Взаимное расположение двух прямых в пространстве реферат

Обновлено: 04.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Из курса планиметрии мы знаем, что плоскость – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямы.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом планиметрии и рассмотреть новую группу аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, что особенно важно для нас, в пространстве.

Цель – получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве.

Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть способы задания плоскостей в пространстве,

- рассмотреть основные аксиомы стереометрии;

- изучить возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве,

- сформулировать основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве;

- проиллюстрировать теоретический материал практическими примерами.

Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом.

Рассмотрим аксиому R 1 . В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Эта аксиома дает нам право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая а и не принадлежащая ей точка М лежат в некоторой плоскости α, то в этой плоскости можно провести через точку М прямую, параллельную прямой а , и притом только одну.

В аксиоме R 3 говорится: какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка А лежит в (принадлежит) плоскости α, то записывают: А α и говорят, что плоскость α проходит через точку А . Если точка А не принадлежит плоскости α, то записывают : А α и говорят, что плоскость α не проходит через точку А.

Плоскость в пространстве однозначно определяется:

- тремя точками, не лежащими на прямой. Аксиома R 2 (аксиома плоскости) гласит: Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскость, которая проходит через точки А, В и С , не принадлежащие одной прямой (С АВ) , обозначается символически (АВС) ; если этой плоскостью является плоскость α, то пишут α = (АВС) или (АВС)= α. Стол, имеющий три ножки, не может качаться на плоском полу. Его устойчивость объясняется тем, что концы трех его ножек (три точки) принадлежат одной плоскости – плоскости пола, но не принадлежат одной прямой. Плохо сделанный стол на четырех ножках качается на плоском полу, и под одну из его ножек что-нибудь стараются подложить.

- прямой и точкой, не лежащей на прямой.

По теореме 1 через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежащая ей точка А. Выберем на прямой а любые точки В и С . Через точки В и С проходит только одна прямая – прямая а . Так как точка А по условию теоремы не принадлежит прямой а , то точки А, В и С не принадлежат одной прямой. По аксиоме R 2 через точки А,В,С проходит только одна плоскость – плоскость АВС , которую обозначим α . Прямая а имеет с ней две общие точки – точки В и С , следовательно по аксиоме R 4 (аксиоме прямой и плоскости - Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости ) эта прямая лежит в плоскости α . Таким образом, плоскость α проходит через прямую а и точку А и является искомой.

Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую а и точку А а , не существует.

Предположим, что есть другая плоскость – α , проходящая через точку А и прямую а . Тогда плоскости α и α проходят через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, а значит совпадают. Следовательно, плоскость α единственная. Теорема доказана.

двумя пересекающимися прямыми.

Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку.

Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть данные прямые а и b пересекаются в точке С . Выберем на прямых а и b любые точки А и В , отличные от С : А а, В b . Тогда точки А, В и С не принадлежат одной прямой, и по аксиоме R 2 через них можно провести только одну плоскость. Обозначим её α .

Точки А и С прямой а принадлежат плоскости α , значит, плоскость α проходит через прямую а ( аксиома R 4: Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости) . Плоскость α проходит и через прямую b , так как точки В и С этой прямой принадлежат плоскости α .

Таким образом, плоскость α проходит через прямые а и b , следовательно является искомой.

Докажем единственность плоскости α . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые а и b , плоскость β .

Так как плоскость β проходит через прямую а и не принадлежащую ей точку В , то по теореме 1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.

двумя параллельными прямыми.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

Доказательство. Пусть а и b – данные параллельные прямые. Из определения параллельных прямых следует, что через прямые а и b можно провести плоскость. Обозначим её α и убедимся, что она единственна.

Допустим противное. Пусть существует другая плоскость, отличная от α , которая содержит каждую из прямых а и b . Обозначим эту плоскость β .

Выберем на прямой а точки В и С , на прямой b – точку А . В силу параллельности прямых а и b точки А, В и С не принадлежат одной прямой.

Каждая из плоскостей α и β содержит обе прямые а и b , значит, каждая из них проходит через точки А, В и С . Но по аксиоме R 2 через эти точки можно провести лишь одну плоскость. Следовательно, плоскости α и β совпадают. Теорема доказана.

При взаимном расположении двух плоскостей в пространстве возможен один из двух взаимно исключающих случаев.

Две плоскости имеют общую точку. Тогда по аксиоме пересечения двух плоскостей они имеют общую прямую. Аксиома R 5 гласит: если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая. Из этой аксиомы следует, что у плоскостей Такие плоскости называются пересекающимися.

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Две пересекающиеся прямые		Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямые		Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещивающиеся прямые		Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

Две пересекающиеся прямые

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.

Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Тип утверждения и формулировка
Две различные точки		Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой		Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Две пересекающиеся прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две параллельные прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две различные точки

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.

Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a' параллельна прямой a , прямая b' параллельна прямой b. Прямые a' и b' пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB₁ и BC₁ , проведем в кубе диагональ боковой грани AD₁ и диагональ верхнего основания D₁B₁ (рис. 4).

Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

через две точки можно провести единственную прямую;
если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

ГОСТ

Разновидности уравнений прямой

Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $\overline=m\cdot \overline+n\cdot \overline+p\cdot \overline$, которому она параллельна. Уравнения $\frac =\frac =\frac

$ называются каноническими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $\frac > =t$, $\frac > =t$, $\frac >

=t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_ +m\cdot t$, $y=y_ +n\cdot t$, $z=z_ +p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$ и $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$. Уравнения $\frac =\frac =\frac $, аналогичные каноническим, называются уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_ \cdot x+B_ \cdot y+C_ \cdot z+D_ =0$ и $A_ \cdot x+B_ \cdot y+C_ \cdot z+D_ =0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.

Переход между различными видами уравнений прямой

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.

От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac > =\frac >

$ и $\frac > =\frac >

$ и выполним преобразования.

Готовые работы на аналогичную тему

Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_ +m\cdot z_ =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_ +n\cdot z_ =0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:

Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.

Вне зависимости от того, являются ли прямые пересекающимися или скрещивающимися, можно говорить об угле между ними.

Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.

Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые $L_ $ и $L_ $: $\frac =\frac =\frac $ и $\frac =\frac =\frac $. Выберем в пространстве произвольную точку и проведем через нее две вспомогательные прямые, параллельные данным.

Углом между прямыми $L_ $ и $L_ $ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.

Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline >=m_ \cdot \overline+n_ \cdot \overline+p_ \cdot \overline$ и $\overline >=m_ \cdot \overline+n_ \cdot \overline+p_ \cdot \overline$. Косинус одного из углов между прямыми можно найти по формуле $\cos \phi =\frac <\sqrt \cdot \sqrt > $. Если значение $\cos \phi >0$, то получен острый угол между прямыми, если $\cos \phi$

Равенство $\cos \phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_ \cdot m_ +n_ \cdot n_ +p_ \cdot p_ =0$.

Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $\frac > > =\frac > > =\frac > >$.

Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.

Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.

Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_ $ проходит через точку $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$, а прямая $L_ $ — через точку $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$.

Рассмотрим вектор $\overline M_ >=\left(x_ -x_ \right)\cdot \overline+\left(y_ -y_ \right)\cdot \overline+\left(z_ -z_ \right)\cdot \overline$, который соединяет эти точки, а также направляющие векторы $\overline =m_ \cdot \overline+n_ \cdot \overline+p_ \cdot \overline$ и $\overline =m_ \cdot \overline+n_ \cdot \overline+p_ \cdot \overline$ прямых $L_ $ и $L_ $.

Если прямые $L_ $ и $L_ $ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $\overline $. Направляющий вектор $\overline $ коллинеарен прямой $L_ $, а направляющий вектор $\overline $ коллинеарен прямой $L_ $. Итак, все три вектора $\overline $, $\overline $ и $\overline $ лежат в параллельных плоскостях, то есть они компланарны. Запишем условие компланарности векторов $\left|\begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=0$ и получим условие пересечения двух прямых, если же это условия не выполняется, то это скрещенные прямые в пространстве.

Задание: Выяснить взаимное расположение прямых в пространстве:

$L_2: \begin x-y-z+1 =0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \\ \end$

Решение: Направляющий вектор первой прямой определяем по её уравнениям, он будет выглядеть как $s_1 = \$.

Направляющий же вектор второй прямой определим через векторное произведение нормальных векторов, определяющих плоскости, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1 × n_1 = \begin <|ccc|>i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end = - i – 3j + 2k$

В данном примере $s_1 = -s_2$, а это значит, что прямые либо параллельные, либо совпадающие.

Чтобы понять, с каким из случаев мы имеем дело, возьмём точку $M_0$с координатами $(1;2;-1)$, принадлежащую первой прямой и подставим в уравнения для второй.

В первом из них равенство не соблюдается и получается, что $1=0$. Это значит, что рассмотренная точка не лежит на второй прямой и прямые параллельны между собой.

Задание: провести плоскости через параллельные прямые и через прямые, которые пересекаются.

Решение каждой из этих задач начинается с того, что на нужной плоскости $P$ выбирается некоторая переменная точка $M\left(x,y,z\right)$.

Если данные прямые $L_ $ и $L_ $ — параллельны, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin & & \\ & & \\ & &

\end\right|=0$ следующих трех векторов:

$\overline M>=\left(x-x_ \right)\cdot \overline+\left(y-y_ \right)\cdot \overline+\left(z-z_ \right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$, принадлежещей прямой $L_ $, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$.
$\overline M_ >=\left(x_ -x_ \right)\cdot \overline+\left(y_ -y_ \right)\cdot \overline+\left(z_ -z_ \right)\cdot \overline$ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$, которая принадлежит прямой $L_ $, с точкой $M_ \left(x_ ,y_ ,z_ \right)$, которая принадлежит прямой $L_ $.
$\overline=m\cdot \overline+n\cdot \overline+p\cdot \overline$ — направляющий вектор одной из двух параллельных прямых, параллельный плоскости $P$.

Если данные прямые $L_ $ и $L_ $ — пересекаются, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin & & \\ & & > \\ & & \end\right|=0$ следующих трех векторов:

Читайте также: