Векторы в пространстве реферат
Обновлено: 04.07.2024
Понятие вектора в пространстве
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число
Компланарные векторы
Прямоугольная система координат
Координаты вектора
Длина вектора
Скалярное произведение векторов
Угол между векторами
Коллинеарные векторы: а, b, c, d.
Вектор, его длина
Равные векторы:
Сумма и разность векторов
Законы сложения векторов
Сочетательный закон
Умножение вектора на число
Умножение вектора на число
Первый распределительный закон
Умножение вектора на число
Второй распределительный закон
Компланарные векторы
Правило параллелепипеда
Прямоугольная система координат
Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.
Впервые введена Р.Декартом(1596-1650)
Координаты точки
Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел (x,y,z ) называемых координатами точки в пространстве
Координаты вектора
Векторы (i. j. k) единичные векторы
Любой вектор можно разложить по координатным векторам
Длина вектора
Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
Рене Декарт
французский философ, математик, физик и физиолог. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения.
Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z. ), коэффициентов (a, b, c. ), обозначение степеней (a2, x-1. ).
Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода и многое другое..
Схема и разность векторов. Умножение вектора на число. Координаты точки и вектора. Компланарные векторы и прямоугольная система координат. Длина, скалярное произведение, его свойства и угол между векторами. Переместительный и сочетательный законы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | творческая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.06.2009 |
| Размер файла | 481,5 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Изучение свойств геометрических объектов при помощи алгебраических методов. Основные операции над векторами. Умножение вектора на отрицательное число. Скалярное произведение векторов. Нахождение угла между векторами. Нахождение координат вектора.
контрольная работа [56,3 K], добавлен 03.12.2014
Векторы на плоскости и в пространстве. Расстояние между началом и концом. Коллинеарные и нулевые векторы. Условие коллинеарности и перпендикулярности векторов. Определение суммы и разницы векторов. Свойства операций сложения и умножения вектора на число.
презентация [98,6 K], добавлен 21.09.2013
Вектор - элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нем, которые подчиняются восьми аксиомам). Свободный и связанный векторы. Евклидовая норма и правило параллелограмма. Скалярное произведение и умножение вектора на число.
контрольная работа [102,6 K], добавлен 03.07.2011
Векторы в трехмерном пространстве. Линейные операции над векторами. Общее понятие про скалярные величины. Проекции векторов, их свойства. Коммутативность скалярного произведения, неравенство Коши-Буняковского. Примеры скалярного произведения векторов.
контрольная работа [605,8 K], добавлен 06.05.2012
Понятия векторной алгебры: нулевой, единичный, противоположный и коллинеарный векторы. Проекция вектора на ось. Векторный базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Действия над векторами, заданными координатами.
презентация [217,3 K], добавлен 16.11.2014
Основные определения и свойства скалярного произведения. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Проекция произвольного вектора. Геометрический смысл скалярного произведения. Проведение нормализации вектора, его направление.
курсовая работа [491,4 K], добавлен 13.01.2014
Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец, его свойства. Виды определения векторов, действия над ними. Правила сложения векторов, их сумма. Скалярное произведение векторов. Особенности использования векторов. Решение геометрических задач.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Министерство общего и профессионального образования
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Администрация Сысертского городского округа
Реферат по геометрии
Исполнитель: Бесов Владислав
Ученик 9а класса
Руководитель: Годова И.В
г. Сысерть 2008 г.
Глава 1. Векторы. . 4.
1.1. О трактовке понятия вектора…………………………………………………..4
Глава 2. Операции над векторами. 8
2.1. Композиция параллельных переносов. 8
2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 10
2.3 Коллинеарные вектора . 14
2.4.Свойства операции над векторами . 18
2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства……………. 20
Глава 3 Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач. 21 3.1. Применение векторов при доказательстве теорем . 21
3.2. Применение векторов при решении задач. 24
Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.
В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
О трактовке понятия вектора
Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сейчас теоретико-множественной трактовкой основных понятий школьного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.
Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.
Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.
В физике при помощи вектора изображаются различные направленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существенно связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.
В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).
В традиционных математических курсах вектор также определялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как их совпадение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с геометрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.
рефлективности: (А, В) ~ (А, В);
симметричности: если (А, В) ~ (С, D ), то (С, D ) ~
транзитивности: если (А, В) ~ (С, D ) и ( C , D ) ~ ( K , M ), то (А, В) ~ (К, М).
С помощью рассмотренного отношения эквивалентности производится разбиение множества пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквивалентных между собой пар точек (А, В) ~ (А1, В1) ~ (А2, В2) . (рис. 4), т. е. Т = ТАВ = Т А1В1 = Т А2В2 = . .
Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем — любой его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные векторы. Если вектор задается парой (А, В) (А ≠ В), то его обозначают. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а расстояние │АВ│ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой первая точка совпадает со второй; такой вектор называется нулевым вектором и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. │ │= │ │= 0, а направление его не определено. Итак, любой вектор плоскости полностью определяется заданием одной пары точек А и В, где В = (А). Заметим, что направленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор ≠ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направленных отрезков.
Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар ( X , У), для которых T ( X )= Y , есть вектор. Это множество пар ( X , Y ) иногда называют графиком параллельного переноса.
В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.
ВВЕДЕНИЕ 2
1. Направленные отрезки 4
2. Векторы 7
3. Сложение и вычитание векторов 11
4. Умножение вектора на число 15
5. Линейная зависимость векторов 18
6. Скалярное,векторное и смешанное произведения векторов 22
7. Применение векторов к решению задач. 24
Заключение 26
ЛИТЕРАТУРА 27
Введение
Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике. [3]
В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.
Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения — есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.
Целью данной работы является рассмотреть векторы на плоскости и пространстве.
Реализации данной цели служит ряд задач:
1. Рассмотреть направленные отрезки.
2. Дать понятие вектора.
3. Рассмотреть сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число.
4. Рассмотреть линейную зависимость векторов.
5. Изучить скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Список использованных источников
Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.
Широко известны следующие применения:
любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью;
широчайшее применение в физике (как элементарной, так и в современной общей и теоретической физике);
разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике);
разложение по базису в бесконечномерном случае: ряды Фурье, преобразования Фурье;
в векторном анализе - вычисление контурных интегралов, потоков и т.п.
Из выше изложенного можно сделать вывод, что векторы используются в математике и других естественных науках. Решение многих задач получается элегантным и компактным способом с использованием векторов. Отметим, что свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В этом состоит удобство векторных операций: вычисления с векторами выполняются по хорошо знакомым правилам. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол. С этим связана польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания).
В данной работе была продемонстрирована внутри предметная связь алгебры и геометрии и, как следствие, поиск рационального решения математической задачи, а также было выработано умение определять круг задач, для решения которых можно применять векторы.
Библиографический список:
Ермолаева, В.И. Выбор параметра оптимизации при математическом моделировании объекта./ В.И. Ермолаева// Вестник Ульяновской государственной сельскохозяйственной академии, научно-теоретический журнал. - № 2(5) август-ноябрь. - 2007. – С. 41-42.
Ермолаева, В.И. Регрессионные математические модели / В.И. Ермолаева, С.И. Банников// Вестник Ульяновской государственной сельскохозяйственной академии, научно-теоретический журнал. - № 2(5) август-ноябрь. - 2007. – С. 39-41.
Ермолаев, И.В. Методы неразрушающего контроля дефектов в изделиях электроники/И.В. Ермолаев//В мире научных открытий. Материалы Всероссийской студенческой научной конференции (с международным участием). -Ульяновск, 2014. С. 99-102
Ермолаева В.И. О некоторых путях совершенствования самостоятельной работы студентов/В.И. Ермолаева//Проблемы модернизации высшего профессионального образования. Материалы Международной научно-методической конференции.-2004. С. 16-18.
Ермолаева, В.И. Математика: учебное пособие для студентов аграрных вузов обучающихся заочно по инженерным специальностям/В.И. Ермолаева, О.Г. Евстигнеева. -Ульяновск: УГСХА им. П.А. Столыпина, 2013. -160с.
Читайте также: