Теория аналитических функций реферат
Обновлено: 05.07.2024
Наряду с многочисленными собственно научными результатами, Эйлеру принадлежит историческая заслуга создания современного научного языка. Он является единственным автором середины XVIII в., труды которого читаются даже сегодня без всякого труда.
Он вырастил трех сыновей. Старший из них был петербургским академиком по кафедре физики, второй придворным врачом, а младший – артиллерист дослужился до чина генерал-лейтенанта. Почти все потомки Эйлера приняли в XIX в. российское подданство. Среди них были высшие офицеры российской армии и флота, а также государственные деятели и ученые. Лишь в смутное время начала XX в. многие из них вынуждены были эмигрировать. Сегодня прямые потомки Эйлера, носящие его фамилию, все еще живут в России и Швейцарии.
Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.
Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты
в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.
В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы — показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций — взятия логарифма и экспоненты.
Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:
Полагая и z = nx, он получает
отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу
Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение. В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .
В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует понятие интеграла так:
В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ-функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем.
3 Дальнейшее развитие математического анализа
Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд
коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остаётся назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что
поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), то есть
Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.
Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.
Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.
Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию
доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f(x). Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение
В XVIII веке были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции. На фундаменте анализа возникла математическая физика, аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел.
В XIX веке Коши первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.
Завершая работу над рефератом можно прийти к выводу, что математический анализ – это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. В него также входят теории функций действительного и комплексного переменного, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление ряд других математических дисциплин.
Большой вклад в развитие математического анализа внес Л.Эйлер. Он принадлежит к числу гениев, чь творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.
Аналитическая и дифференциальная геометрия. Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии. Обобщения теоремы Эйлера о многогранниках. Развитие концепции комплексного числа. Последовательности и ряды аналитических функций. Интегральная теорема Коши.
| Рубрика | Математика |
| Вид | книга |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.11.2013 |
| Размер файла | 12,9 M |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Возникновение геометрии как науки о формах, размерах и границах частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Появление геометрии в Греции к концу VII в. до н. э. Теорема Пифагора и развитие методов аналитической геометрии Гаусса.
реферат [38,5 K], добавлен 16.01.2010
Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010
Биографии и описание деятельности великих математиков: Паскаля, Бернулли, Дезарга, Ньютона, Ферма, Декарта, Эйлера, Монжа, Фурье, Лагранжа, Виета, Лейбница. Алгебраические методы в геометрии. Аналитическая геометрия Ферма. Аналитическая геометрия Декарта.
реферат [1,7 M], добавлен 14.01.2011
Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.
реферат [208,2 K], добавлен 15.08.2009
Определение плоскости комплексного переменного, последовательностей комплексных чисел и пределов последовательностей. Дифференцирование функций, условия Коши, интеграл от функции. Числовые и степенные ряды, разложение функций, операционные исчисления.
курсовая работа [188,4 K], добавлен 17.11.2010
Происхождение Неевклидовой геометрии. Возникновение "геометрии Лобачевского". Аксиоматика планиметрии Лобачевского. Три модели геометрии Лобачевского. Модель Пуанкаре и Клейна. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).
реферат [319,1 K], добавлен 06.03.2009
Определение понятия антипростого числа как естественного обобщения правильных степеней. Доказательство постулата Бертрана и китайской теоремы об остатках. Исследование натуральных рядов, частоты и последовательности встречаемости антипростых чисел.
Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.
В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.
Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.
В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.
§1. Характеры Дирихле и L -функции Дирихле
Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.
Пусть k=р а , где р> 2 — простое число, α≥1. Как известно, по модулю kсуществуют первообразные корни, и пусть g— наименьший из них. Через indnбудем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю kпри основании g, т. е. число γ = γ(п) = indnтакое, что
(modk).
Определение 1.1. Характером по модулю k= р а , р>2 — простое, α≥ 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция χ(n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что
где т — целое число.
Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом φ(k), т. е. существует, вообще говоря, φ(k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, . φ(k) - 1.
Пусть теперь k= 2 α , α≥ 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов γ0 = γ0 (п) и γ1 = γ1 (n) по модулю k, т. е. такие числа γ0 и γ1 , что
Таким образом, числа γ0 и γ1 определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2 α-2 .
Определение 1.2. Характером по модулю к = 2α , α≥1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:
Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т0 и m1 является периодической по m0 и m1 , с периодами соответственно 2 и 2 α-2 т. е. существует, вообще говоря, φ(k), = α ) характеров по модулю k= 2 α , которые получаются, если брать m0 , равным 0, 1, а m1 равным 0, 1, . 2 α-2 - 1.
Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера χ (п):
1. по модулю k— периодическая с периодом k функция, т. е.
;
2. —мультипликативная функция, т. е.
Очевидно также, что
L-ряды Дирихле — функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.
Пусть k— натуральное число и χ — какой-либо характер по модулю k.
Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:
Ввиду того, что|χ(n)|≤1, следует аналитичность L(s, χ) в полуплоскости Res>l. Для L(s, χ) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).
Лемма 1.1. При Res > 1 справедливо равенство
Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию
Так как Res > 1, то
(воспользовались мультипликативностью χ(n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее,
где σ=Res>l. Переходя в (2) к пределу Х→+∞, получим утверждение леммы.
т. е. L(s, χ)≠0 при Res>l. Если характер χ по модулю kявляется главным, то L(s, χ) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ζ(s).
Лемма 1.2. Пусть χ(n) = χ 0 (n) по модулю k. Тогда при Res> 1
Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера χ0 (n).
Следствие. L(s, χ) — аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным
Если характер χ(n) является производным, aχ1 (n) — примитивный характер по модулю k1 , kt \k, отвечающий χ(n), то L(s, χ)лишь простым множителем отличается от L(s, χ1 ).
Лемма 1.3. Пусть χ1 — примитивный характер по модулю k1 и χ — индуцированный χ1 производный характер по модулю k, kt ≠ k. Тогда при Res> 1
Доказательство леммы следует из (1) и свойств χ1 и χ.
Функцию L(s, χ) можно продолжить в полуплоскость Res> 1
Лемма 1.4. Пусть χ≠χ0 , тогда при Res>0 справедливо равенство
Доказательство. Пусть N ≥1, Res>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь
Переходя к пределу N → +∞, получим (8) при Res>l. Но |S(x)|≤φ(k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Res> 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.
§2. Функция θ( x ,χ), её функциональное уравнение
Функциональное уравнение будет получено для L(s, χ)с примитивным характером χ; тем самым и в силу леммы 3 L(s, χ) будет продолжена на всю s-плоскость при любом χ. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер χ, т. е. χ(-1)=+1 или χ(-1)=–1
Прежде чем вывести функциональное уравнение для L(s, χ) и продолжить L(s, χ) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для θ(х) (см. лемму 3, IV).
Лемма 2.1. Пусть χ — примитивный характер по модулю k. Для четного характера χ определим функцию θ (x, χ) равенством
а для нечетного характера х определим функцию θ1 (x, χ) равенством
Тогда для введенных функций θ (x, χ) и θ1 (x, χ) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):
где τ(χ) — сумма Гаусса.
Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством
где x > 0, α — вещественное.
что доказывает равенство (6).
Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, α на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим
Отсюда, как и выше, выводим
§3. Аналитическое продолжение L -функции Дирихле на комплексную плоскость
Получим аналитическое продолжение функции L(s, χ) в область Res >0.
Лемма 3.1.Пусть χ(n) – неглавный характер по модулю m,
Тогда при Res > 1 справедливо равенство
Доказательство. Пусть N≥1, Res >1 . Применяя частное суммирование, будем иметь
Где c(x)=S(x)-1. Так как |c(x)|≤x , то, переходя к пределу N, получим
Что и требовалось доказать.
§4. Функциональное уравнение для L -функции Дирихле. Тривиальные нули L -функции Дирихле
Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть χ— примитивный характер по модулю k,
Тогда справедливо равенство
Доказательство, по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).
Предположим, что χ(-1)=+1. Имеем
Умножая последнее равенство на χ (п) и суммируя по п, при Res > 1 получим
Ввиду того, что χ — четный характер, имеем
Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х → 1/х) и пользуясь (6), найдем
Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом sи, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)≠0, то L(s, χ) — регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 — s и χ на , правая часть (10) умножается на , так как χ(— 1)=1 и, следовательно, τ(χ) τ()= τ(χ) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 0.
Предположим, что χ(—1) = —1. Имеем
Следовательно, при Res > 1
Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, χ) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 — s и χ на, умножается на iввиду того, что
τ(χ) τ()= —k.
Отсюда получаем утверждение теоремы при δ = 1. Теорема доказана.
Следствие. L(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤ 0 являются полюсы Г , т. е. точки s = 0, —2, —4, . ;
если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) приRes≤ 0 являются полюсы Г т. е. точки s = —1, —3, —5, .. .
дирихле тривиальный вейерштрасс риман
§5. Нетривиальные нули L -функции Дирихле
Тривиальные нули L-функции Дирихле
ξ(s, χ) — целая функция; если χ (—1) = +1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы ,т. е. точки s =0, —2. —4, . ; если χ (—1) = —1, то единственными нулями L(s, χ) при Res≤0 являются полюсы т.е. точки s = —1,-3, -5, .. .
5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций
Теорема 5.1 . Пусть a1 , . ап , . — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем
0 0 такое, что сходится ряд
Тогда функция G1 (s),
удовлетворяет теореме5. 1.
Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде
где H(s) — целая функция, а числа 0, a1 ,a2 , . а…,-— нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность аn , п = 1,2. удовлетворяет условиям следствия 5.1., то
Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G1 (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая
при s≠an ,
видим, что φ(s) — целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм φ(s) — целая функция. Но тогда φ(s) = e H ( s ) , где H(s) — целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Пусть G(s)— целая функция конечного порядка α и G(0)≠0, sn — последовательность всех нулей G(s), причем 0 0 найдется бесконечная последовательность r1 , r2 , . rn , . rn +∞, такая, что
max |G(s)|>, |s| = rn , n = 1, 2, …,
то α=β и ряд расходится.
5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L -функции Дирихле
Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, χ), χ— примитивный характер, имеет в полуплоскости Res 0. Нули ξ(s, χ) являются нетривиальными нулями L(s, χ).
Доказательство. При Re≥1/2
Последняя оценка |ξ(s, χ)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства
справедлива также при Res +∞, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, χ)≠0 при Res>l, то из
следует, что ξ(s, χ) ≠0 при Res 1 следует, что все остальные нули, т.е. нетривиальные, расположены в полосе 0≤Res ≤ 1 симметрично относительно критической линии . Гипотеза Римана утверждает, что:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .
Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, то есть L-функций Дирихле
Библиографический список
1. А.Л. Карацуба, Основы аналитической теории чисел // 2-е над.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -240 с.
2. С.М. Воронин, А.А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М.: Физматлит. 1994. -376с.
При построении стойкого шифра используют нелинейные функции, иначе ключевые параметры несложно восстановить по открытому и шифрованному текстам, решив систему линейных уравнений. Общие принципы построения нелинейных криптографических функций, представленные К. Шенноном, породили многообразные подходы к анализу различных характеристик нелинейных функций. Суть многих подходов заключается в сведении… Читать ещё >
- криптографические методы защиты информации. часть 1. математические аспекты
Аналитические свойства функций ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
При построении стойкого шифра используют нелинейные функции, иначе ключевые параметры несложно восстановить по открытому и шифрованному текстам, решив систему линейных уравнений. Общие принципы построения нелинейных криптографических функций, представленные К. Шенноном [15], породили многообразные подходы к анализу различных характеристик нелинейных функций. Суть многих подходов заключается в сведении сложной нелинейной системы уравнений к относительно простой системе, к линейной системе или к системе с ограничениями на множество существенных переменных.
Свойство совершенности функции и его усиления
Пусть X есть -множество. Положительным криптографическим свойством функции q>: Х п —" X m f заданной координатными функциями …, хп)у …yfm(x 1, …, хп), является полное перемешивание входов, т. е. существенная зависимость каждой координатной функции от всех переменных. Многие функции с полным перемешиванием обладают свойством распространения искажений входов, что позволяет использовать их в криптосистемах аутентификации. В то же время к функциям шифрования с неполным перемешиванием входов применимы методы определения ключа типа последовательного опробования [10|.
Пусть E (J) — множество номеров существенных переменных функции f (x 1, …, хп). Перемешивающие свойства системы функций Xy хп),.
…, fm(xy …, х")> определены системой множеств …, E (fm)>, которая описывается 0, 1-матрицей или орграфом. Функции ф соответствует двудольный орграф Г^ф) с множеством вершин 1,…, п + т и множеством дуг Uу = <(/, у)>, где i е n>, j е 1, …, п + т). Вершины 1, …, п суть номера переменных, а номерам координатных функций соответствуют вершины п + 1, …, п + т. Пара (i, j) е i е E (fj) (функция fj зависит существенно от xt). Для функции ф назовем граф Г/;(ф) перемешивающим графом, а матрицу М (ф) = (т^) смежности вершин графа Гф (ф) — перемешивающей матрицей.
Функция ф называется совершенной или вполне перемешивающей, если E (fj) = п) для всех j = п + 1, …, п + т (двудольный граф Гд ( т. е. имеет тп дуг, или все элементы матрицы Мф) положительны).
Почти все функции ф: X й —> X м являются совершенными при п —> °° и т, k n табличных значений функции fj (xt…хп). В частности, если X = GF (2), для тч верна формула.
гдех = (xt,…, x"), e, — вектор из V" веса 1 с г'-й координатой, равной 1, суммирование пох выполняется в поле R, и функция sign (a) равна 1 при а > О, -1 при а g (xj,…, х")> систему координатных функций преобразования g множества X". Перемешивающим графом преобразования g называется гг-вершинный орграф r0(g), в котором пара (i, j) является дугой х, G ?(//), i, j? (1, …, гг>. Матрица M (g) смежности вершин графа rD(g) является перемешивающей матрицей преобразования g. Показатель совершенности преобразования (функции) g (обозначается prfg) — это наименьшее t е N, при котором совершенно преобразование g', если такое t существует.
Пусть S = p> — система преобразований множества X", р е N. Системе S соответствует система перемешивающих матриц l), …, M (gp)> (обозначим ее Л/(б')) и система перемешивающих графов ?)(g1), …, r0(gp)>. Перемешивающим мультиграфом системы S называется гг-вершинный помеченный мультиграф Г0(5) = rD(gj) и … и rD(gp), где все дуги графа f/;(g,.) помечены символом г, г = 1, …, р. В мультиграфе Г0(5) пара (i, f) есть дуга с меткой г х, е E (Jf r ), i, j е . Система 5 порождает полугруппу (5) = е Np% где g (w) = gr.gv если w = r,.
При 5 = имеем циклическую полугруппу (g). Показателем совершенности системы S (обозначается prfS) называется наименьшая длина t слова w е Np", при котором преобразование g (w) совершенное, если такое t существует.
В связи с исследованиями s-боксов Э?5-алгоритма [17, 18] разработан строгий лавинный критерий (СЛК). Функция ф удовлетворяет СЛК, если сбалансирована каждая координатная функция отображения ф (х) — - ф (х+ е,), i = 1,…, п. При выполнении СЛК изменение одной координаты случайно равновероятно взятого вектора х е Р п индуцирует равномерное вероятностное распределение на множестве значений случайного вектора ф (х) — ф (х + е,).
Если Р= GF2), то для функции ф со свойством СЛК выполнены равенства.
Функция ф удовлетворяет СЛК порядка г (кратко СЛК (г)), если СЛК выполнен для подфункции каждой ее координатной функции, полученной любой фиксацией любых г переменных, 0 ] —> Р. Тогда f^x) -/ = -а, т. е. СЛК не выполнен для ф. ?
Следствие. Если Р = GF (2) и функция ф удовлетворяет СЛК (г), то г
В развитие СЛК предложено семейство более жестких критериев [241, получивших название критериев распространения (КР). Функция ф удовлетворяет КР степени I, если каждая координатная функция отображения ф (х) — ф (х + а) является сбалансированной при любом векторе а е Р п , имеющем не более / ненулевых координат, 1 п / 2 . Поскольку эти коэффициенты есть целые числа, то булевы бент-функции существуют только для четных п и имеют вес 2″ -1 ± 2 Л / 2 « 1 . Несбалансированность бентфункций не позволяет широко применять их в криптографических приложениях. Поэтому наиболее привлекательным объектом исследований криптологии являются сбалансированные отображения, удовлетворяющие СЛК и КР.
Множество булевых бент-функций инвариантно относительно группы аффинных подстановок, степень нелинейности их при п> 2 не выше п / 2. При Р = GF (2) (р есть бент-функция любая нетривиальная линейная комбинация ее координатных функций есть бент-функция.
Аналитическая функция дается локально сходящимся степенным рядом. Обе вещественные и комплексные бесконечно дифференцируемы, но существуют некоторые свойства второй, которые истинны. Функция f, определенная на открытом подмножестве U, R или C, называется аналитической только тогда, когда она задается сходящимся степенным рядом локально.
Определение данного понятия
Комплексные аналитические функции: R (z) = P (z) / Q (z). Здесь P (z) = am zm + am-1 zm-1 + ⋯ + a1 z + a0 и Q (z) = bn zn + bn-1 zn-1 + ⋯ + b1 z + b0. Кроме того, P (z) и Q (z) являются многочленами с комплексными коэффициентами am, am-1, . a1, a0, bn, bn-1, . b1, b0.
Предположим, что am и bn не равны нулю. А также, что P (z) и Q (z) не имеют общих факторов. R (z) дифференцируема в любой точке C → SC → S, а S - конечное множество внутри C, при которых знаменатель Q (z) обращается в нуль. Максимум двух степеней из числителя и степени знаменателя называется степенью рациональной функции R (z), также как сумма двух и произведение. Кроме того, можно проверить, что с помощью этих операций сложения и умножения пространство удовлетворяет аксиомам поля, и оно обозначается через С (Х). Это важный пример.
Концепция числовых значений для голоморфных значений
Фундаментальная теорема алгебры позволяет рассчитать многочлены P (z) и Q (z), P (Z) = am (z − z1) p1 (z − z2) p2. (z − zr) prP(Z) = am (z − z1) p1 (z − z2) p2. (z − zr) pr и Q (Z) = bn (z − s1) q1 (z − s2) q2. (z − sr) qr. Где показатели обозначают кратности корней, и это дает нам первую из двух важных канонических форм для рациональной функции:
R (Z) = a m (z − z1) p1 (z − z2) p2. (z − zr) / p r bn(z−s1)q1(z−s2)q2. (z−sr)qr. Нули z1, . zr числителя так называются в рациональной функции, а s1, . sr знаменателя считаются его полюсами. Порядок – это его кратность, как корень указанных выше значений. Поля первой системы являются простыми.
Будем говорить, что рациональная функция R (z) правильна, если:
m = deg P (z) ≤≤ n = degF(o) Q (z) и строго правильная, если m 30 ноября, 2017
Читайте также: