрия пространства и времени. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Механическая энергия системы. Закон сохранения энергии

Оптические явления. Линзы

формат doc
размер 2.99 МБ
добавлен 27 августа 2011 г.

Оптика Прямолинейное распространение света Законы отражения света Обратимость хода лучей Почему распространяется свет? Преломления света Законы преломления света Абсолютный показатель преломления Оптическая плотность среды Полное отражение света Виды линз Основные линии и точки линзы Оптическая сила линз Формула тонкой линзы Увеличение Построение изображения в тонкой линзе Построения изображения в рассеивающей линзе Оптические явления в атмосфере.

Переменный электрический ток и его применение в медицине

формат doc
размер 129.47 КБ
добавлен 26 декабря 2009 г.

Данный документ содержит 8 страниц, и имеет следующее содержание: Переменный ток, его виды и основные характеристики Цепи переменного тока с активным сопротивлением, индуктивностью, емкостью и их особенности. Полная цепь переменного тока и её виды. Импеданс и его формула. Особенности импеданса живой ткани. Особенности импеданса живой ткани и её эквивалентная электрическая схема. Живая ткань как проводник переменного электрического тока. Дисперсия.

Постоянный ток

формат doc
размер 175.43 КБ
добавлен 26 апреля 2008 г.

Условия существования электрического тока. Законы постоянного тока. Электрический ток. Сила тока. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников. Последовательное и парал-лельное соединение проводников. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Работа и мощность тока. Электронная проводимость металлов. Сверхпроводимость. Электрический ток в растворах и расплавах электролитов. Закон электролиза. Электрический ток в газах. Само-стояте.

Развитие средств связи и радио

формат doc
размер 82.86 КБ
добавлен 11 февраля 2007 г.

Документы по темам. История электрической искры. Изобретение радио. Принципы радиосвязи. Детекторный радиоприемник. Изобретение радио А.С.Поповым. Приемник А.С. Попова. Принципы радиосвязи. Модуляция. Демодуляция. Электродинамика А. Ампера и проводная телеграфная связь 19-20 веков. Радиолокация. Применения. Военные применения. Невоенные применения. Аппаратура. История развития Интернета.

Свет и вещество

формат doc
размер 1.19 МБ
добавлен 19 мая 2010 г.

Содержание: Электромагнитное излучение стр.2. Законы геометрической оптики стр.6. Основы волновой оптики стр.9. Телескопы стр.14. Назначение телескопа стр.14. Аберрации стр.15 5)Тепловое излучение стр.19. Абсолютная температура стр.19. Основные понятия астрофотометрии стр.20. Законы теплового излучения стр.21. Излучение абсолютно черного тела стр.22. Библиографический список стр.23.rn

Сэр Исаак Ньютон

формат ppt
размер 2.96 МБ
добавлен 11 января 2010 г.

Выполнила студентка Набережночелнинского гос. пед. института Минькина Катя. Содержание: Биография. Математические достижения. Оптика. Механика. Законы Ньютона. Закон всемирного тяготения и другие его работы.

Управляемые выпрямители однофазного тока

формат docx
размер 160.32 КБ
добавлен 26 августа 2010 г.

Введение Режим активной нагрузки Индуктивность в цепи нагрузки Однофазный мостовой управляемый выпрямитель Заключение Список литературы ОмГАУ

Электрические цепи синусоидального тока

формат doc
размер 195 КБ
добавлен 04 января 2011 г.

Содержание: Введение. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины. Цепи с активным сопротивлением. Активная мощность. Понятие о поверхностном эффекте и эффекте близости. Цепь с идеальной индуктивностью. Литература.

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

, (1.19)

где I – ток, протекающий по цепи;

E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг – сопротивление генератора;

Rц – сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

, (1.20)

где I – ток, протекающий на участке цепи;

R – сопротивление участка цепи;

U – напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

, (1.21)

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.

Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать

или

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

, (1.22)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

, (1.23)

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

Читайте также: