Теория чисел в школьном курсе математики реферат

Обновлено: 02.07.2024

Объектом исследования являются числовые множества.
Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.
Целью курсовой работы является выявление методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики.
Задачи курсовой работы:
• Анализ литературных источников.
• Анализ школьных программ и учебников

Содержание работы

Введение………………………………………………………………………………….3
Глава 1 . Развитие понятия числа в математике…………………………………..6
1. Натуральные числа……………………………………………………………………6
1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6
1.2. Построение множества натуральных чисел……………………………..7
2. Целые числа……………………………………………………………………………9
2.1. Множество целых чисел…………………………………………………….9
2.2. Отрицательные числа……………………………………………………….10
3. Рациональные числа…………………………………………………………………..11
3.1. Дробные числа………………………………………………………………11
3.2. Десятичные дроби……………………..……………………………………14
4. Действительные числа………………………………………………………………..15
4.1. Иррациональные числа…………………………………………. ………15
5. Комплексные числа………………………………. 17
Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20
1. Анализ программы по математике…………………………………………………. 20
2. Методика изучения натуральных чисел. 24
3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………. 29
4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………. 38
5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики. 40
6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…. 41
Заключение…………………………………………………………………………..…..44
Использованная литература………………………………………………………. 45

Содержимое работы - 1 файл

курсовая тимом.docx

Министерство образования и науки РФ

Армавирский государственный педагогический университет

Кафедра алгебры, геометрии и МПМ.

Тема: «Методика изучения числовых систем

Глава 1 . Развитие понятия числа в математике……………………………… …..6

1.1. Возникновение натурального числа……………………………………..6

1.2. Построение множества натуральных чисел……………………………..7

2.1. Множество целых чисел……………………… …………………………….9

4.1. Иррациональные числа………………………… ………………. ………15

5. Комплексные числа………………………………. . . 17

Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе………………20

1. Анализ программы по математике…………………………………………… ……. 20

2. Методика изучения натуральных чисел. . . 24

3. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей…………………. 29

4. Методика изучения отрицательных чисел…………………………………. ..38

5. Построение множества рациональных чисел в школьном курсе математики. 40

6. Методика изучения действительных чисел …………………………………….…. 41

Использованная литература…………………………………………………… …. 45

Приложение №3. Внеклассное мероприятие по математике для 6 класса…..….51

Понятие числа прошло долгий исторический путь развития. Оно сложилось постепенно в процессе решения все более и более сложны вопросов сначала практического, а потом и теоретического характера, и является одним из древнейших понятий математики.

С развитием обмена развивался счет. Уже у древних египтян и вавилонян были системы нумерации. Обе не позиционные. Из позиционных систем нумераций древнейшей из известных является вавилонская шестидесятеричная. Она не имела абсолютного характера, так как в ней не было нуля.

В начале нашей эры , позиционная система счисления появилась у племен майя с основанием системы -20.

Запись в позиционной десятичной системе с употреблением нуля появилась в Индии около 500 г. н.э. эта система через арабские страны дошла до Испании в X веке. Общеупотребительной она стала в Европе в XV-XVI веках, а в России - в XVII веке.

Дробями пользовались уже древние египтяне и вавилоняне. Греческие математики за несколько веков до н.э. установили недостаточность рациональных чисел для строгого решения задач измерения длин и вплотную подошли к понятию действительного числа, создав теорию пропорций.

Представление об отрицательных числах сложилось у индийцев около 500 г. Н.э., которые рассматривали их в связи с расчетами на имущество и долг.

Понятие комплексного числа возникло с развитием алгебры в XVI веке . В середине XIX века Дедекинд построил теорию действительного числа.

В это же время Гамильтон построил первую гиперкомплексную систему – тело кватернионов: множество чисел вида , где

Для математики множество N натуральных чисел является исходным для построения других числовых систем путем последовательного расширения предыдущих. При этом задача расширения понятия числа включает в себя выполнимость таких требований:

Если множество расширяется до множества то .
Все отношения и операции для элементов определены также и для элементов множества причем их смысл для элементов , рассматривается как элемента должен совпадать с тем, какой они имели в до расширения.
Операция, в связи с которой строится расширение , которая в была не выполнима. Или не всегда выполнима, в – всегда выполнима.
Из всех расширений расширение B должно быть минимальным, то есть таким, которое содержится в любом другом расширении .

В математике логическая схема расширения понятия числа имеет вид:

Как видно, она отличается от исторического пути развития понятия числа.

В школьном курсе математики последовательность расширения понятия числа отлична от принятой в математике. Она ближе к историческому пути развития понятия числа.

В начальной школе и 5 классе рассматривается множество - множество натуральных чисел и нуля. Затем в 5 классе изучается понятие дробного числа и десятичные дроби - множество .

В 6 классе завершается изучение дробных чисел, и изучаются сначала целые числа – множество , а затем рациональные числа – множество .

В 8 классе дается понятие иррационального числа и рассматривается множество действительных чисел R.

Изучение множества комплексных чисел новой программой по математике не предусматривается.

Объектом исследования являются числовые множества.

Предметом - рассмотрение методики преподавания числовых систем в средней школе.

Целью курсовой работы является выявление методических принципов способствующих эффективному усвоению теории числовых систем в школьном курсе математики.

Задачи курсовой работы:

Анализ литературных источников.
Анализ школьных программ и учебников.

Структура курсовой работы:

Глава 1 . Развитие понятия числа в математике.

Глава 2. Методика изучения числовых систем в основной школе.

Глава 1 . Развитие понятия числа в математике

1. Натуральные числа

1.1. Возникновение натурального числа

Возникновение понятия натурального числа вызвано потребностью счета предметов. Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или узелков на веревке. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на кости в вие 55 зарубок, расположенных по 5. Эта кость найдена в Чехословакии в 193 году. Запись на ней сделана в XXX в. до нашей эры. Предполагают, что кость служила для записи трофеев доисторических охотников. В Западной Европе в XVIII веке пользовались зарубками, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых храниться у должника, другая у кредитора. С течением времени для обозначения чисел начали применять различные символы. Сначала числа обозначали черточками на материале, служащими для записей. Затем были введены знаки для чисел. Параллельно с развитием письменности понятие натурального числа приобретает все более отвлеченную форму. Все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимое в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Элементы теории чисел - один из интереснейших и мало изучаемых в базовом курсе разделов математики. Класс таких задач весьма многообразен. Поэтому изучение этого вопроса весьма важно при подготовке к олимпиадам.

Вложение	Размер
Элементы теории чисел	566 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

города Волжска Республики Марий Эл

Реферат на тему:

Выполнила: Поливина Л.В.,

учитель I категории

1. О роли задач в обучении математике 2

2. Как учит решать задачи современная школа? 3

3. Формулировка проблемы 4

Глава 1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная

теорема математики 5

Глава 2. Деление целых чисел с остатком 11

Глава 3. Признаки делимости и равноостаточности 13

Глава 4. Вычисление наибольшего общего делителя двух чисел 15

Глава 5. Решение уравнений в целых числах 16

5.1. Линейное уравнение с одним неизвестным 16

5.2. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными 17

5.3. Примеры решения нелинейных уравнений 18

5.4. Пифагоровы треугольники 19

Глава 6. Числа Фибоначчи 21

Используемая литература 26

1. О роли задач в обучении математике

В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль.

Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой–то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

"Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". [5, с. 143]

Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков, направленных на поиски решения задач.

В книге [5, с. 165] М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:

Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия.

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи.

Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.

2. Как учит решать задачи современная школа?

Однако использование задач в процессе обучения математике и в настоящее время ещё далеко от совершенства.

В психологии и педагогике обращается внимание преимущественно на то, как решаются уже кем–то найденные и вполне чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются и ставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед собой чётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в незнакомой ситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая задача или некая задача, возникшая как следствие из практики (прикладная).

В современном математическом образовании отмечается следующий актуальный аспект: изучение математики на всех этапах должно иметь развивающий характер и прикладную направленность. Молодёжи необходимо давать не просто конкретную сумму знаний, но и прививать ей навыки творчества, интерес к исследованию, формировать у неё положительную мотивацию.

Интерес к учебной деятельности, подкрепляемый постоянным активным участием в открытии новых истин, проверке гипотез, поиском способа действий в задаче, является основным психологическим условием успешности этой деятельности.

Школьные уроки математики по–прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления у детей. Учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоили ещё одну порцию материала. Однако главная его задача – всемерно содействовать развитию познавательных возможностей у учащихся.

Основную часть времени на уроке ученик проводит, решая задачи, и во многом от их особенностей (сложности, многогранности, сюжетной формы, последовательности и др.) и зависит, насколько успешным будет процесс обучения математике. Что же мы имеем на самом деле? На практике получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладает некоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества. Со временем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый неправильный стереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто ищет стандартную ситуацию, к которой можно было бы применить известные формулы и теоремы, и теряется, когда предложенная задача требует даже несложного нестандартного подхода.

По мнению Л.Фридмана, одной из основных в обучении математике функций задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач.

Анализ школьных учебников математики показывает, что они содержат вроде бы достаточное (или даже избыточное) количество задач, из которых учитель может составлять наборы задач, ориентированные на разные классы и на разных учащихся. Однако учебный эффект получается, по мнению многих педагогов–исследователей, с которым мы вполне согласны, невысоким.

Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печально известные слова: "А мы такие не решали".

Каковы же причины этого широко распространённого явления?

Автор книги [5] видит основную причину в неудовлетворительной постановке задач в обучении математике. Он пишет: "Проблема постановки задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла удовлетворительного решения (ни в нашей стране, ни за рубежом). Ни с точки зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач или представления их в виде целостной системы".

Сейчас, когда учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и сущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можно быстрей. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, – на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.

В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.

Одной из особенностей математики является алгоритмичность решения многих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления, как об этом пишет академик Колмогоров.

3. Формулировка проблемы.

Натуральные и целые числа знакомы с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости и уравнения в целых числах служат излюбленным материалом для математических олимпиад и факультативов. Наряду с задачами о делимости, в данном задании рассматриваются уравнения в целых числах, вводится в практику метод математической индукции.

Глава 1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа.

Основная теорема арифметики

Напомним некоторые понятия и утверждения.

Целые числа - это числа … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …; ряд целых чисел можно неограниченно продолжить как вправо, так и влево. Положительные целые числа называются натуральными. Наименьшее натуральное число – это 1, а наибольшего натурального числа не существует.

Натуральное число n называют делителем целого числа m , если m =nk для подходящего целого числа k . В этом случае говорят, что m делится на n (нацело) и обозначают этот факт так: m n. Число m называют кратным числу n . Каждое число n имеет бесконечное множество кратных:

0, ± n , ± 2 n , ± 3 n , …

Натуральное число, имеющее ровно два различных делителя - само себя и единицу, - называется простым . Целое число, имеющее больше двух различных делителей, называется составным . Наименьшее простое число равно 2, остальные простые числа являются нечётными. Согласно определению, число 1 не считается ни простым, ни составным.

Если числа m,n делятся на натуральное число c, то с называется их общим делителем . Наибольший общий делитель чисел m и n обозначается НОД( m,n).

Любое число, кратное m и n , называется их общим кратным. Наименьшее натуральное число, кратное m и n, называется наименьшим общим кратным m и n. Оно обозначается НОК( m и n ). Числа, не имеющие общих делителей, кроме 1, называются взаимно простыми .

Имеют вместо формулы сокращённого умножения (n- натуральное число): (İ) a n - b n =(a - b)(a n-1 + a n-2 b +… + ab n-2 +b n-1 );

(İİ) a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2n – a 2n-1 b + …+ab 2n-1 + b 2n ).

Для целых чисел a, b из тождеств ( I ), ( II ) следует, что a n – b n делится на a-b и a 2n+1 + b 2n+1 делится на a + b.

Если некоторое множество М натуральных чисел содержит число n 0 и для любого k≥ n 0 из того, что k принадлежит М , следует, что k+ 1 принадлежит М , то множество М содержит все натуральные числа n≥n 0.

Следует подчеркнуть, что на практике нельзя пренебрегать ни основанием, ни шагом индукции.

Основные свойства делимости

Свойство 1. Если целое число а делится на m , а m делится на k , то а делится на k.

Свойство 2. Пусть а и b - целые числа , n их общий делитель. Тогда:

1) а + b, а - b делятся на n ;

2) аb делится на n (точнее, на n 2 ).

Следствие ( из свойства 2 ). Если одно из чисел а или b делится на n , а второе не делится на n , то а + b, а – b не делятся на n .

Свойство 3. Если целое а число делится на взаимно простые натуральные числа m и n , то а делится на их произведение mn.

Свойство 4. Если а, b - целые числа, p - простое число и аb делится на p , то а или b делится на p .

Свойство 5. Если а, b - целые числа, аb делится на натуральное число n , причём b и n взаимно просты, то а делится на n .

Любое натуральное число можно разделить на простые множители.

Для начала необходимо располагать списком простых чисел.

История развития понятия числа. Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Работа состоит из 1 файл

Расширение понятия числа.doc

Анализ последовательностир расширения понятия числа в школьных учебниках. Понятие числа вводится в начальной школе, затем в курсе математики 5-6 классов и углубляется в старших классах.

Понятие числа является стержневым, основным понятием математики и служит фундаментом, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений.

Проводя в школьном курсе математики линию развития понятия числа, учитель придерживается принципа расширения множества А до множества В, определенного следующими условиями:

А должно быть подмножеством В.
Операции над элементами множества А те же, что и для элементов множества В, но смысл тех операций, которые были только во множестве А остается неизменным.

Знакомство с отрицательными числами является следующим расширением понятия числа. Их изучение очень сложно для учащихся. Впервые Рене Декарт рассматривал их самостоятельными, расположенными на оси X слева от начала координат. Он называл их сложными.

Наибольшую трудность в изучении отрицательных чисел представляют обоснования действий над ними. В учебной и методической литературе существуют два пути введения отрицательных чисел:

Формально логический. Он связан с внутренними потребностями математики – выполнение действия вычитания во всех случаях.
Реально конкретный. Он исходит из их непосредственных связей с действительностью.

Для нового понятия отрицательного числа надо не только дать определение, но и сделать это новое число равноправным с ранее известными положит числами.

А теперь рассмотрим какая последовательность изучения чисел дающиеся в учебниках математики в средних общеобразовательных школах?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим наиболее известные, используемые, в школах учебники. Как мы уже заметим, подробное изучение чисел начинается с 5 класса, поэтому рассмитрим учебники математики для 5 класса

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что в многих учебниках математики для общеобразовательных школ дается следующая последовательность изучения чисел: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа, действительные числа.

Историко-генетический подход. В философии под генетическим методом (греч. genesis - происхождение, развитие) понимают способ иследования природных и социальных явлений, а также явлений познания, основанный на анализе их развития. Исторический этот метод возник в утверждения в науке (начиная с XVII века) идеи развития – закономерного и и направленного качественного изменения материальных и идеальных объектов, а его основная цель – выявление связей изучаемых явлений ао времени: начальных условий, главных этапов и тенденций их развития.

Генетический подход в преподавание заключается в том, что методика обучения предмету должна опираться, по мере возможности, на естественные пути и методы познания, присуще соответствующей науке, т.е. обучение должно следовать происхождения знания. При этом ученику отводится роль не пассивного слушателя и потребителя готовых знаний, а их активного добытчика.

Так, например, излагая какой-нибудь раздел науки (или теорию), мы должны дать возможность ребенку проследить важнейшие ступени умственной эволюции человечества. Конечно, при этом не следует позволять ему повторять ту тысячу ошибок, которые были сделаны человечеством в прошлом.

Новые воззрения в математическом анализе не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно уверенно сравнить с травлей. Но время доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом был построен благодаря таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд.

Таким образом, число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности.

Основываясь на историко-генетическом подходе, развитие понятия числа целесообразно рассматривать следующей последовательности:

Натуральные числа;
Целые числа;
Рациональные числа;
Иррациональные числа;
Действительные числа.

Анализируя учебники и учебные пособия по метиматике можно сказать, что последовательность изучения чисел в общеобразовательных школах соответствует историко генетическому подходу.

Провели исторический анализ развития понятия числа;
Выполнили анализ учебников и учебных пособии по математике по теме исследования;
Рассмотренна сущность историко-гененического подхода;
Сделан вывод о соответствие последовательности изучения чисел в общеобразовательных школах историко-генетического подхода.

Список используемой литературы

Расширение понятия числа в школьном курсе математике.

Научный руководитель – ст. преподаватель Галлямова Э.Х.

В основе математики лежит понятие числа, одно из самых ранних и самых абстрактных.

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Понятие числа - стержневое понятие школьного курса математики. Линия развития понятия числа строится по принципу расширения множества А до множества В, при котором: 1) А должно быть подмножеством множества В; 2) операции над элементами из А те же, что и для элементов из В, но смысл тех операций, которые были только в множестве А, неизменным; 3) в множестве В должна быть выполнена операция, которая в множестве А была невыполнима или не всегда выполнима; 4) расширение В должно быть минимальным из всех расширений множества А.

1. Расширение понятия чи сла в школьном курсе математики

Преподавание вопросов связанных с развитием учения о числе учитель строит таким образом, чтобы ясна была связь понятий равенства, сумма и произведение, с одной стороны, и понятие числа, с другой. Таким образом, для того чтобы новые числа были равноправными, необходимо введение определения:

понятие равенства и установление критерия сравнения новых чисел между собой и с ранее известными числами;

Необходимо показать, что новые числа подчиняются всем законам арифметических действий, установленным для изучаемых ранее числам. Целесообразность вводимых определений иллюстрируют рассмотрением конкретных примеров. Каждый этап развития числа состоит из: 1) мотивировки (алгебраический или алгебраический; например, появление отрицательных чисел - алгебраический, дробных чисел - практический); 2) подтверждение.

Изучение арифметики натуральных чисел основано на наглядности. Учащиеся должны твердо усвоить, что любое натуральное число может быть изображено точкой на координатном луче, но не всякой точке на этом луче отвечает натуральное число. Этот последний факт готовит учащихся к пониманию необходимости введения новых чисел. Учащиеся знакомятся с одним из свойств множества натуральных чисел - бесконечностью. При изучении законов арифметических действий, для избегания формализма необходимо отметить их теоретическое значение. В частности, коммутативный и ассоциативный законы умножения целесообразно связать с геометрическим материалом (вычислением площадей прямоугольников, объёмом прямоугольных параллелепипедов).

2. Введение дробных чисел

Первое расширение понятия числа - введение дробных чисел. Пропедевтика обыкновенных дробей сводится к ознакомлению учащихся с такими вопросами, как доля единицы, изображение дробей на координатном луче, правильные и неправильные дроби, основное свойство дробей, представление натурального числа в виде дроби. Десятичная дробь рассматривается как частный случай обыкновенной дроби, как способ записи дробей со знаменателем вида . Учащиеся должны иметь навыки чтения и записи десятичных дробей, умение записывать с помощью запятой числа вида , где . Сравнение дробей основано на основном свойстве обыкновенной дроби и позволяет установить важное свойство десятичных дробей, состоящее в возможности приписывания и отбрасывания нулей справа. Изучение умножения и деления десятичных дробей начинается с “простого” случая умножения и деления дроби на натуральное число. На конкретных примерах учащиеся убеждаются в том, что и для этих чисел смысл операции сохраняется.

3 . Введение отрицательных чисел. Определения свой ств действий над целыми числами

Следующее расширение понятия числа - знакомство учащихся с отрицательными числами. С методической стороны введение отрицательных чисел особых затруднений не представляет, т.к. дети часто встречаются в жизни. Наибольшую трудность в их изучении представляет обоснование действии над ними.

Введение понятия отрицательного числа требует дать определение:

1) модуля (мотивировать это можно на конкретной задаче) как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки. На основании такой геометрической интерпретации поясняется свойство модуля - он не может быть отрицательным, иначе говоря, модуль числа - есть число неотрицательное. Очень часто учащиеся считают его числом положительным, это можно объяснить отработкой учителя этого понятия, т.к. очень редко понятие расстояния связывается с начальной точкой(например, на каком расстоянии находится точка О от начальной точки?).

2) противоположных чисел (основано на понятии симметричных точек).

Сравнение положительных и отрицательных чисел иллюстрируется конкретными примерами и с помощью геометрических образов, что позволяет подготовить учащихся к введению соответствующих определений. И так как множество рациональных чисел включает в себя множество натуральных чисел, то сравнение их необходимо проводить таким же образом.(Напомним: из двух натуральных чисел большее то из них, которое на координатной прямой правее и наоборот, если числа равны, то соответствующие им точки совпадают).

В школьном курсе определение действия обычно даётся в виде правила. Относительно операции сложения целых чисел, отдельно определяется сложение чисел с разными знаками и сложение отрицательных чисел. Для того чтобы учащихся подвести к определению действия сложения используются конкретные задачи на сложение чисел с помощью координатной прямой.

Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность. Правило знаков, которое даётся в школе, является по существу, своеобразной трактовкой определения операции умножения положительных и отрицательных чисел, а утверждения, которые на самом деле представляют собой определение новых понятий, не могут быть доказаны!

Существует два пути истолкования правила знаков: 1) предварительно рассматривается ряд задач, решение которых требует проводить вычисления по формуле вида . (). Недочёт метода в том, что:1)у учащихся создаётся впечатление того, что проводится доказательство правила умножения; 2)допущена логическая ошибка, ибо формула верна для ; 2) догматический способ введения умножения, предполагающий формирование правила умножения, которое затем поясняется на примерах и убеждает учащихся в целесообразности введенного определения.

Все числа с которыми учащиеся ознакомились, составляют новое множество рациональных чисел. Вводится определение рационального числа, как дроби вида , где . В этом множестве выполнимы сложение, вычитание, умножение и деление на число, не равное нулю. При выполнении дейсвий получаем числа того же мн-ва, т.е. это мн-во обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй ступени.

Для сложения справедливы: 1) переместительный закон ; 2) сочетательный закон ; 3) имеется нейтральный элемент ; 4) , т.е. имеется противоположный элемент.

Для умножения справедливы следующие законы: 1) переместительный; 2) распределительный (учащимся знакомо понятие алгебраической суммы, поэтому нет необходимости говорить раздельно о сложении и вычитании); 3) сочетательный закон; 4) - нейтральный элемент; 5) , - обратный элемент.

4. Введение иррационального числа. Методическая схема введения действительного числа

Следующее расширение понятия числа - иррациональное число. В соответствии с построением множества действительных чисел по Дедекинду на множестве рациональных чисел существуют только три вида сечений: 1) в В нет наибольшего, в В` наименьшее(деление множества рациональных чисел по числу, например,2); 2) в В есть наибольшее, в В` нет наименьшего; 3) в В нет наибольшего числа, в В` нет наименьшего

Пример. Докажем, что в В нет наибольшего числа.

. Покажем, что можно подобрать такое целое положительное число n, для которого , т.е. - доказать. Если для неравенства найдётся n, для которого оно справедливо, то будет верно и данное неравенство: (*), т.е. число

Так как во множестве рациональных чисел существует сечение третьего типа, то оно не является полным. Это сечение определяет число иррациональное. С геометрической точки зрения этот факт означает, что на координатной прямой существуют точки, которые не соответствуют никаким числам из множества рациональных чисел: множество рациональных чисел несвязно.

В школе при введении иррационального числа используют следующий факт: известно, что каждому рациональному числу r соответствует единственная точка M(r) прямой l, на которой заданы: начало отсчета, направление и масштаб. При этом число называется координатой точки M. Верно ли обратное утверждение? Ответ иллюстрируется следующим примером:

Докажем, что точка М не соответствует никакому рациональному числу.

, что противоречит тому, что - несократимая дробь определение рационального числа).

Ещё один способ доказательства иррациональности числа является построение последовательных рациональных приближений этого числа по недостатку и по избытку, которые обладают следующими свойствами:

1) каждое число последовательности (2) больше числа последовательности (1) с тем же номером: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;…. (1)

1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;…. (2)

2) последовательность (1) ; (2) -

3) разность между членами последовательностей с одинаковыми номерами неограниченно уменьшается по абсолютной величине при увеличении номера и равна . Геометрически этот факт определяет сближение точек последовательности к .

Иначе говоря, члены последовательностей (1) и (2) образуют непериодическую десятичную дробь.

Методическая схема введения действительного числа:

а) делается попытка решения уравнения , т.е. необходимо доказать теорему: не существует ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равнялся бы числу 2

б) так как теорема доказана, то надо показать, что не существует целого числа, квадрат которого равен 2;

в) параллельно вводится понятие действительного числа на геометрической основе, т.е. в процессе измерения отрезков (отыскание абсциссы точки графика , ордината которой равна 2). Такая задача приводит к проблеме измерения отрезка другим, принятым за единицу измерения;

г) измерение отрезка. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Десятичные приближения длины отрезка;

д) бесконечные периодические и непериодические дроби;

е) обращение обыкновенной дроби в бесконечную периодическую и обратная задача;

ж) иррациональные числа. Примеры;

з) действительные числа;

и) сравнение действительных чисел;

к) операции над действительными числами.

Следует помнить, что если в заданиях для следующих выражений:

необходимо избавится от иррациональности в знаменателе, это означает, что в знаменателях этих дробей находятся иррациональные числа. В этом учащиеся могут убедиться, придав буквам конкретные значения. Алгебраические категории представляют собой абстракции более высокого порядка, а значит, рассуждения в алгебре носят более обобщённый характер, нежели непосредственно в числовых системах.

Заключение

Литература

Читайте также: