Вероятность и информация реферат

Обновлено: 05.07.2024

Что такое вероятность ? Относительная частота событий и ее свойства Вероятность события и его свойства Теорема о сложении вероятностей Условная вероятность Зависимые и независимые события . Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности и формула Байеса Вероятностный подход к измерению количества информации . Теория вероятностей на ЕГЭ по математике Вероятность в физике . Содержание

Вероятность — численная мера возможности наступления некоторого события. Вероятность С практической точки зрения, вероятность события - это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений и опытов . Например , если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины , то можно говорить , что вероятность того , что встреченный на улице человек окажется женщиной , равна 1 /2 . Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

Пусть проводится N испытаний , в каждом из которых может появиться или не появиться событие A . По завершении испытаний оказалось, что событие A наступило M раз. Свойства Относительная частота событий и ее свойства Определение. Относительной частотой (частостью) события называют число P*(A )= M/N где M- число появлений события A,N-общее число проведенных испытаний . Пример 1.Стрелок сделал 100 выстрелов по мишени и попал 90 раз. Пусть событие A = . Тогда P(A )=90/100=0.9 Пример 2.Посажено 70 плодовых деревьев, на другой год оказалось, что прижилось 5 0 . Событие A - . Получаем P(A )=50/70=0.71

1 . Частость события - величина безразмерная и изменяется на множестве 2. Частость достоверного события равна 1 . 3. Частость невозможного события равна 0. 4. Частость случайного события изменяется на множестве (0, 1 ). Свойства 1 - 4 легко доказываются с помощью определения частоты и классификации событий. Так, например, пусть событие A достоверно . Это означает, что в серии из N испытаний оно наступило N раз Свойства частости события . [0,1]=. P*(A)= =1

Вероятностью события A называется отношение числа m равновозможных элементарных событий, благоприятных для A, к числу n всех возможных элементарных событий. Вероятность события A обозначают P(A ). Таким образом , Пример . Брошена игральная кость. Найти вероятность события A = . Решение . Элементарными событиями, благоприятными для A , являются события: А 1 = , А 2 = , А 3 = . Всего таких событий 3.Имеется шесть элементарных событий, n = 6, следовательно, C войства вероятности события 1 ) . Так как , каково бы ни было по своей природе событие A . 2 ) . Если A - событие невозможное, то P(A ) = 0. 3 ) . Если B - событие достоверное, то P(B ) = 1 Пример по сложнее Вероятность события и его свойства P(A)= P(A)= = . 0≤m≤n, то 0≤P(A)≤1

Пример. Найти вероятность события A= , если для этого необходимо угадать 5 из 36 чисел . Решение. При наличии одного билета имеется одно благоприятное для A элементарное событие = , то есть m=1 Число n всех элементарных событий равно числу всевозможных групп из 5 чисел, отличающихся хотя бы одним числом, т. е. n P(A)= Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту ( читается “ биномиальный коэффициент из n по k ”) (

Суммой или объединением двух событий A и B называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначают C=A+B или C=(A или B ). Вероятность наступления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е. P(A+B )=P(A)+P(B) Доказательство Теорема сложения для большего числа попарно несовместных событий формулируется и доказывается аналогично : P (A или, B или C) = P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). Следствие Теорема о сложении вероятностей  Пример

Пусть n- число всех возможных элементарных событий, при которых может наступить событие A или событие B . Пусть m A - число равновозможных элементарных событий, благоприятных для A, m B - такое же число для события B . Имеем Очевидно , m А +m В - число элементарных событий, благоприятных для появления события или A , или B , так что Теорема сложения для большего числа попарно несовместных событий формулируется и доказывается аналогично P(A или , B или C)=P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C). Очевидно , m А +m В - число элементарных событий, благоприятных для появления события или A , или B , так что P(A)= ,P(B)= P(A или B)=P(A+B)=

Следствие 1. Если события A, B, C образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1. Действительно, в результате испытания обязательно произойдет из этих событий (или B, или A, или C). Поэтому A+B +C- событие достоверное и P(A+B+C)=1 Следствие 2 . Сумма вероятностей двух противоположных событий A и не A равна1. Противоположные события являются частным случаем событий, образующих полную группу, поэтому В частности, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность промаха равна 1–0,8 = 0,2 . P(A)+P( A) =1 P( A)= 1- P(A).

Очевидно , что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B – одна деталь стандартная, две нестандартные; C – две детали стандартные, одна нестандартная и D – три детали стандартные . Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A=B+C+D . По теореме сложения имеем P(A)=P(B)+P(C)+P(D). Находим вероятность каждого из этих событий Сложив найденные величины, получим P(B)= P(C)= P(D)= P(A)= Пример.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной .

Условная вероятность — вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло . Условной вероятностью ( два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е. В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности: Пример Условная вероятность P(AB)=P(B)⋅P(A|B)=P(A)⋅P(B|A). P(A|B)= , P(B|A )= . (B)=P(B|A)

Решение . Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2. Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи ): AA,AB,BA,BB . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1. Так как все эти события совместны, то: отсюда искомая вероятность P(AA)=P(A) P(A | A)= ; P(BA )=P(B) P(A | B)= ; P=P(AA)+P(BA)= В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1 ?

Вероятность произведения двух независимых событий А,В равна произведению их вероятностей : События А, В называются зависимыми , если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью . Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого : Вероятность события В при условии появления события А : Зависимые и независимые события Р(В) = Р(В | А), Р(А) = Р(А | В) или Р(В | А) – Р(В) = 0 Р(АВ) = Р(А) P (В) P(A В) = Р(В) Р(А | В) или Р(АВ) = Р(А) Р(В | А) Р( B | A ) = События А,В называются независимыми , если вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.Вероятности независимых событий называются безусловными. Если два события А и В – независимые, то справедливы равенства:

Теорема умножения вероятностей Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило : Пример 1 .В корзине 7 яблок, 3 груши и 4 апельсина. Наудачу взяли 3 раза по фрукту. Найти вероятность того, что фрукты были взяты в последовательности: яблоко, груша, апельсин . Пример 2.Имеем 2 урны с шарами: в первой 20 шаров, из них 1 1 окрашенных , во второй 30 шаров, из них 21 окрашенных . Взяли по одному шару из каждой урны. А – оба шара окрашены. Найти P(A). Решение. P(A)= , (B)= , (C)= P(A)=P( ) P( )=

Вероятность хотя бы одного появления события А в n испытаниях . Если имеется n испытаний, вероятность появления события A в каждом из которых одинакова и равна P(A) , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий вычисляется по формуле : где q – вероятность противоположного к A события . Пример . Стрелок 4 раза стреляет по мишени ( n=4 ); вероятность попадания при каждом выстреле p=0.8 . Найти вероятность хотя бы одного попадания . Решение . P(A)=1-

Формула полной вероятности и формула Байеса Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле Эта формула называется формулой полной вероятности . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез . По теореме умножения вероятностей откуда Аналогично, для остальных гипотез Полученная формула называется формулой Байеса Пример P(A)=P( P P( +…+P( P( ). , ,…, P( P( ) P =P(A) P , P( A)= , i=1,…,n. P( A)=

В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта. Решение . Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Можно применить формулу полной вероятности : Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность : P( )=0.2 P =0.1 P( P P( )=0.5 P =0.2 P(B)=0.2 0.1+0.3 0.05+0.5 0.2=0.135 , ,

Задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ по математике. 1.Ученика попросили назвать число от 1 до 100 . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти? 1 ,2,3,4,5,6…100 Каждое пятое число из данного множества делится на 5 . Значит, вероятность равна . 2.Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков. 1,3,5 — нечетные числа; 2,4,6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна . Ответ : .

3.Монета брошена три раза. Какова вероятность выпадение двух орлов и одной решки ? Задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет. Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка Две монеты — уже четыре исхода: ОО РО ОР РР Три монеты -8 исходов так как = 8 ООО ОРО ОРР РРО ООР РОО РОР РРР Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми. Ответ : = 0.375 2 3

4.В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы ? Кодируем монеты числами: 1 , 2 (это пятирублёвые), 3,4,5,6 (это десятирублёвые). Запишем, что у нас в первом кармане. Для этого составим все возможные комбинации из набора 123456 . Набор из трёх цифр будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 123 и 231 — это один и тот же набор цифр. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

123 ,124,125,126,134,135,136,145,146,156 Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на 1 . 234,235,236,245,246,256,345,346,356,456 . Всего 20 возможных исходов. У нас есть условие —цифры с номерами 1 и 2 не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация 356 нам не подходит — она означает, что цифры 1 и 2 обе оказались в не в первом, а во втором кармане . Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только 1, либо только 2. Вот они: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего 12 благоприятных исходов. Тогда искомая вероятность равна Ответ: . .

5.Чтобы поступить в институт на специальность “ Лингвистика ” , абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность “ Коммерция ” , нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0. 6, по русскому языку — 0 . 8, по иностранному языку — 0 . 7 и по обществознанию — 0 . 5 . Найдите вероятность того, что абитуриент З , сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей . В задаче не спрашивается, будет ли абитуриент З , учиться и на лингвистике, и на коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что абитуриент З , сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.

Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, абитуриент З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный язык. Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0 . 6. Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0 . 6• 0 . 8. Для иностранного языка и обществознания н ам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному языку или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по иностранному языку, ни по обществознанию он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный язык не ниже чем на 70 баллов равна 1 – 0 . 5 • 0 . 3. В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 0 . 6 • 0 . 8 • (1 — 0 . 5 • 0 . 3) = 0 . 408 Ответ : 0.408

Понятие вероятности появилось в физике в связи с развитием кинетической теории газов. Когда было установлено, что газ состоит из большого числа движущихся частиц, то возник вопрос о том, с какими скоростями движутся частицы газа — его молекулы . Вероятность в физике. Английский физик Дж. Максвелл построил первую теорию идеального газа, в которой состояние газа задавалось не положением и скоростью каждой частицы, а функцией распределения — вероятностью найти молекулу с заданной скоростью в заданном месте сосуда.

Из теории Максвелла следовало, что большая часть молекул газа имеет скорость где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, m — масса молекул Это значение называют наиболее вероятной скоростью. Понятие вероятности оказалось очень плодотворным. С ее помощью можно рассчитывать различные процессы, в которых участвуют много частиц и в которых роль отдельных частиц становится незаметной. Это такие процессы, как теплопроводность, перемешивание — диффузия, химические реакции и многие другие. Их изучает статистическая физика . *Оказалось , однако, что даже для одной определенной частицы нельзя точно измерить координату и импульс одновременно и что результат опыта можно предсказать только в вероятностной форме . v= ( Из графика видно, что наибольшее число молекул обладает среднестатистической скоростью!

Пример: Так как нет возможности точно измерить траекторию частицы, значит, нельзя и дать точный ответ на вопрос о том, на какой угол отклонится летящий протон в поле атомного ядра. Можно лишь указать вероятность его отклонения на тот или иной угол. Нельзя сказать также, когда распадается определенный радиоактивный атом, можно лишь указать вероятность того, что он распадается через t секунд. В таблицах пишут, например, что скорость света равна величина в скобках называется стандартным отклонением. В данном случае из теории вероятности следует, что истинная скорость света не может отличаться от написанной более чем на 1,2 единицы в последнем знаке с вероятностью 68,3%. Дело в том, что в любом опыте существует большое количество неучтенных факторов. В случае скорости света такими факторами могут быть непостоянство температуры, неточность в измерении длины волны и т. д., но они могут сказываться лишь в восьмом знаке после запятой. Степень достоверности этого утверждения и оценивается вероятностью . Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин. 2,997924580(1,2)•10 8 м/с;

случайное событие - событие, которое может произойти или не произойти (например, выигрыш билета в лотерее, извлечение карты определенной масти из колоды карт).

Вероятностью случайного события ( p ) называется отношение числа благоприятствующих событию исходов (m) к общему числу исходов (n):

p = m/n

Заметим, что вероятность случайного события может изменяться от 0 до 1.

В беспроигрышной лотерее разыгрывается 3 книги, 2 альбома, 10 наборов маркеров, 10 блокнотов.

Какова вероятность выиграть книгу?

Общее число исходов 2+3+10+10=25; число благоприятствующих исходу событий равно 3. Вероятность выигрыша книги вычисляется по формуле: p =3/25=0,12.

Заметим, что во многих случаях события происходят с разной вероятностью, а значит формула N =2 i не всегда применима.

Вероятностный подход предполагает, что возможные события имеют различные вероятности реализации.

2 i =1/ p

Количество информации будет определяться по формуле Шеннона , предложенной им в 1948 г. для различных вероятностных событий:

I =−( p 1 log 2 p 1 + p 2 log 2 p 2 +. + p N log 2 p N ),

I – количество информации (бит);

N – количество возможных событий;

p i –вероятность i -го события.

Общее число исходов: 8+24=32, число благоприятствующих исходу событий равно 8. Вероятность выбора черного шара определяется как p =8/32=1/4=0,25

Количество информации вычисляем из соотношения 2 i =1/0,25=4,

значит, i =2 бита.

1) Найдем вероятность вытягивания шара красного цвета

2) Найдем количество информации

i = log 2 (1/0,05)= log 2 (20)=

В непрозрачном мешочке 10 белых,

1) Найдем общее количество шаров в мешочке

2) Найдем вероятность вытягивания шара

3) Найдем количество информации

I=-(0,1 · log 2 0,1+0,2 · log 2 0,2+ 0,3 · log 2 0,3+ 0,4 · log 2 0,4)=

Каждый эксперимент заканчивается каким-то определенным результатом, который не всегда возможно заранее предугадать. Для того, чтобы формально описать некоторый эксперимент, нужно указать все возможные варианты результатов, которыми этот эксперимент может закончиться. В теории вероятностей такие результаты называются исходами. Множество W всех возможных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов. Предполагается, что эксперимент может закончиться одним и только одним элементарным исходом. В наиболее простом случае все эти исходы можно перечислить:

Такое пространство элементарных исходов называется дискретным .

Простейшим пространством элементарных исходов является такое пространство, в котором все указанные исходы рассматриваемого эксперимента:

2) взаимно несовместны (т.е. в результате эксперимента может произойти один и только один из указанных исходов),

3) все исходы образуют полную группу событий (т.е. никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).

Такое пространство конечно и называется пространством равновозможных исходов (или симметричным пространством).

ПРИМЕР 1. При бросании симметричной монеты возможны два исхода – выпадение решки или герба. Они удовлетворяют всем трем указанным выше условиям и потому в этом случае пространство элементарных исходов представляется так (здесь буквами Р и Г обозначены решка и герб соответственно):

ПРИМЕР 2. При одновременном бросании двух монет исходы представляют собой упорядоченные пары, состоящих из символов Р и Г. Первый элемент этой пары – результат, выпавший на первой монете, второй элемент – результат на второй монете. Очевидно, что таких пар – четыре:

ПРИМЕР 3. В случае бросания игральной кости может выпасть любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому пространство элементарных исходов

ПРИМЕР 4. При одновременном бросании двух игральных костей элементарные исходы представляют собой пары (x, y), где x – число очков, выпавшее на первой кости, а y – число очков на второй кости. Всего таких пар – 36:

В дискретном пространстве вероятность каждого элементарного исхода считается заданной и обозначается Р(w_i ), или просто р_i , причем всегда

2) (или ),

т.е. сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице. Элементарные исходы мы называем элементарным событием.

Вероятностью события А называется сумма вероятностей всех элементарных исходов, входящих в А, то есть Р(А)=. Из этого определения вероятности события следует, что всегда 0 £ Р(А) £ 1.

В случае равновозможных исходов вероятность элементарного события А определяется формулой

Событие `А, состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в А, называется противоположным событием к событию А. Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно что Р(А) + Р(`А) = 1. Это равенство используется для вычисления вероятности события А в случае, когда вероятность противоположного события известна или легко может быть найдена, тогда Р(А) = 1 - Р(`А).

Таким образом, для вычисления вероятности в каждой задаче важно определить, в чем состоит эксперимент, правильно построить соответствующее пространство элементарных событий W и выделить в нем требуемое событие A. Затем, используя методы комбинаторики, подсчитать число элементов в W и A.

Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?

Решение . Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3 фрукта.

Решение. Так как порядок здесь безразличен, будем считать выборки неупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 элемента из 9, т.е. числу сочетаний n=. Число благоприятных исходов m= будет равно числу способов выбора трех апельсинов из имеющихся 5, т.е. числу сочетаний трех элементов из 5, т.е. . Тогда вероятность

Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманы числа совпадут.

Решение. Подсчитаем сначала общее количество исходов. Элементарными исходами будем считать упорядоченные совокупности задуманных чисел: N₁ , N₂ , N₃ , где N₁ - число, задуманное первым студентом, N₂ - вторым и N₃ - третьим Первый из них выбирает одно из 10 чисел — 10 возможностей, второй делает то же самое — 10 возможностей, наконец, выбор третьего также 10 возможностей. Согласно основной теоремы комбинаторики общее число способов будет равно:

n= N₁ ´N₂ ´N₃ =10 3 = 1000 элементарных исходов.

Подсчет количества благоприятных исходов более сложен. Заметим, что совпадение задуманных чисел может произойти у любой пары студентов (или даже одновременно у всех троих). Чтобы не разбирать отдельно все эти случаи, удобно перейти к противоположному событию, т.е. подсчитать количество тех случаев, когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них по-прежнему имеет 10 способов выбора числа. Второй студент теперь имеет лишь 9 возможностей (поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число не совпало с задуманным числом первого студента N₂ ¹N₁ . Третий студент еще более ограничен в выборе — у него всего 8 возможностей (из 10 возможных для N₃ исключаются два числа: N₃ ¹N₁ , N₃ ¹N₂ ). Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, равно в силу той же основной теоремы m=10 × 9 × 8 = 720. Остальные случаи 1000 - 720 = 280 характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятность совпадения равна Р=280/1000= 0,28.

Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.

Решение. Рассмотрим обратное событие , состоящее в том, что в каждую из 5 фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились два человека, а в остальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей . А всего способов распределить 6 клиентов по 5 фирмам . Отсюда , следовательно .

здесь все элементарные исходы равновероятны. Событие А= имеет вид

Каждое из событий А и В содержит элементов, а все пространство W содержит элементов. Следовательно, Р(А)=Р(В)=1/5.

где и – n-мерные объемы областей и соответственно. Здесь элементарными исходами называются точки множества (которое играет роль пространства элементарных исходов), а благоприятствующими исходами – точки множества .

Задача 6. Точку наудачу бросили на отрезок . Какова вероятность попадания этой точки на интервал ?

Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок , а множество благоприятствующих исходов , при этом длины этих интервалов равны и . Поэтому вероятность попадания брошенной точки в указанный интервал равна .

Задача 7. На отрезок бросили наудачу и поочередно две точки. Какова вероятность, что первая точка лежит правее второй точки?

Решение. Обозначим получившиеся координаты точек через x и y. Элементарным исходом в таком бросании двух точек будет пара , а пространством элементарных исходов – квадрат . Событие A= равносильно условию x>y, следовательно,

, т.е. представляет собой треугольник (см. рисунок). Площади квадрата и треугольника равны соответственно и , а потому вероятность .

Суммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно).

Произведением ( или пересечением)двух событий А и В называется событие АÇВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и события А и события В.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)

События А₁ ,А₂ . А_к образуют полную группу событий , если в результате испытания непременно произойдет одно из них , т.е. .

События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то

Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Задача 1 . В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение . Событие A= можно представить в виде суммы , где события и означают выборку пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна, а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так называемую условную вероятность , вычисляемую при условии, что событие B произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:

Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)

Формула умножения для трех событий:

Задача 2. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А=, B=. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

Задача 3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали.

Решение. Событие А= означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где = < первая деталь оказалась нестандартной >и =. Очевидно, что вероятность кроме того, (так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения

Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) = Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A.Оказывается, что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более простой вид:

два события A и Bнезависимы, если справедливо равенство

Р(АВ) = Р(А) × Р(В).

Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимости при практической проверке независимости двух событий.

Задача 4. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение . Событие A= можно представить в виде суммы , где события и означают выборку одного белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна, а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем:

Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий H_i , i = 1. n. Предположим, что события H_i несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны.. Такие события H_i называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности:

Задача 5. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студента, а третий — 21 студентов (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, зато у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Решение. Обозначим через – гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи

, , .

Пусть событие A=. Тогда снова в силу условия задачи

, , .

В заключении подведем основные итоги работы.

Итак, в работе были рассмотрены вероятность как событие, классическая вероятностная модель, аксиомы теории вероятности.

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием. Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую грань числом очков — от одного до шести).

Результат (исход) испытания называется событием. Событиями являются: выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом?

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов — результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Определение 2. События U₁ , U₂ , . U, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию Б, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m/n.

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.

2. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

3. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
Вероятность
и
информация

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край

Раздел математики, в котором изучаются случайные события и закономерности, которым они подчиняются, называется теорией вероятности.
Теория вероятностей

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
Определение:
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
В ящике лежат 10 шариков:
3 белых, 2 красных, 5 синих.
Какова вероятность того, что вытащенный наугад шар красного цвета?
Подумайте

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность любого события принимает значения от 0 до 1.

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
Вычислите вероятность выпадения герба при одномбросании монеты.
2. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один билет?

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
В классе 20 учеников. Какова вероятность того, что к доске вызовут тебя?
Даны числа 1, 2, 3, 4. Из них составили пароль. Какова вероятность того, что это число 1234?
Задачи

Щукина Т.И. г. Кудымкар, Пермский край
Вероятность и информация
i = log2 (1/p)

i - количество информации в битах
p – вероятность
log – логарифм

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Охрана труда

Сейчас обучается 124 человека из 45 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 603 146 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

26.09.2020 206
PPTX 247.5 кбайт
3 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Молчанова Елена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Фундаментальной чертой цивилизации является рост производства, потребления и накопления информации во всех отраслях человеческой деятельности. Вся жизнь человека, так или иначе, связана с получением, накоплением и обработкой информации. Что бы человек ни делал: читает ли он книгу, смотрит ли он телевизор, разговаривает, он постоянно и непрерывно получает и обрабатывает информацию.

Одной из важнейших проблем человечества является лавинообразный поток информации в любой отрасли его жизнедеятельности. Увеличение информации и растущий спрос на неё обусловили появление отрасли, связанной с автоматизацией обработки информации–информатики. Но для перехода непосредственно к науке информатике, необходимо сказать о самой информации.

Актуальность данной темы состоит в том, что только вовремя полученная информация может принести необходимую пользу.

Целью данной курсовой работы является изучения понятия информации и ее свойств.

Задачи курсовой работы:

1. изучить различные определения понятия информации;

2. изучение различных видов информации;

3. изучить свойства информации.

В практической части курсовой работы будет решена задача на расчет стоимости организации питания с помощью табличного процессора

MS Excel. Целью решения данной задачи является получение практических навыков в использовании электронных таблиц Microsoft Excel.

Теоритическая часть

В информатике информация-это сведения об объектах и процессах в окружающей среде, которые снижают неопределенность и позволяют адекватно реагировать на происходящее[3, тема 1, стр. 6].

Информация - это настолько общее и глубокое понятие, что его нельзя объяснить одной фразой. В это слово вкладывается различный смысл в технике, науке и в житейских ситуациях.

Экономическая информатика изучает свойства экономической информации, возникающей в процессе производственно-хозяйственной деятельности управления государственными или муниципальными организациями[3, тема 1, стр. 8].

Материальные объекты и реальные процессы имеют качественные и количественные характеристики, которые в экономических показателях называются реквизитами.

Все реквизиты в экономических показателях делятся на[3, тема 1, стр. 9]:

, отражающие качественные характеристики объекта, процесса, знания;
Реквизиты основания, отражающие количественную характеристику объекта, процесса, явления.

Наряду с информацией, базовыми понятиями информатики являются данные и знания. Эти понятия часто используются как синонимы.

Различают числовые, символьные, графические, звуковые типы данных, а также данные видеоинформации.

Не существует четкой границы между понятиями данные и информация, т.к в одном случае данные могут восприниматься в качестве информации, т.е. использоваться без какой-либо дополнительной обработки, а в другом-они должны быть предварительно обработаны.

Знания-это проверенные практикой результат изучения реальной действительности, отражающий содержание объектов, процессов и явлений[1, стр. 21].

Рис.1 Классификация знаний с позиции психического отражения среды человеком

Осознанные знания материализуются в различных носителях(книги, документы). Они делятся на декларативные, получаются путем восприятия и процедурные, получаются путем рассуждения.

Неосознанные знания воспроизводятся с помощью систем искусственного интеллекта, например, искусственных нейросетей.

Соотношения между понятиями знания м информация такое же, как и между понятиями данные и информация. Данные и знания всегда первичны, информация-вторична[3, тема 1, стр.11].

1.2 Виды информации

1) По функциям управления информация делится на [1, стр.20]:

Прогнозную-отражает вероятностные утверждения о том или ином будущем событии;
Плановую-указывает на процессы или факты, которые должны иметь место в планируемом периоде;
Учетную-фиксируется в бухгалтерских и иных документах и отражает фактически происшедшие события;
Нормативную-предназначена для сравнения имеющегося уровня запас материалов и других компонентов производства;
Справочную- применяется для расшифровки используемых в документации кодов;
Регулирующую-корректирует плановые показатели в процессе функционирования предприятия;
Аналитическую-поиск управляющих воздействий на структурные подразделения.

2) По уровню стабильности информация делится на[1, стр.21]:

Переменную-разового использования;
Условно-постоянную-многоразовое использование.

3) По источнику возникновения информация делится на [1, стр.21]:

Внешнюю-отражает состояние экономики вне предприятия;
Внутреннюю-состояние экономики внутри предприятия.

4) По характеру использования для принятия решений информация делится на[1, стр.21]:

Транзакционную-отражает ежедневные производственные и хозяйственно-финансовые факты;
Аналитическую-интегрированные, специальным образом подготовленные и пригодные для принятия решений данные

1.3 Свойства информации

Как и всякий объект, информация обладает свойствами. Характерной отличительной особенностью информации от других объектов природы и общества, является дуализм: на свойства информации влияют как свойства исходных данных, составляющих ее содержательную часть, так и свойства методов, фиксирующих эту информацию.

С точки зрения информатики наиболее важными представляются следующие общие качественные свойства[3, тема 1, стр.7]:

Полнота - достаточность для принятия решений или создания новых данных на основе имеющихся;
Ценность - способность приносить пользу и иметь цену;
Точность - степень приближения к реальности;
Полезность - пригодность к практическому применению;
Доступность - возможность восприятия пользователем;
Адекватность - определенный уровень соответствия создаваемого с помощью полученной информации образа реальному объекту, процессу, явлению;
Актуальность - способность сохранять ценность на момент использования;
Устойчивость - степень сохранности под влиянием внешних изменяющихся условий;
Достоверность - способность отражать реально существующие объекты с необходимой точностью;
Своевременность - наличие к нужному моменту времени;
Репрезентативность - представительность, адекватность свойствам объектаПолнота - достаточность для принятия решений или создания новых данных на основе имеющихся;
Ценность - способность приносить пользу и иметь цену;
Точность - степень приближения к реальности;
Полезность - пригодность к практическому применению;
Доступность - возможность восприятия пользователем;
Адекватность - определенный уровень соответствия создаваемого с помощью полученной информации образа реальному объекту, процессу, явлению;
Актуальность - способность сохранять ценность на момент использования;
Устойчивость - степень сохранности под влиянием внешних изменяющихся условий;
Достоверность - способность отражать реально существующие объекты с необходимой точностью;
Своевременность - наличие к нужному моменту времени;
Репрезентативность - представительность, адекватность свойствам объекта

1.4 Меры информации

Синтаксическая мера информации- отражает физические характеристики информации: объем, способ предоставления, способ кодирования, тип носителя, скорость передачи и т.д.[2, стр. 46]

Рис.2 Единицы измерения информации, их соотношение

Т.к. биты записываются с помощью нолей и единиц, их последовательность позволяет кодировать всю информацию в двоичной системе счисления. Выделяют также восьмеричную, десятичную, шестнадцатеричную и другие системы счисления. Данные системы счисления называются позиционными.

Позиционные системы счисления-это системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от ее местоположения ( арабские числа), [2, стр. 49].

Непозиционные системы счисления-это системы счисления, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места нахождения в числе( римские цифры) [2, стр. 49].

Системы счисления имеют основание. Основание системы счисления показывает сколько различных чисел, символов используются в записи числа(Рис.3), [2, стр. 49].

Рис.3 Основания систем счисления и алфавит цифр.

Числа можно переводить из одной системы счисления в другую [2, стр. 49-50].

Например, переедем число 0110 из двоичной системы счисления в десятичную.

Например, переведем число 100 из десятичной сисиемы счисления в двоичную (Рис.4).

Рис.4 Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную

Основные понятия алгебры высказываний. Логические операции

Рассмотрим арифметику двоичной системы счисления. В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Операции сложения, вычитания и умножения имеют вид[2, стр. 43]:

Компьютер выполняет не только арифметические, но и логические операции, используя понятия истина (1) и ложь (0). Для записи логического выражения используются понятие логического умножения или конъюнкция( рис.5); логического сложения или дизъюнкция( рис.6) и логического отрицания(рис.7)

Рис.5 Конъюнкция

Рис.6 Дизъюнкция

Рис.7 Логическое

Тезаурус — это совокупность сведений, которыми располагает пользователь или система. Максимальное количество семантической информации потребитель получает при согласовании ее смыслового содержания со своим тезаурусом, когда поступающая информация понятна пользователю и несет ему ранее не известные сведения. С семантической мерой количества информации связан коэффициент содержательности, определяемый как отношение количества семантической информации к общему объему данных[2, стр. 48].

Ценность информации рассчитывается по формуле: lp=log(P1/P0), где

Практическая часть

Вариант 14

2.1. Постановка задачи

2.1.1 Цель решения задачи

Цель решения данной задачи состоит в экономическом анализе деятельности предприятия общественного питания. Результаты решения задачи необходимы руководству для обобщения информации о финансовом состоянии предприятия в течение или в конце определенного периода.

2.1.2. Условие задачи

Читайте также: