Теория вероятности в строительстве реферат
Обновлено: 28.06.2024
Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:
Введение
Теория вероятности — это отрасль математики, в которой исследуются законы случайных явлений: Случайные события, случайные переменные, их свойства и операции над ними.
Появление теории вероятностей как науки относится к средневековью и к первым попыткам математического анализа азартных игр (орлы, кости, рулетка). Первоначально его базовые понятия не имели строго математической формы, их можно было трактовать как некие эмпирические факты, как свойства реальных событий, и они формулировались в визуальных представлениях. Яков Бернулли внес важный вклад в теорию вероятности: он предоставил доказательства закона больших чисел в простейшем случае независимых тестов. В первой половине 19 века теория вероятности начала применяться для анализа ошибок наблюдения; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад в это дело внесли русские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В то время был доказан закон больших чисел, центральная предельная теорема и теория цепей Маркова. Современный тип теории вероятностей был выигран на основе аксиоматизации, предложенной Колмогоровым Андреем Николаевичем. В результате теория вероятностей приняла строгую математическую форму и в конечном итоге стала восприниматься как один из разделов математики.
Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что массовые случайные события основываются на детерминистических законах. Теория вероятности исследует эти законы.
Тест представляет собой выполнение определенного набора условий, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. В этом случае набор условий включает случайные факторы, реализация которых приводит к неоднозначности результата теста для каждого теста.
Достоверный (всегда результат теста).
Невозможно (никогда не бывает).
Столь же вероятно (та же вероятность возникновения), менее вероятно и более вероятно.
Случайность (может произойти или не произойти в результате теста).
Например: Когда кубик брошен, невозможное событие — кубик стоит на краю, случайное событие — падение с любого края, случайность — кубик стоит на прямой кромке.
Определенный результат теста называется элементарным событием.
В результате проверки происходят только элементарные события.
Сочетание всех возможных, различных, специфических результатов испытаний называется элементарным пространством событий.
Набор элементарных событий — это пространство элементарных событий.
Сложное событие — это произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное тестовое событие возникает тогда и только тогда, когда тест приводит к элементарному событию, принадлежащему сложному событию.
Таким образом, если в результате теста может произойти только одно элементарное событие, то все сложные события, составляющие эти элементарные события, происходят.
Например: Тест — это бросок кубиков.
Введите следующие описания:
- Р — случайное событие;
- Рик — событие, заслуживающее доверия;
- U — невозможное событие.
Классическое определение вероятности
Если пространство элементарных событий состоит из их конечного числа, то все элементарные события равны, т.е. ни одно из них не может быть предпочтительным перед тестом, поэтому их можно считать равными.
Если элементарные события равны и, следовательно, равны, то вероятность наступления произвольного события равна доле, числитель которой равен количеству элементарных событий, содержащихся в спецификации, и знаменателем которой является общее количество элементарных событий. Такое определение вероятности впервые дано в работах французского математика Лапласа и считается классическим.
Вероятное событие находится между нулем и единицей.
2o P(E)=1 Вероятность надежного события равна единице.
3o P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю.
Рассмотрим случайный эксперимент, который может закончиться одним из возможных исходов, все из которых одинаково вероятны.
Бросаются сразу три монеты.
Определите вероятность этого:
- 3 орла выпадут;
- 2 орла и 1 хвост выпадут
- две балки и выпал орел
- Три батончика выпадают.
Частота наступления события
Пространство элементарных событий должно естественным образом состоять из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных результатов тестирования рассматриваются многие подмножества пространства элементарных событий и невозможное событие V.
Назовем систему этих событий F. Возьмем случайное событие A F. Выполним серию тестов в количестве n, где n — это количество тестов в каждом из которых произошло событие A.
Частота наступления события A в n экспериментах — это отношение числа наступлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.
Разрешите результат теста для случая А. Подводя итог, можно сказать, что в этом тесте произошло событие Аи. Так как все события несовместимы парами, это означает, что никакое другое событие Aj (i j ) не может произойти в этом тесте.
С помощью теории вероятности описываются только те те тесты, для которых сделано следующее предположение: Для каждого события А частота, с которой это событие происходит в бесконечной серии тестов, имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события А.
Поэтому, когда мы рассматриваем вероятность возникновения произвольного события, то понимаем это число следующим образом: Это частота возникновения события в бесконечной (достаточно длинной) серии тестов.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частоты не увенчалась успехом, а количество тестов нацелилось на бесконечность. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности на основе этого определения, она не была принята из-за большого количества внутренних логических противоречий.
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с проблемами, для которых есть не одно, а несколько различных решений. Для принятия правильных решений очень важно не пропустить ни одного из них. Для этого необходимо просмотреть все возможные варианты или, по крайней мере, рассчитать их количество. Такие задачи называются комбинаторными.
Но прежде чем мы обратимся к задаче, мы должны познакомиться с комбинаторными элементами.
Однако существует единый подход к решению разнообразных комбинаторных задач путем создания специальных правил. Внешне эта схема напоминает дерево, отсюда и название — дерево возможных вариантов. Если дерево построено правильно, то ни один из возможных вариантов решения не теряется.
Рассмотрим это в качестве примера для следующей задачи: Сколько двухзначных чисел я могу сформировать из цифр 1, 4 и 7?
Может существовать огороженная территория G, в которой находится территория g. Точка А спонтанно расположена в области G. Эта точка может войти в область g. В этом случае вероятность того, что точка A войдет в область g, определяется по формуле.
Вероятности, определяемые измерениями, называются геометрическими.
Существует целый ряд задач, где, как говорят математики, определение вероятности случайного события может быть подведено по-разному по геометрическим соображениям.
Операции по событиям
С-событие называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в A, так и в B
В этом случае, если элементарное событие происходит как в A, так и в B, то оно происходит один раз в C. В результате теста возникает событие С, когда событие происходит либо в A, либо в B. Сумма любого количества событий состоит из всех элементарных событий, содержащихся в одном из Ай, i=1, …, m.
Событие С называется растением А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в А, так и в В. Работа с любым количеством событий — это событие, состоящее из элементарных событий, которые содержатся во всех Ai, i=1, …, m.
Различие событий A-B называется событием C, которое состоит из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.
Событие называется противоположным событию A, если оно соответствует двум характеристикам.
События A и B называются несовместимыми, если они никогда не могут произойти в результате одного и того же теста и если они не имеют одинаковых элементарных событий.
События A и B считаются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого.
Заключение
Теория вероятности применялась не только в математике, но и в таких науках, как физика и статистика.
Список литературы
Образовательный сайт для студентов и школьников
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Вероятностные методы в строительной механике: / учебное пособие / К. А. Шумилов; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – с.
Предлагаемое учебное пособие представляет собой практикум по использованию методов теории вероятностей в строительстве. Обучение предполагает наличие знаний по строительной механике. Основная задача автора – научить использовать вероятностные методы для анализа качества строительных проектов.
Предназначено для студентов технических специальностей.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом.
ISBN © К. А. Шумилов, Козлова Е. М. 2015
© Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2015
Оглавление
1.ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ. 4
2.Основные положения теории вероятностей 8
3. Характеристики распределения случайных величин 16
4.Некоторые наиболее важные законы распределения 34
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 34
где Pn(x) и pn(x) – интегральная функция распределения и плотность распределения максимумов, получаемых при n реализациях одной и той же с.в. Xi. 39
М.о. и дисперсия максимума в n опытах: 39
5. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 41
6. Приближенные методы нахождения распределения функций с.в. 52
7. Вероятность редких событий (появление случайного 54
события A за время T) 54
8. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ 55
8.1 Последовательное соединение элементов 55
Пример. Определим надежность статически неопределимой системы. 63
Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести Ry) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, Ry=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести; (Ry)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А1=6см2, А2=10 см2, l1=1.5 м, l2=1 м, а=1 м. 63
Вычисляем усилия в стержнях. 64
Задачи теории вероятностей в строительстве. Понятие надежности и ее свойства
Обычный детерминистический подход к расчету конструкций состоит из двух этапов:
Вычисляются напряжения, деформации и перемещения в конструкциях, подверженных действию внешних нагрузок. Эта задача решается методами строительной механики, теории упругости, теории пластичности и т.д.
Вычисленные величины сопоставляются с нормативно допустимыми значениями. При этом решается задача надежности, долговечности и экономичности конструкции.
Однако реальная система и ее условия эксплуатации отличаются от идеализированной системы и условий, рассматриваемых на стадии проектирования. Фактически напряжения, деформации и перемещения являются случайными величинами из-за случайного характера внешних воздействий, прочностных и др. внешних условий. Поэтому надежность конструкции может быть определена с привлечением методов математической и статистической теории вероятностей.
В теории вероятностей главная задача - зная состав генеральной совокупности, изучить распределения для состава случайной выборки. Это прямая задача теории вероятностей. Обратная задача - когда известен состав выборки и по нему требуется определить, какой была генеральная совокупность. Это обратная задача математической статистики. Или, точнее, в теории вероятностей мы, зная природу некоторого явления, выясняем, как будут вести себя (как распределены) те или иные изучаемые нами характеристики, которые можно наблюдать в экспериментах. В математической статистике наоборот – исходными являются экспериментальные данные (обычно это наблюдения над случайными величинами), а требуется вынести то или иное суждение о природе рассматриваемого явления.
Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта и транспортирования. Или надежность также – устойчивость качества по отношению ко всем возможным возмущениям. Надежность – количественный показатель (промежуток времени, число рабочих циклов, число километров и т.д.).
В зависимости от назначения системы и условий ее эксплуатации надежность включает свойства: 1) безотказность; 2) долговечность; 3) ремонтопригодность; 4) сохраняемость и любые их сочетания.
Безотказность – вероятность безотказной работы конструкции за определенный промежуток времени.
Долговечность – вероятный промежуток времени безотказной работы конструкции.
Ремонтопригодность – вероятность того, что неисправная система может быть восстановлена за заданное время.
Содержание теории надежности – разработка методов оценки надежности систем и создание систем, обладающих заданными показателями надежности и долговечности.
Задачи расчета на надежность состоят в определении вероятности выхода конструкции из строя в заданных условиях, нахождении по заданной экономически целесообразной надежности требуемых размеров конструкции, допустимых нагрузок или оптимального срока эксплуатации, а также оценки надежности системы по имеющимся оценкам надежности составляющих ее элементов. В задачу теории надежности строительных конструкций входит также обоснование процедур нормирования расчетных характеристик. Специфика теории надежности строительных конструкций состоит в необходимости учета случайных свойств нагрузок и воздействий на сооружения, а также учета совместного действия случайных нагрузок на систему со случайными прочностными характеристиками.
Основное понятие теории надежности – отказ – событие, состоящее в нарушении работоспособности системы. Понятие отказа близко по смыслу к понятию предельного состояния. К предельным состояниям 1-й группы относятся: общая потеря устойчивости формы, потеря устойчивости положения, любое разрушение, переход в изменяемую систему, качественное изменение конфигурации; состояния, при которых возникает необходимость прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвига в соединениях, ползучести или чрезмерного раскрытия трещин. Предельные состояния 2-й группы – недопустимые деформации конструкций в результате прогиба, поворота или осадок, характеризуемых разностью вертикальных перемещений узлов, отнесенных к расстоянию между ними, креном сооружения в целом, относительным прогибом или выгибом, кривизной элемента, относительным углом закручивания, горизонтальным или вертикальным смещением элемента или сооружения в целом, углом перекоса или поворота. К предельным состояниям 2-й группы относятся также недопустимые колебания конструкции, изменение положения, образование или раскрытие трещин.
Примеры отказов - обрушения, опрокидывания, потеря устойчивости, хрупкое разрушение, большие деформации и прогибы, механический или коррозионный износ, растрескивание и т.д.
Отказы вызваны влиянием случайных факторов, поэтому они носят случайный характер. За показатель (меру) надежности системы может быть принята вероятность Р безотказной работы в течение всего срока службы Т.
Недостатки теории надежности - сложно получить опытные данные в количестве, достаточном для последующей их обработки методами теории вероятностей. Сложно длительный срок проводить испытания конструкции для получения надежных выводов о ее долговременной работе.
Книга итальянских авторов охватывает практически все аспекты применения теории вероятности в области строительства: вероятностные методы расчета строительных конструкций, теория надежности, статистические методы в экспериментальных и теоретических исследованиях, вероятностные модели нагрузок и поведения конструкций, теоретические основы нормирования правил расчета, вероятностные методы оценки ошибок. Ценным качеством книги является ее практическая направленность. Для научных и инженерно-технических работников проектных организаций.
Предисловие к русскому изданию
Предисловие редактора
Введение
Часть первая. Аналитические методы
Глава 3. Модели внешних воздействий
3.1. Процессы нагружения
3.2. Классификация воздействий
3.3. Нагрузки на перекрытия зданий
3.4. Сейсмическая нагрузка
3.5. Ветровая нагрузка
3.6. Снеговая нагрузка
3.7. Проблема сочетания нагрузок
Глава 4. Упругие конструкции
4.1. Упругий расчет конструкций
4.2. Линейно-упругие системы под статической нагрузкой
4.3. Динамика линейных систем
4.4. Упругие колонны
Глава 5. Упругопластические конструкции
5.1. Расчет конструкций за пределом упругости
5.2. Расчет по методу предельного равновесия при случайной прочности (вероятностный метод предельного равновесия)
5.3. Упругопластические конструкции под действием переменных нагрузок
Глава 6. Надежность строительных конструкций и их проектирование
6.1. Предельные состояния
6.2. Нелинейные статическая и динамическая реакции системы
6.3. Надежность по отношению к абсолютным предельным состояниям
6.4. Общий подход к расчету надежности. Взаимосвязь различных видов отказов
6.5. Функциональные предельные состояния
6.6. Проектирование конструкций как процесс принятия решений
6.7. Процедуры оптимального проектирования в условиях неопределенности
Часть вторая. Оперативные методы
Глава 7. Статистика данных
7.1. Вводные замечания
7.2. Предварительные операции с выборками
7.3. Вероятностная модель и выборочные значения
7.4. Классическое оценивание параметров
7.5. Практическая процедура выбора закона распределения
7.6. Проверка гипотез
7.7. Анализ регрессии и корреляции
Глава 8. Статистический анализ случайных функций
8.1. Свойства параметров
8.2. Замечания о сборе данных
8.3. Выделение тренда и фильтрование
8.4. Проверка стационарности
8.5. Статистическая оценка параметров стационарного случайного процесса
8.6. Нестационарные статистические данные
8.7. Специальные нестационарные процессы
8.8. Некоторые замечания о случайных пространственных полях
Глава 9. Численные методы и приложения
9.1. Статистическое моделирование и метод Монте Карло
9.2. Моделирование случайных параметров
9.3. Критическая оценка методов статистического моделирования
9.4. Смешанные процедуры статистического моделирования
9.5. Параметрические методы статистического моделирования
9.6. Статистическое моделирование остаточных деформаций при произвольной истории нагружения
Глава 10. Вероятностные методы и нормы проектирования строительных конструкций
10.1. Нормы проектирования
10.2. Параметры, регламентируемые вероятностно обоснованными нормами проектирования
10.3. Анализ надежности в рамках норм проектирования
10.4. Определение надежности методами уровня 2
10.5. Определение надежности методами уровня 1
Часть третья. Приложения
А1. Элементы теории вероятностей
А1.1. Основные аксиомы
А1.2. Независимые события
А1.3. Зависимые испытания
А1.4. Марковские цепи
А2. Случайные величины
А2.1. Определения
А2.2. Математические ожидания случайных величин
А2.3. Законы распределения вероятностей
А2.4. Совместное распределение случайных величин
А2.5. Условная вероятность и условное математическое ожидание
А2.6. Неравенство Чебышева
A3. Функции случайных величин
A3.1. Математическое ожидание функции
A3.2. Математическое ожидание функции совместно распределенных случайных величин
АЗ.З. Условное математическое ожидание функции случайных величин
A3.4. Математические ожидания суммы случайных величин
A3.5. Закон распределения функции одной случайной величины
A3.6. Закон распределения функции нескольких случайных величин
A3.7. Совместное распределение функций случайных величин
A3.8. Суммы независимых случайных величин
A4. Последовательности случайных величин
A4.1. Сходимость последовательности случайных величин
A4.2. Закон больших чисел
А4.3. Сходимость последовательности случайных величин по распределению
A4.4. Центральная предельная теорема
А5. Случайные процессы
А5.1. Описание случайного процесса
А5.2. Интегрирование и дифференцирование случайных процессов
А5.3. Зависимые случайные процессы и гармонический анализ случайных процессов
А5.4. Операции со случайными процессами
А5.5. Многомерные случайные поля
А6. Математические модели случайных процессов
А6.1. Специальные классы случайных процессов
А6.2. Нормальные процессы
А6.3. Счетные процессы и пуассоновские процессы
А6.4. Марковские процессы
А7. Выбросы и экстремумы случайных процессов
А7.1. Задача о стохастическом экстремуме
А7.2. Распределения экстремальных значений
А7.3. Период повторяемости
А7.4. Моменты пересечений и локальные максимумы дифференцируемых процессов
А7.5. Распределение времени до первого пересечения
А8. Таблицы вероятностных функций
Предисловие к русскому изданию
Предисловие редактора
Книга посвящена систематическому изложению статистической динамики и теории надежности конструкций. Излагаются методы расчета конструкций на действие статических и динамических нагрузок случайного характера. Излагается теория надежности, основанная на интерпретации отказа как случайного выброса из допустимой области в пространстве качества. Даются методы оценки надежности для многомерных эвклидовых и функциональных пространств качества. Изложение иллюстрируется на большом количестве примеров.
Книга рассчитана на инженеров-проектировщиков и инженеров-исследователей, работающих в строительстве, машиностроении, авиации и других областях техники, а также на студентов старших курсов и аспирантов, которые специализируются по расчету и испытанию различных конструкций.
Задачи и методы статистической динамики
Основные понятия
Задачи статистической динамики. Классификация систем
Метод решения задач для вырожденных систем
Метод функций Грина
Метод стохастических дифференциальных уравнений
Метод спектральных представлений
Прохождение стационарного случайного процесса через стационарную линейную систему
Элементы статистической динамики нелинейных систем
Метод статистической линеаризации
Сведения из теории марковских процессов
Применение теории марковских процессов к решению задач статистической динамики
Понятие о стохастических краевых задачах. Случайные поля и их описание
Методы решения линейных стохастических краевых задач
Методы решения нелинейных стохастических краевых задач
Применение методов теории вероятностей к расчету сооружений
Расчет балок, лежащих на сплошном упругом основании со случайными характеристиками
Расчет балок на дискретных упругих опорах со случайными характеристиками
Расчет докритических деформаций тонких упругих оболочек
Краевые эффекты при докритических деформациях
Растяжение пластины с начальными неправильностями
Случайные термоупругие напряжения в оболочках
Термоупругие краевые эффекты
Теория надежности и долговечности сооружений
Основные понятия
Некоторые простейшие задачи теории надежности
Основы общей теории надежности
Метод условных функций надежности
Среднее число выбросов случайного процесса за заданный уровень
Распределение экстремумов случайного процесса
Оценки для вероятности редких выбросов и для функции надежности
Примеры вычисления функции надежности
Оценка функций надежности в случае многомерного пространства качества
Применение теории надежности к расчету оптимальной виброзащиты оборудования
Надежность и долговечность систем марковского типа
Элементы теории надежности распределенных систем
Примеры оценки надежности распределенных систем
Читайте также: