Уравнения высших степеней реферат

Обновлено: 28.04.2024

Особенности отображения и разделения заданного уравнения на элементарные подуравнения. Анализ построения асимптот. Основные аспекты решения уравнений третьей степени. Формула вычисления комплексных корней. Основы проверки правильности записи момента.

Рубрика	Математика
Вид	дипломная работа
Язык	русский
Дата добавления	26.03.2015
Размер файла	460,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.

реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013

Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.

реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011

Уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю. Теорема Безу как один из методов, которые помогают решать уравнения высоких степеней. Определение и доказательство теоремы и следствия из нее.

научная работа [44,3 K], добавлен 25.02.2009

Уравнения, системы линейных, квадратных и третьей степени уравнений. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным. Системы уравнений, три переменные. График квадратичной функции, пределы, производные. Интегральное счисление и примеры решения задач.

шпаргалка [129,6 K], добавлен 22.06.2008

Основные понятия и определения кубических уравнений, способы их решения. Формула Кардано и тригонометрическая формула Виета, сущность метода перебора. Применение формулы сокращенного умножения разности кубов. Определение корня квадратного трехчлена.

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра общей математики

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Белокопытов А.Ю., Морозов В.О.

Краснодар, 2001

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

Рассмотрим сначала уравнение

Легко проверить, что если мы положим , где y – новое неизвестное, то дело сведется к решению уравнения

y 3 + py + q = 0,

где p, q – новые коэффициенты. Счастливая догадка итальянцев состояла в том, чтобы искать y в виде суммы y = u + v , где u , v – д в а новых неизвестных. Для них наше уравнение перепишется – после небольшой перегруппировки слагаемых – так:

u 3 + v 3 + (3 uv + p )( u + v ) + q = 0.

Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какое-нибудь условие – лучше всего

3 uv + p = 0,

тогда исходное уравнение примет совсем простой вид

u 3 + v 3 + q = 0.

Это означает, что сумма кубов u 3 , v 3 должна равняться – q , а их произведение . Следовательно, сами u 3 , v 3 должны быть конями квадратного уравнения

t 2 + qt – p 3 /27 = 0,

а для него формула уже известна. В итоге получается формула

причем из девяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары, дающие в произведении –p/3, как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Кардано, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен.

Для n = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари. Прежде всего, подобно предыдущему, положим , тогда дело сведется к решению уравнения вида

y 4 + py 2 + qy + r = 0.

Дополнив y 4 до ( y 2 + z ) 2 , т.е. прибавив и вычтя в левой части 2 zy 2 + z 2 , где z – вспомогательное неизвестное, получим

( y 2 + z ) 2 – [(2 z – p ) y 2 – qy + ( z 2 – r )] = 0.

Подберем теперь z так, чтобы квадратный трехчлен в квадратных скобках оказался полным квадратом; для этого нужно, чтобы его дискриминант равнялся нулю, т.е. чтобы было

q 2 – 4(2z – p) (z 2 – r) = 0.

Можем ли мы решить это уравнение относительно z ? Да, можем, так как оно кубическое. Пусть z ₀ – какой-нибудь его корень (даваемый формулой Кардано) тогда исходное уравнение перепишется в виде

где многоточия означают многочлен не более чем первой степени от y , оба раза один и тот же.

;

При этом знаки перед радикалами выбирают так, чтобы выполнялось равенство .

Эти исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений в радикалах.

Дальнейшим этапом в выяснении проблемы решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини (P. Ruffini, 1765-1822) и Абеля (N.-H. Abel, 1802 - 1829). Руффини (1799) предложил доказательство неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени, коэффициенты которого являются независимыми переменными. Однако его доказательство окончилось неудачей.

Нужен был принципиально новый подход. На этот раз он не заставил себя долго ждать – уже в 1824 году молодой (и в возрасте 27 лет умерший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, опираясь на идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней уравнения, доказал, что требуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение общего вида, при n ³5 действительно не существует. Теорема Абеля дала отрицательный ответ только для уравнений общего вида, т.е. с буквенными коэффициентами a ₀ , a ₁ , …, a_n , но, разумеется, многие конкретные уравнения сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах (пример: уравнение x 90 + 5 x 45 + 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи – нахождении критерия разрешимости уравнений в радикалах, т.е. необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам a ₀ , a ₁ , …, a_n любого заданного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет.

За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусе математической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы , т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структура его корней. В частности, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу так называемых разрешимых групп . Таким образом вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числа действий.

Обратимся теперь к исходному объекту исследования – уравнению

f(x) = a₀ (x - a ₁ )…(x - a _n ),

где a ₁ … a _n – некоторые комплексные числа (называемые корнями уравнения). Задача состоит в том, чтобы узнать, существуют ли формулы, выражающие корни a ₁ , …, a _n через коэффициенты a ₀ , a ₁ , …, a_n с помощью четырех арифметических действий и извлечения радикалов? Прежде всего, сразу можно считать, что все числа a ₁ , …, a _n различны, иначе мы поделили бы многочлен f на наибольший общий делитель этого f и его производной f’ , что дало бы нам новый многочлен с теми же самыми корнями, но уже без повторений.

Как действует любой такой автоморфизм j на корни нашего уравнения? Если a - корень, т.е.

a₀ a n + a₁ a n – 1 + … + a_n = 0,

то, применив j к обеим частям, получим

a₀ ( a j ) n + a₁ ( a j ) n – 1 + … + a_n = 0,

т.е. a j – корень того же уравнения! Другими словами, автоморфизм j просто переставляет корни a ₁ , …, a _n между собой, определяя тем самым некоторую перестановку

a ₁ … a _n

a ₁ … a _in

легко сообразить, что произведению автоморфизмов будет отвечать произведение соответствующих перестановок, так что все получающиеся при этом перестанвоки сами составляют группу. Она называется группой симметрий или группой Галуа уравнения f =0 и обозначается Gal(f ). Понятно, что Gal(f ) – подгруппа группы S_n всех перестановок п символов. Оказывается, свойствами группы Галуа и определяется ответ на вопрос о разрешимости данного уравнения в радикалах.

Вот этот знаменитый

Критерий Галуа. Уравнение f=0 тогда и только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Gal(f ) обладает полициклической матрёшкой.

Оказывается, что группу Gal(f ) действительно можно вычислить, не зная корней уравнения f = 0, а пользуясь лишь, так сказать, соображениями симметрии.

Конечно, без всякого критерия Галуа видно, что оно биквадратное и легко решается в радикалах, но наша цель сейчас в другом продемонстрировать на этом простеньком примере, как, не пользуясь знанием корней уравнения, найти его группу Галуа. Сейчас мы убедимся, что это вполне возможно. Прежде всего заметим, что многочлен

f = x 4 – x 2 + 1,

стоящий в левой части, не разлагается на множители меньшей степени с рациональными коэффициентами. Для выяснения этого имеется несложный общей прием, на котором мы не будем останавливаться.

Пусть a какой-нибудь корень нашего уравнения. Понятно, что тогда -a, 1/a, -1/a - тоже корни, причем все они попарно различны. Занумеруем их, пусть

Какие перестановки войдут в группу Gal(f )? Разумеется, далеко не все 24 перестановки четырех символов. В самом деле, если при каком-то автоморфизме поля Q (a) число a переходит в a₁ , т.е. остается на месте, то легко понять, числа a₂ , a₃ , a₄ тоже останутся на месте. Другими словами, получится единичная перестановка е . Далее, если a перейдет в a₂ , то по той же причине получится перестановка

Наконец, при aa₃ и aa₃ получатся перестановки

Так как все возможности для образа корня a мы перебрали, никакие другие перестановки появиться не могут.

С другой стороны, можно убедиться, что все четыре перестановки е, а, b, с действительно возникают из автоморфизмов поля Q (a), так что они и составляют группу Gal(f ) нашего уравнения. В самом деле, рассмотрим, например, подстановку а (для подстановок b, c рассуждение абсолютно аналогично). Если, как мы собираемся доказать, автоморфизм поля Q (a), соответствующий подстановке a , существует, то он обязан действовать так:

где g, h произвольные многочлены с рациональными коэффициентами, причем h( a) ¹ 0 (учтите, что автоморфизм обязан переводить сумму в сумму и произведение в произведение). Ясно, что это формулу и следует взять за определение искомого автоморфизма. Тонкость состоит в том, что число может быть записано многими разными способами:

и нужно убедиться, что при замене a на a₂ все эти равенства сохранятся. Иначе говоря, если p = gh₁ – g₁ h и p( a) = 0 , то и p( a₂ ) = 0 . Чтобы доказать это, поделим р на исходный многочлен f с остатком:

остаток r( x) – это многочлен степени не выше третьей. Так как p( a) = f( a) = 0 , то и r( a) = 0 . Предположим на время, что r( x) ¹ 0 . По школьной теореме Безу многочлены f( x), r( x) имеют общий делитель x - a; пусть d( x) – их наибольший общий делитель. Очевидно, d( x) имеет степень не ниже первой и не выше третьей и делит многочлен f( x) , а это противоречит неразложимости на множители. Полученное противоречие означает, что r( x)=0 , т.е.

Положив здесь x = a₂ , получаем требуемое равенство p( a₂ ) = 0 (а вместе с ним и два других равенства p( a₃ ) = p( a₄ ) = 0). Точно так же из h( a) ¹ 0 следует h( a₂ ) ¹ 0 и т.д. Итак,

Как видите, группа Галуа найдена, и значения корней при этом не понадобились!

В заключение несколько слов об общем уравнении

где a ₀ , a ₁ , …, a_n - буквенные коэффициенты. Можно показать (опять-таки не пользуясь значениями корней), что группой Галуа этого уравнения будет группа всех перестановок S_n . обладает ли она полициклической матрешкой подгрупп? Если п £4, то да. Если же п ³ 5, то группа S_n не имеет полициклических матрёшек, - это уже довольно трудная теорема, также доказанная Эваристом Галуа. Следовательно, общее уравнение степени п ³ 5 неразрешимо в радикалах.

Заканчивая этот краткий очерк идей Галуа, скажем, что шестьдесят страниц, написанных Эваристом Галуа накануне роковой дуэли явилось одним из истоков современной теории групп – основного и наиболее развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира – симметрию.

Преобразование j поля К называется его автоморфизмом , если оно сумму переводит в сумму, а произведение в произведение, т.е.

(а + в) j = а j + в j , (АВ) j = а j в j

для любых а,в из К; здесь а j обозначает образ элемента а и т.д.

Поле – это множество К с двумя двуместными операциями, называемыми сложением и умножением, причем отностительно сложения оно является коммутативной группой, относительно умножения его элементы, отличные от нулевого, тоже составляют коммутативную группу и, наконец, в К выполняется обычное правило для раскрытия скобок (а + в)с=ас + вс для любых а, в, с из К.

Рассмотрим последовательность вложенных друг в друга подгрупп; всякая такая последовательность

Группой называется любое множество G, на котором задана двуместная алгебраическая операция, т.е. правило, сопоставляющее каждым двум элементам из G определенный третий элемент из G, причем выполняются следующие аксиомы:

а) операция ассоциативна , т.е. (а b) c= a( bc)

б) G содержит единичный элемент

в) для всякого а из G существует обратный элемент.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Перевозская средняя общеобразовательная школа

Реферат по математике

Руководитель: учитель математики

Чиркова Альбина Николаевна

Во второй главе рассматривается теория квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным. Кроме изучаемых в школе способов решения рассматриваются решения квадратных уравнений частного характера.

В третьей главе раскрыта основная часть работы. Здесь рассматриваются методы решения некоторых уравнений высших степеней: двучленные, возвратные, симметрические и кососимметрические уравнения, решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, теорема Безу, Схема Горнера, теорема Виета для уравнений высших степеней, формулы Кардано.

Глава 1. История квадратных уравнений и уравнений высших степеней.

1.1 Уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Уравнения арабов

1.3 Уравнения в Индии

Глава 2. Теория квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.

2.1 Основные понятия

2.2 Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом

2.3 Приведенные квадратные уравнения

2.4 Теорема Виета

2.5 Квадратные уравнения частного характера

2.6 Биквадратные уравнения

Глава 3. Уравнения высших степеней.

3.1 Двучленные уравнения

3.2 Возвратные уравнения

3.3 Симметрические и кососимметрические уравнения

3.4 Решение алгебраического уравнения с целыми коэффициентами

3.4.1 Теорема Безу

3.4.2 Схема Горнера

3.5 Теорема Виета для уравнений высших степеней

3.6 Формулы Кардано

Список используемой литературы

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений.

В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения различных уравнений. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней.

Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, гимназий. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Также решение различных видов уравнений встречается в вопросах единого государственного экзамена.

История квадратных уравнений и уравнений высших степеней.

1.1. Уравнения в Древнем Вавилоне.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

1.2. Уравнения арабов.

1.3. Уравнения в Индии.

Теория квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.

2.1. Основные понятия

Уравнение вида ax 2 + bx + c =0, где a , b , c — некоторые числа, причем a ≠0, а x — переменная, называется квадратным.

Если хотя бы один из коэффициентов b или c квадратного уравнения равен 0, то такое квадратное уравнение называют неполным. Например,

x 2 -5 x =0; 4 x 2 -9=0; 9 x 2 =0 — неполные квадратные уравнения.

Выражение b 2 -4 ac называется дискриминантом квадратного уравнения. Обозначают D = b 2 -4 ac .

В зависимости от знака дискриминанта возможны 3 случая:

Если D >0, то уравнение имеет 2 корня;

Если D =0, то уравнение имеет 1 корень;

При D ≥0 корни уравнения ax 2 + bx + c =0, где a ≠0, могут быть найдены по формуле , где D = b 2 -4 ac .

2.2. Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом.

Если в уравнении коэффициент b — четное число, то корни можно найти по формуле

В данной работе рассмотрены уравнения высших степеней и найдены способы их решения. Так же приведены примеры решения таких уравнений найденными способами.

Вложение	Размер
nauchno-issledovatelskaya_rabota_dodychenko_stepan.docx	1.23 МБ
Краткое представление работы в виде слайдов	1.59 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Актуальность выбранной темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением различных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: изучить уравнения высшей степени и различные способы их решения. Задачи: рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений высшей степени ; выявить наиболее удобные способы решения ; научиться решать уравнения высшей степени различными способами.

Объект исследования: уравнения высшей степени . Предмет исследования: способы решения уравнений высшей степени. Методы исследования: теоретические : изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов ; анализ полученной информации ; сравнение способов решения уравнений на удобство и рациональность.

Уравнения высшей степени и способы их решения Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное . Уравнение вида: называется уравнением n -ой степени .

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй. Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю. Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Способы решения уравнений высших степеней 1. Введение новой переменной Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t 1 , t 2 , …, t n ). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 - 3x – 1 = 0. Решение: (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 - 3x – 1 = 0. (х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0. Замена (х 2 + х + 1) = t. t 2 – 3t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена: х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1; х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0; Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида а 0 х n + а 1 х n – 1 + .. + а n – 1 х + а n =0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

5. Графический метод. Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций. Решение:

– кубическая парабола сдвинута в вниз на 45 единиц -парабола ветвями в вниз, сдвинута по оси OX вправо на 0,9 единиц и по OY вверх 0,81 единиц

6.Умножение уравнения на функцию. Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение.

Пример Решить уравнение: X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1) Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение: (Х 2 +1) (Х 8 – Х 6 + Х 4 – Х 2 + 1) = 0 (2) равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде: Х 10 + 1= 0 (3) Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет. Ответ: нет решений.

Так же этим способом можно решать уравнения вида , где a ≠ 0, d ≠ 0, c ≠ a , a ( c - a ) = d ( b - d ). Тогда умножение этого уравнения на многочлен получим симметрическое уравнение четной степени, среди корней которого содержится и корень Отметим, что этот корень может быть посторонним корнем для уравнения.

Заключение Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители; метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. В данной работе представлены методы решения указанных уравнений.

Цели работы: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

Задачи:

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Научно-исследовательская работа

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней….……. 6

Виды уравнений высших степеней………………………………………. ….9

Методы решения высших степеней……………….………………..…………9

Решение уравнений разными способами..………………….……………. 10

Историческая справка

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. В конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа.

С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрала эту тему для своей исследовательской работы.

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Методы исследования: изучение и анализ литературы, сравнение, обобщение, практический метод

Результат исследования: Я научилась решать возвратные и однородные уравнения,а также изучила теорему Безу и схему Горнера.

Гипотеза:Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней

Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.

Никколо Тарталья (1499-1557)

Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.

ДжероламоКардано(1501-1576)

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)

В 1826 году доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

Этьен Безу (1730-1783)

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)

Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен .

Виды уравнений высших степеней

Уравнения третьей степени

Уравнения четвёртой степени

Уравнения пятой степени

Способы решения уравнений высших степеней

Разложение многочлена на множители:

По формулам сокращенного умножения

По теореме Безу

Метод введения новой переменной

Способ группировки.

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Вынести этот общий множитель за скобки.

Примеры решения уравнений способом группировки:

x-5=0 или x-4=0 или x+4=0

x-2=0 или x+2=0 или x-3=0

По формулам сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности: (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов: а 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

4. Куб суммы: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности: (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сумма кубов: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 )

7. Разность кубов: a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2 )

Примеры решения уравнений с помощью формул сокращённого умножения:

+18a⁴+108a²+216=0

Читайте также: