Вариационный ряд средние величины коэффициент вариации реферат
Обновлено: 17.05.2024
Вариация — это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана с тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.
Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.
Абсолютные показатели вариации включают:
среднее линейное отклонение
среднее квадратическое отклонение
Размах вариации (R)
Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака
Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2, 3, 4, 7 и 9 лет.
Решение: размах вариации = 9 — 2 = 7 лет.
Для обобщенной характеристики различий в значениях признака вычисляют средние показатели вариации, основанные на учете отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность .
При этом во избежании превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонения, то есть брать эту сумму по модулю , либо возводить значения отклонений в квадрат
Среднее линейное и квадратическое отклонение
Среднее линейное отклонение — это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.
Среднее линейное отклонение простое:
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2, 3, 4, 7 и 9 лет.
В нашем примере: лет;
Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технологических особенностей производства).
Среднее квадратическое отклонение
Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:
Среднее квадратическое отклонение простое:
Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: ~ 1, 25.
Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.
Дисперсия
Дисперсия - представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.
В нашем примере:
Более удобно вычислять дисперсию по формуле:
которая получается из основной путем несложных преобразований. В этом случае средний квадрат отклонений равен средней из квадратов значений признака минус квадрат средней.
Для несгрупиированных данных:
Для сгруппированных данных:
Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие — нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой , а долю единиц, не обладающих этим признаком — через . Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно
,
средний квадрат отклонений
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством (), на долю единиц, данным свойством не обладающих ().
Максимальное значение средний квадрат отклонения (дисперсия) принимает в случае равенства долей, т.е. когда т.е. . Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:
Так, если в изготовленной партии 3% изделий оказались нестандартными, то дисперсия доли нестандартных изделий , а среднее квадратическое отклонение или 17, 1%.
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.
Относительные показатели вариации
Относительные показатели вариации включают:
Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент варианции)
Коэффициент вариации (относительное отклонение)
Сравнение вариации нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, а тем более по различным признакам с помощью абсолютных показателей не представляется возможным. В этих случаях для сравнительной оценки степени различия строят относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей вариации к средней:
Относительное линейное отклонение
Рассчитываются и другие относительные характеристики. Например, для оценки вариации в случае асимметрического распределения вычисляют отношение среднего линейного отклонения к медиан
так как благодаря свойству медианы сумма абсолютных отклонений признака от ее величины всегда меньше, чем от любой другой.
В качестве относительной меры рассеивания, оценивающей вариацию центральной части совокупности, вычисляют относительное квартильное отклонение , где — средний квартиль полусуммы разности третьего (или верхнего) квартиля () и первого (или нижнего) квартиля ().
На практике чаще всего вычисляют коэффициент вариации. Нижней границей этого показателя является нуль, верхнего предела он не имеет, однако известно, что с увеличением вариации признака увеличивается и его значение. Коэффициент вариации является в известном смысле критерием однородности совокупности (в случае нормального распределения).
Рассчитаем коэффициент вариации на основе среднего квадратического отклонения для следующего примера. Расход сырья на единицу продукции составил (кг): по одной технологии при , а по другой — при. Непосредственное сравнение величины средних квадратических отклонений могло бы привести к неверному представлению о том, что вариация расхода сырья по первой технологии интенсивнее, чем по второй (. Относительная мера вариации (позволяет сделать противоположный вывод
Пример расчета показателей вариации
На этапе отбора кандидатов для участия в осуществлении сложного проекта фирма объявлила конкурс профессионалов. Распределение претендентов по опыту работы показало средующие результаты:
Вычислим средний производственный опыт работы, лет
Рассчитаем дисперсию по продолжительности опыта работы
Такой же результат получается, если использовать для расчета другую формулу расчета дисперсии
Вычислим среднее квадратическое отклонение, лет:
Определим коэффициент вариации, %:
Правило сложения дисперсий
Для оценки влияния факторов, определяющих вариацию, используют прием группировки: совокупность разбивают на группы, выбрав в качестве группировочного признака один из определяющих факторов. Тогда наряду с общей дисперсией, рассчитанной по всей совокупности, вычисляют внутигрупповую дисперсию (или среднюю из групповых) и межгрупповую дисперсию (или дисперсию групповых средних).
Общая дисперсия характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и условий.
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:
— численность единиц i-й группы
Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, сложившуюся по влиянием других, неучитываемых в данном исследовании факторов и независящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий.
— дисперсия i-ой группы.
Все три дисперсии () связаны между собой следующим равенством, которое известно как правило сложения дисперсий:
на этом соотношении строятся показатели, оценивающие влияние признака группировки на образование общей вариации. К ним относятся эмпирический коэффициент детерминации () и эмпирическое корреляционное отношение ()
Эмпирический коэффициент детерминации () характеризует долю межгрупоовой дисперсии в общей дисперсии:
и показывает насколько вариация признака в совокупности обусловлена фактором группировки.
Эмпирическое корреляционное отношение (!!\eta = \sqrt< \frac >
оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Предельными значениями являются нуль и единица. Чем ближе к единице, тем теснее связь.
Пример. Стоимость 1 кв.м общей площади (усл.ед) на рынке жилья по десяти 17-м домам улучшенной планировки составляла:
При этом известно, что первые пять домов были построены вблизи делового центра, а остальные — на значительном расстоянии от него.
Для рассчета общей дисперсии вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. общей площади: Общую дисперсию определим по формуле:
Вычислим среднюю стоимость 1 кв.м. и дисперсию по этому показателю для каждой группы домов, отличающихся месторасположением относительно центра города:
а) для домов, построенных вблизи центра:
б) для домов, построенных далеко от центра:
Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, вызванная изменением местоположения домов, определяется величиной межгрупповой дисперсии:
Вариация стоимости 1 кв.м. общей площади, обусловленная изменением остальных неучитываемых нами показателей, измеряется величиной внутригрупповой дисперсии
Найденные дисперссии в сумме дают величину общей дисперсии
Эмпирический коэффициент детерминации:
показывает, что дисперсия стоимости 1.кв.м. общей площади на рынке жилья на 81, 8% объясняется различиями в расположении новостроек по отношению к деловому центру и на 18, 2% — другими факторами.
Эмприческое корреляционное отношение свидетельствует о существенном влиянии на стоимость жилья месторасположения домов.
Правило сложения дисперсий для доли признака записывается так:
а три вида дисперсий доли для сгруппированных данных определяется по следующим формулам:
общая дисперсия:
Формулы межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:
Характеристики формы распределения
Для получения представления о форме распределения используются показатели среднего уровня (средняя арифметическая, мода, медиана), показатели вариации, ассиметрии и эксцесса.
В симметричных распределениях средняя арифметическая, мода и медиана совпадают (. Если это равенство нарушается — распределение ассиметрично.
Простейшим показателем ассиметрии является разность , которая в случае правосторонней ассиметрии положительна, а при левосторонней — отрицательна.
Ассиметричное распределение
Для сравнения ассиметрии нескольких рядов вычисляется относительный показатель
В качестве обобщающих характеристик вариации используются центральные моменты распределения -го порядка , соответствующие степени, в которую возводятся отклонения отдельных значений признака от средней арифметической:
Для несгруппированных данных:
Для сгруппированных данных:
Момент первого порядка согласно свойству средней арифметической равен нулю .
Момент второго порядка является дисперсией .
Моменты третьего и четвертого порядков используются для построения показателей, оценивающих особенности формы эмпирических распределений.
С помощью момента третьего порядка измеряют степень скошенности или ассиметричности распределения.
В симметричных распределениях , как все центральные моменты нечетного порядка.Неравенство нулю центрального момента третьего порядка указывает на асимметричность распределения. При этом, если , то асимметрия правосторонняя и относительно максимальной ординаты вытянута правая ветвь; если , то асимметрия левосторонняя (на графике это соответствует вытянутости левой ветви).
Для характеристики островершинности или плосковершинности распределения вычисляют отношение момента четвертого порядка () к среднеквадратическому отклонению в четвертой степени (). Для нормального распределения , поэтому эксцесс находят по формуле:
Для нормального распределения обращается в нуль. Для островершинных распределений , для плосковершинных .
