Задача дирихле для круга реферат

Обновлено: 05.07.2024

Эта задача решается аналогично соответствующей задаче для шара, только формулы, естественно, получаются более простыми. Покажем, что функция Грина для круга радиуса R с центром в начале координат имеет вид

с формулой (19.3)), где — координаты точки координаты точки А. Точки А а А сопряжены, и

(рис. 69). Нетрудно проверить, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа всюду внутри круга, так как точка А лежит вне его. Это доказывается так же, как на стр. 238 для функции Из рис. 69 видно, что

Если точка Р попадает на границу круга (т. е. ), то

Следовательно, значения функций совпадают на границе круга, и согласно определению (см. п. 56) правая часть формулы (20.1) действительно представляет собой функцию Грина для круга.

Чтобы воспользоваться общей формулой (18.20), нам осталось вычислить

то из формулы (20.1), которую удобно записать в виде , получим

где . Таким образом, окончательно

и решение задачи Дирихле для круга по формуле (18.20) примет вид

(дифференциал длины дуги окружности Г заменен на ).

Интеграл (20.2) называется интегралом Пуассона для круга, а выражение

— ядром Пуассона для круга. Физической иллюстрацией его является стационарное распределение температуры внутри круга радиуса R, граница которого — окружность - поддерживается при температуре всюду, кроме одной точки М с полярной координатой у, в которой температура бесконечна. Для доказательства положим в формуле (20.2) , если , если (рис. 70). По формуле (20.2)

где — некоторое среднее значение (здесь мы, как и в пространственном случае, применили теорему о среднем интегрального исчисления). При и в пределе мы получаем стационарное распределение температуры

которое и является ядром Пуассона для круга, если мы опустим штрих при у.

Нетрудно видеть также, что интеграл от ядра Пуассона круга по граничной окружности Г равен 1:

Это вновь следует из единственности решения задачи Дирихле и может быть также проверено непосредственно интегрированием.

Пример. Дана тонкая однородная круглая пластинка радиуса R, верхняя половина границы которой поддерживается при температуре 1, а нижняя — при температуре 0 (рис. 71).

Найдем стационарное распределение температуры на пластинке и определим форму изотерм.

В формуле общего решения (20.2) мм должны положить для для следовательно, искомое распределение температуры будет дано формулой

Этот интеграл надо вычислять с осторожностью. Предположим сначала, что точка расположена в верхнем полукруге); тогда разность изменяется в пределах от до а этот интервал длины не содержит точек

Поэтому законна подстановка и мы получаем

Чтобы представить найденное выражение в более удобном виде, вычислим

Так как правая часть отрицательна, то это означает, что и для удовлетворяет неравенствам Таким образом,

Если (точка ) расположена в нижнем полукруге), то интервал изменения содержит точку — но не содержит точку 0 и мы можем сделать подстановку

Таким образом, для этих значений

Преобразовывая, как и раньше, найдем

— прежний результат, с тем лишь различием, что теперь правая часть положительна, так как Следовательно,

Изотермы в верхнем полукруге по формуле (20.5) будут иметь уравнение ( постоянно, )

или, если перейти к декартовым координатам уравнение

Это — уравнение окружности с центром в точке радиуса проходящей через точки однако пашей изотермой является лишь дуга этой окружности, лежащая в верхней полуплоскости (так как ).

Аналогично показывается, что в нижнем полукруге изотермами также являю дуги окружностей, проходящих через точки . Уравнения этих окружностей:

Рассмотрим на плоскости круг с центром в начале координат радиуса . Пусть на его окружности задана некоторая функция , где полярный угол. Найдем функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

, (III.29)

которая на окружности принимающую заданные значения

Решение задачи можно найти методом разделения переменных, полагая

Подставляя эту функцию в уравнение (III.29), получим

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая от , следовательно, они равны постоянному числу, которое обозначили через . Таким образом, находим два дифференциальных уравнения

, (III.30)

. (III.31)

Общее решение первого из этих уравнений будет

Второе уравнение является уравнением Эйлера. Его решение найдем в виде . Подставив выписанную функцию в уравнение (III.31), найдем два частных линейно независимых решения и . Тогда общее решение уравнения (III.31) запишется в виде

. (III.32)

Полученная функция будет решением данного уравнения при любом значении , отличном от нуля. Если , то уравнения (III.30) и (III.31) принимают вид

Так как решение должно быть периодической функцией от с наименьшим положительным периодом , то в найденном выражении для . Далее функция должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому и .

Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (III.32). Сумма должна быть периодической функцией от . Для этого должно принимать целые значения. Итак,

. (III.33)

Постоянные и находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для значение , получим

Найденная сумма является рядом Фурье для функции на интервале . Следовательно, и должны определяться по формулам

, , . (III.34)

Таким образом, ряд (III.33) с коэффициентами, определенными по формулам (III.34), будет решением поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по и .

Пример 7. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге , принимающее на границе круга значения .

Решение задачи будем искать в виде

Найдем коэффициенты ряда по формулам (III.34).

Читайте также: