Уравнение прямой на плоскости реферат

Обновлено: 05.07.2024

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой ( т.е. вектора, перпендикулярного прямой ). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси ОY .

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у ₀ ) и не параллельной оси OY, имеет вид:

у – у ₀ = m ( x – х₀ ) ,

где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х₁, у ₁ ) и ( х₂, у 2 ):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у ₀ ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b ) :

Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AE – BD = 0 ,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m = p .

Условие перпендикулярности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AD + BE = 0 ,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m p = – 1 .

Расстояние между двумя точками ( x₁, y ₁ ) и ( x₂ , y₂ ) :

Расстояние от точки ( х₀ , у ₀ ) до прямой Ах+ Ву+ С = 0 :

Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 :

Угол между прямыми:

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х₁, у ₁, z ₁ ) и ( х₂, у ₂ , z ₂ ):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у ₀ , z ₀ ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b, с ) :

Пусть заданы две плоскости Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0, причём их нормальные векторы неколлинеарны, тогда система уравнений

описывает прямую – линию пересечения этих плоскостей.

Пусть ( a, b, с ) и ( p, q, r ) – направляющие векторы двух прямых, тогда имеем условие параллельности прямых:

aq – bp = br – cq = ar – cp = 0 ,

условие перпендикулярности прямых:

ap + bq + cr = 0 ,

угол между прямыми:

угол между прямой и плоскостью:

Гиперболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F₁F₂ = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 – b 2 .

Эллипсом ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a

Отрезок F₁F₂ = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х 2 / a 2 + у 2 / b 2 = 1 :

k 2 = m 2 a 2 + b 2 .

Общее уравнение плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0 ,

где А, B и C не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости ( т.е. вектора, перпендикулярного плоскости ).

При А 0, В 0, С 0 и D 0 получаем уравнение плоскости в отрезках на осях:

где a = – D / A , b = – D / B, c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки ( a, 0, 0 ), ( 0, b, 0 ) и ( 0, 0, с ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a, b и c .

Уравнение плоскости, проходящей через точку ( х₀ , у ₀ , z ₀ ) и перпендикулярной вектору ( А, В, C ) :

А ( х – х₀ ) + В ( у – у ₀ ) + С ( z – z ₀ ) = 0 .

Условие параллельности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0 .

Условие перпендикулярности плоскостей Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

АE+ ВF+ СG = 0 .

Расстояние между двумя точками ( х₁ , у ₁ , z ₁ ) и ( x₂ , y₂ , z₂) :

Расстояние от точки ( х₀ , у ₀ , z ₀ ) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 :

Угол между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:

Высшая математика включает такие разделы, изучение которых дает математический аппарат, наиболее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.

Знание аналитической геометрии необходимо современному менеджеру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляемую в виде различных графиков - это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные формулы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план производства при заданных ресурсах.

Аналитическая геометрия – это ветвь математики, изучающая геометрические образы средствами алгебры. Для этого прежде всего создается некоторый аппарат, позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Наша работа посвящена одному из разделов аналитической геометрии - прямой на плоскости и в пространстве. Здесь рассматривается определение прямой, общие уравнения прямой на плоскости и в пространстве и т.д. Большое внимание уделяется практическому освоению рассматриваемого материала. Для достижения этой цели в работе приводятся примеры. Их рассмотрение будет способствовать выработке навыков рационального решения типовых примеров и задач.

В конце работы приводится список литературы, в который вошли все источники, использованные в той или иной мере при её написании.

1 Прямая на плоскости

Определение прямой линии

Прямая линия – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим 1 .

1.2 Прямая на плоскости

1.2.1 Общее уравнение прямой

Теорема. В прямоугольной системе координат любя прямая является уравнением первой степени:

и обратно, при произвольных коэффициентах A , B , C ( А и B не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Oxy .

Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox , то она имеет уравнение y = kx + b , где A = k , B = - 1 и C = b . Если прямая перпендикулярна оси Ox, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине a отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox . Уравнение этой прямой имеет вид x = a , т.е. также является уравнением первой степени, где A = 1 , B = 0 , C = - a . Тем самым первое утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение Ax + By + C = 0 , причем хотя бы один из коэффициентов A и B не равен нулю.

Если B ≠ 0 , то можно уравнение записать в виде:

y = - A / Bx – C / B .

Полагая, что k = - A / B , b = - C / B , получаем уравнение y = kx + b , т.е. уравнение, которое определяет прямую.

Если B = 0 , то A ≠ 0 и уравнение принимает вид x = - C / A . Обозначая - C / A через а , получаем x = a , т.е. уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox .

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствующем выборе коэффициентов A , B , C .

Пример. Укажем, как решать две задачи, часто возникающие в связи с уравнением прямой.

Задача 1 . Чтобы общее уравнение прямой превратить в уравнение с угловым коэффициентом, надо это общее уравнение решить относительно y (разумеется, считается, что y входит в уравнение, т.е. что B ≠ 0 . Например, уравнение

переписывается сначала в виде

Стало быть, угловой коэффициент нашей прямой есть m = - 5/3.

Задача 2 . Пусть требуется построить на чертеже прямую по уравнению. Если в это уравнение не входит одна из координат, то интересующая нас прямая параллельна одной из осей и ее построение очевидно. Если же в уравнение входят и x , и y , то для построения соответствующей прямой надо найти любые две ее точки и соединить их линейкой. Найти же точку, лежащую на нашей прямой, совсем просто: надо выбрать по своему желанию значение одной из координат (все равно какой), поставить его в уравнение и найти значение второй координаты.

Пример. Построить прямую

2 x + 5 y – 11 = 0

Положим y = 1 . Тогда уравнение примет вид 2x – 6 = 0, откуда x = 3 . Значит, одна точка (3; 1) нами уже найдена. Положив, далее, хотя бы y = 3 , получим

откуда x = - 2 и второй точкой будет (- 2; 3).

1.2.2 Уравнение прямой в отрезках

Дано уравнение Ax + By + = 0 при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду:

x / - C / A + y /- C / B = 1.

Вводя обозначения a = - C / A , b = - C / B , получаем:

Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны a = - 5 , b = 3 , и проведем прямую через точки M 1 (-5; 0) и M 2 (0; 3).

1.2.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит следующим образом:

y - y o = k (x - x o ),

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg  , где  - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x o , y o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение принимает вид y = kx + b , если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением y = (3/4) x + 2 .

Отложим на оси Oy отрезок OB , величина которого равна 2 , проведем через точку B параллельно оси Ox отрезок, величина которого BN = 4 , и через точку N параллельно оси Oy отрезок, величина которого NM = 3 . Затем проведем прямую BM , которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k = ¾ и отсекает на оси Oy отрезок величины b = 2 .

1.2.4 Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет следующий вид:

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos  + y sin  - р = 0,

где  - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Для данной прямой, следовательно, p = 1, cos α = 3/5, sin α = - 4/5 .

Пример. Уравнение прямой 3 x – 4 y – 5 = 0 привести к нормальному виду. Нормирующий множитель μ = -1 / √3 2 + 4 2 = - 1/5 . Умножая на него обе части данного уравнения, получим:

3/5 x – 4 /5 y – 1 = 0 .

1.2.5 Уравнение пучка прямых

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x 1 , y 1 ) имеет вид:

где  - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , то его уравнение имеет вид:

 (A 1 x + B 1 y + C 1 ) +  (A 2 x + B 2 y + C 2 )=0,

где  и  - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k 1 x + b 1 задается формулой:

Равенство 1 + k 1 k = 0 есть необходимое условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0,

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Уравнения задают две различные параллельные прямые, если A 1 /A 2 = B 1 /B 2 и B 1 /B 2  C 1 /C 2 ; прямые пересекаются, если A 1 /A 2  B 1 /B 2 .

Расстояние d от точки M о (x о , y о ) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d =  r о n о - р  , где r о - радиус-вектор точки M о или, в координатной форме, d =  x о cos  + y о sin  - р .

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a 11 , a 12 , a 22 есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом, равным R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 .

2 Прямая в пространстве

2.1 Уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой а . Обозначим через П 1 и П 2 какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а и предположим, что уравнения этих плоскостей будут: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей П 1 и П 2 , то она определяется совместным заданием двух уравнением:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей N 1 = < A 1 , B 1 , C 1 >и N 2 = < A 2 , B 2 , C 2 >не коллинеарны. Эти два уравнения совместно определяют прямую только в том случае, когда коэффициенты A 1 , B 1 , C 1 одного из них не пропорциональны коэффициентам A 2 , B 2 , C 2 другого.

2.2 Геометрическое истолкование двух уравнений между координатами в пространстве

Пусть имеем два уравнения с тремя переменными

f 1 ( x , y , z ) = 0 и f 2 ( x , y , z ) = 0.

Каждое из них определяет некоторую поверхность. Множество точек, общих обеим поверхностям, есть некоторая линия.

Пример. Уравнения x 2 + y 2 = R 2 и z = a , радиуса R с центром на оси Oz в точке (0; 0; a ). Заметим, что эту же линию можно задать параметрически тремя уравнениями x = R cos φ, y = R sin φ, z = a .

В общем случае параметрические уравнения линии имеют вид:

x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ).

2.3 Направляющий вектор прямой

Рассмотрим произвольную прямую. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой. Указанные векторы называются направляющими именно потому, что любой из них, будучи задан, определяет направление прямой.

Направляющий вектор прямой будем обозначать буквой l , его координаты – m , n , p :

2.4 Каноническое уравнение прямой

Пусть дана точка M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) и ненулевой вектор s ( m ; p ; q ). Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и параллельной вектору s (этот вектор называют направляющим вектором прямой). Для этого заметим, что точка M ( x ; y ; z ) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы M 0 M ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0 ) и s ( m ; p ; q ) коллинеарны, т.е. тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

x – x 0 = y – y 0 = z – z 0.

Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой l.

Пример . Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( -2; -3; -1) и имеющей направляющий вектор s (3; 2; 4) . Согласно равенствам имеем:

x + 2 = y + 3 = z + 1 .

2.5 Параметрическое уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями. Причем за параметр t каждое из отношений. Так как один из знаменателей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся числовая ось - ∞ t . Получим:

x – x 0 = mt , y – y 0 = pt , z – z 0 = qt ,

x = x 0 + mt, y – y 0 + pt, z = z 0 + qt.

Данные уравнения и есть искомые параметрические уравнения прямой.

Пример. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2; -3; -7) и имеющей направляющий вектор s (4; -6; 5). Согласно равенствам имеем:

x = 2 + 4t, y = -3 – 6t, z = -7 + 5t .

2.6 Уравнение прямой по одной или двум точкам

Следующие две задачи имеют большое значение.

Задача 1 . Даны точка M 0 ( x 0 , y 0 ) и число m . Требуется провести через M 0 прямую, имеющую m своим угловым коэффициентом.

Решение. Будем искать уравнение нужной нам прямой в форме

Это даст для b значение

Подставляя это значение в уравнение, получаем уравнение искомой прямой

y = mx + y 0 – mx 0 .

Обычно его записывают в виде

y – y 0 = m(x – x 0 ) .

Пример. Провести через M 0 (5, 2) прямую, перпендикулярную прямой

Решение. Угловой коэффициент прямой равен 3/2 . Поэтому (на основании условия перпендикулярности) угловой коэффициент m искомой прямой будет m = - 2/3. Значит, требуемое уравнение такого:

y – 2 = - 2 /3 (x – 5)

или то же самое,

2 x + 3 y – 16 = 0.

Задача 2 . Провести прямую через две заданные точки M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ) .

Решение. Обозначим через m (неизвестный) угловой коэффициент искомой прямой. Так как эта прямая проведена через точку M 1 (x 1 ; y 1 ) , то ее уравнение должно иметь вид

y – y 1 = m(x – x 1 ).

Для нахождения m используем то, что наша прямая проходит и через M 2 (x 2 ; y 2 ) и, стало быть, числа x 2 y 2 должны удовлетворять уравнению, т.е.

y 2 – y 1 = m ( x 2 – x 1 ) ,

Если y 1 = y 2 , то уравнение искомой прямой имеет вид y = y 1 . В этом случае прямая параллельна оси О x . Если x 1 = x 2 , то прямая, проходящая через точки M 1 и M 2 , параллельна оси Oy , и ее уравнение имеет вид x = x 1 .

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M 1 (3; 1) и M 2 (5; 4) . Подставляя координаты точек M 1 и M 2 в уравнение, получаем искомое уравнение прямой:

Заключение

Опыт показал, что для многих начинающих значительную трудность представляет решение типовых примеров и задач, поясняющих теоретический материал. Однако прежде, чем начать рассматривать пример или задачу, надо сначала изучить нужный раздел и добиться полной ясности в понимании соответствующих понятий и теорем. Поэтому в данную работу включены типовые задачи и даются методы их решения, чтобы материал лучше закрепился.

Изучение математики и её методов в экономике, составляющих основу современной экономической математики, позволит будущему специалисту приобрести необходимые базовые навыки, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру. Все это понадобится ему для ориентации в профессиональной деятельности и успешной работе.

Список использованных источников

4 Шипачёв В.С. Основы высшей математики: учеб. Пособие для вузов/ под ред. Акад. А.Н. Тихонова. – 3-е изд., М.: Высш. школа, 1998. – 479 с.: ил.

Похожие страницы:

Понятие и сущность мировоззрения. Основные типы мировоззренческих систем

. В АСПИРАНТУРУ 2009 г. 1. Понятие и сущность мировоззрения. Основные типы мировоззренческих систем . наука. Бергсон, в сущности, отдает предпочтение инстинкту как высшей форме познания, высшая . под понятие. Так делают, когда решают зада­чи по математике, физике .

Понятие знака в науке и искусстве И.Г. Анищенко, В.Н. Вагин

. введём понятия метазнака и метаязыка. Так, если все сущности рассматривать . литературе, рисовании, музыке и т.п. В науке, в частности, в математике, наиболее успешно функционируют формативный и означенный . Культура дизайна – это высший уровень сферы дизайна, .

Понятие и сущность маркетинга. Роль маркетинга в экономике

. образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО . КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ РЕФЕРАТ Понятие и сущность маркетинга. Роль маркетинга в экономике . достижения многих других наук, как точных (математика), так и гуманитарных .

Понятие менеджмента, сущность и этапы развития

. ( 1 вопрос) Глава 1 Понятие менеджмента, сущность и этапы развития. Менеджмент – . иметь малочисленную группу руководителей высшего звена, которые сами . с управлением областях, таких как математика, инженерные науки, психология, социология и антропология. .

Педагогика как наука о воспитании и развитии личности

. наиболее емкие и общие понятия, отражающие сущность науки, ее устоявшиеся и типичные . магистратуру; диверсификацию типов высших учебных заведений: высший колледж – институт – . направленность (к музыке, к спорту, к математике и т.д.); 3) практические – к ним .

Высшая математика включает такие разделы, изучение которых дает математический аппарат, наиболее активно применяемый для решения прикладных экономических и управленческих задач. Это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.

Знание аналитической геометрии необходимо современному менеджеру, чтобы грамотно толковать экономическую информацию, представляемую в виде различных графиков - это кривые и поверхности безразличия, кривые потребительского бюджета, инвестиционного спроса, кривые Филлипса, Лаффера, Лоренца и т. д.; выводить интерполяционные формулы по методу наименьших квадратов; находить наилучший план производства при заданных ресурсах.

Аналитическая геометрия – это ветвь математики, изучающая геометрические образы средствами алгебры. Для этого прежде всего создается некоторый аппарат, позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Наша работа посвящена одному из разделов аналитической геометрии - прямой на плоскости и в пространстве. Здесь рассматривается определение прямой, общие уравнения прямой на плоскости и в пространстве и т.д. Большое внимание уделяется практическому освоению рассматриваемого материала. Для достижения этой цели в работе приводятся примеры. Их рассмотрение будет способствовать выработке навыков рационального решения типовых примеров и задач.

В конце работы приводится список литературы, в который вошли все источники, использованные в той или иной мере при её написании.

1.1 Определение прямой линии

Прямая линия – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим[1].

1.2 Прямая на плоскости

1.2.1 Общее уравнение прямой

Теорема. В прямоугольной системе координат любя прямая является уравнением первой степени:

и обратно, при произвольных коэффициентах A, B, C ( А и B не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Oxy.

Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то она имеет уравнение y = kx + b, где A = k, B = - 1 и C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине a отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox. Уравнение этой прямой имеет вид x = a, т.е. также является уравнением первой степени, где A = 1, B = 0, C = - a. Тем самым первое утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение Ax + By + C = 0, причем хотя бы один из коэффициентов A и B не равен нулю.

Если B ≠ 0, то можно уравнение записать в виде:

Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствующем выборе коэффициентов A, B, C.

Пример. Укажем, как решать две задачи, часто возникающие в связи с уравнением прямой.

Задача 1. Чтобы общее уравнение прямой превратить в уравнение с угловым коэффициентом, надо это общее уравнение решить относительно y (разумеется, считается, что y входит в уравнение, т.е. что B ≠ 0. Например, уравнение

переписывается сначала в виде

Стало быть, угловой коэффициент нашей прямой есть m = - 5/3.

Задача 2. Пусть требуется построить на чертеже прямую по уравнению. Если в это уравнение не входит одна из координат, то интересующая нас прямая параллельна одной из осей и ее построение очевидно. Если же в уравнение входят и x, и y, то для построения соответствующей прямой надо найти любые две ее точки и соединить их линейкой. Найти же точку, лежащую на нашей прямой, совсем просто: надо выбрать по своему желанию значение одной из координат (все равно какой), поставить его в уравнение и найти значение второй координаты.

Пример. Построить прямую

Положим y = 1. Тогда уравнение примет вид 2x – 6 = 0, откуда x = 3. Значит, одна точка (3; 1) нами уже найдена. Положив, далее, хотя бы y = 3, получим

откуда x = - 2 и второй точкой будет (- 2; 3).

1.2.2 Уравнение прямой в отрезках

Дано уравнение Ax + By + = 0 при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду:

Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны a = - 5, b = 3, и проведем прямую через точки M₁ (-5; 0) и M₂ (0; 3).

1.2.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит следующим образом:

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x_o, y_o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением y = (3/4) x + 2.

Отложим на оси Oy отрезок OB, величина которого равна 2, проведем через точку B параллельно оси Ox отрезок, величина которого BN = 4, и через точку N параллельно оси Oy отрезок, величина которого NM = 3. Затем проведем прямую BM, которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k = ¾ и отсекает на оси Oy отрезок величины b = 2.

1.2.4 Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет следующий вид:

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Для данной прямой, следовательно, p = 1, cos α = 3/5, sin α = - 4/5.

Пример. Уравнение прямой 3x – 4y – 5 = 0 привести к нормальному виду. Нормирующий множитель μ = -1 / √3 2 + 4 2 = - 1/5. Умножая на него обе части данного уравнения, получим:

1.2.5 Уравнение пучка прямых

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x₁, y₁) имеет вид:

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁x + B₁y + C₁= 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то его уравнение имеет вид:

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Расстояние d от точки M_о (x_о, y_о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M_о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êr_о n о - р ê, где r_о - радиус-вектор точки M_о или, в координатной форме, d = êx_о cosa + y_о sina - р ê.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Предполагается, что среди коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом, равным R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 .

2.1 Уравнение прямой в пространстве

2.2 Геометрическое истолкование двух уравнений между координатами в пространстве

Пусть имеем два уравнения с тремя переменными

Каждое из них определяет некоторую поверхность. Множество точек, общих обеим поверхностям, есть некоторая линия.

В общем случае параметрические уравнения линии имеют вид:

2.3 Направляющий вектор прямой

Рассмотрим произвольную прямую. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой. Указанные векторы называются направляющими именно потому, что любой из них, будучи задан, определяет направление прямой.

Направляющий вектор прямой будем обозначать буквой l, его координаты – m, n, p:

2.4 Каноническое уравнение прямой

Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой l.

Пример. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₀ ( -2; -3; -1) и имеющей направляющий вектор s (3; 2; 4). Согласно равенствам имеем:

2.5 Параметрическое уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями. Причем за параметр t каждое из отношений. Так как один из знаменателей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся числовая ось - ∞ 2 3 ,

Опыт показал, что для многих начинающих значительную трудность представляет решение типовых примеров и задач, поясняющих теоретический материал. Однако прежде, чем начать рассматривать пример или задачу, надо сначала изучить нужный раздел и добиться полной ясности в понимании соответствующих понятий и теорем. Поэтому в данную работу включены типовые задачи и даются методы их решения, чтобы материал лучше закрепился.

Изучение математики и её методов в экономике, составляющих основу современной экономической математики, позволит будущему специалисту приобрести необходимые базовые навыки, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру. Все это понадобится ему для ориентации в профессиональной деятельности и успешной работе.

4 Шипачёв В.С. Основы высшей математики: учеб. Пособие для вузов/ под ред. Акад. А.Н. Тихонова. – 3-е изд., М.: Высш. школа, 1998. – 479 с.: ил.

Полученное уравнение не что иное, как условие ортогональности векторов, выраженное через их скалярное произведение. (Векторы ортогональны, если сумма соответствующих координат этих векторов и равна нулю. Имеем в виду: Параметрическое уравнение прямой вытекает из канонического уравнения (2). Если в качестве постоянной взять переменный параметр, изменяющийся в диапазоне (бесконечная прямая), то… Читать ещё >

Прямая линия на плоскости ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Лекция № 11. Прямая линия на плоскости

Общее уравнение прямой;

Каноническое уравнение прямой;

Параметрические уравнения прямой;

Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Общее уравнение прямой

Утверждение 1. Если на плоскости зафиксирована произвольная декартова прямоугольная система Oxy то всякое уравнение первой степени с двумя переменными

(1), в которых хотя бы одна из постоянных отлична от нуля, определяет относительно этой системы прямую линию.

Докажем это утверждение. Для того что бы утверждение было справедливым необходимо найти такой вектор который был бы перпендикулярен этой линии в любой ее точке.

Для этого выберем любое (хотя бы одно) решение удовлетворяющее исходному уравнению .

Обозначим эту точку. Координаты произвольной точки, лежащей на исходной линии обозначим как. Покажем, что вектор, если уравнение первой степени линия, всегда ортогонален вектору. Для этого вычтем из исходного уравнения тождество

. Получим эквивалентное уравнение вида:

Полученное уравнение не что иное, как условие ортогональности векторов, выраженное через их скалярное произведение. (Векторы ортогональны, если сумма соответствующих координат этих векторов и равна нулю. Имеем в виду:

Следовательно уравнение (1) есть уравнение прямой.

Уравнение (1) с произвольными коэффициентами и, первые два из которых не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

Прямая, определяемая общим уравнением, ортогональна вектору, называемому нормальным вектором прямой.

Общее уравнение называется полным, если все его коэффициенты и не равны нулю. Если хотя бы один из этих трех коэффициентов не равен нулю, уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку начало координат удовлетворяет этому уравнению).

. Уравнение определяет прямую, параллельную оси. (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси).

. Уравнение определяет прямую, параллельную оси. (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси).

и. Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат).

и. Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат)

Полное уравнение прямой может быть приведено к следующему виду:

Этот вид уравнения прямой называется уравнением прямой в отрезках.

Общее уравнение к уравнению в отрезках приводится следующим образом:

Уравнение прямой в отрезках имеет простой геометрический смысл (см. рис.2) [20, "https://referat.bookap.info"].

Отрезки и определяют точки пересечения прямой осей и .

В этом не трудно убедится положив сначала, а за тем

Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Каноническое уравнение можно получить, если запишем уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Пусть задана точка и направляющий вектор .

Очевидно, что точка лежит на указанной прямой в том случае, если векторы и коллинеарны. Если вектора коллениарны, то. Через координаты это свойство может быть выражено так

Соотношение (2) является искомым каноническим уравнением прямой.

В заключении запишем уравнение прямой, проходящей через две данные и отличные друг от друга точки и. Для этого достаточно в каноническом уравнении (2) взять в качестве направляющего вектора. Мы получим при этом уравнении

Параметрические уравнения прямой

Параметрическое уравнение прямой вытекает из канонического уравнения (2). Если в качестве постоянной взять переменный параметр, изменяющийся в диапазоне (бесконечная прямая), то

Уравнение (4) является искомым параметрическим уравнением прямой. Эти уравнения допускают наглядную механическую интерпретацию. Если параметр это время, то параметрическое уравнение описывает движение материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью равной

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Введем понятие угла наклона прямой к оси. Пусть прямая не параллельна оси и ее пересекает в точке. Выберем на оси точку лежащую по ту сторону от куда направлена ось. На прямой точку по ту сторону от куда направлена ось. Тогда углом наклона этой прямой к оси называется угол .

Если прямая и ось параллельны, то полагаем, что угол наклона .

Тангенс угла наклона прямой к оси назовем угловым коэффициентом этой прямой и обозначим. И так. Для прямой параллельной оси угловой коэффициент равен нулю.

Введем уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющий данный угловой коэффициент .

Покажем, что какой бы угол наклона к оси (острый или тупой) не имела прямая линия и в какую бы сторону не был направлен направляющий вектор этой прямой. Угловой коэффициент этой прямой всегда равен отношению координат направляющего вектора.

В случае (Рис. 3, 4), где угол между направляющим вектором и осью ;

В случае (Рис. 5, 6) ;

Используя каноническое уравнение (2) можно записать

уравнение линия отрезок вектор тангенс

Уравнение прямой (5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении b представляет собой отрезок отсекаемый прямой на оси (при см. рис. 7).

Читайте также:

  
• Средства разработки программного обеспечения реферат
  
• Этапы формирования политической карты мира реферат
  
• Диагностика коробки передач реферат
  
• Проблемы ресторанного бизнеса в россии и их решения реферат
  
• Реферат топка с кипящим слоем