Типовые звенья систем управления реферат

Обновлено: 02.07.2024

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах, могут иметь самые различные конструктивное исполнение и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых динамических звеньев. Каждому типовому звену соответствует определенное математическое соотношение между входной и выходной величиной. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение, интегрирование и т. д.), то и звено называется элементарным.

Содержимое работы - 1 файл

Документ Microsoft Office Word.docx

ГЛАВА 3. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Понятие типовых динамических звеньев

Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических структур непрерывных систем управления, поэтому знание их характеристик облегчает анализ таких систем.

3.2. Безинерционное звено

Это звено является простейшим и передает сигнал со входа на выход мгновенно, не изменяя его форму. Звено может только усиливать или ослаблять значение входной величины.

Зависимость между входной величиной и выходной величиной описывается алгебраическим уравнением

Свойства звена определяются только одним параметром – передаточным коэффициентом .

При единичном ступенчатом воздействии , приложенном в момент времени , выходная величина изменяется мгновенно и принимает значение (рис. 3.1, а). Переходная функция звена имеет вид

а импульсная переходная функция (рис. 3.1, б)

Уравнение звена в операционной форме

а передаточная функция

Рис. 3.1. Характеристики безынерционного звена

Амплитудно-фазовая характеристика (а.ф.х.) звена описывается функцией

которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси (рис. 3.1, е). Амплитудная частотная характеристика (а.ч.х.)

представляет собой прямую, параллельную оси частот (рис. 3.1, в). Это означает, что сигналы любой частоты проходят через безынерционное звено с одинаковым отношением амплитуд выходной и входной величин, равным .

Выражение для фазовой частотной характеристики (ф.ч.х.), (рис. 3.1, г)

показывает, что безынерционное звено не создает фазовых сдвигов между входной и выходной величиной.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л.а.ч.х.) безынерционного звена

так же, как и его а.ч.х., является прямой линией, параллельной оси абсцисс (рис. 3.1, д).

Примером безынерционного звена может служить операционный усилитель, работающий в режиме масштабного усиления.

3.3. Инерционные звенья первого порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид

где – передаточный коэффициент, характеризующий свойства звена в статическом режиме; – постоянная времени, характеризующая инерционность звена.

Переходная функция звена находится как сумма общего и частного решений уравнения (3.10):

Касательная к кривой (рис. 3.2, а) в точке отсекает на линии установившегося значения отрезок, равный постоянной времени .

Импульсная переходная функция звена (рис. 3.2, б) находится дифференцированием функции :

Применяя к левой и правой частям уравнения (3.10) преобразование Лапласа, получаем уравнение динамики звена в операционной форме и передаточную функцию :

Подстановкой из (3.14) получим амплитудно-фазовую функцию

Рис. 3.2. Характеристики инерционного звена первого порядка

Умножив числитель и знаменатель формулы (3.15) на комплексное сопряженное знаменателю число и выделив вещественную и мнимую части, можно записать

Последние выражения можно рассматривать как уравнение а.ф.х. в параметрической форме в системе координат и . Роль третьего параметра играет частота . А.ф.х. представляет собой полуокружность (рис. 3.2, е) с центром в точке и диаметром, равным .

Выражение для амплитудно-частотной характеристики

График функции (рис. 3.2, в) показывает, что гармонические сигналы малой частоты хорошо пропускаются звеном – с отношением выходной и входной величин, близким к передаточному коэффициенту . Сигналы большой частоты плохо пропускаются звеном. Чем больше постоянная времени , тем уже полоса пропускания частот.

Таким образом, инерционное звено первого порядка по своим частотным свойствам является ф ильтром низкой частоты.

Фазовая частотная характеристика (рис. 3.2, г)

Чем больше частота входного сигнала, тем больше отставание по фазе выходной величины от входной. Максимально возможное отставание равно .

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика описывается выражением

В практических расчетах используют асимптотическую характеристику, представляющую собой ломаную в виде двух асимптот (рис. 3.2, д). Первая низкочастотная асимптота получается из (3.19), если пренебречь величиной :

Высокочастотная асимптота заменяет точную характеристику при больших частотах, когда , и единицу под корнем в (3.19) можно не учитывать. Выражение для этой асимптоты имеет вид

Эта асимптота зависит от частоты. Она имеет отрицательный наклон и проходит через точку с координатами . Приращение высокочастотной асимптоты равно на декаду.

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Типовые динамические звенья и их характеристики

а) б)
Рис. 1
Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

Рис. 5
Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:
(4)
или передаточной функцией:
(5)
где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.
При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:

а) б) в)
Рис. 7
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле

Рис. 11
Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:
(6)
или передаточной функцией:

Æ Æ
Рис. 15
Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

Æ Æ
Рис. 19
2. Тахогенератор (рис. 20).

Æ
Рис. 20
Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:
(10)
или передаточной функцией:
(11)
где x – демпфирование (0 £ x £ 1).
Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:
(12)

а) б)
Рис. 21
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений x имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением

Частотные характеристики колебательного звена имеют вид

Рис. 25
В приведенной схеме:
С – накапливает энергию электрического поля;
L – накапливает энергию электромагнитного поля;
R – на сопротивлении происходит потеря энергии.
Запишем передаточную функцию цепи:

Рис. 26
Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:
(13)
или передаточной функцией
(14)
где k – коэффициент передачи звена.
При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:

Рис. 28
Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:
(15)
Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:

а) б) в)
Рис. 31
Устойчивые и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально – фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на ±20 дБ/дек соответствует изменение фазы на ±p/2, а ±40 дБ/дек – на ±p.
Пример 1. Построить частотные характеристики для звеньев

Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики имеют вид (рис. 32):

Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.
1. Определяем, из каких элементарных звеньев состоит соединение.
2. Определяем сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.
3. Определяем наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(l-m) 20] дБ/дек (где l – количество дифференцирующих, а m- интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.
4. Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.
Пример 2. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения:

Решение: Определяем со-прягающие частоты отде-льных звеньев и отклады-ваем их по оси частот в по-рядке возрастания.
T_инт = 0,01 с; w_инт = 100 с -1 ;
T_фор = 1 с; w_фор = 1 с -1 ;
T_ап = 0,1 с; w_ап = 10 с -1 ;
Строим характеристику (рис. 34).

Пример 3. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения

Решение: Определяем соп-рягающие частоты отдель-ных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.
T_инт = 0,1 с; w_инт = 10 с -1 ;
T_фор = 10 с; w_фор = 0,1 с -1 ;
T_к = 1 с; w_к = 1 с -1 ;
T_фор = 0,1 с; w_фор = 10 с -1 ;
T_фор = 0,01 с; w_фор= 100 с -1 ;
Строим характеристику рис. 35

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

Тема сегодняшней статьи:
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.

Хочешь вкусить плодов познания? — Грызи гранит науки!

Понятие “типовые звенья” в теории управления техническими системами, в основном, связано с описанием САУ (САР) в переменных “вход – выход”, т.е. описание систем в передаточных функциях. Любую линейную САУ (САР) или линеаризованную САР можно структурно расчленить на простейшие элементы (звенья), соединенные между собой соответствующими последовательными, параллельными связями, местными и локальными обратными связями, сумматорами, сравнивающими устройствами и т.д.

Достигнуто общепринятое соглашение, что наиболее удобно расчленять структурную схему САР на звенья 1-го и 2-го порядков. Принято называть такие простейшие звенья типовыми.

С другой стороны, реальная линеаризованная (линейная) система состоит из набора отдельных узлов и агрегатов, соединенных соответствующими связями, причем порядок уравнений динамики вышеуказанных узлов и агрегатов может быть и выше второго. В этом случае звенья (узлы и агрегаты) САР можно классифицировать по их свойствам.

Различают 3 типа звеньев:

позиционные;
интегрирующие;
дифференцирующие.

Существуют также особые звенья, которые будут рассмотрены позднее.

Учитывая, что передаточная функция линейного (линеаризованного) звена может быть записана как:

где: и — полиномы по степеням s, причем коэффициенты при низшей степени s в полиномах , равны 1, классификацию на типы звеньев можно объяснить видом полиномов или (что эквивалентно) видом коэффициентов в соответствующих уравнениях динамики звена.
Подробнее о передаточной функции см. здесь.

Позиционным звеном считают звено, в котором полиномы N(s) и L(s) содержат свободные члены (равные 1). Например:

или в уравнении динамики (x(t) – входной сигнал, y(t) – выходной):

Из типовых звеньев (1-го и 2-го порядка) к позиционным звеньям относятся: идеальное усилительное звено, апериодические звенья 1-го и 2-го порядка, колебательное звено и форсирующее звено.

Дифференцирующим звеном считается звено, в котором полином L(s) содержит свободный член (равный 1), а полином N(s) не содержит свободного члена ().
Например:

или в уравнении динамики:

Из типовых звеньев к дифференцирующим звеньям относятся идеальное дифференцирующее звено, инерционно-дифференцирующее звено.

Интегрирующим звеном считается звено, в котором полином N(s) содержит свободный член (), а полином L(s), не содержит свободного члена (). Например:

или в уравнении динамики:

Из типовых звеньев к интегрирующим звеньям относятся идеальное интегрирующее звено, инерционно–интегрирующее звено.

Пример переходного процесса при единичном ступенчатом воздействии на три разных звена, приведенных выше:

3.2.1. Идеальное усилительное звено

Уравнение динамики каждого звена имеет вид: , т.е. уравнение не является дифференциальным, следовательно, данное звено является безынерционным.

Переходя к изображениям , получаем:
– уравнение динамики звена в изображениях.
Передаточная функция идеального усилительного звена:

АФЧХ не зависит от ω, поскольку:

Рисунок 3.2.1 АФЧХ идеального усилительного звена

Годограф АФЧХ “вырождается” в точку: U(ω) =K; V(ω) =0;
A(ω) ≡modW(iω) =│W(iω)│=K =>
Lm(ω)=20lgA(ω) =20lgK; =>
φ(ω) = const = 0 т.е. фазового сдвига нет. Следовательно, данное звено является безынерционным, чисто усилительным звеном.

Рисунок 3.2.4 ЛАХ идеального усилительного звена

Найдем весовую w(t) и переходную h(t) функции звена (подробнее см. здесь).
Весовая функция:

3.2.2. Идеальное дифференцирующее звено

Уравнение динамики звена имеет вид:

где: – постоянная времени.

Переходя к изображениям:

Уравнение динамики звена в изображениях:

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена:

Графики годографа АФЧХ, A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ::

Из рисунка 3.2.9 видно, что данное звено обеспечивает опережение по фазе на /2 (при любой частоте входного сигнала).

Чем выше частота единичного гармонического сигнала на входе в звено, тем выше амплитуда выходного сигнала в установившемся режиме.

Найдем весовую функцию звена:

Учитывая, что δ(t) имеет вид как на рис.3.2.11 (зависимость показана утрированно), а весовая функция пропорциональна производной от δ(t):

Найдем переходную функцию звена:

Иногда идеальное дифференцирующее звено представляется в виде или . В последнем варианте коэффициент К имеет смысл постоянной времени.

3.2.3. Идеальное интегрирующее звено

Уравнение динамики такого звена имеет вид:

или в изображениях:

Передаточная функция идеального интегрирующего звена:

Умножая числитель и знаменатель на i, получаем:

Годограф АФЧХ имеет вид:

Данное звено всегда дает отставание по фазе на угол .

Найдем весовую функцию звена:

Найдем переходную функцию звена:

Примерами устройств, близких к идеальному усилительному звену, можно считать: широкополосный электронный усилитель (приближенно), механический редуктор без учета инерционности и нелинейных эффектов, жесткую механическую муфту и т.д.

Примером идеального дифференцирующего звена можно считать тахогенератор:

где u(t) – напряжение на клеммах тахогенератора, φ(t) – угол поворота якоря (ротора) тахогенератора.

Примером идеального интегрирующего звена можно считать большинство электродвигателей (без учета инерционности якоря), где входным воздействием считать напряжение в обмотке возбудителя (двигателем постоянного тока), а выходным воздействием – угол поворота выходного вала.

Пример интегрирующего и дифференцирующего звена на основе конденсатора

Один и тот же технический элемент, с точки зрения теории автоматического управления, может выступать как в качестве интегрирующего, так и в качестве дифференцирующего звена.

В качестве примера интегрирующего звена можно рассмотреть конденсатор, где входным воздействием является ток, а выходным результатом является напряжение на клеммах конденсатора. Действительно, при малом токе и большой емкости конденсатора, в случае ступенчатого изменения тока с 0, мы получаем график напряжения, совпадающий по форме с переходной функцией интегрирующего звена. На рисунке 3.2.20 представлена такая модель, где ток ступенькой меняется на пятой секунде расчета.

Если построить с помощью гармонического анализатора ЛАХ и ФЧХ, мы увидим, что угол наклона ЛАХ составляет -20 dB/dec, а угол сдвига фазы равен - или -90 градусов на графике (см. рис. 3.2.21).

Тот же самый конденсатор, при определенных параметрах сети, может выступать в качестве идеального дифференцирующего звена, если в качестве входного воздействия подавать напряжение, а в качестве результирующей величины использовать ток в цепи.

Электрическая схема использования конденсатора в качестве дифференцирующего звена с гармоническим анализатором приведена на рисунке 3.2.22. На графиках гармонического анализатора видно, что угол наклона ЛАХ составляет 20 dB/dec, а угол сдвига фазы равен или 90 градусов на графике.

Примеры моделей, использованные в данной лекции, можно взять в этом архиве.

Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:

(1)

Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:

1. Усилительное (безынерционное).

3. Форсирующее звено 1-го порядка.

4. Форсирующее звено 2-го порядка.

6. Апериодическое (инерционное).

При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

(2)

или передаточной функцией:

(3)

При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .

Читайте также: