Теоремы чевы и менелая реферат

Обновлено: 05.07.2024

Рациональность решения задач с помощью теорем Чевы и Менелая, чем их решение другими способами, например векторным. Доказательство теорем, дополнительное построение. Трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданные применением при решении задач.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	05.05.2019
Размер файла	388,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Проект по геометрии:

Учитель : Молчанова Нина Викторовна

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширные как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться.

Школьный курс планиметрии содержит не так много информации по геометрии конфигурации треугольников и окружностей. А тема эта очень интересна. Многие великие ученые, такие как Гаусс, Эйлер, Лейбниц, Чева, Симпсон занимались решением задач связанных с комбинацией фигур треугольника и окружности. С древнейших времен окружность и треугольник считали совершенными фигурами, в некоторых странах их наделяли и наделяют магическими смыслом и не случайно. Казалось бы, каждая из них изучена досконально, вдоль и поперек, но вот они в паре. В сотрудничестве они подарили множество открытий миру математики и принесли всемирную известность К. Фейербаху и многим другим ученым. Нас заинтересовали такие интересные факты геометрии, как теоремы Чевы и Менелая. Они привлекают своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи, сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные факты. Изучая эти теоремы, мы увидели геометрию с новой, неожиданной стороны: красивые интересные задачи, новые факты.

Цель нашей работы - изучить теоремы Чевы и Менелая и рассмотреть применение этих теорем к решению геометрических задач.

Чева (Джованни) -- итальянский математик. Умер в 1734 г. Главными предметами его занятий были геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio"(Милан, 1678); . В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек.

теорема чева менелай

2. Теорема Менелая следствия из теоремы Менелая

Это прикольная теорема, которая поможет вам в тот момент, когда кажется, что уже ничего не поможет. В уроке мы сформулируем саму теорему, рассмотрим несколько вариантов её использования.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и некую прямую l, которая пересекает две стороны нашего треугольника внутренним образом и одну -- на продолжении. Обозначим точки пересечения MM, NN и KK:

Треугольник ABCABC и секущая l

Тогда верно следующее соотношение:

Хочу отметить: не надо зубрить расположение букв в этой злобной формуле! Сейчас я расскажу вам алгоритм, по которому вы всегда сможете восстановить все три дроби буквально на лету. Даже на экзамене в состоянии стресса. Даже если вы сидите за геометрией в 3 часа ночи и вообще уже ничего не понимаете.:)

Чертим треугольник и секущую. Например, так, как показано в теореме. Обозначаем вершины и точки какими-нибудь буквами. Это может быть произвольны треугольник ABCABC и прямая с точками MM, NN, KK, либо какая-нибудь другая -- суть не в этом.

Ставим ручку (карандаш, маркер, гусиное перо) в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой. Например, если сначала пойти из точки AA в точку BB, то получим отрезки: AMAM и MBMB, затем BNBN и NCNC, а затем (внимание!) CKCK и KAKA. Поскольку точка KK лежит на продолжении стороны ACAC, то при движении из CCв AA придётся временно свалить из треугольника.

А теперь просто делим соседние отрезки друг на друга ровно в том порядке, в котором мы получили их при обходе: AM/MBAM/MB, BN/NCBN/NC, CK/KACK/KA -- получим три дроби, произведение которых и даст нам единицу.

На чертеже это будет выглядеть вот так:

Простая схема, позволяющая восстановить формулу из т. Менелая

И сразу пара замечаний. Точнее, это даже не замечания, а ответы на типичные вопросы:

Что будет, если прямая ll пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.

Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.

Думаю, с формулировкой разобрались. Давайте посмотрим, как вся эта дичь применяется для решения сложных геометрических задач.

Зачем всё это нужно? Данная теорема значительно ускоряет вычисления и заставляет вспоминать другие важные факты из школьного курса геометрии.

Дополнительное построение: прямая CT?AB, причём T -- точка пересечения CT с исходной прямой l

Дополнительное построение: прямая CT

Заметим, что ДAMK?ДCTKДAMK?ДCTK по двум углам (угол CKT -- общий, а ?KAB=?KCT как соответственные при параллельных прямых AB и CT и секущей AK). Следовательно:

Откуда легко видеть, что CT=AM?CK/AK.

С другой стороны, ДBMN?ДCTN-- опять же по двум углам (?MNB=?TNC как вертикальные, а ?MBN=?CTN как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CT и секущей BC). Следовательно:

В частности, опять же CT=CT=BM?CN/BN.

Теперь осталось сравнить два полученных значения для отрезка CTCT:

Теорема Чевы -- классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Пусть точки A1,B1,C1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть отрезки AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Тогда:

Обозначим через O точку пересечения отрезков AA1,BB1 и CC1. Опустим из точек C и A перпендикуляры на прямую BB1 до пересечения с ней в точках K и L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL и CK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB1L и CB1K подобны по острому углу.Аналогично получаем:

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы).

Пусть точки A1,B1,C1 лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение:

Тогда отрезки AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Пусть O -- точка пересечения отрезков AA1 и BB1 и прямая CO пересекает сторону AB в некоторой точке C2. Достаточно доказать, что C1=C2.По теореме Чевы для точек A1,B1 и C1 имеем:

Но тогда: Значит, точки C_1 и C_2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Пусть AC1=x, AC2=y, AB=c. Тогда: , откуда

cx-xy=cy-xy,значит, x=y, то есть точка С1 = С2.

Задание. В треугольнике ABC на стороне BC взята точка N так, что NC=3BN ; на продолжении стороны AC за точку A взята точка M так, что MA=AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найти отношение BF/FA.

Решение. Сделаем чертеж к задаче (рис. 2)

По условию задачи MA=AC,NC=3BN . Пусть MA=AC=b , BN=k ,

тогда: NC=3k.Прямая MN пересекает две стороны треугольника ABC и продолжение третьей.Согласно теореме Менелая имеем:

Отсюда получаем, что

Задание. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне PR - точка L , причем NQ=LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении m : n , считая от точки Q. Найдите отношение PN/PR .

Решение. Сделаем чертеж к задаче (рис. 3)

По условию NQ=LR, .

Пусть NA=LR=a, QF=km , LF=kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQR и продолжение третьей. Тогда по теореме Менелая:

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.

Решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику, помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С4 единого государственного экзамена.

Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7 - 9 класс. - М.: Просвещение, 2010.

2. И.С. Безверхняя, В.Н. Безверхний. Некоторые вопросы преподавания планиметрии в средней школе. - Тула. 1992 - 60 с.: ил.

3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Гос. уч. - пед. изд-во, М.: 1962 - 235 с.: ил.

4. Г.Коксетер, С.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978 - 286 с.: ил.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9--11 классы. -- М.: Дрофа, 1996 - 243 с.

5. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика /Э68 Ред. коллегия: М. Аксенова, В. Володин и др. - М.: Аванта + 2005 - 688 с.: ил.

Подобные документы

Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).

дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010

Биография Менелая Александрийского - древнегреческого астронома и математика. Формулировка и доказательство теоремы Менелая для плоского случая, при переносе центральным проектированием на сферу. Применение теоремы для решения прикладных задач.

презентация [1,8 M], добавлен 17.11.2013

Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления, связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов); применение математических методов в естествознании и технике. Решение уравнений и неравенств с помощью теорем Ролля и Лагранжа.

курсовая работа [609,9 K], добавлен 09.12.2011

Применение граф-схем - кратчайший путь доказательства теорем. Нахождение искомых величин путем рассуждений. Алгоритм решения логических задач методами таблицы и блок-схемы. История появления теории траекторий (математического бильярда), ее преимущества.

реферат [448,4 K], добавлен 21.01.2011

Доказательство теорем Силова о конечных группах, которые представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Нахождение силовских р-подгрупп.

курсовая работа [161,3 K], добавлен 31.03.2011

Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.

курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011

Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.

Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому, нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков её предмет, содержание и методы.

Актуальность

В школьном курсе геометрии рассматриваются важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но невозможно включить все известные утверждения и соотношения, которые накопило человечество за многие годы, в школьный учебник геометрии.

В действительности многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не входят в основной курс геометрии. Многие из них сейчас выглядят малоинтересными, несовершенными и встречаются сейчас только в энциклопедиях. Однако некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Одни из них теоремы Менелая и Чевы. Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.

Однако при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Цели исследования:

Изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе.
Выявить теоретические положения для доказательства теорем и научно обосновать способы доказательства теоремы Чевы и Менелая.
Проанализировать теоремы и их применение при решении задач

4. Проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач.

5. Создать буклет, как методическое пособие по данной теме.

Научная новизна исследования состоит в том, что в нем проблема доказательства теоремы Чевы и Менелаярешается разными способами.

Теорема Чевы и Менелая позволили нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теорема о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке

И многие другие известные соотношения.

Доказательства двух первых утверждений приводятся в работе.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на эликтивных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.

Вложение	Размер
teoremy_chevy_i_menelaya.docx	342.74 КБ
teoremy_chevy_i_menelaya.ppt	1.58 МБ

Предварительный просмотр:

Городская научно-практическая конференция

Теоремы Чевы и Менелая

Руководитель: учитель математики,

Бондаренко Ольга Валентиновна.

Введение. 3-5
Основная часть.

Теорема Менелая 6-7
Теорема Чевы. 7-8
Задачи на применение доказанных теорем. 9-18

Заключение. 19
Задачи для самостоятельного решения 20
Список литературы. 21
Приложение. 22-37

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук.

Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах.

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей. И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому, нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков её предмет, содержание и методы.

Например, таким пособием был учебник А. Д. Александрова, затем А.П. Киселёва, по которым советская школа работала до середины 20 столетия.

Но жизнь идёт своим чередом, издаются новые учебники, под редакцией А.В. Погорелова; Л. С. Атанасяна, И.М. Смирнова и др.

В результате различных преобразований со страниц этих учебников как – то незаметно исчезли многие замечательные утверждения, свойства, которые просто необходимо знать при решении многих планиметрических задач.

Обучаясь в Научном Обществе Гимназии и работая с различной дополнительной литературой по геометрии, я столкнулся с тем, что в действительности многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не входят в основной курс геометрии. Многие из них сейчас выглядят малоинтересными, несовершенными и встречаются только в энциклопедиях. Однако некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Одни из них теоремы Менелая и Чевы. Это теорема, которая была доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры и теорема, опубликованная в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой. В честь этих учёных теоремы названы их именами.

Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это Теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.

Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.
Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и олимпиадам.
Хорошо известно, что выводы школьной геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических задач. Знание геометрии необходимо всем кому приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

ознакомление с теоремами Чевы и Менелая ;
исследование способов доказательства теорем;
овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая;
систематизация и обобщение теоретического и практического материалов.

изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе;
выявить теоретические положения для доказательства теорем;
систематизировать теоретический материал доказательств:

б) Теоремы Менелая;

проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач;
научиться применять теоремы Чевы и Менелая в задачах разной сложности;
сравнить задачи, решенные с использованием теорем Менелая и Чевы с задачами, решенными традиционным способом;

Научная новизна исследования

состоит в том, что в нем проблема доказательства теоремы Чевы и Менелая решается разными способами.

Теоремы Чевы и Менелая позволили нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теорема о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника.

Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д.

Напомню определение подобных треугольников :

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Оказывается, что у подобных треугольников не только отношение сходственных сторон, но и отношение любых других сходственных отрезков равно коэффициенту подобия. Например, отношение сходственных биссектрис AD и A₁ D₁ , т.е. биссектрис равных углов A и A₁ в подобных треугольниках ABC и A₁ B₁ C₁ , равно коэффициенту подобия k, отношение сходственных медиан AM и A₁ M₁ равно k и точно так же отношение сходственных высот AH и A₁ H₁ равно k.

С помощью данного материала, который изучается в школьной программе, мы можем решать довольно узкий круг задач. При создании своего реферата я собираюсь углубить свои знания по данной теме, что позволит решать более широкий круг задач на пропорциональные отрезки. В этом и заключается актуальность моего реферата.

Одна из теорем – это обобщение теоремы Фалеса. Сама теорема Фалеса проходится в восьмом классе. Но главными теоремами являются теоремы Чевы и Менелая.

Обобщение теоремы Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Доказать:

=…= .

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому

Отсюда по свойству пропорций получаем:

(1)

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству

(2)

что и требовалось доказать.

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Доказать:

Через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что .

Теорема Чевы.

Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С₁ , А₁ и В₁ , то отрезки АА₁ , ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(3)

Доказать:

1. (3)

2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке

Доказательство:

1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

и .

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

. (4)

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O. Теорема доказана.

Теорема Менелая.

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С₁ , А1, В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

(5)

Доказать:

1. (5)

2. точки А1,С1,В1 лежат на одной прямой

Доказательство:

1. Пусть точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В1А1 (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем

, откуда ,

т.е. выполнено равенство (5).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1 – на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой, то по доказанному а первом пункте

(6)

Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении. Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1,В1 и С1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А1,В1 и С1 лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана.

Решение задач.

Задача №1.

Условие:

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

Найти:

Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС. По теореме Менелая получаем

Задача №2.

Условие:

Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два.

Найти:

Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти

отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем

Итак, .

Доказательства теорем.

Задача №3.

Формулировка: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Условие:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать:

Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство: Пусть АМ₁ , ВМ₂ , СМ₃ – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ₁ , ВМ₂ и СМ₃ пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М₃ С пересекает две стороны треугольника АВМ₂ и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая

Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ₁ С и АМ₂ С, мы получаем, что

Задача №4.

Формулировка:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL_1, BL_2, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Задача №5.

Формулировка:

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказать:

Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть АН₁ , АН_2, АН₃ – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН₂ и ВСН₂ по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН₂ , обозначив АН₂ = х, СН₂ = b – х.

(ВН₂ ) 2 = с 2 – х 2 и (ВН₂ ) 2 = а 2 – (b – х) 2 . приравнивая правые части полученных равенств, получаем с 2 – х 2 = а 2 – (b – х) 2 , откуда х = .

Тогда b –x = b - = .

Итак, АН₂ = , СН₂ = .

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН₂ и ВСН₃ , ВАН₁ и САН₁ , получим АН₃ = , ВН₃ = и ВН₁ = ,

СН₁ = .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН₁ , ВН₂ и СН₃ пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН₃ , ВН₃ , ВН₁ , СН₁ , СН₂ и АН₂ через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Министерство образования РФ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Исследовательская работа на тему:

Городская научно-исследовательская конференция

Учащийся 9 класса

Мошнина Зульфия Равильевна

Автор данной работы рассматривает теоремы Чевы и Менелая, применяет их при решении планиметрических задач. Тема работы достаточно актуальна, так как расширяет кругозор и обогащает содержание учебного материала за счёт привлечения различных источников информации. В ходе выполнения работы учащийся продемонстрировал самостоятельность, интерес, любознательность, умение пользоваться источниками и отбирать нужную информацию. В конце исследовательской работы автор приводит примеры задач, в которых эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Общие сведения об учащемся: Ниясов Павел

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Дата рождения: 29 сентября , 2001 г.

Адрес: город Бугуруслан, ул. Ленина 139, 3

Общие сведения о руководителе: Мошнина Зульфия Равильевна,

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Стаж работы в данном учреждении: 5 лет.

Должность: учитель математики.

Адрес: г. Бугуруслан, 1 микрорайон, дом 19, квартира 29.

Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и олимпиадам.

Хорошо известно, что выводы школьной геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических задач. Знание геометрии необходимо всем кому приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

Гипотеза: Желание изучать и применять неизвестные теоремы при решении задач, может способствовать развитию интереса к геометрии, как науке.

Предмет исследования: Теоремы Чевы и Менелая

Цель: Ознакомление с теоремами Чевы и Менелая; овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая; систематизация и обобщение теоретического и практического материалов.

1. Изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе;

2. Выявить теоретические положения для доказательства теорем;

3. Систематизировать теоретический материал доказательств:

б) Теоремы Менелая;

4. Проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач;

5. Научиться применять теоремы Чевы и Менелая в задачах разной сложности;

6. Сравнить задачи, решенные с использованием теорем Менелая и Чевы с задачами, решенными традиционным способом;

Этапы проведения исследовательской работы:

Постановка основополагающего вопроса. Формулировка проблемных вопросов.

Выдвижение гипотез решения проблем.

Выбор творческого названия проекта, обсуждение плана работы.

Поиск источников информации.

Самостоятельная работа по выполнению задания.

1.2. Теорема Чевы в форме синусов……..………………………………. 14

1.4. Следствия теоремы Чевы ………………………………………………..18

2.1. Решение задач, решенных с использованием теорем Менелая и Чевы с решенными традиционным способом……………………………………… 23

2.2. Задачи на применение теорем……………………………….……….…..25

Литература и интернет ресурсы……………………………………………. 34

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах.

Но жизнь идёт своим чередом, издаются новые учебники. В результате различных преобразований со страниц этих учебников как – то незаметно исчезли многие замечательные утверждения, свойства, которые просто необходимо знать при решении многих планиметрических задач. А некоторые теоремы и вовсе не вошли в школьный курс геометрии.

Готовясь к основному государственному экзамену по математике, я столкнулся с очень интересными теоремами, которые легки в изучении и необходимы при решении задач. Это теорема, которая была доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры и теорема, опубликованная в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой. В честь этих учёных теоремы названы их именами. Что это за теоремы? Как их применять при решении?

Цель моей работы:

1. Ознакомление с теоремами Чевы и Менелая ;

2. Исследование способов доказательства теорем;

3. Овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая;

4. Систематизация и обобщение теоретического и практического материалов.

Для этого я поставил перед собой следующие задачи:

Расширить кругозор знаний по геометрии;

Научиться применять данные теоремы при решении задач планиметрии;

Создать буклет, как методическое пособие по данной теме.

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и олимпиадам.

4. Хорошо известно, что выводы школьной геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических задач. Знание геометрии необходимо всем кому приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

1.1. Теорема Чевы.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC , AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A , B и C .

При каком расположении этих точек прямые AA , BB и CC пересекутся в одной точке?

Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами.

Теорема Чевы.

Пусть в ABC на сторонах BC , AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки A , B и C , не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AA , CC и BB пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.

Необходимость. Пусть AA , BB , CC пересекаются в точке O . Докажем справедливость равенства () .

Рассмотрим сначала случай внутренней точки O , при котором точки A , B , C лежат на отрезках BC , AC и AB соответственно.

Проведем через вершину B прямую DE || AC .

Пусть AA∩DE=E, CC∩ DE=D.

Замечаем, что AAC ~E AB по двум углам ( AAC = E AB как вертикальные, CAA = B E A как накрест лежащие при параллельных прямых DE и АС и секущей АE).

Из подобия ACC и BC D по двум углам имеем = (2);

Из (3) и (4) получаем = или = (5)

Перемножив соответственно, левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство():

Приведу ещё одно доказательство. Заметим, что AOB и COB имеют общую сторону BO .

Их высоты AL и CK соответственно. ABL~CBK, =.

Аналогично, AOC и COB имеют общую сторону OC .

Перемножая эти три равенства, получаем

1= . . =. что соответствует ()

Рассуждая аналогично для случая внешней точки O , замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A , B , C , одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в AOB ,проведенная из вершины A , CK - высота в COB , проведенная из вершины C , OB – их общая сторона.

=. Из подобия ABL и С BK по двум углам имеем ==. Аналогично, =, =. Перемножая, получаем нужное равенство 1 . Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления ( A , B или C соответственно) – она может быть расположена вне стороны треугольника – а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Докажем равенство () для случая, когда прямые AA , BB , CC параллельны.

1) CAA ~ CBB по двум углам, == (1)

2) BBA ~ CCA по двум углам, = =(2)

3) С BC ~ ABA по двум углам, == (3)

Перемножая равенства =, = и =,

получаем 1= BC = (4)

Перемножая равенства =, =и =,

получаем 1= BC = (5).

Из (4) и (5) =, поделим его на правую часть, получим ().

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки A , B , C лежат соответственно на сторонах BC , AC и AB треугольника ABC , причем ..=1. Тогда отрезки AA , BB , CC пересекаются в одной точке

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство: