Векторное произведение векторов реферат

Обновлено: 06.07.2024

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, - a есть вектор, противоположный вектору а . Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.

Произведением l x вектора а на число l в случае l № 0 , а № О называют вектор, модуль которого равен | l ||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a , если l >0, и в противоположную, если l 2 a +cos 2 b +cos 2 g =1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. _е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами:

Пр. _е a = Пр. _е l a (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j ). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k :

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l (aVb)= l aVb (сочетательность относительно умножения на число),

aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты 1 ,a ₂ > 1 ,b ₂ >, то :

При изучении естественных наук часто приходится иметь дело с так называемыми векторными величинами или просто – векторами. Знать, что это такое и умение работать с векторами является наиглавнейшим условием успеха в изучении любой дисциплины, где встречаются векторные величины.
Можно построить очень красивый дом, но будут ли уверены в своей безопасности его жильцы, если этот дом построен на песке? Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики и математики. Объектом исследования являются векторы и действия над ними.

Содержание работы

Введение……………………………………………………………3
Введение в понятие вектора ,действие над векторами……………
Определение векторного произведения……………………………. 4
Координаты векторного произведения………………………………..6
Свойства векторного произведения…………………………………….7
Векторное произведение - примеры и решения………………. 8
Заключение…………………………………………………………………14
Список литературы…………………………………………………………………15

Файлы: 1 файл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН.docx

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ЮЖНО-КАЗАХСТАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра медицинской биофизики, информатики и математики.

Тема: Векторное произведение векторов и его свойства.

Форма выполнения: реферат

Выполнила: Сарсенгалиева Д.А

Приняла: Сарбасова Г.С

Введение в понятие вектора ,действие над векторами……………

Определение векторного произведения……………………………. 4

Координаты векторного произведения………………………………..6

Свойства векторного произведения…………………………………….7

Векторное произведение - примеры и решения………………. 8

Можно построить очень красивый дом, но будут ли уверены в своей безопасности его жильцы, если этот дом построен на песке? Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики и математики. Объектом исследования являются векторы и действия над ними.

Введение в понятие вектора, действия над векторами.

В геометрии вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, обе граничные точки которого поименованы: одна граничная точка отрезка названа началом (по- другому – точкой приложения), а другая граничная точка отрезка названа концом. Любой ненаправленный отрезок с граничными точками A и B можно сделать направленным отрезком, то есть вектором, причем это можно сделать двумя способами. Если принять, что точка A является началом, а точка B является концом отрезка, то мы получаем вектор, который обозначается символом AB .

Используя этот же ненаправленный отрезок, можно определить вектор BA . У этого вектора точка B является началом, а точка A является концом. Принято также обозначать вектор одной буквой, обычно строчной буквой латинского алфавита, также с черточкой над буквой, например a . Очень удобно векторы изображать геометрически в виде отрезка, конец которого помечается "стрелкой", указывающей, куда направлен вектор. При этом нелишним будет напомнить, что направление в пространстве задается лучом (полупрямой, выходящей из той или иной точки пространства и уходящей на бесконечность). Так вот, чтобы понять, куда в пространстве направлен вектор AB, надо построить луч, выходящий из точки A и содержащий точку B. Куда будет направлен такой луч, туда в пространстве и будет направлен лежащий на луче вектор AB . Обычно при этом говорят кратко, что вектор AB направлен "от A к B".Произвольный вектор AB и соответствующий ему луч -A B.

Кроме направленности, важной характеристикой любого вектора является его модуль, обозначаемый привычным символом |AB| (или |a| ). Модулем любого вектора называется длина соответствующего ненаправленного отрезка. Если модуль вектора равен единице, то вектор называют единичным вектором. Направление в пространстве наиболее удобно задавать с помощью единичных векторов.

Действия над векторами.

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладывается вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. Таким образом:

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними.

a · b = |a| · |b| cos α

Определение векторного произведения.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов в трехмерном пространстве.

Отложим векторы от одной точки. В зависимости от направления вектора тройка может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой, в противном случае – левой.

Теперь возьмем два не коллинеарных вектора и . Отложим от точки А векторы и . Построим некоторый вектор , перпендикулярный одновременно и и . Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

он является нулевым, если векторы и коллинеарны;
он перпендикулярен и вектору и вектору ( );
его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними ( );
тройка векторов ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторное произведение векторов и обозначается как .

Координаты векторного произведения.

Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где - координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

антикоммутативность ;
свойство дистрибутивности или ;
сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

В основном встречаются три типа задач.

В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула .

Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно .

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, .

Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .

Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида и , или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим характерные примеры.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора . Найдите их векторное произведение.

По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель

Найдите длину векторного произведения векторов и , где - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Сначала найдем координаты векторного произведения в заданной прямоугольной системе координат.

Так как векторы и имеют координаты и соответственно, то по второму определению векторного произведения имеем

То есть, векторное произведение имеет координаты в заданной системе координат.

Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат:

Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения .

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать

В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:

Векторные произведения и равны нулю, так как и , тогда .

Так как векторное произведение антикоммутативно, то .

Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству .

По условию векторы и перпендикулярны, то есть угол между ними равен . То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины

В данной работе была продемонстрирована внутрипредметная связь алгебры и геометрии и, как следствие, поиск рационального решения математической задачи, а также было выработано умение определять круг задач, для решения которых можно применять векторы.

При изучении естественных наук часто приходится иметь дело с так называемыми векторными величинами или просто – векторами. Знать, что это такое и умение работать с векторами (или можно сказать по-другому: знать основы векторной алгебры) является наиглавнейшим условием успеха в изучении любой дисциплины, где встречаются векторные величины.

Содержание

Введение ………………………………………………………………….. 3
Глава 1. Вектор……………………………………………………………. 4
Понятие вектора………….. ……………………………………….
4
Линейные операции над векторами …………………….………..
8
Глава 2. Действия над векторами. Произведение векторов……….
12

2.1. Скалярное произведение векторов и его свойства ………………..
12
2.2. Векторное произведение векторов и его свойства …………. 14
2.3. Смешанное произведение векторов………………………………… 16

Вложенные файлы: 1 файл

математика отпр.doc

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬН ОЕУЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Экономический факультет

КУРСОВАЯ РАБОТА

Студентки Твердиковой Натальи Викторовны

Научный руководитель__________________ ______________________

Дата представления_________________ _________________

Дата защиты ______________________________ __________

Оценка ______________________________ _______________

г. Барнаул 2009г.

П ри изучении естественных наук часто приходится иметь дело с так называемыми векторными величинами или просто – векторами. Знать, что это такое и умение работать с векторами (или можно сказать по-другому: знать основы векторной алгебры) является наиглавнейшим условием успеха в изучении любой дисциплины, где встречаются векторные величины.

Можно построить очень красивый дом, но будут ли уверены в своей безопасности его жильцы, если этот дом построен на песке? Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики. Объектом исследования являются векторы и действия над ними.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что и по математике и по физике школьникам о векторах рассказывают, но, во-первых, очень мало, во-вторых (и это - главное), учителя не подчеркивают, что эти знания являются ключом, которым открываются двери и в Механику, и в Электричество, и в Магнетизм, и в любую дисциплину, где фигурируют векторные величины. Ключ-то совсем небольшой, но воистину золотой!

1.1. Понятие вектора

Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков. Вектор

изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все

семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих

отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные

латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские

буквы с черточкой сверху. Той же буквой, но не жирной, а светлой обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа.

Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков следует помнить, что концы отрезка,

изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.

Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор). Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление, уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые

Говорят, что скользящие векторы и равны, если

точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике . Простейший пример скользящего вектора в механике — сила . Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Вектор, представленный набором n элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс: .

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например: , причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака. Длина (модуль) вектора — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Обозначается или просто a.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым: Вектор называют противоположным вектору . Длиной вектора, или модулем вектора , называют длину соответствующего направленного отрезка: .

1.2. Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2). Отсюда сразу следует, что .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).

Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если - число положительное, и противоположно вектору , если - число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. + = + - коммутативность;

2. + ( + ) = ( + ) + - ассоциативность (по сложению);

6. α(β ) = (αβ) - ассоциативность (по отношению к числам);

7. (α + β) = α + β - дистрибутивность (по отношению к умножению на вектор);

8. α( + ) = α + α - дистрибутивность (по отношению к умножению на число), α, β - числа.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители. Свойства векторов незаменимы при сложении, вычитании векторов, при умножении векторов и умножении вектора на число, при упрощении выражений, при нахождении скалярного и векторного произведений векторов и много другого.

Трём векторам a, b и c можно поставить в соответствие вектор, равный a×(b×c). Этот вектор называют двойным векторным произведением векторов a, b и c. Двойное векторное произведение встречается в механике и физике.

Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух или трёх своих сомножителей по формуле

Докажем это. Обозначим через x разность левой и правой частей этого равенства

x = a×(b×c) - b(ac) + c(ab).

Нам достаточно показать, что x = 0.

Предположим, что векторы b и c коллинеарны. Если они оба нулевые, то в выражении для вектора x все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равенство

x = 0 выполнено. Если же один из коллинеарных векторов b, c ненулевой, например c, то для другого вектора при некотором α є R выполнено равенство b=αc. Но тогда

Предположим теперь, что векторы b и c неколлинеарны. Тогда их векторное произведение не равно нулевому вектору и ортогонально ненулевому вектору b. Векторы

образуют правый ортонормированный базис в V3 (это и отражается в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие разложения векторов:

b=|b|i , c = c1i+c2k , a = a1i + a2j + a3k ,

b×c = - |b|c2j , a×(b×c) = - |b|c2(a1k – a3i).

ac = a1c1 – a3c2 , ab = a1|b|.

В результате находим, что и в случае неколлинеарных векторов b и c выполнено равенство

x= -|b|c2(a1k – a3i) – (a1c1 – a3c2)|b|i + a1|b|(c1i + c2k) = 0.

Произведение (a×b)×c ортогонально вектору a×b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит в плоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам a и b, то есть существуют такие два числа x и y, что

Чтобы найти эти числа, мы воспользуемся леммой, согласно которой существуют положительно ориентированный ортонормированный базис е1, е2, е3 ,связанный с векторами a, b и с формулами

В этом базисе вектор a×b имеет координаты (0,0, a1b2) , и потому вектор (a×b)×c – координаты

Так как вектор xa+yb имеет координаты (xa1+yb1, yb2, 0), то, следовательно, формула (a×b)×c=xa+yb будет иметь место при

x = -b1c1 – b2c2 , y = a1c1.

Поскольку, с другой стороны, а1с1 = ас и b1c1+b2c2 = bc, этим доказано следующее предложение:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для любых векторов a, b, c имеет место равенство (a×b)×c=(ac)b-(bc)a.

Из этой формулы непосредственно вытекает следующее тождество Якоби:

Действительно, в силу коммутативности скалярного умножения

С помощью формулы (a×b)×c=(ac)b-(bc)a легко вычисляется также скалярное произведение (a×b)(x×y) двух векторных произведений. Действительно пользуясь антикоммутативностью смешанного произведения, мы немедленно получим, что

Определитель в правой части этой формулы называется взаимным определителем Грамма пар векторов a,b и x,y.

При a=x и b=y формула даёт формулу

которую можно переписать также в следующем изящном виде:

Определитель в правой части предыдущей формулы называется определителем Грамма пары векторов a и b.

Поскольку |a×b| равно площади S параллелограмма, построенного на векторах a, b, формула

в которой векторные произведения явно не участвуют. Таким образом, мы видим, что определитель Грама пары векторов равен квадрату площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вычислив скалярные произведения через координаты мы немедленно получим следующее тождество Лагранжа :

(a21+a22)(b21+b22) = (a1b1 + a2b2)2 + (a1b2 – a2b1)2,

Известному из теории комплексных чисел (тождество выражает тот факт, что произведение модулей комплексных чисел a1+ia2 и b1+ib2 равно модулю их произведения).

Аналогом вышеприведённых формулы и тождества существует и для трёх векторов a, b, c. В нём участвует определитель

называемый определителем Грамма тройки векторов a, b, c. В координатах относительно ортонормированного базиса e1, e2, e3 , в котором векторы a, b, c выражаются по формулам

c=c1e1+c2e2+c3e3 , этот определитель имеет вид

Автоматическое вычисление показывает, что он равен a21b22c23. С другой стороны, как мы уже знаем, a1b2c3= abc. Таким образом

где V – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.

Аналог формулы имеет вид

где определитель справа называется взаимным определителем Грама троек a, b, c и x, y, z.

Читайте также: