Теоремы о среднем реферат

Обновлено: 28.06.2024

Название работы: Формула Коши и теорема о среднем

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Пусть функция аналитична в связной области и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки этой области имеет место так называемая формула Коши: 1 где граница области проходимая так что область остается всё время слева. Таким образом формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области если известны граничные значения этой функции. Выбросим из области кружок радиусом с центром в точке и заметим что в полученной.

Размер файла: 821.5 KB

Работу скачали: 30 чел.

Формула Коши и теорема о среднем.

Пусть функция аналитична в - связной области и непрерывна в . Тогда для любой внутренней точки этой области имеет место так называемая формула Коши:

где - граница области , проходимая так, что область остается всё время слева.

Таким образом, формула Коши позволяет вычислить значение аналитической функции в любой точке области, если известны граничные значения этой функции.

Доказательство. Выбросим из области кружок радиусом с центром в точке и заметим, что в полученной -связной области подынтегральная функция аналитична относительно переменной , а так как она непрерывна в , то по теореме Коши (формула (24) предыдущей лекции):

где окружность проходится по часовой стрелке. Отсюда следует, что

где проходится против часовой стрелки. На : , поэтому

Оценим эту разность:

Отсюда видно, что при уменьшении наша разность может быть сколь угодно малой (так как равномерно непрерывна в ). С другой стороны, из левой части (4) следует, что эта разность не зависит от . Следовательно, рассмотренная разность равна нулю, и таким образом, формула Коши доказана.

Если, в частности, граница представляет собой окружность, то, полагая , из формулы Коши получим:

Эта формула выражает так называемую теорему о среднем для аналитических функций.

Теорема 1 (о среднем). Если функция непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга, то её значение в центре круга равно среднему арифметическому значений на окружности.

Принцип максимума и лемма Шварца.

Лемма. Если в некой области :

  1. постоянна действительная часть аналитической функции или

2) постоянен её модуль, то и сама функция постоянна.

Доказательство. При условии (1) утверждение вытекает непосредственно из условий Коши-Римана: (т.к. u ( x , y )= const ), поэтому в силу условий Коши-Римана и . Таким образом, v ( x , y ), а значит и - постоянны в .

При условии (2) рассмотрим функцию . Её действительная часть постоянна, следовательно, по условию (1), постоянна функция , а значит, и . Ч.т.д.


Теорема 2 (принцип максимума модуля).

Если функция , не равная тождественно постоянной, аналитична в области (и непрерывна в ), то её модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области .

Доказательство. Предположим, что достигает своего максимального значения внутри , и обозначим через множество всех точек , для которых .

1). Если , то всюду в имеем , т.е. постоянен, отсюда следует, что и постоянна в , что противоречит условиям теоремы.

2). Если не совпадает с , то существует граничная точка этого множества, которая является внутренней точкой . В силу непрерывности имеем , ибо в любой окрестности есть точки. Окружим такую точку окружностью достаточно малого радиуса, чтобы она целиком лежала в . Тогда на части окружности, лежащей внутри, , а на остальной части , но тогда по теореме о среднем и в центре круга , что противоречит предположению, что . Полученное противоречие доказывает теорему.

В силу непрерывности функции , она достигает своего максимума на границе .

Замечание. Если функция не постоянна, аналитична в (и непрерывна в ) и, кроме того, не обращается в 0, то и минимум не может достигаться внутри .

Для доказательства достаточно применить принцип максимума к функции .

Из принципа максимума вытекает полезная для дальнейших приложений лемма.

Лемма (Г.Шварца). Если функция аналитична в круге и непрерывна в замкнутом круге, причём , и если всюду в круге , то в том же круге

При этом, если хотя бы в одной внутренней точке круга , то последнее равенство имеет место во всем круге и

где - действительная постоянная.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Из условий леммы следует, что аналитична в кольце и непрерывна в замкнутом круге (непрерывность в точке следует из того, что

Позже будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность в точке . Таким образом, к применим принцип максимума модуля. Так как на окружности имеем , то по этому принципу и всюду в круге , т.е. . Первая часть леммы доказана.

Если теперь в какой-либо внутренней точке , то в этой точке

, но тогда по принципу максимума во всех точках круга и по лемме , но т.к. , то  ( z ) можно представить в виде , где - действительное постоянное число, следовательно, . Лемма Шварца доказана.


Геометрически лемма Шварца означает, что при любом отображении единичного круга на область , лежащую внутри единичного круга, с помощью аналитической функ-ции , образ произвольной точки лежит ближе к началу координат, чем сама точка (см. рисунок). Если же образ хотя бы одной точки лежит на том же расстоянии, что и сама точка, то совпадает с единичным кругом, а отображение сводится к повороту.

Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции в области (или на кривой ), если для любого найдется число , зависящее лишь от , такое , что при для всех ( или ) имеет место неравенство:

Рассмотрим несколько теорем о равномерной сходимости.

Теорема 1. Предел последовательности непрерывных функций , равномерно сходящихся в некоторой области (или на кривой ), также является непрерывной функцией.

Доказательство. Выберем число и обозначим через произвольную точку в области (или на кривой ). В силу равномерной сходимости найдется номер такой, что для любой (или )

В силу непрерывности в точке найдется такое число , что для всех ( или ), удовлетворяющих неравенству ,

Для таких и выбранного выше , из неравенств (9) и (10), имеем:

что и означает непрерывность . Ч.т.д.

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций на кривой равномерно сходится к , то справедливо предельное соотношение

Доказательство. Выберем число . В силу равномерной сходимости найдется , что для всех и всех на

где - длина . Для таких

а это и означает справедливость соотношения (11). Ч.т.д.

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости последовательности функций.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области (или на кривой ), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится в этой области (на этой кривой).

Теорема 3. Если функциональный ряд в области мажори-руется некоторым сходящимся числовым рядом , то есть если для любой точки :

то данный функциональный ряд сходится в равномерно.

Доказательство. В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд сходится в любой точке . Обозначим его сумму через . Для любого остаток этого ряда в силу неравенства (12) удовлетворяет следующему неравенству:

Справа здесь стоит остаток сходящегося числового ряда, стремящегося к нулю при . Следовательно, для любого можно найти номер , зависящий лишь от , начиная с которого , и тогда в силу (13) для любой и имеет место неравенство:

что и означает равномерную сходимость данного ряда. Ч.т.д.

Из теорем (1) и (2) следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и что ряд можно почленно интегрировать , то есть справедливо предельное соотношение:

Рассмотрим теперь семейство функций , зависящих от (действительного или комплексного) параметра .

Говорят, что стремится при к функции равномерно относительно в области (или на кривой ), если для любого найдется такое , что при для всех (или ) имеет место неравенство:

Точно так же, как для последовательностей, можно показать, что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных функций является непрерывной функцией, и что для такого семейства справедливо пред. соотношение:

Теоремы о среднем — одно из свойств дифференцируемых функций.Одним из важнейших классов (множеств) функций, изуча­емых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс непрерывных функций. Класс дифференцируемых функций является подмножеством мно­жества непрерывных функций. Дифференцируемые функции пред­ставляют особый интерес, так как большинство задач техники и естествознания приводят к исследованию функций, имеющих про­изводную. Такие функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играет ряд теорем, объединенных общим названием теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утвержда­ется существование на отрезке такой точки, в которой иссле­дуемая функция обладает тем или иным свойством.

Теорема (Ролля).Пусть функция удовлетворяет сле­дующим условиям на отрезке .

1) определена и непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что .

Доказательство. Известно, что если непрерывна на , то на этом отрезке она принимает свое наибольшее и наименьшее значения (по теореме Вейерштрасса). Возможны два случая.

2. > . Тогда из условия следует, что хотя бы одно из двух значений или функция принимает в некоторой внутрен­ней точке отрезка . Пусть для определенности . Это означает, что r .

Покажем, что . Согласно условию 2 теоремы Ролля, для , в том числе и для точки существует конечная производная функции . Это условие равносильно существованию равных односторонних пределов:

Найдем односторонние пределы. Так как > , то приращение функции r0. Следовательно,

Случай рассматривается аналогично. ⊠

Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим обра­зом: если непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интер­вале функция принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка с абсциссой , в которой касательная параллельна оси .

З
амечание. Условия теоремы Ролля являются достаточными, но не необхо­димыми. Например, функция определена и непрерывна на [—1; 1], диффе­ренцируема во всех внутренних точках этого отрезка, однако для нее не выпол­няется третье условие теоремы Ролля: . Тем не менее, существует точка , такая, что .

Теорема (Лагранжа).Если функция непрерывна на от­резке и дифференцируема на интервале , то существует по крайней мере одна точка , такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Покажем, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:

1) непрерывна на , так как явля­ется суммой непрерывных на функций;

2) дифференци­руема на , так как является суммой дифференцируемых на функций;

Тогда по теореме Ролля существует точка , такая, что .

Теорему Лагранжа иногда называют также теоремой о конеч­ных приращениях.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записы­вают в виде:

Геометрически теорема Лагранжа утверждает, что между точками и на дуге найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде , при условии, что в каждой точке дуги существует касательная.

Положим в формуле Лагранжа (1) , . Тогда она примет вид

Формула (2) связывает приращения аргу­мента и функции, поэтому ее называют формулой конечных при­ращений.

Если в формуле Лагранжа (1) положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. В свою очередь обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема (Коши).Пусть функции и удовлетворяют

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы в интервале , причем .

Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что

Доказательство.Составим вспомогательную функцию:

Заметим, что . Действительно, если бы , то для функции на отрезке [a; b] были бы выполнены все усло­вия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка нашлась бы по крайней мере одна точка , для которой , что про­тиворечит условию теоремы. Следовательно, .

Покажем, что вспомогательная функция удовлетворяет усло­виям теоремы Ролля. Действительно:

1) непрерывна на как сумма непрерывных на функций;

2) дифференцируема на как сумма дифференцируемых на функций;

Найдем производную функции :

По теореме Ролля существует точка такая, что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем φ([t1; t2])=[a; b] и φ(t1)=a, φ(t2)=b, то справедлива формула:

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:

С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница

Следовательно, формула (11) принимает вид:

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

15. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:

Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x) [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

Теорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $\left [ a,b \right ]$, причем функция $g$ не меняет знак на $\left [ a,b \right ]$. Пусть $m=\textrm_f(x), M=\textrm_ f(x)$. Тогда найдется такое число $\mu\in\left [ m,M \right ]$, что $$\int_^f(x)g(x)dx=\mu\int_^g(x)dx.$$

Случай $g(x)\leq0$ рассматривается аналогично.

Следствие. Если в условиях теоремы 1 функция $f$ непрерывна на $\left [ a,b \right ]$, то найдется такая $\xi\in\left [ a,b \right ]$, что $$\int_^f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_^g(x)dx.$$

Действительно, в этом случае, по теореме Больцано — Коши о промежуточном значении, число $\mu$ является значением функции $f$ в некоторой точке $\xi\in\left [ a,b \right ]$.

Лемма. Пусть функция $g$ интегрируема на отрезке $\left [ a,b \right ]$. Тогда функция $G(x)\equiv\int_^g(t)dt (a\leq x\leq b)$ равномерно непрерывна на $\left [ a,b \right ]$.

Пусть $x^ <\prime>, x^ <\prime\prime>\in\left [ a,b \right ] , x^ <\prime>Теорема 2 (вторая теорема о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $\left [ a,b \right ]$, причем функция $f$ монотонна на $\left [ a,b \right ]$. Тогда существует точка $\xi\in\left [ a,b \right ]$, такая, что $$\int_^f(x)g(x)dx=f(a)\int_^<\xi>g(x)dx+f(b)\int_<\xi>^g(x)dx.$$

Сначала предположим что $f$ убывает на $\left [ a,b \right ]$ и неотрицательна. Возьмем произвольные разбиение $a=x_ <0>0,$ получим $L\leq\frac.$ Отсюда следует, что $I=f(a)G(\xi)$, а учитывая определение функции $G$, получаем равенство $$\int_^f(x)g(x)dx=f(a)\int_^<\xi>g(x)dx (\xi\in\left [ a,b \right ]). (7.4)$$

В случае когда функция $f$ возрастает и неотрицательна на $\left [ a,b \right ]$, аналогично тому, тому как было доказано равенство (7.4), можно показать, что существует такая точка $\xi$, что $$\int_^f(x)g(x)dx=f(b)\int_<\xi>^g(x)dx. (7.5)$$ Далее, из (7.5) легко можно получить (7.3) точно так же, как и (7.3) было получено из (7.4).

Замечание. Формулы (7.3) — (7.5) называются формулами Бонне. В этих равенствах точки $\xi$, вообще говоря, разные. В самом деле, мы можем изменить функцию $f$ в точках $a$ и $b$, сохранив при этом монотонность функции $f$. При этом левая часть (7.3) не изменится, а изменение множителей $f(a)$ и $f(b)$ перед интегралами справа в (7.3), очевидно, повлечет изменение значение $\xi$ справа в (7.3).

Примеры применения теорем о среднем.

Применяя первую теорему о среднем, получаем $$I=\frac<1+\xi^2>\int_^\sin xdx=\frac<1+\xi^2>(-\cos x)\mid_^=\frac<1+\xi^2>(1-\cos 1)\leq 1-\cos 1.$$

В силу первой теоремы о среднем $$I=\sin\eta\int_\frac=\sin\eta \arctan x\mid_^=\frac<\pi>\sin\eta\leq\frac<\pi>\sin 1.$$

Применим вторую теорему о среднем. Для этого обозначим $f(x)=\frac$ и $g(x)=\sin x$. Функция $f$ монотонна на $\left [ A,B \right ]$, так что по второй формуле Бонне получаем $$I=\frac\int_^<\xi>\sin xdx = \frac(-\cos x)\mid_^<\xi>=\frac(\cos A — \cos \xi).$$ Отсюда следует, что $\mid I\mid\leq\frac.$

Примеры решения задач

Пример 1 Найти среднее значение функции $f(x)=\sin^2 x$ на отрезке $\left [ 0;2\pi \right ]$.

Читайте также: