Теорема сложения и умножения вероятностей реферат

Обновлено: 18.05.2024

Доказательство. Все множество элементарных событий, для которого определены события и, может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через — число точек в каждой из указанных выше групп, т. е. будет соответствовать… Читать ещё >

Теоремы сложения и умножения вероятностей ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Прежде, чем приступить к формулировке и доказательству соответствующих теорем, проиллюстрируем графически несколько определений для множества элементарных событий S. Использование графиков позволит наглядно убедиться в справедливости формально получаемых результатов.

Разность событий — (рис. 5 в) — событие, которое наступает при одновременном наступлении и ненаступлении, и может быть записано, как .

А теперь рассмотрим теперь несколько теорем, с помощью которых по вероятностям одних случайных событий можно вычислять вероятности других случайных событий.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Каковы бы ни были события и и каково бы ни было пространство элементарных событий S, вероятность объединения (суммы) равна.

Доказательство. Все множество элементарных событий, для которого определены события и, может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через — число точек в каждой из указанных выше групп, т. е. будет соответствовать событию.

Если теперь эти вероятности подставить в (4), то мы получим тождество, что и доказывает сформулированную теорему.

Если события и несовместны, так что, то получается соотношение, принятое в качестве одной из аксиом при аксиоматическом обосновании теории вероятности, о котором уже говорилось выше, а именно, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е.

В обеих приведенных формулировках теорема сложения вероятностей допускает естественное обобщение на случай r событий. Для случая попарно несовместных событий это обобщение очевидно. Общая же формула для вероятности суммы r произвольных случайных событий будет выведена ниже.

Приведенное выше доказательство теоремы сложения вероятностей является вполне строгим и им можно было бы ограничиться. Однако, в порядке исключения, мы хотим привести два других доказательства, чтобы продемонстрировать многообразие подходов, возможных даже при решении относительно несложных задач, связанных с доказательством теоретических положений.

Итак, пусть события и не являются несовместными, т. е. событие содержит элементарные события из множества S (рис.6). Как видно из приведенного рисунка области событий и можно разбить на части и, а также и, причем область содержит общие для и элементарные события. Из этого следует, что событие + можно рассматривать как сумму трех попарно несовместных событий и вследствие этого.

Перепишем это равенство в следующем виде:

Так как события и, а также и несовместны, то, используя равенство (5), имеем соответственно:

Подставляя два последних соотношения в (7), получаем выражение, фигурирующее в теореме сложения вероятностей:

Еще одно доказательство этой теоремы может быть получено с использованием приведенных в конце предыдущего параграфа основных аксиом теории вероятностей. Так как события и несовместны (см. рис. 6) то из аксиомы 3 следует, что.

В свою очередь, событие + может быть представлено, как объединение двух несовместных событий и, откуда следует (с учетом 10 и аксиомы 3).

что и требовалось доказать.

Рассмотрим гипотетический пример использования теоремы сложения вероятностей. Пусть мы имеем в хромосоме некоторый локус с двумя генами A и a. Если организм несет два одинаковых гена в локусе, он называется гомозиготным. Если для организма вероятности быть чистым доминантом, т. е. нести пару AA, или чистым рецессивом, т. е. нести в одном локусе пару генов aa, равны соответственно ½ и ¼, то в силу несовместности у одного организма комбинаций AA и aa в одном локусе вероятность того, что организм гомозиготен, равна ½+1/4=¾.

Другой пример. Два стрелка независимо друг от друга производят по выстрелу (события и) по движущейся мишени. Из предыдущих наблюдений известно, что первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7, а второй — с вероятностью 0,6. Какова вероятность обнаружить, хотя бы одну пробоину в мишени. Так как события и независимы, то искомая вероятность.

Условная вероятность. Предположим, что события и могут появиться при осуществлении некоторого эксперимента. Нас интересует вероятность события, если известно, что осуществилось событие. Будем обозначать эту вероятность как (читается: «условная вероятность события при условии, что произошло событие «или более коротко: «вероятность события при условии «).

Если есть информация, что событие осуществилось, необходимо рассматривать не все пространство элементарных исходов, а только совокупность элементарных событий, соответствующих. Каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое неотрицательное число, назовем его условной вероятностью и потребуем, чтобы имело место равенство.

Суммирование должно осуществляться по всем элементарным событиям из (5, "https://referat.bookap.info").

Если определить условную вероятность элементарного событий при условии как.

то несложно убедиться, что приведенное равенство (11) будет выполняться. В самом деле.

Итак, чтобы вычислить условную вероятность, надо воспользоваться формулой (12) и просуммировать условные вероятности всех тех элементарных событий, которые принадлежат и одновременно. Имеем.

Из этой формулы естественным образом может быть получено несколько соотношений, полезных при решении задач.

которое легко распространить на случай трех событий :

если выполняются условия:

Обобщение на n событий будет приведено ниже (формула 19).

То, что это соотношение имеет место, доказывается прямым методом, который использовался при доказательстве теоремы сложения вероятностей и предлагается в качестве упражнения. Для доказательства необходимо потребовать, чтобы события и были несовместны в рассматриваемом пространстве элементарных событий, а не являлось невозможным событием.

(Убедиться в справедливости полученного результата можно с помощью очень несложного имитационного эксперимента.).

Рассмотрим еще один пример. Пусть есть потомок двух гибридов и известно, что он несет доминантный признак. Событие состоит в том, что потомок — гибрид, событие — в том, что он рецессив. Так как нам известно, что потомок несет доминантный признак, то события и несовместны. Предположим, что интерес представляет вероятность того, что потомок — гибрид, если он несет доминантный признак. Известно, что при скрещивании двух гибридов вероятность того, что потомок будет гибридом или чистым доминантом, равна соответственно ½ и ¼. Вероятность того, что потомок будет чистым рецессивом равна ¼. Следовательно,.

Если за событие считать, что потомок чистый доминант, то.

Используя введенное понятие условной вероятности можно сформулировать вторую основную теорему теории вероятностей — теорему умножения.

Теорема 2. Каковы бы ни были события и и каково бы ни было пространство элементарных исходов S, вероятность произведения равна.

Доказательство. Условием для справедливости теоремы является необходимость того, чтобы и не были бы невозможными событиями для данного S. Только в этом случае условные вероятности, входящие в (17) имеют смысл.

Все множество элементарных событий, для которого определены события и, как и в случае теоремы о сложении вероятностей, может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через — число точек в каждой из указанных выше групп, т. е. будет соответствовать событию.

(Для вычисления вероятности мы воспользовались формулой 13).

Если теперь подставить (18) в (17), то получим тождество, что и доказывает теорему.

Эта теорема легко обобщается на случай оценки вероятности произведения n событий. Имеет место формула.

Выше, рассматривая представления об условных вероятностях, мы привели соотношение (16) и предложили в качестве упражнения доказать его справедливость путем прямых вероятностных расчетов. Теперь, с использованием теоремы умножения можно предложить совсем другой, более тонкий подход.

В самом деле, — достоверное событие; отсюда вытекает, что эквивалентно произведению ()=+. Так как и несовместны, то — невозможное событие и, следовательно, эквивалентно, а значит.

Применяя теорему умножения к вероятности в правой части этого равенства, получим откуда и следует (16).

(Студент, изучающий теорию вероятностей, в этом случае на экзамен не пойдет, поскольку неудовлетворительный итог более чем достоверен!).

Отсюда видно, что пространства элементарных исходов и различаются между собой и использовать теорему сложения к вероятностям и нельзя. Более того, в той постановке задачи, которая была приведена выше, пространство элементарных исходов для не определено однозначно. Можно предположить, что относится к, совпадающему с и состоящему в том, что студент сначала отвечает на, и если ответ удовлетворителен, то переходит к. При таком предположении — условная вероятность неудовлетворительного ответа на второй вопрос, если известно, что на первый вопрос студент ответил. Тогда.

(ответ на оба вопроса/=.

Этот пример, также как и пример, приведенный в параграфе о геометрических вероятностях, показывает, что правильное и строгое определение пространства элементарных событий является принципиальным моментов при расчете вероятностей сложных событий.

В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.

Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти.

Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом, P(Ø)= 0, 0 $140. Надо смириться со своеобразностью теоретического вывода - утверждается не тот факт, что выручка составит от 90 до 140 (с вероятностью 95%), а только то, что сказано выше.

Если у нас нет теоретических оснований принять какое либо классическое распределение в качестве подходящего для нашей СВ, то и здесь теория окажет нам услугу - позволит проверить гипотезу о таком распределении на основании имеющихся у нас данных. Правда - исчерпывающего ответа "Да" или "Нет" ждать нечего. Можно лишь получить вероятность ошибиться, отбросив верную гипотезу (ошибка 1 рода) или вероятность ошибиться приняв ложную (ошибка 2 рода).

Даже такие "обтекаемые" теоретические выводы в сильной степени зависят от объема выборки (количества наблюдений), а также от "чистоты эксперимента" - условий его проведения.

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая математические модели массовых случайных явлений. В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т. п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения алгебры или дифференциальных уравнений. Задачи теории вероятностей также необычны и часто имеют нематематическую постановку. Это в первую очередь объясняется тем, что зарождение теории вероятностей связано с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать серьезным занятием. Но именно они привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших математических соотношений и стимулировали тем самым поиск новых понятий, подходов и идей.

Подобно другим математическим наукам, теория вероятностей развивалась из потребностей практики и представляла собой прикладную дисциплину. В связи с этим ее понятия и выводы имели характерные черты тех областей знаний, в которых они были получены. Лишь постепенно выкристаллизовалось то общее, что присуще вероятностным схемам, независимо от области их приложения и что позволило превратить теорию вероятностей в надежный, точный и эффективный метод познания.

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972, 1977.

3. Ежова Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Основы математики для экономистов. Вып. 9: Учеб. Пособие. – Иркутск: Изд-во ИГЭА, 2000.

4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.

5. Теория вероятностей: Учебное пособие / Ежова Л.Н., Абдуллин Р.З., Калашникова Л.С., Никулина С.И., Леонова О.В.. – Иркутск: изд-во ИГЭА. – 1996.

6. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия. Табурчак П.П., Викуленко А.Е., Овчинникова Л.А. и др.: Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.П. Табурчака, В.М. Туина и М.С Сапрыкина. - Ростов н/Д: Феникс, 2002.

7. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник. - 4- изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2001.

8. Бамина О.Э., Спирин А.А. Общая теория статистики. Изд-во Финансы и статистика, 2005. ― 440 с.

9. Бочаров.В.Б. Финансовый анализ. - СПб: Питер, 2004. - 240 с.

10. Гинсбург А.И. Экономический анализ. - Спб.: Питер, 2003. - 480 с.

11. Ефимова М.Р., Румянцев В.Н., Петрова Е.В. Общая теория статистики. Учебник. ― М.: Инфра-М, 2005, с. 94.

12. Завьялова З.М. Теория экономического анализа. Курс лекций. - М.: Финансы и статистика, 2002.

Математические подходы к определению вероятности, ее роль в науке. Классический подход к теории вероятности, понятие равновозможности. Область применения геометрической вероятности. Доказательства и примеры теорем сложения и умножения вероятностей.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	15.06.2010
Размер файла	49,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1. Определение вероятности

1.1 Классическое определение

1.2 Геометрическое определение

2. Теорема сложения вероятностей

3. Теорема умножения вероятностей

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Определение вероятности

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события - возможные, но не достоверные - будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом, P(Ш)= 0, 0

ГОСТ

Теорема сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные случайные события.

Известно, что несовместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Следствие 1. Вероятность суммы любого количества несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий (сумма вероятностей всех элементарных событий) равна единице.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поскольку они образуют полную группу несовместных событий.

Вероятность того, что на протяжении некоторого времени в городе ни разу не будет идти дождь, $p=0,7$. Найти вероятность $q$ того, что на протяжении этого же времени дождь в городе будет идти хотя бы один раз.

События "на протяжении некоторого времени в городе ни разу не шел дождь" и "на протяжении некоторого времени дождь в городе шел хотя бы один раз" противоположные. Поэтому $p+q=1$, откуда $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим совместные случайные события.

Известно, что совместные случайные события $A$ и $B$ в одном и том же испытании имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность суммы $A+B$ этих событий, то есть вероятность появления хотя бы одного из них.

Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме вероятностей этих событий за минусом вероятности их произведения.

Замечание. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их произведение $A\cdot B$ является невозможным событием, вероятность которого $P\left(A\cdot B\right)=0$. Следовательно, формула сложения вероятностей несовместных событий является частным случаем формулы сложения вероятностей совместных событий.

Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух игральных кубиков цифра 5 выпадет хотя бы один раз.

При одновременном бросании двух игральных кубиков число всех равновозможных элементарных событий равно $n=36$, поскольку на каждую цифру первого кубика может выпасти шесть цифр второго кубика. Из них событие $A$ -- выпадение цифры 5 на первом кубике -- осуществляется 6 раз, событие $B$ -- выпадение цифры 5 на втором кубике -- тоже осуществляется 6 раз. Из всех двенадцати раз цифра 5 один раз выпадает на обоих кубиках. Таким образом, $P\left(A+B\right)=\frac +\frac -\frac =\frac $.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим независимые события.

События $A$ и $B$, которые происходят в двух последовательных испытаниях, называются независимыми, если вероятность появления события $B$ не зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечение шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac $. После первого испытания шар положили назад и провели второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании''. Вероятность $P\left(B\right)=\frac $. Вероятность $P\left(B\right)$ не зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно события $A$ и $B$ независимы.

Известно, что независимые случайные события $A$ и $B$ двух последовательных испытаний имеют вероятности появления $P\left(A\right)$ и $P\left(B\right)$ соответственно. Найдем вероятность произведения $A\cdot B$ этих событий, то есть вероятность совместного их появления.

Предположим, что в первом испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_ $. Из них событию $A$ благоприятствуют $m_ $ элементарных событий. Предположим также, что во втором испытании число всех равновозможных элементарных событий $n_ $. Из них событию $B$ благоприятствуют $m_ $ элементарных событий. Теперь рассмотрим новое элементарное событие, которое состоит в последовательном наступлении событий из первого и второго испытаний. Общее количество таких равновозможных элементарных событий равно $n_ \cdot n_ $. Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то из этого числа совместному наступлению события $A$ и события $B$ (произведения событий $A\cdot B$) благоприятствует $m_ \cdot m_ $ событий. Имеем: $P\left(A\cdot B\right)=\frac =\frac \cdot \frac =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Вероятность произведения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий.

Рассмотрим зависимые события.

В двух последовательных испытаниях происходят события $A$ и $B$. Событие $B$ называется зависимым от события $A$, если вероятность появления события $B$ зависит от того, состоялось или не состоялось событие $A$. Тогда вероятность события $B$, которая была вычислена при условии, что событие $A$ состоялось, называется условной вероятностью события $B$ при условии $A$ и обозначается $P\left(B/A\right)$.

Например, пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Испытанием является извлечением шара. Событие $A$ -- "вынут белый шар в первом испытании". Вероятность $P\left(A\right)=\frac $. После первого испытания шар назад не кладут и выполняют второе испытание. Событие $B$ -- ``вынут белый шар во втором испытании''. Если в первом испытании был вынут белый шар, то вероятность $P\left(B/A\right)=\frac $. Если же в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность $P\left(B/\overline\right)=\frac $. Таким образом вероятность события $B$ зависит от того, состоялось или нет событие $A$, следовательно, событие $B$ зависит от события $A$.

Предположим, что события $A$ и $B$ происходят в двух последовательных испытаниях. Известно, что событие $A$ имеет вероятность появления $P\left(A\right)$. Известно также, что событие $B$ является зависимым от события $A$ и его условная вероятность при условии $A$ равна $P\left(B/A\right)$.

Вероятность произведения события $A$ и зависимого от него события $B$, то есть вероятность совместного их появления, может быть найдена по формуле $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Справедливой является также симметричная формула $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, где событие $A$ предполагается зависимым от события $B$.

Для условий последнего примера найдем вероятность того, что белый шар будет извлечен в обоих испытаниях. Такое событие является произведением событий $A$ и $B$. Его вероятность равна $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac \cdot \frac =\frac $.

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Тeория. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Пример 1. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте.

Пример 2. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна :

$P_A (B)=(P(AB))/(P(A))$

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

$P_A(B)=\frac35.$

Этот же результат можно получить по формуле

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

$P(A)=\frac36=\frac12.$

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений

$A_6^2=\frac<6!> =5\cdot 6=30.$

Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют исходов. Следовательно,

$P(AB)=\frac<9> =\frac.$

Искомая условная вероятность

$P_A(B)=\frac<P(AB)> =\frac>=\frac35.$

Как видим, получен прежний результат.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

$P(AB)=P(A)P_A (B)$

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

$P(A_1A_2A_3. A_n) =P(A_1)P_<A_1> (A_2)P_(A_2). P_>(A_n),$

— вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события A₁, A₂, A₃, . , A_n-1 наступили.

. Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т.д.

Пример 4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), .

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик— конусный, т. е. условная вероятность .

По теореме умножения, искомая вероятность

$P(AB)=P(A)P_A(B)=\frac<3> \cdot \frac79=\frac.$

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем—синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

$P(ABC)=P(A)P_A(B)P_<AB> (C)=\frac\cdot \frac\cdot\frac=\frac.$

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

$P(A_1+A_2+\ldots+A_n )=P(A_1 )+P(A_2 )+\ldots+P(A_n ).$

Пример 6. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P (A) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P (B) = 5/30 = 1/6. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = 1/3 + 1/6 = 0,5.

Пример 7. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).$

Для трех событий A, B, C имеем:

$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).$

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).$

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А)*Р(В) = 0,7*0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.

Замечание. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой . В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. е. вероятности промахов, таковы:

$q_1=1- p_1 =1-0,7 = 0,3;\qquad q_2=1-p_2= 1-0,8 = 0,2.$

$P= 1 - q_1q_2= 1- 0,3\cdot 0,2 = 0,94$

Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна . Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

Для зависимых событий:

Вероятность появления хотя бы одного события.

$\bar<A_1> Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2, . An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий ,\bar. \bar$
:

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

Практический материал.

1.(6.4.12) В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки: а) без возвращения; б) с возвращением.

2. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придется проводить четвертый опыт; б) будет проведено четыре опыта. Ответ: а) P (A)=0,8 3 ; б) P (B)=0,8 3 ·0,2

3. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание. Ответ: а) 0,092; б) 0,994

4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Указание: Задача обратная примеру 8). Ответ: 0,7

5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. Ответ: 0,18

6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Ответ: 0,432

Читайте также:


Реферат оопт москвы и московской области

Реферат вселенная аристотеля птолемея

Налоги и субсидии реферат

Интернет сми специфика связей с аудиторией реферат

Рубцов н м реферат