Свойства однородных функций реферат

Обновлено: 04.07.2024

Дадим определение однородной функции нескольких переменных: функция нескольких переменных называется однородной функцией этих переменных степени , если при умножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается на т. е. имеет место тождество

при любых допустимых значениях переменных Число может быть любым фиксированным вещественным числом. Если, например, то и t должны быть положительными. Положим, что функция выражает некоторый объем, что х и у суть длины некоторых линий и что в выражении , кроме этих линий, входят отвлеченные числа. Умножение х и у на t (положительное число) равносильно уменьшению линейного масштаба в t раз или увеличению при ), и, очевидно, что при этом функция выражающая объем, должна умножаться на т. е. в рассматриваемом случае функция будет однородной функцией третьей степени. Так, например, объем конуса выражается через радиус его основания и высоту у по формуле

Эта функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей и у равна трем:

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1). Отметим, что где радикал считается арифметическим, будет однородной функцией первой степени при всех вещественных х и у и при всех Действительно,

причем оба радикала считаются положительными.

Дифференцируя тождество (10) по t и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим, полагая

что выражает следующую теорему Эйлера, об однородных функциях:

Сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности.

При доказательстве мы считаем естественно, что функция имеет непрерывные частные производные при соответствующих значениях переменных, которыми мы пользовались при доказательстве.

Если то, положив в тождестве получим

т. e. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной. Часто однородную функцию нулевого измерения называют просто однородной.

МИНЕСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРФЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Проверила: Миронова .В.

Выполнила: Филимонова Т.А.

Специальность: финансы и кредит

Вопрос №1 Свойства однородных функций.

Однородная функция - функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для О. ф. f (x, y. u) при всех значениях х, у. u и любом λ должно иметь место равенство:

f (λx, λу. λu) = λ n f (х, y. u),

х 2 — 2у 2 ; (x— y—3z)/z 2 +xyz 2 ;

суть однородные с измерениями, соответственно, 2, —1, 4 /₃. Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала f (x, у. u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f (x, у. u), умноженную на показатель однородности:

О. ф. часто встречаются в геометрических формулах. В соотношении х =f (а, b. l), где а, b. l — длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть О. ф. (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма

усечённого конуса правая часть — О.ф. h, R и r измерения 3.

Вопрос №2 Математическая теория игр

Теория игр, раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами. Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались многими учёными. Математическая теория игр была детально разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов. Теория игр- математические расчеты гипотетического поведения принятия решения двумя или более людьми в ситуациях, где каждый способен сделать выбор между двумя или более направлениями деятельности "стратегиями", их интересы могут частично или полностью быть противоположными, для любого лица числовые значения прилагаются к комбинации результатов, теория игр основана на традиционных формах рационального моделирования в политэкономии.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, -игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции используются три исходных продукта – А, В, С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т. соответственно. Расходы сырья А, В, С на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в таблице.

Характеристика применения дифференциального исчисления в экономике при помощи понятия эластичности. Определение понятия эластичности функции и его свойства. Свойства однородных функций. Использование формулы Эйлера в прикладных экономических расчетах.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	17.03.2014
Размер файла	260,7 K

Подобные документы

Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.

реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010

Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.

презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013

Общие свойства функций. Правила дифференциального исчисления. Неопределенный и определенный интегралы, методы их вычисления. Функции нескольких переменных, производные и дифференциалы. Классические методы оптимизации. Модель потребительского выбора.

методичка [2,0 M], добавлен 07.01.2011

Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.

контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009

Алгоритм построения многочлена Жегалкина по совершенной дизъюнктивной нормальной форме. Диаграмма Эйлера-Венна, изображение универсального множества и подмножества. Проверка самодвойственности, монотонности и линейности логической функции двух переменных.

1. Если однородная функция с порядком однородности q, то ее дробная производная порядка , вычисляемая как по и любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать )- это однородные функции с порядком однородности . Рассмотрим функцию и

. Тогда с (здесь сделана замена переменной интегрирования После n-кратного дифференцирования по переменной x₁ однородная функция порядка становится однородной функцией с порядком однородности .

2. Если однородная функция с порядком однородности q, то ее n-мерная свертка с обобщенным Абелевым ядром, вычисляемая как п(при условии существовании соответствующего интеграла)- это однородная функция с порядком однородности . В Доказательство. , где сделана замена переменных интегрирования .

3. Теорема Эйлера для однородныхфункций. Для того, чтобы дифференцируемая функция ,x_. x_)> была однородной функцией с порядком однородности необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

Необходимость получается из дифференцирования равенства

при . Для доказательства достаточности возьмем функцию при фиксированных . Продифференцируем ее по :

В силу условия получаем и . Константу c определяем из условия .

В результате, .

Метод Эйлера

Метод Эйлера часто называют видоизменённым методом Эйлера или методом собственных чисел и собственных векторов. Он применяется для решения линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть дана система n линейных однородных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:

Эту систему можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:

где , , .

Решение системы найдём в виде:

где , (i = 1, 2, . n) — постоянные величины.

Подставив значения (i = 1, 2, . n) в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно :

Так как система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю, то получим следующее уравнение n-й степени:

Это уравнение позволит найти . Оно является характеристическим уравнением матрицы А и одновременно характеристическим уравнением системы.

Пусть характеристическое уравнение имеет n различных корней (i = 1, 2, . n), которые являются собственными числами матрицы А. Каждому собственному числу соответствует свой собственный вектор.

Пусть характеристическому числу соответствует собственный вектор ( ; ; . ; ), где k = 1, 2, . n. Тогда система дифференциальных уравнений имеетn решений:

1-е решение, соответствующее корню = :

, ,…, ;

2-е решение, соответствующее корню = :

, ,…, и т.д.;

n-е решение, соответствующее корню = :

, ,…, .

Таким образом, получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы имеет вид:

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:

Решение. Данная система является линейной однородной системой дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим ее методом Эйлера.

Составим характеристическое уравнение матрицы системы

Его корни = –2; = 2 — характеристические числа матрицы.

При = –2 уравнения для определения собственного вектора имеют вид:

=> – = 0 => р1 = р2 =>

(1; 1) — собственный вектор.

При = 2 уравнения для определения собственного вектора имеют вид:

=> + = 0 => р1 = -р2 =>

(1; -1) — собственный вектор.

Получаем фундаментальную систему решений:

для = –2: х₁₁ = е -2 t , х₂₁ = е -2 t ;

для = 2: х₁₂ = е 2 t , х₂₂ = – е 2 t .

Прежде чем давать определение однородного дифференциального уравнения, введем понятие об однородных функциях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.8 Функция двух переменных называется однородной функцией порядка в области , если при любом выполняется следующее равенство

ПРИМЕР 11.1.12 Функция однородная функция третьего порядка, так как

ПРИМЕР 11.1.13 Функция однородная функция нулевого порядка .

Таким образом, для функции выполняется равенство . Отсюда следует, что функция называется однородной функцией нулевого порядка, если при умножении аргументов и на произвольный параметр значения функции не изменяются.

Отношение двух однородных функций одной переменной и того же порядка однородности является однородной функцией нулевой степени.

Однородная функция нулевого порядка может быть записана в виде

. Действительно, пусть однородная функция нулевого порядка. Так как параметр произвольный, то положим ; тогда . Теперь можно дать определение однородного дифференциального уравнения относительно и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.9 Дифференциальное уравнение

называется однородным, если является однородной функцией нулевого порядка.

Однородное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

где новая дифференцируемая искомая функция. Дифференцируя (11.1.9), получим . Подставим выражения и в уравнение (11.1.8), тогда откуда или , , если , то или общий интеграл однородного уравнения.

Сделаем подстановку: ; подставляя в уравнение, получим

, разделив переменные, имеем общий интеграл.

приводится к однородному, если приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Пусть введем новые переменные

где и пока не известные постоянные. Найдем из (11.1.11). Подставляя выражения в данное уравнение, получим

; выберем теперь и таким образом, чтобы

Тогда . Это однородное уравнение относительно переменных . Решая это уравнение, получим , но , . Значения и находим из системы (11.1.10);

она совместна, так как определитель этой системы .

2. Пусть теперь . Отсюда Подставляя значения и в уравнение (11.1.10), получим

Для разделения переменных введем новую функцию отсюда ; . Это уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными.

Введем новые переменные ; уравнение примет вид

это однородное уравнение.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

Или возвращаясь к прежним переменны x и y, получим

Помощь по математике › Дифференциальные уравнения › Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения

Стоимость работы мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Читайте также: