Вывод формулы журавского реферат

Обновлено: 05.07.2024

При поперечном изгибе в сечениях бруса одновременно действуют внутренние нормальные и касательные силы. Нормальные силы вызывают линейные а касательные — угловые у деформации продольных волокон бруса. В результате деформаций сдвига сечения бруса при поперечном изгибе депланируются. Опыт показывает, что наибольшее искривление сечения имеет место вблизи нейтрального слоя (рис. 6.14). Это означает что касательные напряжения при изгибе достигают наибольшей величины вблизи нейтральной оси сечения, где нормальные напряжения минимальны.

При поперечном изгибе имеет место также давление между волокнами бруса. Однако искривление плоскости сечения и давление между волокнами не сказывается сколько-нибудь заметно на распределении и величине нормальных напряжений в поперечных сечениях балок, у которых высота сечения мала по сравнению с длиной балки . А именно такие балки наиболее распространены в технике. Поэтому нормальные напряжения и при поперечном изгибе балок вычисляют по формулам., выведенным для случая чистого изгиба.

Перейдем к определению касательных напряжений векторы которых параллельны плоскости действия нагрузки. Кроме этих напряжений в сечении могут

существовать также направленные параллельно нейтральной оси напряжения Однако напряжения в сплошных сечениях, как доказано в теории упругости, существенно меньше напряжений, и поэтому ими в расчетах обычно пренебрегают.

Непосредственное определение напряжений затруднительно. Проще определить парные им касательные напряжения возникающие в продольных сечениях бруса (рис. 6.15).

Предположим, что по ширине сечения касательные напряжения распределены равномерно. Более точная теория показывает, что это допущение выполняется тем точнее, чем меньше ширина сечения по сравнению с его высотой.

Определим напряжение в точке А сечения находящейся на расстоянии от нейтральной оси. Для этого продольным горизонтальным сечением, проходящим через точку А, и еще одним поперечным сечением выделим элемент бруса длиной (см. рис. 6.15).

При переходе от одного поперечного сечения к другому, находящемуся на расстоянии изгибающий момент изменится на величину Следовательно, по торцевым граням выделенного элемента будут действовать различные по величине напряжения но тогда и равнодействующая нормальных сил на площади (ее называют площадью отсеченной части сечения) левого торца рассматриваемого элемента

не будет равна соответствующей равнодействующей нормальных сил на правом его торце

Равнодействующие (рис. 6.16) противоположно направлены, и их разность должна уравновешиваться касательными силами действующими на продольном сечении суще

сущемента. Вследствие малой длины элемента и допущения о равномерном распределении напряжений по ширине поперечного сечения напряжения можно считать распределенными равномерно по всей продольной грани элемента. Следовательно, уравнение равновесия выделенного элемента будет иметь вид

Учитывая, что а интеграл представляет собой статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной оси сечения, получаем расчетное уравнение для касательных напряжений при поперечном изгибе

здесь — момент инерции всего сечения; а — ширина сечения на уровне той точки, где определяется напряжение.

Формула (6.17) называется формулой Журавского по имени русского инженера-мостостроителя, впервые применившего ее к балкам прямоугольного сечения.

Для прямоугольного сечения статический момент отсеченной части на уровне у от нейтральной линии (рис. 6.17)

Следовательно, распределение напряжений по высоте прямоугольного сечения изображается параболой

Максимальные касательные напряжения действуют в точках нейтральной линии

В круглом сечении эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статическии момент полукруга и момент инерции круга получаем Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на больше средних напряжений по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием и высотой (см. рис. 6.17), имеем

Подставляя эти выражения в формулу (6.17), находим

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии от нейтральной линии, т. е. в точках средней линии треугольника.

Нужно всегда иметь в виду, что формула Журавского определяет не полное касательное напряжение в точке сечения, а лишь составляющую этого напряжения, параллельную плоскости действия нагрузки. Однако в контурных точках сечения полные напряжения могут быть найдены графически по предварительно вычисленным напряжениям Для этого в рассматриваемой точке контура строится прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза направлена по касательной к контуру, а катет, параллельный оси у, представляет собой напряжение в этой точке. Учитывая, что в контурной точке сечения вектор полного напряжения направлен по касательной к контуру (см. разд. 5.5), приходим к выводу, что гипотенуза построенного треугольника определяет величину и направление искомого напряжения . Этим же построением доказывается существование составляющих о которых упоминалось выше. Изложенное иллюстрируется рис. 6.18 на примере круглого сечения.

В заключение отметим, что формулой Журавского можно пользоваться только в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки перпендикулярна одной из главных центральных осей инерции сечения. Объясняется это тем, что при выводе формулы Журавского использовано уравнение (6.14), справедливое лишь при указанных условиях.

Касательные напряжения при плоском прямом изгибе. Формула Журавского

Выше было показано (8.4), (8.5), что касательные напряжения при плоском прямом изгибе зависят только от поперечных сил. Однако, при выводе формулы для касательных напряжений необходимо считаться с наличием изгибающих моментов, так как если Q ≠ 0 , то в силу (8.1) и M ≠ 0 . В общем случае

При этом скорость изменения моментов выше, чем скорость изменения поперечных сил. Поэтому, считаясь с приращением моментов, пренебрегаем изменением поперечных сил при переходе от одного к другому бесконечно близкому сечению.

В силу закона парности касательные напряжения возникают не только в поперечных сечениях, но и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Поэтому вместо нахождения касательных напряжений, параллельных Q и действующих на уровне y в поперечном сечении, можно определить равные им касательные напряжения, действующие на этом же уровне в продольном сечении (рис. 8.11, 8.12).

Рис. 8.10. К выводу формулы Журавского

Рис. 8.11. К выводу формулы Журавского

Рис. 8.12. К выводу формулы Журавского

Чтобы определить касательные напряжения, действующие в сечении x на уровне y от нейтральной линии, в области этого сечения выделим бесконечно малый элемент балки. Для этого проведем два поперечных сечения 1, 2 (рис. 8.10) и одно продольное сечение, параллельное нейтральному слою и отстоящее от него на расстояние y . На рисунке (8.12) это сечения adm , cen и amnc соответственно.

По сечению adm элемента действуют искомые касательные напряжения τ , параллельные Q и нормальные напряжения

По сечению cen элемента действуют такие же по величине касательные напряжения τ (так как dQ =0 ) и нормальные напряжения

В сечении amnc действуют касательные напряжения τ / =| τ |, направленные в сторону меньшего нормального напряжения, а нормальные напряжения здесь отсутствуют или пренебрежимо малы.

Составим условие равновесия выделенного элемента в виде суммы проекций всех сил на ось x , предполагая, что касательные напряжения τ , а потому и τ / по ширине сечения b ( y ) не меняются

После подстановки (8.11), (8.12), получим

абсолютная величина статического момента той части поперечного сечения, которая лежит ниже или выше уровня y искомых напряжений.

Из (8.13), принимая во внимание (8.1), получим расчетную формулу для касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при плоском прямом изгибе параллельно Q на уровне y от нейтрального слоя:

Следует помнить, что касательные напряжения (8.15), параллельные Q в общем случае являются только частью полных касательных напряжений (рис. 8.5).

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Для определения касательных напряжений рассмотрим балку, нагруженную силами.

Схема для вывода формулы касательных напряжений: а) схема нагружения; б) эпюра изгибающих моментов; в) эпюра поперечных сил; г) и д) – схема напряженного состояния

Задача по определению напряжений всегда статически неопределима и требует привлечения геометрических и физических уравнений. Однако можно принять такие гипотезы о характере распределения напряжений, что задача станет статически определимой.

Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями 1-1 и 2-2 выделим элемент dz, изобразим его в крупном масштабе, затем проведем продольное сечение 3-3.

В сечениях 1–1 и 2–2 возникают нормальные σ₁, σ₂ напряжения, которые определяются по известным формулам:

где М — изгибающий момент в поперечном сечении , dМ — приращение изгибающего момента на длине dz

Поперечная сила в сечениях 1–1 и 2–2 направлена вдоль главной центральной оси Y и, очевидно, представляет сумму вертикальных составляющих внутренних касательных напряжений, распределенных по сечению. В сопротивлении материалов обычно принимается допущение о равномерном их распределении по ширине сечения.

Для определения величины касательных напряжений в какой-либо точке поперечного сечения, расположенного на расстоянии у₀ от нейтральной оси Х, проведем через эту точку плоскость, параллельную нейтральному слою (3-3), и вынесем отсеченный элемент. Будем определять напряжение, действующее по площадке АВСД.

Спроецируем все силы на ось Z

Равнодействующая внутренних продольных сил по правой грани будет равна:

где А₀ – площадь фасадной грани, S_x 0 – статический момент отсеченной части относительно оси Х. Аналогично на левой грани:

Обе равнодействующие направлены навстречу друг другу, поскольку элемент находится в сжатой зоне балки. Их разность уравновешивается касательными силами на нижней грани 3-3.

Предположим, что касательные напряжения τ распределены по ширине поперечного сечения балки b равномерно. Такое допущение тем вероятнее, чем меньше ширина по сравнению с высотой сечения. Тогда равнодействующая касательных сил dT равна значению напряжений, умноженному на площадь грани:

Составим теперь уравнение равновесия Σz=0:

Вспомним дифференциальные зависимости, согласно которым Тогда получаем формулу:

Эта формула получила название формулы Д. И. Журавского. Эта формула получена в 1855 г. Здесь S_x 0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, I_x – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение, Q -поперечная сила в сечении.

Касательные напряжения в балке прямоугольного сечения (формула Журавского)

Касательное напряжение в прямоугольной балке (формула Журавского). Напряжение сдвига при изгибе, отменяющее боковую силу Q, Как мы видим, возникает в балке, поперечное сечение которой имеет форму узкого прямоугольника или состоит из прямоугольника (двутавра). поэтому, в первую очередь, мы будем решать задачу расчета напряжений тангенциального сечения на оси балки при этих значениях и ширине В. Конечно. Положительная боковая сила Q направлена вверх, чтобы воздействовать на левую отрезную часть балки. Она уравновешивается тангенциальным

напряжением t, передаваемым с правой стороны и распределенным некоторым образом в поперечном сечении. В отношении распределения напряжений Журавский (1855) сделал следующий постулат: 1) все тангенциальные направления напряжений параллельны уравновешенной ими силе Q;2) от нейтральной оси Y. Как показывает теория упругости, оба эти допущения очень верны для балки прямоугольного сечения, когда высота балки

больше ее ширины. Перейдем к расчету величины и распределения напряжения сдвига по поперечному сечению балки. Берем балку Людмила Фирмаль

прямоугольного сечения, которая подвергается плоскому изгибу. Нарисуем несколько разделов 2-2 и рассмотрим 91 главу Журавского формула 299 Левая часть луча. На него воздействует поперечная сила Q, которая уравновешивает изгибающий момент A1 и нормальное напряжение, а также тангенциальное напряжение. Предположим, что M и Q положительны(рис. 212). Касательное напряжение направлено вниз по сечению. Мы рисуем очень близко примыкающий участок на расстоянии от 1-1 до 2-2 dx. Объединение выбранных элементов 1— 1— 2— 2 затем слева, затем справа от балки видно, что поперечное сечение 1-1 имеет такое же касательное

напряжение т, как и поперечное сечение 2-2, но направлено в другую сторону. Разница в величине усилия на участках 7-7 и 2-2, возникающая при наличии непрерывных нагрузок, игнорируется из-за их малости. Согласно характеристикам пары касательных напряжений[Глава VII,§ 36, формула (7.8)], следует ожидать появления таких же касательных напряжений на участках, перпендикулярных поперечному сечению балки, то есть параллельных оси X. Поэтому, если нарисовать два горизонтальных участка балки на расстоянии z и Z—d от нейтральной оси, то ребра dz, dx, b(рис. 213), то на этот

элемент воздействуют тангенциальные напряжения t на вертикальной плоскости и равные им по величине тангенциальные напряжения t ’ на горизонтальной плоскости. Поскольку продольные волокна балки не прижимаются друг к другу во время деформации, то не будет нормальных напряжений, параллельных оси вдоль сечения балки, но будет несколько касательных. 214).Касательные и главные напряжения 300 валков[глава XV Тангенс-приведение примера, объясняющего это появление в разрезе (параллельном оси луча), может показаться странным, то же самое Но сначала возникло напряжение. Представьте себе балку, состоящую из двух одинаковых

прямоугольных брусков поперечного сечения и расположенных друг на друге (рис. 215, а); не будем обращать внимания на трения между ними. Предположим, что эта балка согнута, по крайней мере, силой Р, приложенной к центру пролета. Рисунок балки после изгиба в сильно преувеличенном масштабе показан на рисунке. 215, б. нижнее волокно верхнего пучка AGVG было растянуто, верхнее волокно нижнего пучка A^B^было уменьшено по сравнению с исходной длиной AB. Если балка представляет собой сплошной стержень, она изгибается, как показано на рисунке. 215, B. AB волокно находится в нейтральном слое и не изменяет своей длины. Так, если согнуть всю балку на нейтральной плоскости от верхней половины балки до нижней половины, то тангенциальное напряжение

V=t передается и верхней, и нижней половине балки вдоль нейтрального слоя (215 г). Показано на фиг. Нижняя часть 216 фасадов испытывала плоские Людмила Фирмаль

изгибы и балки прямоугольного сечения. Давайте нарисуем два очень близких участка 1-1 и 2-2 на расстоянии dx друг от друга. Нарисуйте еще один горизонтальный участок в Z от нейтрального слоя.§ 91] формула Журавского 301 Таким образом, балке ABCD присваиваются элементы размеров dx—z и B. 217 изгибающий момент секции 1-1 должен составлять M, а смежной секции 2-2-M — \ — dM. Затем, на сторонах элемента, меньшего из левых, действует обычное напряжение блса справа. Горизонтальное сечение, где CAS — * tel действует напряжение

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: