Теория массового обслуживания принятия управленческих решений реферат
Обновлено: 02.07.2024
Пример готовой курсовой работы по предмету: Управленческие решения
Введение 2
1.Предварительные сведения 5
1.1 Потоки событий 6
1.2.Классификация систем массового обслуживания 9
2. Основы теории массового обслуживания 11
2.1. Основные понятия 11
2.2. Примеры СМО разных типов 14
3. Применение СМО 17
3.1. Сбор первичных данных 18
3.2. Расчёт параметров сетевой инфраструктуры банка 19
Список литературы: 25
Выдержка из текста
Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).
Основная цель работы – исследовать практическое применение теории массового обслуживания.• Исследовать характеристики основных элементов модели системы массового обслуживания;
Янос Штрик (János Sztrik) определяет теорию массового обслуживания как изучающую наименее приятный период в жизни человека, — ожидания, и она может быть применена в различных отраслях экономики [8, с.Целью настоящей курсовой работы является исследование практики применения теории массового обслуживания в практике бизнес-процессов банка.Предмет курсовой работы – особенности применения теории массового обслуживания в практике бизнес-процессов банка.
Объектом исследования настоящей курсовой работы являются модели конкретных компьютерных сетей. Предмет исследования — вероятностно-временные характеристики, характеристики производительности, а также характеристики качества функционирования компьютерных сетей.
Таким образом, если событие приходит в тот момент, когда обработчик занят обработкой предыдущего события, то новое событие либо ставится в очередь, либо отбрасывается в зависимости от того, какая модель системы массового обслуживания (СМО) используется [1,2].
Одним из важных разделов экономико-математического моделирования является теория массового обслуживания, представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) встречаются во многих областях экономики (производство, техника, военная область, быт и др.)
Так, в системах, требующих значительных капиталовложений в оборудование и высоких эксплуатационных затрат в процессе обслуживания, особенно актуальной будет оценка эффективности СМО с позиций стоимостных критериев эффективности.
Основной задачей теории СМО является изучение режима функциониро-вания обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации: каким образом достичь определенного уровня обслуживания (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.
Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.
Список источников информации
2. Ермакова В.И., Сборник задач по высшей математике для экономистов/В.И. Ермаков.-М.: ИНФРА-М. 2011. — 575 с.
3. Дорогов В.Г., Введение в методы и алгоритмы принятия решений: Учебное пособие/В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. — М.: ИНФРА-М, 2012.-240с.
4. Задорожный В.Н., Основная задача фрактальной теории массового обслуживания// Омский научный вестник.- 2013.-№ 3-123.- с.9-13
5. Иншин Г.В., Кретов А.А., Сызранцев Г.В., Шмелев А.А., Выбор метода моделирования процесса сертификации средств и комплексов связи// Бюллетень результатов научных исследований.- 2012.-№ 3 (2).
6. Карташевский В.Г. Основы теории массового обслуживания : Учебное пособие для вузов/ В.Г. Карташевский.- М.: Радио и связь, 2006.-130с.
7. Кирбякова М.А., Юдина И.С., Использование теории массового обслуживания в управлении разработкой проектами объектов//Инновационная наука.- 2016.-№ 6-1.- с. 122-126
8. Климов Г.П., Теория массового обслуживания / Г.П. Климов М.: Изд-во Моск. ун-та., 2011.- 312 с.
9. Колемаев В.А., Калинина В.Н., Теория вероятностей и математическая статистика/ В.А. Колемаев, В.Н. Калинина.- М.: ИНФРА-М 2010. — 302 с.
10. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. — 407 с.
11. Кремер Н.Ш., Теория вероятностей и математическая статистика/ Н.Ш. Кремер М: ЮНИТИ-ДАТА, 2010. -551 с.
12. Кремер Н.Ш., Исследование операций в экономике : Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремера.- М.: ЮНИТИ , 2016. — 407 с.
13. Кудрявцева Е.Н., Росляков А.В., Применение теории сетевого исчисления к исследованию систем массового обслуживания с обратной связью, // T-Comm.- 2015.- № 1.- с. 17-21
14. Лисьев В.П., Теория вероятностей и математическая статистика/В.П. Лисьев.-М.: МЭСИ, 2006. -199с
15. Лосев А.С., Анализ качества обслуживания в банковских отделениях методами теории массового обслуживания//Вестник ТГУ.- 2014.-№ 4.- с.105-113
16. Орлов А.И., Вероятностно-статистические методы в работах Б. В. Гнеденко,// scholar.- 2014.-№ 98.-с.1-30
17. Попов А.М., Сотников В.Н., Экономико-математические методы и модели/ А. М. Попов, В. Н. Сотников. – М.: Юрайт, 2013. — 479 с.
18. Рябко, Б. Я. Теория вероятностей и основы теории массового обслуживания: сборник задач / Б.Я.Рябко. — Новосибирск : СибГУТИ, 2004. — 76 с.
19. Федосеев, В.В. Математическое моделирование в экономике и социологии труда. Методы, модели, задачи : учеб. пособие / В.В. Федосеев .- М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012.-167с.
За последнее время в самых разных областях практики возникла необходимость в решении различных вероятностных задач, связанных с работой, так называемых систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, магазины самообслуживания и т.п.
Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику.
Содержание работы
Введение 3
Глава 1. Управленческое решение: сущность, классификация, методология. 5
1.1. Понятие и классификация решений. 5
1.2. Методы обоснования управленческого решения 6
Глава 2. Постановка задач массового обслуживания 10
2.1. Общее понятие теории массового обслуживания 10
2.2. Моделирование систем массового обслуживания 14
2.3. Графы состояний СМО 19
2.4. Случайные процессы 19
Глава 3. Модели систем массового обслуживания 23
3.1. Одноканальная СМО с отказами в обслуживании 23
3.2. Многоканальная СМО без очереди 26
3.3. Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди 28
3.4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. 30
3.5. Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди. 32
3.6. Многоканальная СМО с неограниченной очередью. 35
3.7. Практическое применение теории массового обслуживания 37
Заключение 43
Список источников и литературы 44
Файлы: 1 файл
Курсовик по РУРу.docx
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ
Факультет очного обучения
Кафедра математики и системного анализа
Курсовая работа по теме:
студентка гр. Гк-333
к. техн. н., доцент
Глава 1. Управленческое решение: сущность, классификация, методология. 5
1.1. Понятие и классификация решений. 5
1.2. Методы обоснования управленческого решения 6
Глава 2. Постановка задач массового обслуживания 1 0
2.1. Общее понятие теории массового обслуживания 10
2.2. Моделирование систем массового обслуживания 14
2.3. Графы состояний СМО 19
2.4. Случайные процессы 19
Глава 3. Модели систем массового обслуживания 23
3.1. Одноканальная СМО с отказами в обслуживании 23
3.2. Многоканальная СМО без очереди 26
3.3. Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди 28
3.4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. 30
3.5. Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди. 32
3.6. Многоканальная СМО с неограниченной очередью. 35
3.7. Практическое применение теории массового обслуживания 37
Список источников и литературы 44
Введение
За последнее время в самых разных областях практики возникла необходимость в решении различных вероятностных задач, связанных с работой, так называемых систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, магазины самообслуживания и т.п.
В связи с поставленной целью, в курсовой работе решается следующая задача: установить зависимость результирующих показателей работы магазина (вероятности того, что покупатель будет обслужен; математического ожидания числа обслуженных покупателей и т.д.) от входных показателей (количества касс в магазине, параметров входящего потока заявок (покупателей) и т.д.).
Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются – показатели эффективности работы кассового узла, которые описывают, способна ли данная система справляться с потоком покупателей. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания (кассовых аппаратов).
В классической теории выделяют такие задачи теории массового обслуживания:
- Максимальной длины очереди;
- Необходимой скорости обслуживания;
- Количества приборов обслуживания, которые работают параллельно.
В практической части моей работы я проанализирую факторы, влияющие на длину очереди и на входной поток заявок в магазине. По результатам анализа будет ясно: нужно ли расширять кассовый узел или пока в этом нет необходимости.
Глава 1. Управленческое решение: сущность, классификация, методология.
Понятие и классификация решений.
В общей теории принятия решений существуют различные определения понятия решения и признаки классификации управленческих решений.
Понятие решения носит двойственный характер и рассматривается в широком и узком смысле этого слова. Под решением понимается и процесс, и результат выбора (одна из возможных альтернатив выбора). Процесс подготовки, принятия и реализации решения развернут во времени и состоит из следующих основных этапов: информирования, анализа, оценивания, прогнозирования, выбора наилучшего решения, планирования и программирования, реализации и контроля. В управленческом процессе решение выполняет важнейшую связующую функцию между объектом и субъектом управления.
Решение как результат выбора представляет собой одну из возможных конкурирующих альтернатив выбора и рассматривается как акт мыслительной, организационной и психологической деятельности 1 . Управленческие решения классифицируются по ряду признаков, которые представлены ниже на рисунке 1 .
В зависимости от того, в какой руководящей инстанции принимается решение, оно бывает высшего, среднего или низшего уровня.
Решения по принципам их выработки делятся на алгоритмические и эвристические. Алгоритмические решения – такие, выполнение которых производится по определенным правилам – алгоритмам. Эти решения допускают строгую формализацию. Эвристические решения – такие, которые выполняются неформальным, творческим путем, без каких-либо строгих правил.
По методам обоснования решения бывают аналитические, статистические, математического программирования и игровые, а по характеру исходной информации – в условиях определенности (полной информации) или в условиях неопределенности (неполной информации).
Методы обоснования управленчес кого решения
Средством, инструментом для выработки решений является исследование операций. Под исследованием операций понимают комплекс научных математических методов, применяемых для обоснования наилучших, правильных решений в любой области человеческой деятельности. Под операцией при этом понимается любое целенаправленное действие. Исследование операций широко применяет такие разделы современной математики, как теория вероятностей, теория массового обслуживания, математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое), метод динамики средних, сетевое планирование, теория игр, теория статистических решений.
Методы исследования операций не представляют собой единого универсального аппарата, пригодного для выработки решений на все случаи жизни. Исследование операций – это набор различных математических методов, объединенных общей задачей обоснования наилучших решений. Каждый из этих методов имеет свою область применения. Методы исследования операций могут быть отнесены к четырем основным группам: аналитические, статистические, математического программирования, теоретико-игровые.
Аналитические методы характерны тем, что устанавливаются аналитические, формульные зависимости между условиями решаемой задачи и ее результатами. К этим методам относятся:
- Теория вероятностей – наука о закономерностях в случайных явлениях. С ее помощью вырабатываются решения, зависящие от условий случайного характера.
- Теория марковских случайных процессов. Она разработана для описания операций, развивающихся случайным образом во времени.
- Теория массового обслуживания. Рассматривает массовые повторяющиеся процессы.
- Метод динамики средних. Применяется в тех случаях, когда можно составить зависимости между условиями операции и ее результатом, исходя из средних характеристик указанных условий.
- Последовательный анализ. Он дает возможность принимать решения на основе ряда гипотез, каждая из которых сразу же последовательно проверяется, например, при проверке качества партии изделий.
- Метод статистических испытаний (Монте-Карло). Заключается в том, что ход операций проигрывается, как бы копируется на ЭВМ, со всеми присущими операции случайностями.
- Линейное программирование применяется в тех случаях, когда условия ведения операций описываются системой линейных (1-й степени) уравнений или неравенств.
- Нелинейное программирование. Применяется в случае, если указанные зависимости носят нелинейный характер (2-й и более степени).
- Динамическое программирование служит для выбора наилучшего плана выполнения многоэтапных действий, когда результат каждого последующего этапа зависит от предыдущего.
- Теория игр. Применяется в тех случаях, когда неопределенность обстановки вызвана сознательными, злонамеренными действиями конфликтующей стороны.
- Теория статистических решений. Применяется тогда, когда неопределенность обстановки вызвана объективными обстоятельствами, которые либо неизвестны, либо носят случайный характер.
- Предмет и задачи теории массового обслуживания__________________ 4
- Система массового обслуживания__________________ ___________5
- Классификация систем массового обслуживания_________________6
ЗАКЛЮЧЕНИЕ____________________ _____________________________ 13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ_____________ ____________________________14
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские.
Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы. Совокупность взаимосвязанных СМО называется сетью массового обслуживания (стохастической сетью).
Модели СМО удобны для описания отдельных подсистем современных систем, в том числе и вычислительных, таких как подсистема - процессор - основная память, канал ввода-вывода и т. д. Система в целом представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем, взаимодействие которых носит вероятностный характер. Заявка на решение некоторой задачи, поступающая в систему, проходит последовательность этапов счета, обращения. После выполнения некоторой последовательности таких этапов, заявка считается обслуженной и покидает систему. Таким образом, систему в целом можно представлять совокупностью СМО, каждая из которых отображает процесс функционирования отдельного устройства или группы однотипных устройств, входящих в состав системы. Этим обусловлена актуальность темы реферата.
- Предмет и задачи теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.
Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими характеристиками СМО являются – показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.
Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания. [1]
1.2. Система массового обслуживания.
Каждая СМО (рис.1) включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров и т.п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО – перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке – с простаиванием каналов. [2]
Таким образом, в СМО имеются: входящий поток заявок, дисциплина очереди, поток необслуженных (покинувших очередь) заявок, каналы обслуживания с механизмом обслуживания и выходящий поток обслуженных заявок.
Рис.1. Структура СМО.
Для облегчения процесса моделирования используют классификацию СМО по различным признакам, для которых пригодны определенные группы методов и моделей теории массового обслуживания, упрощающие подбор адекватных математических моделей к решению задач обслуживания в коммерческой деятельности.(см. рис.2)
Рис. 2 Классификация СМО
Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:
- среднее время обслуживания;
- среднее время ожидания в очереди;
- среднее время пребывания в СМО;
- средняя длина очереди;
- среднее число заявок в СМО;
- количество каналов обслуживания;
- интенсивность входного потока заявок;
- интенсивность обслуживания;
- интенсивность нагрузки;
- коэффициент нагрузки;
- относительная пропускная способность;
- абсолютная пропускная способность;
- доля времени простоя СМО;
- доля обслуженных заявок;
- доля потерянных заявок;
- среднее число занятых каналов;
- среднее число свободных каналов;
- коэффициент загрузки каналов;
- среднее время простоя каналов.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.
Под случайным процессом понимается процесс изменения состояния некоторой системы с течение времени заранее неизвестным, случайным образом.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3… можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс c дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).
Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы — марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Например, показание S счетчика в такси в какой-либо момент времени t зависят только от показаний S0 счетчика в начальный момент времени t0 и от пути, пройденного такси после этого момента, что является случайной величиной, и не зависит от того, как изменялись показания счетчика до момента t0. [3]
Марковские процессы важны, так как более просты для изучения. В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно пренебречь и приближенно считать их марковскими.
Например, процесс игры в шахматы; система S — группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность того, что в момент t > t0 материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависят в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состоянии. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.
Для примера построим граф состояний технической системы S, состоящей из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время. [3]
Возможные состояния системы:
S0 — оба узла исправны;
S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен;
S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен;
S3 — оба узла ремонтируются.
Граф системы приведен на рис.3.
Рис.3. Граф состояний системы из двух узлов
Стрелка, направленная, например, из S0 в S1 означает переход системы в момент отказа первого узла, из S1 в S0 — переход в момент окончания ремонта этого узла.
На графе отсутствуют стрелки из S0, в S3 и из S1 в S2. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход из S0 в S3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S3 в S0) можно пренебречь.
Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, одним из важных понятий теории вероятностей является понятие потока событий. [2]
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).
Поток характеризуется интенсивностью λ — частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток событий называется стационарны м, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: λ(t)=λ. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в течение суток, скажем, в часы пик.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t1 и t 2— число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).
Поток событий называется ординарным, если события в нем проявляются поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции ординарен, а поток вагонов нет. Если поток ординарен, то вероятность попадания на малый промежуток времени ∆t двух или более событий можно пренебречь. [2]
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Простейшие потоки возникают при наложении достаточного большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков. Регулярный поток не является простейшим, так как в равные отрезки времени происходит равное число событий, следовательно, в таком потоке есть последействие.
Выделим на оси времени Ot промежуток t, рис.4, и рассмотрим случайную величину m – число событий, которое происходит за этот промежуток.
Рис. 4 Ось времени случайного процесса
Для простейшего потока событий вероятность того, что в течение промежутка времени t произойдет ровно m событий, находится по формуле:
Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием.
Введение в теорию массового обслуживания с ожиданием_________________
1. Постановка задачи.____________________________________________________
2. Составление уравнений._______________________________________________ 4
3. Определение стационарного решения.__________________________________ 5
4. Некоторые подготовительные результаты.______________________________ 6
5. определение функции распределения длительности ожидания.___________ 7
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
6. Средняя длительность ожидания.______________________________________ 8
Заключение. Приложение теории к движению воздушного транспорта______ 10
Список используемой литературы_______________________________________ 13
Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием.
Системы с ожиданием — возможно ожидание для любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Они составляют очередь, и с помощью некоторой дисциплины обслуживания определяются, в каком порядке ожидающие требования выбираются из очереди для обслуживания.[1]
Изобразим данную систему графически (рис. 1). Здесь кружочек 1 — обслуживающий прибор, треугольник — накопитель, кружочек О — источник требований. Требование, возникающее в источнике в момент окончания фиктивной операции “ожидания требований”, поступает в накопитель. Если в этот момент прибор 1 свободен, то требование немедленно поступает на обслуживание. Если же прибор занят, то требование остается в накопителе, становясь в конец имеющейся очереди.
Как только прибор 1 заканчивает производимую им операцию, немедленно принимается к обслуживанию требование из очереди т.е. из накопителя, и начинается новая операция обслуживания. Если требований в накопителе нет, то новая операция не начинается, стрелкой а показан поток требований от источника к накопителю, стрелкой b — поток обслуженных требований.[2]
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Система массового обслуживания с ожиданием
1. Постановка задачи.
Мы изучим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена Эрлангом. На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при
где m > 0 — постоянная.
Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.
Выбор распределения (1) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.
Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a, продлится еще не менее чем t. В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e-mt. Далее ясно, что f0(a)= e-ma и f0(a+t)= e-m(a+1). А так как всегда f0(a+t)= f0(a)fa(t), то e-m(a+t) = e-ma f0(t) и, следовательно,
Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше чем, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой
где, m > 0, а k — целое положительное число.
Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).
Обозначим для случая распределения (1) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна
2. Составление уравнений.
система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляют собой случайный процесс Маркова.
Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t
Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:
в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.
Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена — имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.
Вероятность первого из указанных событий равна
вероятность второго события
Отсюда очевидным образом приходим к уравнению
Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £ k t> вероятность того, что длительность ожидания превзойдет t, и через Pk t> вероятность неравенства, указанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, в очереди уже находится k требований. В силу формулы полной вероятности имеем равенство
Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для пользования, приготовим некоторые необходимые нам для дальнейшего сведения. Прежде всего для случаев m=1 и m=2 найдем простые формулы для P0. несложные преобразования приводят к таким равенствам: при m=1
Нужна помощь в написании реферата?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна
Эта формула для m=1 принимает особенно простой вид:
Напомним, что в формуле (19) r может принимать любое значение от 0 до m (включительно). Так что в формуле (20) r 0
Само собой разумеется, что при t
При простейшем потоке заявок показатели эффективности СМО с отказами и ограниченным временем ожидания практически не зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а определяются его средним значением. Показатели эффективности реальной СМО при простейшем потоке заявок не хуже значений этих показателей, вычисленных в предположении об экспоненциальном распределении времени обслуживания… Читать ещё >
Решение управленческой задачи методом теории массового обслуживания ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Содержание
- 1. Общая характеристика СМО
- 2. Математическая модель однофазной СМО и показатели ее эффективности
- 3. СМО с конечной очередью
- 4. СМО с отказами
- 5. Чистая СМО с ожиданием
- 6. Пример принятия управленческого решения
- 7. Смешанные системы массового обслуживания
- Заключение
- БИБЛИОГРАФИЯ
Приведенный пример наглядно показывает важность сравнения различных вариантов организации СМО и учета при синтезе СМО экономических показателей. Смешанные системы массового обслуживания
СМО с ограниченным временем ожидания характеризуется тем, что уменьшение числа заявок в ней происходит как в результате завершения обслуживания одной из заявок, так и в результате ухода заявок из очереди с интенсивностью v. Если число заявок в системе k
Таким образом, для СМО с ограниченным временем ожидания
Граф состояний системы изображен на рис. 2.6(п=2).Подставляя выражения (2.45) в формулы (2.16) и 2.17), как и в случае СМО с конечной очередью, получим. Определим основные показатели эффективности системы. Средняя длина очереди
На каждую из L заявок, находящихся в очереди, действует поток уходов интенсивности v, то есть в среднем в единицу времени из очереди уходит Lv заявок. Следовательно, абсолютная пропускная способность;
относительная пропускная способностьвероятность отказа в обслуживании;
среднее число занятых приборов;
Рассмотренные модели массового обслуживания находят широкое применение при исследовании надежности технических систем, организации их эксплуатации и использования по назначению, а также при анализе и синтезе автоматизированных систем управления. Достаточно подробно вопросы практического применения моделей СМО рассмотрены в работе [1]. При решении прикладных задач необходимо прежде всего правильно определить, насколько аппроксимирующие предположения, принятые при разработке математических моделей СМО, приемлемы для реальной системы и каким образом ее специфические особенности можно учесть в типовой модели. Основными аппроксимирующими предположениями при разработке моделей СМО были предположения о том, что все потоки событий являются простейшими. Широкое использование указанных предположений обусловливается следующими факторами.
1. Простейший поток событий, как уже отмечалось, носит предельный характер и поэтому часто встречается в практических задачах. Так, например, Н. М. Седякин показал, что поток отказов элементов технических систем сводится к простейшему, если, где ti- среднее время наработкиi-го элемента данного типа на отказ, а п — число элементов. Если n>10, то это условие выполняется и тогда, когда каждый из элементов отказывает через постоянные интервалы времени.
2. Простейший поток заявок ставит СМО в наиболее тяжелые условия. И. Н. Коваленко показал, что система, рассчитанная на обслуживание простейшего потока, будет обслуживать любой другой поток с одинаковой интенсивностью более надежно ["https://referat.bookap.info", 15].
3. При простейшем потоке заявок показатели эффективности СМО с отказами и ограниченным временем ожидания практически не зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а определяются его средним значением. Показатели эффективности реальной СМО при простейшем потоке заявок не хуже значений этих показателей, вычисленных в предположении об экспоненциальном распределении времени обслуживания.
Бережная Е.В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика. 2001
Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. М.: ЮНИТИ, 2000
Лазарева Т.Я., И. В. Диденко . Системы массового обслуживания: методические разработки. Тамбов: Тамбовский государственный технический университет. 2001
Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. Москва: ЮНИТИ. 2001
Экономико-математические методы и прикладные модели. Под ред. Федосеева В. В. М.: ЮНИТИ, 1999.
Читайте также:
Статистические методы основаны на сборе, обработке и анализе статистических материалов, полученных как в результате фактически действий, так и выработанных искусственно путем статистического моделирования на ЭВМ. К этим методам относятся:
Математическое программирование представляет собой ряд методов, предназначенных для наилучшего распределения имеющихся в наличии ограниченных ресурсов, а также для составления рационального плана операции. Математическое программирование подразделяется на:
Сюда же обычно относят и методы сетевого планирования. Сетевое планирование, предназначено для составления и реализации рационального плана ведения операции, предусматривающего решение задачи в кратчайший срок и с наилучшими результатами.
Теоретико-игровые методы предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности (неполноты, неясности) данных обстановки. К теоретико-игровым методам относятся:
Принципиально важной особенностью применения методов исследования операций является то, что выработка и реализация решений, как правило, не мыслятся без применения электронно-вычислительной техники. С другой стороны, и ЭВМ не могут функционировать без исследования операций. Причем ЭВМ не только, как это иногда считают, облегчает проведение расчетов и освобождает от сложных вычислений. Главное в том, что исследование операций и электронно-вычислительные машины придают выработанным решениям новое качество. Они способны производить такие расчеты и в такой срок, которые без них оказываются принципиально невыполненными.
При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные системы, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билетные кассы, магазины, парикмахерские.
Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ____________________________________________________3
Предмет и задачи теории массового обслуживания__________________4
Система массового обслуживания_____________________________5
Классификация систем массового обслуживания_________________6
Понятие марковского случайного процесса________________________7
Потоки событий_______________________________________________10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ_________________________________________________13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ_________________________________________14
Вложенные файлы: 1 файл
реферат ПО ЭМММ1.doc
ВВЕДЕНИЕ______________________ ______________________________ 3