Кроме показателей, рассмотренных выше, обобщающей характеристикой вариации в однородной совокупности служит определенный порядок в изменении частот распределения в соответствии с изменениями величины изучаемого признака, называемый закономерностью распределения.
Характер (тип) закономерности распределения может быть выявлен путем построения вариационного ряда на основании большого объема наблюдений, а также такого выбора числа групп и величины интегралов, при котором наиболее отчетливо могла бы проявиться закономерность.
Анализ вариационных рядов предполагает выявление характера распределения (как результата действия механизма вариации), установление функции распределения, проверку соответствия эмпирического распределения теоретическому.
Эмпирическое распределение, полученное на основе данных наблюдения, графически изображается эмпирической кривой распределения с помощью полигона.
На практике встречаются различные типы распределений, среди которых можно выделить симметричные и асимметричные, одновершинные и многовершинные.
Установить тип распределения, означает выразить механизм формирования закономерности в аналитической форме. Многим явлениям и их признакам свойственны характерные формы распределения, которые аппроксимируются соответствующими кривыми. При всем многообразии форм распределения наибольшее распространение в качестве теоретических получили нормальное распределение, распределение Пауссона, биноминальное распределение и др.
Особое место в изучении вариации принадлежит нормальному закону, благодаря его математическим свойствам. Для нормального закона выполняется правило трех сигм, по которому вариация индивидуальных значений признака находится в пределах от величины средней. При этом в границах находится около 70% всех единиц, а в пределах — 95%.
Оценка соответствия эмпирического и теоретического распределений производится с помощью критериев согласия, среди которых широко известны критерии Пирсона, Романовского, Ястремского, Колмогорова.
Задачи статистического изучения вариации:
1. Понятие о вариации. Виды вариаций (дискретные, непрерывные).
2. Показатели вариации.
3. Виды дисперсий: общая, внутригрупповая, межгрупповая.
В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация.
Содержание
1. Понятие о вариации. Виды вариаций (дискретные, непрерывные)………….5
3. Виды дисперсий: общая, внутригрупповая, межгрупповая………………………9
3.1 Понятие о кривых распределения…………………………………………………..9
3.2. Структурные показатели вариационного ряда: мода, медиана, квартили, децили……………………………………………………………………………………………12
Работа содержит 1 файл
реферат статистика.docx
1. Понятие о вариации. Виды вариаций (дискретные, непрерывные)………….5
3. Виды дисперсий: общая, внутригрупповая, межгрупповая………………………9
3.1 Понятие о кривых распределения…………………………………………… ……..9
3.2. Структурные показатели вариационного ряда: мода, медиана, квартили, децили……………………………………………………………… ……………………………12
Список используемой литературы…………………………………………………… ……………..17
Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.
Задачи статистического изучения вариации:
1. Понятие о вариации. Виды вариаций (дискретные, непрерывные).
2. Показатели вариации.
3. Виды дисперсий: общая, внутригрупповая, межгрупповая.
В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация.
Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д.
По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.
1. Понятие о вариации.
Виды вариаций (дискретные, непрерывные)
Вариация — различие значений какого-либо признака у разных единиц совокупности за один и тот же промежуток времени. Причиной возникновения вариации являются различные условия существования разных единиц совокупности. Вариация — необходимое условие существования и развития массовых явлений. Определение вариации необходимо при организации выборочного наблюдения, статистическом моделировании и планировании экспертных опросов. По степени вариации можно судить об однородности совокупности, устойчивости значений признака, типичности средней, о взаимосвязи между какими-либо признаками.
Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.
Дискретной вариацией признака называется такая, при которой отдельные значения варианты отличаются на некоторую конечную величину.
Вариация называется непрерывной, если отдельные значения признака могут отличаться друг от друга на сколько угодно малую величину. Примером непрерывной вариации признака служит распределение посевных площадей по урожайности.
В зависимости от вида вариации различают дискретные и интервальные вариационные ряды. Дискретный признак служит основой для построения дискретного ряда. В случае непрерывного признака варианты объединяют в интервалы, образуя интервальный ряд.
В практике исторических исследований непрерывные вариации признака встречаются сравнительно редко, тем не менее, интервальные ряды имеют большое значение в обработке исторических данных. Дело в том, что некоторые признаки, принципиально являясь дискретными, принимают такое большое количество значений, что составленный по ним дискретный ряд является практически необозримым, при этом весьма затрудняется дальнейший его анализ.
2. Показатели вариации
К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
1. Самым распространенным абсолютным показателем является размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (Хmax) и наименьшим (Хmin) значениями вариантов.
Этот показатель прост для расчета, что и обусловило его широкое распространение. Однако, он улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду.
2. Для обобщающей характеристики распределения отклонений рассчитывают среднее линейное отклонение , определяемое как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:
- невзвешенное среднее линейное отклонение;
- взвешенное среднее линейное отклонение.
Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко, т.к. во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.
3. Меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (- средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат:
- невзвешенная или – взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение (СКО) выражается в тех же единицах измерения, что и признак ( в литрах, тоннах, рублях, %-х и т.д.). Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение , тем лучше средняя арифметическая отражает собой представляющую совокупность.
К относительным показателям, позволяющим сравнивать характер рассеивания в различных распределениях, относятся следующие:
1. Коэффициент осциляции — отражающий относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:
2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:
3.Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средней величины.
Если n>33% , то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.
3. Виды дисперсий: общая, внутригрупповая, межгрупповая
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака (х)от общего среднего значения (х) и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi — групповая средняя;
ni — число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней.
Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:
3.1. Понятие о кривых распределения
Кривая распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду в функционально связанным изменением значения признака.
В характере и типе закономерностей распределения отражаются общие условия вариации признака – сущность явления и те его свойства и условия, которые определяют изменчивость изучаемого признака.
Схематически (графически) любые реальные распределения можно изобразить в виде некоторой кривой, воспроизводящей основные особенности данного распределения.
В настоящее время изучено сравнительно большое число различных теоретических кривых распределения, из которых в практике статистических исследований производства часто используются следующие: нормальное распределение, распределение Пуассона, биномиальное распределение и некоторые другие.
Типы распределения имеют аналитическое выражение в виде закона распределения. Используя свойства того или иного закона распределения можно глубже проанализировать изучаемое явление, прогнозировать распределение и т.д.
Закон нормального распределения. Наиболее глубоко изучен в теории вероятностей и достаточно полно раскрыты условия, при которых он возникает. При разработке многих примеров математической статистики исходят из предположения о наличии в изучаемой совокупности нормативного распределения.
Основными параметрами, характеризующими нормальное распределение, являются средняя арифметическая ( ) и среднее квадратическое отклонение ( ).
Под средней величиной в статистике понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая его типичный уровень в конкретных условиях места и времени.
Средняя величина исчисляется по качественно однороднойсовокупности единиц. Различают степенные и структурные средние.
Средняя арифметическаявеличина определяется в случае, когда общий объем изучаемого признака может быть получен, путем суммирования его индивидуальных значений. Средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объема данного признака в изучаемом явлении на число единиц совокупности.
Средняя гармоническая используется, когда имеются индивидуальные значения признака, общий объем явления (w=xf), но неизвестны веса (f).
Средняя геометрическаяприменяется при расчете средних темпов роста.
Средняяквадратическая применяется в тех случаях, когда в исходной информации осредняемые величины представлены квадратичными мерами (например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев).
Средняя хронологическая применяется для определения среднего уровня в моментном ряду динамики.
Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Ряды могут быть одно и многомодальными.
Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.
Таблица 3.1 – Формулы расчета средних величин
(3.9)
(3.10)
- начало модального интервала;
h-длина модального интервала;
частота модального интервала;
-частота предмодального интервала;
-частота послемодального интервала.
(3.11)
-начало медианного интервала;
h - длина медианного интервала;
n - объем совокупности;
-накопленная частота интервала, предшествующего
-частота медианного интервала.
Для характеристики колеблемости или рассеяния значений признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.
Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.
Среднее линейное отклонение (L) - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант признака от среднего значения.
Дисперсия (σ 2 )представляет собой средний квадрат отклонений вариант признака от их средней величины.
Среднее квадратическое отклонение (σ)определяется как корень квадратный из дисперсии.
Относительным показателем колеблемости служит коэффициент вариации, который позволяет судить об интенсивности вариации признака, а, следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности.
Таблица 3.2 – Формулы расчета показателей вариации
V = или V = (3.19)
Задача 3.1. По данным пяти сельскохозяйственных организаций (приложение А)определить среднюю численность работников, среднегодовую заработную плату на одного работника и показатели вариации численности работников и среднегодовой заработной платы. Сделать вывод.
Методические указания:
Среднюю численность работников на одну организацию и показатели вариации рассчитать как простые формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Все вспомогательные вычисления провести с использованием макета таблицы3.3.
Таблица 3.3 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
Среднегодовую оплату труда работников и показатели вариации оплаты труда определить с использованием взвешенной формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Расчеты представить в таблице 3.4.
Таблица 3.4 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
среднегодовой заработной платы
Задача 3.3.Поданным таблицы 3.5 определить средний процент рентабельности продаж в организациях за каждый год, абсолютный прирост прибыли и рентабельности по каждойорганизации и в целом по всей совокупности.Сделать вывод.
Таблица 3.5 – Финансовые результаты реализации продукции
Задача 3.4.По даннымтаблицы 3.6 определить среднюю урожайность озимой пшеницы,модальное и медианное значения, показатели вариации. Сделать вывод.
Таблица 3.6 – Распределение организаций по урожайности озимой пшеницы
| Группа организаций по урожайности озимой пшеницы, ц/га | Число организаций в группе (  ) | Среднее значение интервала (  ) |  |  |  |
| 20,01 – 26,7 | 6 | ||||
| 26,71 – 33,4 | 9 | ||||
| 33,41 – 40,1 | 11 | ||||
| 40,11 – 46,8 | 13 | ||||
| 46,81 – 53,5 | 6 | ||||
| 53,51 – 60,2 | 5 | ||||
| Итого | 50 |
Задача 3.5.По данным таблицы 3.7 определить среднее число детей на одну семью, модальное и медианное значения. Ряд распределения изобразить графически. Сделать вывод.
Таблица 3.7 – Распределение семей по числу детей
| Число детей в семье | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Число семей | 15 | 220 | 159 | 67 | 24 |
Вопросы для самоподготовки
1. Что понимается под средней величиной в статистике?
2. Условия правильного применения средних величин.
3. Назовите виды и формы средних величин.
4. Что характеризует вариация признака?
5. Показатели вариации и способы их расчета.
РЯДЫ ДИНАМИКИ
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменения экономических явлений во времени, путем построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики представляет собой численные значения статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.
Графически ряды динамики изображаются линейными, либо столбиковыми диаграммами. По оси абсцисс откладываются показатели времени, а по оси ординат - уровни ряда (либо базисные темпы роста).
Введем условные обозначения:
уi – текущий (сравниваемый) уровень, i=1,2,3,…,n;
у1 – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (обычно начальный);
уп – конечный уровень.
Для характеристики развития явления во времени определяют показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста базисным и цепным способом, значение одного процента прироста (таблица 4.1).
Таблица 4.1- Расчет текущих показателей ряда динамики
Показатель
Зн.1% = 0,01 уi-1 или Зн.1%= (4.9)
Для характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени рассчитываются средние показатели динамики (таблица4.2).
Средние показатели динамики исчисляются одинаково для интервальных и моментных рядов, исключение составляет лишь расчет среднего уровня ряда.
Таблица 4.2 – Расчет средних показателей ряда динамики
| Показатель | Метод расчета |
Средний уровень (  ) а) интервального ряда |  (4.10) |
| б) моментного ряда с равными интервалами |  (4.11) |
| в) моментного ряда с неравными интервалами |  (4.12) |
Средний абсолютный прирост (  ) |  или  (4.13) |
Средний коэффициент роста (  ) |  =  или  (4.14) |
Средний темп роста (  ), % |  =  · 100 % (4.15) |
Средний темп прироста (  ), % |  =  -100 % или  =(  -1)·100% (4.16) |
Среднее значение 1% прироста,  |  (4.17) |
Для выявления тенденции развития в рядах динамики применяют различные методы: укрупнения временных интервалов (периодов); скользящих средних; аналитического выравнивания.
Основным условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость уровней во времени.
К несопоставимости приводит изменение состава или территориальных границ изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, инфляционные процессы. Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из неодинаковых по продолжительности времени периодов.
При обнаружении несопоставимости уровней ряда должна применяться процедура смыкания, если невозможен их прямой пересчет.
Смыкание может быть произведено двумя способами.
1 способ. Данные за предшествующие периоды умножаются на коэффициент перехода, который определяется как отношение показателей на тот момент времени, когда произошло изменение условий формирования уровней ряда.
2 способ. Уровень переходного периода принимается для второй части ряда за 100% и от этого уровня определяются соответствующие показатели. При этом получается сопоставимый ряд относительных величин.
Иногда в динамических рядах отсутствуют промежуточные или последующие уровни. Их можно исчислить с помощью методов интерполяции (нахождение промежуточного неизвестного уровня, при наличии известных соседних уровней) и экстраполяции (нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, или в прошлое на основании текущих уровней).
Пример 4.1. По имеющимся данным о цене производителей на автомобильный бензин рассчитать показатели ряда динамики. Сделать вывод.
Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для полного анализа изучаемого процесса или явления. Иногда совершенно непохожие по своему внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние величины. Поэтому для более детального изучения того или иного явления необходимо учитывать разброс или вариацию значений отдельных единиц совокупности. Измерение вариации признаков имеет как теоретическое, так и практическое значение.
Основными показателями, характеризующими вариацию, являются:
1) Размах вариации
2) Среднее линейное отклонение исчисляют для того, чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений:
где – абсолютные значения отклонений отдельных вариантов xi от средней арифметической ; fi – частота.
3. Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:
4. Среднее квадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии:
. В отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в единицах измерения варьирующего признака (руб., тыс., млн и т.д.). .
5. Коэффициент вариации – используется для сравнительной оценки вариации, а также для характеристики однородности совокупности:
Пример. Для иллюстрации расчетов воспользуемся данными нижеприведенной табл. 9.1:
Таблица 9.1 ‑ Данные о продаже основных марок холодильников:
Рассчитаем размах вариации.
R= 1200-460=740$
Пример вычисления размаха вариации
Размах вариации служит незаменимой мерой разброса экстремальных значений признака. Кроме характеристики границ разброса признака, размах вариации может быть использован для выявления ошибок. При наличии очень больших (или очень малых) ошибочно записанных значений признака размах вариации сразу резко возрастает, что требует проверки и корректировки исходных данных.
Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирующего признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Вследствие этого размах вариации может неправильно характеризовать общую колеблемость признака.
Этого недостатка лишен другой показатель – дисперсия, рассчитываемый как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины.
Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью признака существует прямая зависимость: чем сильнее колеблемость признака, тем больше отклонения его значений от средней величины и менее устойчив изучаемый показатель.
Как и средняя величина этот показатель может быть рассчитан в двух формах: взвешенной и невзвешенной
По приведенным выше данным определим средневзвешенную цену холодильника:
Далее рассчитаем дисперсию:
. Следует отметить, что дисперсия еще не дает представления об однородности совокупности, и этому показателю трудно дать экономическую интерпретацию, т.к. он рассчитан в квадратных единицах. Поэтому следующим шагом в исследовании однородности совокупности является расчет среднего квадратического отклонения, показывающего, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность что и изучаемый признак. .
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение
Вывод: Таким образом, цена каждой марки холодильника отклоняется от средней цены в среднем на 271,1 $
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации признака. Однако для сравнения разных совокупностей с точки зрения устойчивости какого-либо одного признака или для определения однородности совокупности рассчитывают относительные показатели.
Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего эти показатели выражаются в процентах.
Определим значение показателя вариации по вышеприведенным данным таблицы
Совокупность считается однородной, если V не превышает 33%.
Если V 25% – вариация сильная.
Вывод: Рассчитанная величина свидетельствует о неоднородности цен на холодильники, т.к. однородной совокупность считается, если коэффициент вариации меньше 33% (для распределений близких к нормальному).
!! Следует отметить, что коэффициент вариации может быть более 100%, что, в частности, может быть при наличии значений сильно отличающихся от средней величины. Такой результат означает, что в исследуемой совокупности сильна вариация признаков по отношению к средней величине.
Изучая вариацию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в расчетах, трудно оценить степень воздействия на него какого-либо отдельного признака.
При проведении такого анализа исходная совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным (оказывающим влияние на взаимосвязанный с ним признак) и результативным (подверженным влиянию).
Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится по факторному признаку на группы. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. Если статистическая совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то для оценки влияния различных факторов, определяющих вариацию индивидуальных значений признака, используют правило сложения дисперсий.
Общая дисперсия представляет собой сумму средней из виутригрупповой и межгрупповой и дисперсий:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака по всей совокупности как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности.
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки.
Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка. Другими словами внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию. Внутригрупповая дисперсия рассчитывается отдельно по каждой j-ой группе.
Для всех групп в целом вычисляется средняя из внутригрупповых дисперсий, взвешенных на частоты соответствующих групп по формуле:
Взаимосвязь между тремя видами дисперсий получила название правила сложения дисперсий. Таким образом, зная два вида дисперсий всегда можно определить третий:
Из этого равенства следует, что общая дисперсия, как правило, будет больше средней из групповых дисперсий. Это обусловлено тем, что при расчленении общей совокупности единиц на части по какому-либо признаку образуются более или менее однородные группы, в результате чего сокращается колеблемость признаков в пределах каждой группы. Это приводит к тому, что средняя из групповых дисперсий оказывается меньше дисперсии признака по всей совокупности единиц, причем разница между этими показателями будет тем больше, чем однороднее получаются группы в результате расчленения общей совокупности.
Теснота связи между факторным и результативным признаками оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:
Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.
Пример. На следующем условном примере исследуем зависимость объема выполненных работ от формы собственности проектно-изыскательских организаций.
Таблица 9.2. Выполнение работ проектно-изыскательскими организациями разной формы собственности
Объем выполненных работ
1) Определим средний объем работ для предприятий двух форм собственности.
2) Определим средний объем работ для каждой формы собственности.
3) Рассчитаем общую и внутригрупповые (т.е. для каждой группы) дисперсии.
4) Определим среднюю из внутригрупповых и межгрупповую дисперсию. Для этого полученные ранее данные заносятся в таблицу расчета.
Таблица 9.3. – Вспомогательная таблица
Пример. Средняя из внутригрупповых дисперсий
Пример. Межгрупповая дисперсия
На последнем этапе решения задачи необходимо проверить тождество, отражающее закон сложения дисперсий:
Проверка закона сложения дисперсий: 54,0+189,8=243,8
Вывод: Таким образом, можно сделать вывод о том, что объем работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% [(54,0/243,8) х 100%] зависит от фактора, положенного в основание группировки, т.е. от формы собственности, а на 78% [(189,8/243,8)х100%)] ‑ от прочих факторов.
Вывод о том, что объем выполненных работ в гораздо большей степени зависит от каких-либо других факторов, чем от формы собственности предприятий подтверждается и величиной эмпирического корреляционного отношения:
Вывод: Величина этого показателя свидетельствует о том, что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика
Контрольные задания
Вычислить: а) размах вариации; б)среднее линейное отклонение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; относительные показатели вариации возраста студентов.
2. По данным статистических ежегодников постройте таблицу с рядом показателей и определите показатели вариации: а) размах; б) среднее линейное отклонение; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности.
Читайте также: