Загадки и применение бутылки клейна реферат

Обновлено: 05.07.2024

Я считаю, что моя работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.

У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность.

Я выбрала тему бутылка Клейна, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение.

Я сочла важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Я предполагаю, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами.

Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна.

Теоретическая значимость моей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в курсе геометрии.

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).

С целью подтверждения гипотезы я решила сравнить бутылку Клейна с объектом исследования моей прошлогодней работы – с листом Мёбиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. (См. Приложение 3 – Сравнительная характеристика). Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мёбиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами.

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

1. хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по во¬ду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересе¬кались. Сделать это не умудрился никто, но лишь срав¬нительно недавно математики строго доказали, что зада¬ча неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпа¬ли одинаковые буквы на ее кра¬ях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в друж¬ном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными сло¬вами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 – Свойства бутылки Клейна).

2. непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, выяснила, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.

Бутылка Клейна была открыта в 1882 году Феликсом Клейном и с тех пор входит в галерею любопытных математических форм. Бутылка является односторонней поверхностью - как так называемая лента Мебиуса - но еще и более увлекательная, так как она закрыта и не имеет границ, и у неё нет ни внутренней, ни наружной поверхности. Следуя Клейну мы используем визуальные модели, чтобы изучить эту поверхность.

Все загадки и применение бутылки Клейна

От ленты Мёбиуса к проективной плоскости

Лента Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, и легко делается из полосы бумаги. Отметьте две стороны бумаги – например, поставьте красные точки на одной стороне и зелёные на другой. Теперь возьмите два конца полосы и соедините их вместе после того, как перекрутите полоску, так чтобы сторона с красными точками соединилась со стороной с зелёными. Это лента Мёбиуса, и перемещение вдоль поверхности приведет нас и к красным, и к зелёным точкам, не пересекая границу.

Эта лента была обнаружена в 1858 году немецким астрономом и математиком Мёбиусом. Она всё время является двусторонней поверхностью, даже если количество перекрутов более одного, но их количество нечётно.

Топология- это математическая дисциплина, которая исследует те свойства фигур, которые не изменяются при непрерывном изгибе и растяжении. Например, если лента Мебиуса выполнена из резинового листа, и мы растянем его немного, не нарушая соединения, она все равно будет односторонней поверхностью. В отличие от этого, если бы мы склеили бы два конца ленты без скручивания, в результате цилиндрическая лента была бы топологически отличным двусторонним цилиндром.

Несмотря на свою простоту лента Мёбиуса была подлинным математическим открытием. Рассуждая о ориентируемости поверхностей, она является одним из ключей к пониманию и классификации поверхностей и их многообразия в топологии.

Следующий задачей в топологии было избавление от оставшейся границы ленты Мёбиуса для получения замкнутой поверхности. Самым простым решением было бы использовать резиновую ленту Мебиуса и стянуть все граничные точки вместе, так же, как мы можем соединить точки окружности к конусу. Но если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость. В то же время если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. Проективной плоскостью называется простейшая закрытая одностороння поверхность. К сожалению, геометрические реализации проективной плоскости являются весьма сложными. Так, например, их не было до 1903 года, когда Werner Boy, по предложению David Hilbert, нашел геометрическую реализацию проективной плоскости, которая не имеет острых углов или кромок.

Бутылка Клейна- не пончик

Конструкция тора – форма пончика - начинается с листа бумаги: скручиваем его в цилиндр, а затем сгибаем оба конца, чтобы закрыть фигуру. Внешняя и внутренняя часть цилиндра не соединены. Поэтому тор является двухсторонней поверхностью.

Мы могли бы также использовать цилиндр, чтобы сделать бутылку Клейна. Вместо того чтобы добавлять скручивание, как мы это делали при создании ленты Мёбиуса из полосы бумаги, мы просовываваем один конец цилиндра обратно через него и приклеиваем его к другому концу. Для достижения этой цели с приятной для восприятия формой мы регулируем толщину цилиндра. Это позволяет приклеить один край к другому, и получить одностороннюю поверхность. На картинке ниже я использовал белый и зеленый, чтобы различать две стороны первоначального цилиндра. Когда бутылка Клейна закончена, цвета по-прежнему показывают, где цилиндр склеен между собой.

К сожалению, бутылка Клейна не ограничивает объем - другими словами, у неё нет нутра. Это означает, что вы могли бы поставить в два раза больше сахара на пончик в виде бутылки Клейна, нежели на пончик в виде торуса, но в нём не будет внутри теста!

Ориентируемость и односторонность

При изучении ленты Мёбиуса или бутылки Клейна, ориентируемость и односторонность имеют большое значение. Поверхность является односторонней, если вы можете ходить по поверхности и достичь обе стороны каждой точки поверхности. Большинство поверхностей в природе являются двусторонними. Например, круглая сфера является двусторонней, которая гарантирует, что мы всегда идём по внешней части Земли, и никогда не зайдём внутрь. Аналогичным образом, тор в форме колеса, крендель, и, вообще говоря, все поверхности, имеющие заполнение, являются двусторонними.

В природе мы обычно не видим односторонних поверхностей, и помните, что первая односторонняя поверхность, найденная Мёбиусом была абстрактной математической конструкцией. Строя перпендикулярные стрелки (нормальные векторы) вдоль ленты Мёбиуса на этой иллюстрации бутылки Клейна мы подчёркиваем ее односторонность: непрерывным движением мы можем двигать стрелки для обеих сторон поверхности от точки к точке, а это означает, что мы не можем различить её верх и низ. К сожалению, само понятие односторонности зависит от окружающего пространства - например, замкнутые кривые (петли) в 3-х мерном пространстве не имеют стороны, хотя в 2-х мерном они есть.

Поверхность называется ориентируемой, если рисунок на ней не может быть преобразован в его зеркальное отражение, просто перемещаясь вдоль поверхности. Рассмотрим рисунок на иллюстрации. Если переместить его вдоль ленты Мёбиуса, то он предстанет перед нами в его зеркальном отражении (как в горизонтали, так и вертикали). Это означает, что лента Мёбиуса неориентируемая. Понятие ориентируемости распространяется на многомерных пространствах, например, в неориентируемой 3-мерной вселенной было бы способ бросить правую перчатку так, чтобы она вернулась к вам левой!

В отличие от односторонности, ориентируемость является внутренним свойством и не требует, чтобы поверхность была встроена в окружающее пространство. Поскольку топологи разработали способы, чтобы представлять фигуры без окружающего пространства, понятие ориентируемости в целом гораздо более применимо, чем у односторонности. Тем не менее, для поверхностей в нашем 3-х мерном мире односторонность является очень естественным понятием.

Когда Клейн стал профессором в Лейпциге в 1880 году, он сразу же начал приобретать математические модели и пополнять их коллекцию. Клейн был геометр и использовал эти гипсовые модели в своих университетских лекциях. Коллекция моделей стала очень популярной во всем мире. Когда он затем переехал в Геттинген, Клейн, вместе со своим коллегой Hermann Amandus Schwarz, его коллекция была настолько большой, что сотни моделей были на постоянной экспозиции. При том, что модель может стоить около £ 150, это было достаточно большой инвестицией в образование.

После успеха математических моделей, в 1893 году прусское правительство решило принять участие в Всемирной Колумбовой Выставке в Чикаго с университетской выставкой. Клейн и его бывший студент Дейк организовали выставку математики, включая около сотни математических моделей и инструментов. Производство математических моделей издателем Martin Schilling, и другими остановилось в начале 20-го века, но многие из гипсовых форм все еще находятся в университетских математических факультетах. Фотографии многих гипсовых моделей также доступны в Интернете. В настоящее время, такие хранилища, как Electronic Geometry Models journal, размещённое в Берлине, предоставляют цифровые модели в качестве источника для математических экспериментов.

В данной статье представлены опыты с бутылкой Клейна. Поставлена проблема и решена экспериментально, прогнозирования экспериментов с разрезанием модели бутылки Клейна. Были выявлены ее свойства.

Ключевые слова: бутылка Клейна, лист Мебиуса, трехмерное пространство, топологическая поверхность.

Abstract. The article presents a series of experiments with the Klein bottle. Solves the problem of forecasting the result of the experiment with cutting the Klein bottle. We have also identified its properties.

Keywords: The Klein bottle, the Möbius strip, a three-dimensional space, topological surface.

Бутылка Клейна была описана немецким ученым Ф. Клейном в 1882 году.

С бутылкой Клейна знакомятся в высших учебных заведениях в курсе геометрии. Эта модель интересна тем, что ее свойства нельзя увидеть без проведения опытов, так как она не может существовать в нашем трехмерном пространстве. Модели, которые мы видим в магазинах, как сувенир имеют отдаленное представление о бутылки Клейна. Интересна возможность выявления свойств бутылки Клейна с помощью экспериментов.

Рис.1. Бутылка Клейна

Бутылка Клейна – это неориентируемая определённая поверхность [1, с. 352]. Она частично связана с лентой Мёбиуса (прямоугольная лента, полученная склеиванием противоположных сторон с поворотом на 180 градусов [3]) и проективной плоскостью.

Изготовление бутылки Клейна

Рис. 2. Изготовление бутылки Клейна

Сложите квадрат пополам и соедините его стороны, обозначенные пунктиром на рис.1 а). Сделайте прорезь на обращенной к вам половине квадрата, перпендикулярно склеенным сторонам рис.1 б). Между верхним краем и прорезью трубки должно быть расстояние равное четверти стороны квадрата. Перегнув модель пополам вдоль прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь, верхнее и нижнее основания трубки склейте друг с другом в соответствии со стрелками рис.1 в).

Видим, что склеить бутылку Клейна довольно сложно. Из прозрачного материала эта модель будет более наглядной. Далее проведем ряд экспериментов с бутылкой Клейна, описанных в таблице 1.

Вначале будут сделаны предположения, какой будет результат, затем проводится проверка высказанных нами предположений.

Разрезание бутылки Клейна

Высказанное предположение подтвердилось.

Три листа Мебиуса

В результате мы получили два листа Мебиуса и цилиндр.

1. Склеили Бутылку Клейна и выполнили разрез посередине. Перед этим было высказано предположение, что результатом будет два листа Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

2. Склеили бутылку Клейна, выполнили разрез по краю. Перед этим было высказано предположение, что получиться лист Мебиуса. Данное высказывание подтвердилось.

3. Склеили модель, выполнили два разреза по краям. Перед этим было высказано предположение, что результатом станет три листа Мебиуса. Высказанное предположение не подтвердилось. В результате были получены 2 листа Мебиуса и цилиндр.

Из проведенных нами опытов можно выделить следующие свойства бутылки Клейна:

1. Число сторон – 1.

2. Число Бетти – это число разрезов, которые можно провести так, чтобы поверхность не распалась на два отдельных куска [2, с. 507]. Так как бутылка Клейна не имеет краев (то есть поверхность замкнутая), то каждый разрез должен иметь форму какой-нибудь простой замкнутой кривой, поэтому число Бетти для нашей модели равно 2.

3. Хроматическое число (минимальное число цветов, в которые можно раскрасить модель так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета) [5, с. 74]. Хроматическое число бутылки Клейна равно шести. Это означает, что на данной поверхности можно так расположить 6 областей разных цветов, чтобы 5 областей имели общие границы с шестой областью.

4. Бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием [6, с. 208]. Она, в отличие от листа Мёбиуса, является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

5. Она не может быть вложена в трёхмерное евклидово пространство Е₃ (только погружена), но вкладывается в Е₄.

6. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием по краю двух лент Мёбиуса. Но в обычном трехмерном евклидовом пространстве Е₃ сделать это невозможно, не создав самопересечения.

Выполняя опыты, мы наблюдали затем, что происходит с бутылкой Клейна и делали правильные предположения. В то время как изначально наши предположения могли быть неверными. Значит, именно проведенные нами опыты делают свойства построенной поверхности более доступными для понимания.

В результате проведенных опытов, мы убедились, что действительно бутылка Клейна не может существовать в трехмерном пространстве, а лишь в четырехмерном. В наше время её можно встретить в магазинах, в рекламе, а также в шоу фокусников (иллюзионист, забравшись в бутылку, остается на половину погруженным в нее) [4, с. 28]. Изготовить бутылку Клейна из стекла достаточно сложно, поэтому она имеет высокую стоимость и применяется крайне редко.

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. инс-ов. Ч-2. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 507 с.

4. Пономарева Е.И., Первушкина Е.А. Развитие креативности школьников при обучение математике в 5-6 классах с использованием интерактивных геометрических средств // Перспективы науки. – 2011. – № 16. – С. 27-34.

5. Сангалова М.Е. Использование эксперимента при изучении топологических свойств поверхностей // Сборник научных трудов Sworld. – 2011. – Т. 23. – № 1. – С. 73 - 77.

Основные термины (генерируются автоматически): бутылка, высказанное предположение, лист, трехмерное пространство, изготовление бутылки, край, модель, опыт, предположение.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования Собинского района

Детский (подростковый) центр г. Лакинска

Удивительная Бутылка Клейна

педагог дополнительного образования

Мартынова Елена Викторовна

Феликс Христиан Клейн (1849-1925)

Научная карьера Феликса Клейна развивалась так стремительно, как ни одна другая в немецкой истории.

Он стал ординарным профессором, достиг вершины научной иерархии, когда ему исполнилось всего двадцать три года.

Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неевклидовой геометрии, исследовал теорию волчка.

Знаменитый математик был избран иностранным членом Петербургской академии наук, член-корр. Берлинской академии наук, тайным советником и представителем Университета в верхней палате Парламента Пруссии.

Он опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям.

В Мюнхенском университете ему удалось организовать комплексное обучение инженеров, кроме технических знаний они получали сведения из точных и естественнонаучных дисциплин.

Феликс Клейн работал в университетах Гёттингена, Берлина, Эрлангена, Мюнхена, Лейпцига. В 1888 году он вновь вернулся в Гёттинген, где работал до конца своей жизни.

Ф.Клейн вел факультативные курсы по разным предметам, от теории чисел до технической механики. Лекции Клейна пользовались исключительным успехом, он увлекал слушателей научными перспективами и показывал романтику и интригу математических исследований.

В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования в ряде стран.

И в книгах, и на лекциях Клейн неустанно подчеркивал, что математика должна заниматься не только задачами, которые рождаются внутри нее самой, но распространяться на все области знания, принося туда идеи порядка и оформляя закономерности реальной жизни на своем универсальном языке.

В 1915 году Феликса Клейна увлекли новые физические идеи А.Эйнштейна. Он начал читать курс лекций по теории инвариантов и их приложениям в классической и специальной теории относительности. Результатом его изысканий стала серия статей.

Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, между математикой, физикой и техникой.

Значительную часть времени и сил тратил Клейн на разработку проблем школьного преподавания математики и подготовку учителей, чем до него не занимался ни один математик такого масштаба.

Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его сочинений.

Именем Феликса Клейна названы:

Математический центр в Германии;

Кратер на обратной стороне Луны;

Приз Европейского математического общества;

Медаль Международной комиссии по математическому образованию.

Имя Клейна носят математические объекты:

модель (интерпретация) Клейна;

бутылка (поверхность) Клейна.

Медаль имени Ф.Клейна

Невероятная Бутылка Клейна

Бутылка Клейна и лист Мёбиуса. Сходство и различия

Свойства бутылки Клейна

Свойства листа Мёбиуса

1 . Односторонняя поверхность

1. Односторонняя поверхность

2. Непрерывная поверхность.

Любую точку поверхности можно соединить с другой, не отрываясь от поверхности

2. Непрерывная поверхность

3. Хроматический равен 6. Хроматический номер показывает, какое максимальное число областей на поверхности можно создать, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими.

3. Хроматический номер равен 6

4. Связность.

Характеризуется числом Бетти

Число Бетти равно 2

Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании поверхность остается цельной.

4. Связность.

Число Бетти равно 2

5. Поверхность не ориентируема

6. Является замкнутым двумерным многообразием без края.

6. Является двумерным многообразием с краем .

7. Не может быть вложена в трёхмерное пространство (только погружена), но вкладывается в четырёхмерное пространство.

7. Вложен в трёхмерное пространство, а в двухмерное – погружен.

8. Может быть получена склеиванием по краю двух лент Мёбиуса.

8. Может быть получен разрезанием бутылки Клейна вдоль

10 . Ограничивает собой нулевой объём

Авторские модели Бутылки Клейна

1. Бутылка Клейна из пряжи . Для изготовления бутылки этим способом мы связали полотно, расширяющееся снизу и сверху с зауженной средней частью. Сшили его вдоль, оставив в шве отверстие для протягивания верхней части и загиба средней узкой части полотна – горлышка. Верхний и нижний края оставили круговыми отверстиями. Вывернули сшитое полотно, протянули верхнюю часть через отверстие, расправили и соединили открытое дно и верхнюю часть сшитого полотна. Бутылка Клейна готова!

А ещё мы сделали бутылку Клейна из двух пластиковых бутылок и гибкого шланга.

Где можно увидеть бутылку Клейна

Очень трудно предположить, какое применение может быть у бутылки Клейна. Но…

Аналог бутылки Клейна для трехмерного измерения можно изготовить в реальности. На прилавках сувенирных магазинов встречаются, например, стеклянные бутылки Клейна разных размеров, изготовленные умельцами-стеклодувами.

Это здание , похожее на бутылку Клейна, построено в городе Франкфурт-на-Майне.

Некоторые рукодельницы наловчились вязать шапочки в виде бутылки Клейна . Обычно они идут в комплекте с шарфиками, скрепленными в ленту Мебиуса.

Читайте также: