Волновое уравнение волновой пакет групповая скорость реферат
Обновлено: 07.07.2024
Реальную волну, близкую к монохроматической, можно представить в виде суперпозиции (независимого наложения) большого числа волн – группы волн, мало отличающихся по частоте и занимающих ограниченную область в пространстве.
Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом (или группой волн).
При фиксированном времени t график функции, описывающей группу волн или волновой пакет, представлен на рис.28.3.
Для пакета имеет место соотношение . Чем меньше (диапазон частот, длин волн), тем больше и наоборот.
В недиспергирующей среде все волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью . Очевидно, что в этом случае скорость движения пакета совпадает с фазовой, форма пакета со временем не изменяется. В диспергирующей среде (среде с дисперсией) волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга. Если дисперсия мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае пакету можно приписать скорость U, под которой понимается скорость перемещения огибающей пакета, которую называют групповой скоростью.
На рис.28.4 показано положение волнового пакета для трех последовательных моментов времени и .
Наклон пунктирных кривых, соединяющих точки одинаковой фазы,
характеризует фазовую скорость; наклон штрихпунктирных кривых, соединяющих соответствующие точки огибающей пакета (начала и концы) характеризует групповую скорость пакета. Если при распространении сигнала в виде волнового пакета максимумы и минимумы
движутся быстрее, чем огибающая,
то это означает, что фазовая скорость данной группы волн превышает ее групповую скорость (как на рис.28.4).
Получим формулу для групповой скорости на примере волнового пакета из двух волн и несколько отличными друг от друга частотами. Пусть уравнение этих двух монохроматических волн имеют вид
В результате их сложение (наложение) образуется суммарная волна
Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону
Если свойства среды не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения волн) при распространении в такой среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений частиц.
Фазовая скорость этой волны
или .
Сигнал (импульс) можно представить (согласно теореме Фурье) в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключенными в некотором интервале . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн (рис. 5.2).
Выражение для группы волн:
Этот волновой пакет может быть суммой двух волн с мало отличающимися частотами (рис. 5.3).
Там, где фазы совпадают, наблюдается усиление амплитуды, где нет – гашение (результат интерференции).
Чтобы суперпозицию можно было считать группой волн, необходимо условие .
Дисперсия – это зависимость фазовой скорости в среде от частоты.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью υ. Очевидно, что в данном случае скорость перемещения пакета совпадает со скоростью υ. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью, пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается. Если дисперсия невелика, то расплывание не происходит слишком быстро и пакету можно приписать скорость u (рис. 5.4).
Скорость, с которой перемещается центр пакета (точка с максимальным значением А), называется групповой скоростью u.
Рассмотрим это подробнее на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными длинами волн l.
Уравнения волн (при начальной фазе ) можно записать так:
и ,
здесь ; , т.к. .
Пусть , соответственно .
Сложим колебания, применив преобразования для суммы косинусов:
, т.к. , то
Множитель в квадратных скобках изменяется с изменением t и x значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (5.4.4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой
.
Результирующая амплитуда получается в результате сложения, следовательно будут максимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться условием
,
где m = 0, 1, 2, …, xmax – координата максимума амплитуды.
Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Решив это уравнение относительно xmax, получим:
; (2mp = const).
Так как – фазовая скорость, то – групповая скорость. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды. В пределе выражение для групповой скорости:
Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид. Т.к , следовательно
.
Выразим через длину волны l:
; ; ,
, тогда получим
Из этой формулы следует, что в диспергирующей среде, в зависимости от знака , групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.
В отсутствие дисперсии и . Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.
Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Это случай из области аномальной дисперсии (рассмотрим позже).
Рассмотрим волновое движение в однородной и изотропной среде. Наиболее простым типом волны является плоская монохроматическая волна
которая представляет колебание с длиной волны распространяющееся в направлении волнового вектора с постоянной скоростью. Скорость, о которой идет речь, есть скорость перемещения плоскости равной фазы, или фазовая скорость
Согласно нашей гипотезе каждая частота соответствует вполне определенной энергии частицы
Естественно поэтому сопоставить волну (1) прямолинейному равномерному движению с энергией Е в направлении
Изучение классического приближения позволит нам связать с импульсом частицы. Для этого следует сопоставить частице волну конечной протяженности. Волна (1), конечно, не удовлетворяет этому требованию, но ему можно удовлетворить, если воспользоваться суперпозицией волн с близкими волновыми векторами. Это значит, что следует рассмотреть волновой пакет
Ради простоты рассмотрим вначале волновой пакет в одном измерении
тогда есть интеграл от произведения функции А, имеющей резкий максимум в области шириной окружающей точку и осциллирующей функции Если осцилляции функции в области достаточно многочисленны, то вклады различных частей области аннулируют друг друга, так что величина оказывается крайне малой. Наибольшие абсолютные значения получаются в том случае, когда фаза остается почти постоянной в области , т. е. (символ означает производную по когда Следует потребовать, чтобы имела не более одной осцилляции в области
волна практически локализована в области с размерами
Эта точка равномерно движется со скоростью
которая называется групповой скоростью волны Именно эта скорость а не фазовая скорость должна быть отождествлена со скоростью частицы в классическом приближении предельной локализации пакета:
Из условия и соотношения (2) находим соотношение де Бройля
Это рассуждение без труда обобщается на волновой пакет в трех измерениях: центр пакета равномерно перемещается со скоростью
причем групповая скорость должна быть отождествлена со скоростью частицы
Последнее сотношение вместе с соотношением (2) позволяет найти связь между динамическими переменными частицы и величинами, характеризующими ассоциированную ей волну:
Эти соотношения идентичны соотношениям (1.4), полученным для случая фотона.
В заключение рассмотрим полученные результаты с точки зрения принципа относительности.
В нерелятивистском приближении энергия Е определяется только с точностью до некоторой постоянной; изменить начало отсчета энергии значит добавить к частоте некоторую постоянную частоту (уравнение (2)), т. е. умножить функцию на фазовый фактор Это не меняет предшествующих результатов, касающихся движения волнового пакета, и соотношений (5), которые из них вытекают.
Однако полученные результаты ни в коей мере не зависят от нерелятивистского приближения. Принцип относительности позволяет определить точную энергию и соответствующую ей частоту со. Энергия Е и импульс являются компонентами одного -вектора (принимаем ). То же самое можно сказать относительно частоты и волнового вектора Соотношения (5) удовлетворяют принципу относительности: они означают, что -векторы пропорциональны друг другу.
ГОСТ
Фазовая скорость
Сигнал можно передать, используя импульс света. По теореме Фурье его можно разложить в ряд с частотами в интервале $\triangle \omega .$ Совокупность волн, которые различаются друг с другом, частотой в пределах малого интервала $\triangle \omega $ называют волновым пакетом (группой волн). Аналитически волновой пакет можно представить как:
где индекс $\omega $ у величин $A,\ k,\ \alpha $ показывает, что они относятся к разным частотам. В пределах пакета плоские волны усиливают друг друга, вне пакета происходит взаимное гашение волн. Для того чтобы сумму волн, которую описывает выражение (3), можно было считать пакетом, должно выполняться условие: $\triangle \omega \ll <\omega >_0.$
Групповая скорость
При отсутствии дисперсии все плоские волны в пакете распространяются с фазовой скоростью $v$. При таких условиях скорость распространения группы волн совпадает с фазовой скоростью, форма пакета постоянна. В веществе при наличии дисперсии пакет со временем ширина пакета увеличивается. При малой дисперсии, скорость перемещения центра пакета (точка, в которой максимальна величина $E$) называют групповой скоростью $(u).$ Групповая скорость характеризует импульс, и соответствует скорости распространения энергии поля этого импульса или скорость перемещения амплитуды.
При наличии дисперсии групповая и фазовая скорость различны:
Готовые работы на аналогичную тему
Если пакет представлен двумя составляющими, то групповую скорость можно найти как:
Групповая скорость пакета волн, который задан уравнением (3) может быть определена как:
если в разложении функции $k_<\omega >=k_0+<\left(\frac
Выражение для групповой скорости (6) можно записать в виде:
Связь групповой и фазовой скоростей (формула Рэлея)
Выражение для групповой скорости можно записать в виде:
Формула (9) называется формулой Рэлея. В том случае, если $\frac
Выражение (10) показывает зависимость групповой скорости от характеристик вещества.
При введении понятия групповой скорости используют случай, когда дисперсия не велика. В противном случае пакет волн быстро деформируется и само понятие групповой скорости не имеет смысла. К примеру, около полосы поглощения среды, в области существенного изменения фазовой скорости в зависимости от частоты формула (9) может дать величину $u$ больше, чем скорость света в вакууме, или отрицательное значение. То есть в такой области формула Рэлея не применима.
Задание: Представьте групповую скорость в виде функции от показателя преломления и длины волны. Чему равна групповая скорость волн в воде, если $<\lambda >_1$=656,3 нм. Считайте, что при $t=20$ показатель преломления для этой длины воны $n_1=1,3311$, для $<\lambda >_2=643,8$ нм $n_=1,3314.$
Решение:
За основу решения задачи примем определение групповой скорости:
Зная, что круговая частота связана с длинной волны соотношением:
Волновой вектор можно записать как:
Подставим выражения (1.2) и (1.3) в (1.1), получим:
Подставим данные из условий задачи, проведем вычисления:
Ответ: $u\left(n,\lambda \right)=\frac\left(1+\frac<\lambda >\frac
Задание: Найдите выражение групповой скорости ($u$), если фазовая скорость ($v$) представлена выражением: $v=a<\lambda >^q,$ где $a=const,\ q
Решение:
В качестве основы для решения задачи используем формулу Рэлея, определяющую групповую скорость вида:
Используя уравнение изменения фазовой скорости, заданное в условиях задачи найдем $\frac
Читайте также: