Тайна четных чисел реферат
Обновлено: 05.07.2024
В прошлом учебном году я участвовал в школьной олимпиаде по математике. Одно из заданий показалось мне трудно решаемым. Это была задача про 1000 арбузов, которые надо было разложить в 17 корзин по кругу, чтобы в каждых соседних корзинах количество отличалось на один. Я пытался решить эту задачу путем подбора, но не получилось и заняло много времени. К ответу пришел исходя из соображений, что нет таких корзин, куда бы поместилось 50 арбузов и более. Однако, придя домой, мне захотелось узнать: как правильно решаются такие задачи. Оказалось очень просто!
Объектом моего исследования являются натуральные чётные и нечетные числа. Предметом исследования свойства натуральных четных и нечетных чисел.
Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются.
Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…
Данная тема, раскрывающая использование свойств натуральных и целых чисел, очень актуальна, поскольку она встречается в заданиях олимпиад и единого государственного экзамена.
Цель работы: обобщить имеющиеся понятия и свойства натуральных чётных и нечётных чисел, рассмотреть наиболее часто встречающиеся задачи и предложить оптимальный способ их решения.
Задачи исследования:
1. На основе анализа имеющейся литературы по теме исследования систематизировать материал.
2. Привести комплекс заданий, необходимых для закрепления понятий.
Понятие натуральных чисел.
Умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека.
Натуральными (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …
Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом > NNNNNNNNNNN N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального n числа найдётсянатуральное число, большее чем n .
При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число .
Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в 1891 г. Д.Пеано:
Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число.
Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом.
Подмножество натуральных чисел, содержащее число 1, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.
Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, 2,6.9 и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,12,18,45) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и,, т.д. числа называют в математике многозначными.
Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными .
Только не говорите сразу, что это элементарно!
Это и вправду элементарно до тех пор, пока умопостигаемо. То есть пока наше воображение может легко представить то, о чем ему говорят.
Итак, четные числа — это числа, делящиеся на 2.
Их всегда можно представить в виде k = 2*n ,где n — любое натуральное число.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2.
Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1 .
Что это значит?
Это значит, что если у нас есть кучка из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, и т.д.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Одинпредмет всегда будет лишним.
Любое четное число , большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чисел или на сумму двух нечетных чисел .
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных чисел — всегда четное число.
Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Аналогично сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.
Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.
Олимпиадные задачи на четность и нечетность.
Решение задач с применением четности и нечетности чисел всегда отличались необычайной логической красотой и абсолютной прозрачностью выводов. Они основываются на простейших свойствах арифметических операций (обычно на сложении или вычитании).
К задачам на четность относятся:
- задачи на чередование;
- задачи на разбиение на пары;
- задачи на четность и нечетность.
Задачи на чередование.
На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки.
Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять.
А сколько девочек?
Ответ: Пять.
16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?
По условию всего арбузов – 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.
Задачи на разбиение на пары.
Свойство: Если предметы можно разбить на пары, то их количество чётно.
Семь тринадцатируков с планеты Тринадцатирукрешили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих рук, чтобы все руки принимали участие, и в каждом поединкевстречалось ровно две руки?
Тринадцатируки не смогут провести поединки для всех рук одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две руки, а всего рук 13 · 7 = 91.
Задачи на четность и нечетность.
Свойства четности и нечетности чисел:
нечётное + нечётное =чётное
чётное + нечётное = нечётное
чётное + чётное = чётное
У Нины было 11 плиток шоколада фабрики "Краскон". Может ли Нина, поделив каждую плитку на 7, 13 или 21 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Нет, т. к. если сложить 11нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четное число.
Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит, их сумма должна быть четна. Но 71 – число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя
Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны.
Могло ли у него получиться 1990?
На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. Ответ нет, так как 1990 четное число.
Натуральные числа мы начали изучать ещё в начальной школе и продолжаем изучать в пятом классе.
В своей работе я проанализировал теоретический и практический материал о натуральных числах. Теперь могу уверенно дать ответ на задачу об арбузах из олимпиады и обосновать его.
В 17 корзин по кругу невозможно разложить никакое количество арбузов, чтобы в двух соседних корзинах их количество отличалось на один. Так как, если в двух соседних корзинах количество арбузов отличается на один, значит в одной будет находится четное количество арбузов, а в соседних – нечетное. Чтобы соблюдался порядок чередования по кругу, корзин должно быть четное количество. А по условию задачи их 17 – число нечетное.
Для решения задач на знание свойств четных и нечетных натуральных чисел не требуются больших математических вычислений, методов подбора всех возможных решений. Вывод делается очень просто и быстро, главное, необходимо определить: какие числа заданы в условии, четные или нечетные.
В жизни человек часто встает перед выбором определения количества чего – либо. Знание свойств натуральных чисел помогает ему делать свой выбор.
Используемыеинтернет источники:
1. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: - М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.
2. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.
3. Г.Н.Берман Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико - технической литературы 1984.
4. И. Депман. Мир чисел. Рассказы о математике. Ленинград "Детская литература" 1988.
5. Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада - литера 1994.
6. И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. Издательство"Просвещение" 1989.
7. Е.Карпеченко Тайны чисел .Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.
8. А.Н.Крылов.Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 1994
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Городская научно-практическая конференция для учащихся 5-7 классов
Исследовательская работа по математике
Секция: Теория чисел
Автор: Вильмова Екатерина
6 Б класс, МАОУ ФМШ №56 Руководитель: Дельбеева
учитель высшей категории
История о четных и нечетных чисел………………………………….3
Что такое четность и нечетность? . 3
Список использованной литературы……………………………………. 9
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определенную четность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую четность, невозможны. Иногда надо эту величину сконструировать, например, рассмотреть четность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета. Четность в играх – возможность сохранить четность некоторой величины при своём ходе.
Проблема: Решение логических и олимпиадных задач.
Цель: доказать, что некоторые задачи легко решаются, если применить четность.
Узнать, что такое четность и нечетность
Научиться распознавать признаки четности и нечетности чисел
Узнать о результатах действий
Применение четности в решениях задач
Объект исследования: четность и нечетность
Предмет исследования: решение логических задач
Методы исследования:
Работа с учебниками математики
Наблюдения, сравнение и анализ
История о четных и нечетных чисел.
Все числа представляют собой чет и нечет, точно так же и все вещи и процессы соединяют в себе противоположности – начало и конец, предел и бесконечность. Каждое явление или вещь Пифагор рассматривал как примирение противоположностей – гармонию.
Что такое четность и нечетность?
Нечетные числа - это числа, которые не могут делиться на два без остатка
Например, число 141- не делится на два без остатка, значит это число нечетное.
Четное + четное = четное (4+4=8) Четное – четное = четное (4-2=2 Нечетное + четное = нечетное (5+2=7) Нечетное - четное=нечетное (9-2=7) Нечетное + нечетное = четное (9+9=18) Нечетное- нечетное= четное (17-9=8)
Четное х четное= четное (4 х 4=16)
Нечетное х четное= четное (9 х 4=36)
Нечетное х нечетное= нечетное (9 х 9=81)
Четное: четное= если число целое, то оно может быть или четным или нечетным (6:2=3) или (8:2=4)
Четное: нечетное=если число целое, то четное (12:3=4)
Нечетное: четное=не целое число (9:2=4,5)
Нечетное: нечетное=если число целое, то нечетное (9:3=3)
Как правило, число четное, если оно оканчивается четным числом.
987436 - число четное
87 - число нечетное
Решение задач
Рассмотрим несколько задач:
На доске написаны числа 0,1,0,0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?
За один шаг сумма всех написанных чисел увеличивается на два. Вначале сумма равна одному, поэтому она всегда будет оставаться нечетной. А сумма четырех, очевидно, четная. Поэтому добиться, чтобы все числа стали равными, невозможно
Задача 2. На листке напечатано число двадцать. Тридцать три ученика передают листок друг другу,и каждый прибавляет к числу или отнимает от него один (как хочет). Может ли получиться число десять?
Когда очередной ученик прибавляет к числу один или отнимает от него один, четность этого числа изменяется (четное число превращается в нечетное, а нечетное - в четное). У нас было число двадцать, то есть четное. Значит,
первый ученик превратит его в нечетное, второй - снова в четное, третий- в нечетное, четвертый - в четное,…, тридцать третий- снова в нечетное; но десять- четное число, значит, десять получиться не может.
Володя написал на доске 1*2*3*4*5*6*7*8*9=21, поставил вместо каждой
На доске пять нечетных чисел, значит, сумма или разность нечетная. Тогда двадцать получиться не может. Следует, Саша ошибся.
Кузнечик прыгает по прямой: первый прыжок - на один сантиметр, второй - на два сантиметра и т. д. Может ли он после двадцать пятого прыжка вернуться в точку, с которой начал прыгать?
Чтобы кузнечику после двадцать пятого прыжка оказаться в начальной точке, необходимо преодолеть длину, равную четному числу, но это невозможно, так как 1+2+3+…+13+…+25=(1+25)*12+13=нечетное число.
На доске написано в строку 2005 целых чисел. Доказать, что одно из них можно стереть, и сумма оставшихся чисел будет четной. Верно ли это утверждение для 2006 чисел?
Если количество нечетных чисел нечетное, то можно стереть любое из них. Если же количество нечетных чисел четное, то на доске есть хотя бы одно четное число (всего чисел-2005). Его и стираем. Если на доске написаны 2006 нечетных чисел, то сумма их четная и при стирании любого из них сумма оставшихся чисел нечетная.
Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина его прыжка равна одному метру). Доказать, что он сделал четное число прыжков.
Так как кузнечик вернулся в исходную точку, то количество прыжков вправо равна количеству прыжков влево, то есть общее количество прыжков четное.
Список литературы
Математика. 5-6 класс. Под ред. Г. В. Дорофеев., И. Ф. Шарыгин, - 4-е изд. – М., Просвещение, 2016 - 216с.
Древние мыслители упорно пытались постичь мистическую тайну чисел и их влияние на жизнь человека. В эзотерическом смысле значение чисел может являться ключом к дешифровке нашего жизненного опыта. Здесь мы приводим простейший путеводитель по символике чисел, а также расскажем, как определить свое личное число и вникнуть в его смысл.
Ноль – самое таинственное и противоречивое число, символ пустоты, небытия, первозданного хаоса и вместе с тем – это эмблема абсолюта, вечности и бесконечности Вселенной, потенциала, возможности, отражения, цельности и возрождения. По мнению Пифагора, эта загадочная цифра заключает в себе всё сущее и означает чистый потенциал. Даже визуально ноль напоминает зерно, семя, лоно или яйцо, в которых и заложен чистый потенциал.
Фото : Единица – символ Солнца.
Фото : Двойка – символ Луны.
Фото : Тройка – символ Марса.
Тройка – это синтез, творческий потенциал, созидание и любовь, как мистическая сила, связывающая двоих и порождающая третьего. Пифагор и Аристотель считали это число воплощением гармонии и законченности, поскольку в нем слиты воедино начало, середина и конец. Тройка – число человека, соединяющего в себе тело, дух и душу. В странах Востока тройка – священное число: у китайцев оно символизирует святость, законность и совершенство, а японцы чтят как бесценные реликвии три священных сокровища: меч, зеркало и драгоценный камень. В фольклоре народов мира обычно фигурируют три царских сына, три девицы, а герой сказки или легенды разгадывает три загадки, проходит три испытания, делает выбор между тремя дорогами, имеет три желания, etc. Христиане поклоняются Святой Троице – Отцу, и Сыну, и Святому Духу, а главными добродетелями являются Вера, Надежда и Любовь. В целом, тройка – это священное число, наполненное массой мистических и эзотерических смыслов почти во всех мировых культурах.
Фото : Четверка – символ Меркурия.
Фото : Пятерка – символ Юпитера.
Пятерка – универсальный символ человека и его пяти чувств (зрение, слух, вкус, осязание и обоняние). Графически эта символика передается изображением человека с раскинутыми в разные стороны руками и расставленными ногами, т.е. в виде пятиконечной звезды или пентаграммы. Пятерка ассоциируется с любовью и сексуальной энергией, центром, сердцем, силой и здоровьем. В религии Китая и японском буддизме священная пятерка вмещает в себя четыре стороны света и мистический центр, являясь символом мироздания. В исламе существует 5 заповедей веры – намаз (ежедневная 5-кратная молитва), ритуальное омовение, ураза (пост), закят (налог в пользу бедных) и хадж (паломничество в Мекку). В христианстве скорбят о пяти ранах распятого Иисуса Христа (на ладонях, ступнях и в боку). Духовное значение пятерки ассоциируется с путешествием и движением (и не только физическим, но и духовным), а также несет в себе символику нестабильности, непредсказуемости и радикальных перемен.
Фото : Шестерка – символ Венеры.
Фото : Семерка – символ Сатурна.
Фото : Восьмерка – символ Урана.
Фото : Девятка – символ Нептуна.
Древние мудрецы были убеждены, что числа выражают универсальные законы времени и пространства, они верили, что числа – первооснова мироздания, и боги управляют Вселенной с их помощью. Для того, чтобы познать тайны мира и себя самого, человеку обязательно нужно научиться проникать в сокровенную суть чисел, понять их символику и применять ее на благо себе. Наш обзор приоткрывает лишь ничтожно малую завесу и требует дальнейших поисков и размышлений. Надеемся, что формула вычисления вашего личного числа окажется и интересной, и полезной.
Четные и нечетные числа занимают особое место в нумерологии. Нумерологи полагают, что нечетные числа символизируют мужское начало Ян и несут позитивную энергетику, отражают наши стремления и поиски лучшего в жизни. Четные же числа относятся к природе женщин, имеют начало Инь. Они указывают на стремление придерживаться определенных правил, следовать доводами логики. Они имеют двойственную натуру, способны вносить в жизнь диссонанс, поэтому считаются негативными.
В современной нумерологии считается, что числа, окружающие нас, несут тайный посыл, код, благодаря чему мы можем достичь совершенства, избежать ловушек и неприятностей. Например, номера дома, телефона, машины имеют большое значение, но самым главным влияющим фактором является личный код судьбы. Он рассчитывается из суммы всех чисел в дате рождения. Посчитав его, вы сможете определить, что является для вас главной движущей силой, а что тормозит развитие. Например, дата вашего рождения 28.05.1988 = 2+8+0+5+1+9+8+8 = 41 = 4+1=5.
Единица заряжает людей активностью и целеустремленностью. Обладатели такого числа судьбы проявляют инициативу и нацелены на успех. Лидерские качества единицы способны дать человеку импульс и помочь не останавливаться до достижения наилучших результатов.
Двойка повышает способность воспринимать информацию, однако вибрации этого числа усиливают слабости человека, желание подчиняться и уходить на второй план. Такая безынициативность нередко снижает шансы человека на успех, порождает страхи и комплексы.
Тройка отвечает за позитивный настрой. Люди под влиянием этого числа добиваются успехов в творчестве, способны быстро находить общий язык с людьми. Они не унывают и не признают поражений, находя в каждом событии позитивные моменты и не зацикливаясь на неудачах и промахах.
Четверка наделяет людей способностью трудиться не покладая рук. Однако монотонность и беспрерывная занятость нередко порождают скуку и апатию. Часто такая активность на деловом поприще приводит к профессиональному выгоранию.
Пятерка отвечает за любовные отношения. Ее сила заключается в желании человека дарить радость и взаимные чувства своему партнеру, добиваться поставленных целей и поддерживать прекрасные отношения с семьей и родственниками.
Шестерка является символом душевного комфорта и покоя. Люди под влиянием этого числа нередко предпочитают домашний комфорт стремлению к личностному росту. Они посвящают время семье и заботе о своих домочадцах.
Семерка пробуждает интерес к мистическим и таинственным загадкам. Влияет на интуицию и позволяет предсказывать будущее, следовать за внутренним голосом и не ошибаться на жизненном пути.
Восьмерка дарует людям желание достигать материальной независимости. Вибрации числа благоприятно влияют на людей, подталкивая их к активным действиям. Эта цифра помогает людям развивать собственный бизнес и находить выгоду в любых мелочах.
Девятка провоцирует людей на новые открытия и достижения. Она благотворно влияет на интеллектуальную деятельность, способствуя развитию в профессиональной сфере, а также духовному росту и активному познанию окружающего мира.
Чёт счастливым
И красивым,
Слабым только лишь нечёт!
Но, редея,
Холодея
Чёт в нечёт перетечёт!
Наука доказала, что считать умеют многие животные, начиная с мелких пташек до человекообразных обезьян. И только человек может уловить то общее, что объединяет разные предметы, к примеру, три камня, три пальмы или трёх слонов. За ними стоит общее число. Этот факт дал толчок человеку к росткам абстрактного мышления, что в дальнейшем породило математику, заслуженно названную царицей наук.
Самая распространённая система исчислений – десятичная, по числу пальцев рук, но есть и множество других. Всё началось с целых чисел. Если расположить числа в ряд: 1, 2, 3, 4…, и так далее, то его можно продолжать до бесконечности. Учитывая природный характер чисел, ряд назвали натуральным. Помимо целых чисел, в него входят и рациональные числа в виде дробей с конечным значением. Но есть и иррациональные числа, которые не имеют конечного точного значения. Если представить натуральный ряд в виде линейки, то она будет ещё и сплошной от чисел, без малейших зазоров.
На этом картина чисел не остановилась, когда обнаружили так называемые мнимые числа, то есть такие, которые есть, но каких будто нет. Если от воображаемой линейки провести вертикальную линию, то она будет до бесконечности заполнена мнимыми числами. Но и это ещё не всё, когда открыли комплексные числа, состоящие из действительных и мнимых чисел, а они заполнят всё поле чисел между их рядами. И это только в двух измерениях! А их множество!
Если я вас не утомил, то продолжим двигаться дальше, оставив математикам пользоваться всем множеством названных чисел.
А пока рассмотрим чётные и нечётные числа. Конечно, это относится только к целым числам, поскольку частично чётных не бывает. Чётные числа составляют половину всех натуральных чисел и также бесконечны.
Эти числа всегда ходят парой. Например, орёл и решка, где орёл - единица, а решка - двойка. Или игральный кубик, где на противоположных сторонах помещены чётные и нечётные числа, а в сумме равны 7.
В большинстве стран номера домов на обеих сторонах улицы чётные либо нечётные. Чтобы разгрузить улицы от автотранспорта, в некоторых городах в отдельные дни разрешено ездить машинам с чётными или нечётными номерами.
Живым дарят нечётное число цветов, а мёртвым – чётное. Алла Пугачёва пела, как художник один подарил актрисе миллион роз, то есть чётное число. Естественно, что после этого она дала дёру.
Однако у других народов, к примеру, китайского, отношение к нечётным числам как к дурным.
Вопросы для любителей математики. Испытайте себя:
1. Во сколько раз четвёртый этаж выше второго?
2. Не удивляйтесь, что 32 + 36:9 + 2х4 - 20 = 4! Почему?
3. Чему равно 1/2 + 2/3 = ?
Читайте также: