Загадки арифметической прогрессии реферат

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов. Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула:.

Для нахождения суммы числа членов геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что, т. е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

3.ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПОКАЗЫВАЮЩИЕ НАЛИЧИЕ ПРОГРЕССИЙ В ЖИЗНИ

1. Прогрессии в природе

Самым показательным примером прогрессий может служить природа. Ученые-биологи обнаружили, что одноклеточные микроорганизмы размножаются с геометрической прогрессией. Одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн.

Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления стало 640?

Пусть первоначально было b₁ инфузорий. Количество инфузорий увеличивается с геометрической прогрессией. Тогда после шестого деления их стало

Ответ: 10 инфузорий было первоначально.

Те же законы применимы и для размножения рептилий, птиц, млекопитающих. Используя общеизвестные формулы и специальные знания, ученые-естественники могут рассчитать прирост животных в заповедниках и в дикой природе.

Популяция кабанов в заповеднике увеличивается каждый год на 10%. По прошествии скольких лет число кабанов удвоится?

Пусть было х кабанов. Тогда через год их стало:

2х кабанов станет по прошествии n лет.

Ответ: по прошествии 8 лет число кабанов удвоится.

Практически ничем не отличаются задачи, связанные с демографией человечества.

Задача 3

Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 2%. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится?

Ответ: 66 тысяч человек.

2. Прогрессии строительстве и инженерном деле

Представьте, что вы - учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли. Рассмотрим такую задачу.

Задача 4

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

1 = 12 + (n - 1)·(-1)

Ответ: 78 бревен.

Иногда формулами арифметической прогрессии пользуются в своих расчетах инженеры. Например, при строительстве зданий и конструкций.

Витя решил сделать садовую лестницу с таким расчетом, чтобы нижняя ступенька имела длину 60 см, а каждая из следующих 12 ступенек была на 2 см короче предыдущей. Какой длины должна быть верхняя ступенька лестницы?

Ответ:36 сантиметров.

3. Прогрессии в медицине и при планировании лечения

Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час45 минут?

a_n = 1ч 45 мин = 105 мин

Найти:

Решение:

105 = 15 + (n - 1) · 10

105 = 15 +10 n - 10

-10n = 15 - 10 - 105

Ответ: 10 дней следует принимать воздушные ванны.

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день -- на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 - математическая модель прогрессии

40 = 5+ 5 · (n - 1), откуда n=8

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период. Всего он принял 180+40+180=400, всего больной выпьет 400:250=1,6 пузырька. Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька.

4. Прогрессии в банковских расчетах

Денежные вклады под проценты -- это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе. Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.

Задача 8

Вкладчик 1 января 2017 г внес в сберегательный банк 40 000 р. Какой была сумма его вклада на 1 января 2019 г., если сбербанк начислял ежегодно 6% от суммы вклада?

Ответ:44944 рублей стала сумма вклада.

5. Прогрессии в спорте

Задача 9

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах -- одно штрафное очко, за каждый последующий -- на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Подсчитаем количество промахов.

- не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 21 раз попал в цель стрелок.

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

- не удовлетворяет условию задачи

Ответ: за 4 дня альпинисты покорили высоту.

6. Прогрессии в других областях деятельности

В каких процессах ещё встречаются такие закономерности? Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. -- это геометрическая прогрессия.

При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.

Возведение многоэтажного здания -- пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

Вписанные друг в друга правильные треугольники -- это геометрическая прогрессия.

Равноускоренное движение -- арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Даже деревенские слухи можно описать с помощью геометрической прогрессии. Приведем пример.

В поселке 2 000 жителей. Приезжий рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Новость распространяются с геометрической прогрессией.

Таким образом, в ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что сложно говорить о том, кто их открыл. Также мы убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.

Мы выяснили, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.

Проанализировав различные задачи, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.

Получив такой результат, я решил узнать, что мои одноклассники знают о прогрессиях и использовали они или их семья эти знания в своей жизни. С этой целью я провел среди них опрос. Результаты опроса представлены на диаграммах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

арифметический прогрессия задача

1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович, Л.А. Александрова, Т.К. Мишустина. - Москва, Мнемозина, 2010.

2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского. -Москва, Просвещение, 2017.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. -Москва, Просвещение, 1990.

4. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. - Рипол Классик, 1989.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Результат анкетирования

1) Знаете ли вы, как найти любой член арифметической или геометрической прогрессии?

2) Известно ли вам что-либо из истории возникновения прогрессий?

3) Люди каких профессий чаще всего сталкиваются с прогрессиями?

4) Связана ли тема “Прогрессии” с банковским делом?

5) Ваши родители когда-нибудь брали кредит?

На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что знания арифметической и геометрической прогрессий помогают человечеству решать многие проблемы. Арифметическая и геометрическая прогрессии не только связаны с красивыми задачами и легендами прошлого, но и с нашей повседневной жизнью, и позволяют изучать часто встречающиеся на практике процессы.

Это еще раз доказывает, что математика - не абстрактная наука, а наука, имеющая прямое отношение к нашей жизни.

Подобные документы

Квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Логарифмическая функция. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

контрольная работа [166,3 K], добавлен 19.05.2006

Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.

лабораторная работа [283,1 K], добавлен 15.11.2014

Натуральные, целые, иррациональные числа. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Экономические вопросы, связанные с деньгами, прибылью, доходами. История открытий (Эвклид, Архимед, Лобачевский, Эйнштейн).

творческая работа [50,0 K], добавлен 18.06.2007

Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.

курсовая работа [214,2 K], добавлен 12.08.2009

Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.

лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010

Достижения древнеегипетской математики. Источники, по которым можно судить об уровне знаний древних египтян. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, нахождение числа Пи, подчёркивают практический и теоретический характер древней математики.

реферат [165,8 K], добавлен 14.12.2009

Прогрессии многочленов и их матриц. Описание вертикальных рядов. Построение алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда последовательности. Свободные члены выражений. Особенности разрешимости Диофантовых уравнений. Расшифровка формул.

Таким образом, объектом моего исследования являются арифметическая и геометрическая прогрессия.

Цель моего исследования: практико-ориентированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессий.

Для этого я поставила перед собой следующие задачи.

1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях и интернет-ресурсах.

2. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Методы исследования:

Анализ школьных учебников математики, математической справочной литературы, материала из Интернета.

Основная часть

Прогрессии применяются в различных направлениях деятельности человека. Рассмотрим примеры.

Во-первых,прогрессии применяются в медицине.

Задача:Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства. [Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)]

Решение. Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

а_п=а₁+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,

180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька.

Прогрессии применяются и в спорте.

Задача:Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?[Задача № 471 Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)

Дано: a₁=1400; d=-100, S_n=5000. Надо найти n.

Решение: S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 а_n=-1000, но а_n0)

10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.

Задача В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Подсчитаем количество промахов.

- не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 21 раз попал в цель стрелок.

Прогрессии в литературе.

До изучения прогрессий я никогда бы ни подумала, что они могут присутствовать в таких предметах, как литература.Оказывается, прогрессия наблюдается в размерности стиха. Вот каковы прогрессии в литературе:

«…Не мог он ямба от хорея

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стихотворения.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетныхслогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Арифметическая и геометрическая прогрессии используются в физике для решения задач на равноускоренное движение.

Задача :Поезд, отойдя от станции, равномерно увеличивал скорость на 50 м в мин. Какова была скорость поезда в конце 20 минуты?.[Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворов. Алгебра 9: учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А. Теляковского, 19- е изд.- М:Просвещени, 2017]

Решаем с использованием арифметической прогрессии

Дано: 1 мин: 50 м 2 мин: 50м + 50м 3 мин: 50м + 50м + 50м

Решение:a_n=a₁+d(n-1); a₁=50; d=a₂-a₁=100-50=50; a₂₀=a₁+d(20-1); a₂₀=50+50*19=1000м/мин=1км/мин=60км/ч

Ответ: скорость поезда в конце 20-й минуты 60км/ч

Задача: При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 метров, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 секунд после падения.

Решаем с использованием арифметической прогрессии.

Дано: 1с: 5м 2с: 5м + 10м = 15м3с: 15м + 10м = 25м

Глубина шахты равна сумме 5 членов арифметической прогрессии

Решение:S_n=(a₁+a_n)*n/2; a_n=a₁+d(n-1); a₁=5; d=10; a₅=5+10*(5-1)=45м; h=s₅=(5+45)*5/2=125м

Ответ: глубинашахты 125 м

Прогрессии применяются в строительном деле.

Задание 20 № 506688

Хозяин до­го­во­рил­ся с рабочими, что они ко­па­ют ко­ло­дец на сле­ду­ю­щих условиях: за пер­вый метр он за­пла­тит им 3500 рублей, а за каж­дый сле­ду­ю­щий метр — на 1600 руб­лей больше, чем за предыдущий. Сколь­ко денег хо­зя­ин дол­жен будет за­пла­тить рабочим, если они вы­ко­па­ют ко­ло­дец глу­би­ной 9 метров?

Последовательность цен за метр — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с пер­вым эле­мен­том a₁=3500и раз­но­стьюd =1600. Сумма n пер­вых эле­мен­тов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии — S_n=(a₁+a_n)*n/2 . То есть в нашем слу­чае имеемS₉=(a₁+a₉)*9 /2;a₉=3500+1600*8=16300 рублей.S₉=(3500 +16300)*9 /2=89100 рублей.

Задание 11 № 99579

Задача: Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение.Пусть бригада в первый день покрасила a₁метров забора, во второй —a₂,….,в последний — a_n метров забора. Тогда a₁+a_n=60м, а заnдней было покрашеноS_n=(a₁+a_n)*n/2=30nметров забора.Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: 30n=240метров, n=8. Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Задание 11 №99580

Задача:Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Пусть рабочие в первый день проложилиa₁метровтоннеля, во второй —a₂,….,в последний — a_n метров тоннеля. Длина тоннеляS_n=(a₁+a_n)*n/2=500 метров.n=10 дней.Тогда в последний день рабочие проложилиa₁₀=2S_n/n-a₁=1000/10-3=97метров.Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

Прогрессии и слухи.

Так же я нашла не менее интересную задачу про слухи.Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Решила придумать свою и предложить её одноклассникам.

Задача: В селе Аладьино 1200 жителей. Приезжий человек из села Красное озеро в 9:00 начинает рассказывать новость 2 людям, стоявшим в очереди у молочной палатки, каждый из них рассказывает в течении получаса новость уже двум своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине жителей села Аладьино?

Решение: Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие полчаса передать её двум согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

в 09.00 новость знают 1+2=3(человек);

09.302+2*2=6(человек);

10.006+6*6=42(человек)

10.30 42+42*42=1806(человек)

Ответ: меньше чем через полтора часа.

При исследовании задач учебников, сайтов подготовки выпускников к экзаменам я убедилась, что прогрессии имеют большое прикладное значение.

Решая задачи, я убедилась в том, что прогрессии используются в различных науках, и многих профессиях.

Я приобрела навык решения задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Много экономических задач связанных с прогрессией. Этим я буду заниматься в следующем году.

Литература, интернет-ресурсы:

Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М: Просвещение, 1990

Шевелева Н.В., Корешкова Т.А., Мирошин В.В. Математика (Алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс/ М.: Национальное образование, 2011

Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов , -М.: Мнемозина, 2014, -224с.(с.100)]

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворов. Алгебра 9: учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией С.А. Теляковского, 19- е изд.- М:Просвещени, 2017

Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел /Б. А. Кордемский,А.А.Ахадов- М.:Просвещение, 1986

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное образовате6льное учреждение Ширинская средняя общеобразовательная школа №18

Секция математики, информатики и физики

Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни

Ученица 9 б класса

Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий………………………………………………………………4

История возникновения арифметической и геометрической прогрессий…………………………………………………….….5

Арифметическая и геометрическая прогрессии…………. ….7

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни…………………………………………………………………. 10

Арифметические и геометрические прогрессии в повседневной жизни……………………………………………10

Библиографический список..………………………………………. 14

Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку.

В 9 классе мы начинаем изучать числовые последовательности. Изучили арифметическую и геометрическую прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии.

Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Объектом исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение прогрессий.

Гипотеза исследования : если математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: у становить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

когда и в связи, с какими потребностями человека появилось

понятие последовательности, в частности - прогрессии;

какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и

практических знаний по изучаемой проблеме;

теоретические основы геометрической и арифметической

Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Методы исследования:

анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета;

обобщение найденных фактов в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках.

В данной работе, мы отразим применение прогрессий в повседневной

жизни, и покажем, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий

История возникновения арифметической и геометрической прогрессий

Идея предела последовательности восходит к V - IV вв. до н. э. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э. [1].

При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная от мины, или мины. [1].

Таким образом, первые задачи дошедшие да нас на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта ( V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользуется формулой суммы квадратов натуральных чисел

В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.

2. Арифметическая и геометрическая прогрессии

В толковом словаре понятия арифметической и геометрической прогрессии даются следующим образом:

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем умножения или деления на некое постоянное число [4].

Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d , называют арифметической. При этом число d называют разностью прогрессий.

Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .

Формула n -члена арифметической прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство

то - арифметическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Формула n -го члена геометрической прогрессии.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство

то - геометрическая прогрессия.

Теорема: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

Таким образом, в первой главе нами было выяснено, когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни

Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни

Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:

Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз;

Физика: нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2 нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;

… Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…

Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,

4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Прогрессия 2, 4, 6, 8…

Прогрессия 2,4,6, 8, 10,12…

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…

Прогрессия 1, 3, 5, 7…

Листья падают в саду…
В этот старый сад, бывало,
Ранним утром я уйду
И блуждаю, где попало. (И.Бунин) [ 10 ] .

Биология: в микробиологии также работают законы математики. Так, микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например: летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ: b ₁₅ = 2·2 14 = 32 768 (геометрическая прогрессия )

Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.

Например, нужно рассчитать доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в Сбербанке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: , тогда получаем (Приложение 1, Таблица 1).

Налицо геометрическая прогрессия: 103037.75 рублей, где 100 000 – первоначальная сумма депозита, а 1,005 – знаменатель прогрессии (Приложение 1, Диаграмма 1)

Медицина: по такой же схеме идёт распространение инфекционной болезни среди людей. Схематически это может выглядеть так: инфицированный человек (источник инфекции) передаёт возбудителя болезни другим людям, каждый вновь инфицированный вовлекает в эпидемический процесс n – ое число людей, т.е. возникает инфекция.

Или можно рассмотреть в качестве примера прием таблеток – 2 таблетки 3-4 раза в день, т.е. часы приема: 8 часов, 11 часов, 14 часов, 17 часов. На лицо арифметическая прогрессия: .

Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, так же можно сделать вывод, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Целью данного исследования было у становить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Мы в соответствии поставленным задачам в ыявили: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.

Установили, какое прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.

В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению прогрессий.

Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, значит и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Библиографический список

Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.

Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.

Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Презентацию на тему "Загадки арифметической прогрессии" можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Разные. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 16 слайд(ов).

Слайды презентации

Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку. В 9 классе мы начинаем изучать арифметическую прогрессию: дали определение, научимся находить по формулам любой член прогрессии, Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры. Объектом исследования: арифметическая прогрессии. Предмет исследования: практическое применение прогрессий. Гипотеза исследования: если математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение. Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения. Задачи исследования: Выяснить: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических

Загадки арифметической прогрессии

План История(параллельно примеры) Что это такое? Формулы Теорема(определение) Арифметические прогрессии в нашей жизни

Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVII веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

Задачка из древнего Египта задача из папируса Ахмеса

Примеры из Вавилонии

Какие задачи решали в Вавилоне? Среди задач на табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии. Вавилонские писцы знали правила суммирования n членов арифметической прогрессии: Примеры арифметических и геометрических прогрессий 1;2;3;4….. - натуральные числа 2;4;6;8;…. - четные числа 2;4;8;16;…. – геометрическая прогрессия

Предание о шахматах

Предание о шахматах Рассказывают что индийский принц Сирам засмеялся, услышав какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Нетрудно сосчитать, используя вам формулу суммы n членов геометрической прогрессии, что Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, то только за 5 лет смог бы рассчитаться с просителем.

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов

Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если . Формула n-члена арифметической прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность

-то - арифметическая прогрессия

Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют

Арифметические прогрессии в нашей жизни

Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:

И так что мы узнали? Историю происхождения Арифметической прогрессии ,формулы и их применение ,теоремы , и как участвует Арифметическая прогрессия в нашей жизни.

Список похожих презентаций

Загадки, задачки, ребусы

Задачка. На верёвке висели и спокойно сохли 8 выстиранных наволочек. 6 наволочек стащила с верёвки и сжевала коза Люська. Сколько наволочек спокойно .

Загадки шутки

В каком магазине ничего не купишь? в магазине винтовки. Что можно набрать ничего не беря в руки? номер телефона. Можно ли отрезать без ножа или другого .

Загадки о зиме

Загадки про зиму. ЗИМА. Наступили холода. Обернулась в лед вода. Длинноухий зайка серый Обернулся зайкой белым. Перестал медведь реветь: В спячку .

Загадки Снежной Королевы

Дорогие ребята! Помогите мне пройти ледяной лабиринт и выручить Кая из замка Снежной королевы. Для этого нужно разгадать все ребусы, которые приготовила .

Загадки

Как составить загадку? Придумывая загадку, учитывайте черты и особенности, которыми обладают все загадки – в них никогда не называется сам загаданный .

Читайте также:

  
• Реферат на тему отравление газами
  
• Политика открытых дверей в китае реферат
  
• Реферат на тему українські письменники і вчені про користь словників
  
• Воздушное питание растений фотосинтез 6 класс реферат
  
• Первые русские крепости на северном кавказе реферат