Спектры периодических функций реферат
Обновлено: 05.07.2024
Использование спектра в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. Спектральный анализ, основанный на классических рядах Фурье. Примеры периодических сигналов.
| Рубрика | Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.01.2017 |
| Размер файла | 385,8 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Министерство образования и науки РФ
ФГБОУ ВПО
Курсовая работа
Студент: Дураков В.С.
Руководитель: к.г.-м.н., доцент
Екатеринбург 2016 г.
Введение
Кроме естественного представления сигналов во временной области в анализе сигналов и систем широко используется частотное представление. Задачу представления сигналов в частотной области называют также спектральным анализом, гармоническим анализом, частотным анализом, или Фурье-анализом. Многие физические процессы описываются в виде суммы индивидуальных частотных составляющих. Понятие спектра широко используется в представлении звуков, радио и телевещании, в физике света, в обработке любых сигналов независимо от физической природы их возникновения. На нем базируется исключительно эффективный и очень простой в использовании частотный метод анализа линейных систем.
Спектральный анализ основывается на классических рядах Фурье и преобразовании Фурье. Ряды Фурье используются для периодических сигналов и сигналов, заданных на конечном интервале времени . В последнем случае сигнал может быть периодически продолжен с периодом .
Преобразование Фурье применяется для непериодических сигналов, заданных на всей временной оси .
Основная задача спектрального анализа заключается в определении частотного спектра сигнала (функции). Любой сигнал может быть представлен своим частотным спектром.
Обычное гармоническое колебание (гармонический сигнал)
характеризуется: 1. амплитудой A > 0, 2. Частотой , 3. начальной фазой .
Параметры А, , дают полное описание гармонического сигнала в частотной области в виде спектра, представляющего значение амплитуды и начальной фазы в зависимости от частоты гармоники . Задавая эти параметры, можно определить гармонический сигнал двумя способами:
1. Как косинусоидальное колебание с амплитудой А, частотой и фазой ,
2. Как сумму двух комплексных экспонент (гармоник), каждая с амплитудой . При этом одна составляющая имеет частоту и фазу , другая - отрицательную частоту и отрицательную фазу .
Оба представления дают одинаковый результат, но во многих случаях комплексная форма оказывается более эффективной для инженерных задач.
Комплексный ряд Фурье
Сигнал x(t) является периодическим, если он точно повторяет свои значения через интервал времени, называемый периодом Т, т.е.
Примеры периодических сигналов разной формы с периодом Т = 0,2с
спектральный анализ фурье
Реальные периодические сигналы могут быть разложены в ряд Фурье, т.е. представлены в виде суммы гармоник кратных частот. Такое представление и играет исключительно важную роль во многих практических приложениях: электроника, связь, обработка сигналов, акустика, музыка и др.
Теорема математического анализа:
Любой конечный периодический сигнал (функция) x(t), определенный для всех действительных t или на конечном интервале времени , можно представить рядом Фурье.
Комплексная (экспоненциальная) форма ряда Фурье:
- выражение синтеза сигнала
- основная частота, - основная угловая частота.
При этом коэффициенты комплексного ряда Фурье определяются по выражению:
- выражение анализа сигнала.
Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длительностью период (Т), например, от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2 и т.п. Коэффициенты Фурье полностью определяют сигнал x(t) в частотной области.
В математическом анализе доказывается, что если периодическая функция x(t) (сигнал) удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье сходится к самой функции в точках непрерывности функции и к полусумме в точках разрыва,
Условия Дирихле:
1. Функция x(t) абсолютно сходится в пределах периода, т.е.,
2. x(t) на интервале Т имеет конечное число максимумов/минимумов и разрывов первого рода.
Любой реальный сигнал удовлетворяет условиям Дирихле.
На конечном временном интервале x(t) должна иметь конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода.
Применим формулу Эйлера в выражении для , тогда:
Здесь
В общем случае коэффициенты Фурье являются комплексными числами, т.е.
, - модуль коэффициента, - аргумент (фаза) .
Поскольку в выражении косинус является четной функцией значения k, а синус - нечетной, то Фурье - коэффициенты для действительного сигнала x(t) обладают следующими свойствами симметрии
, - четная функция k
- нечетная функция k
Здесь используется тот факт, что произведение нечетных функций дает четную функцию, а частное четной и нечетной функции - нечетную функцию.
Следовательно, исходя из соответствующей симметрии спектров- четной или нечетной, достаточно рассматривать амплитуды и фазы гармоник только для положительных частот (положительные значения k). Для отрицательных частот спектры всегда могут быть получены из соображений четной или нечетной симметрии.
Тригонометрические формы ряда Фурье
Для действительных периодических сигналов чаще используются тригонометрические формы ряда Фурье, как более простые для вычислений
Тригонометрические формы можно получить из комплексной с помощью формулы Эйлера и дальнейших преобразований. Покажем это подробнее:
Поскольку cos(x) = cos(-x), sin(x)=-sin(-x), то - это комплексно - сопряженное значение , поэтому предыдущее выражение можно записать в таком виде:
Сумма и разность комплексно - сопряженных чисел и равны соответственно
C учетом этих равенств:
Учтем также известное тригонометрическое тождество для косинуса:
При этом предыдущее выражение запишем в виде:
Обозначим , тогда получаем:
Если обозначить , то получим другую тригонометрическую форму ряда Фурье:
Здесь при этом коэффициенты ряда:
Для четных сигналов коэффициенты , т.к. и ряд содержит только косинусы. Для нечетных сигналов , поскольку .
В результате упрощается вычисление коэффициентов Фурье. Если сигнал задан на конечном интервале , то его можно периодически продолжить четным или нечетным образом и тем самым достигнуть упрощения разложения в ряд Фурье.
В заключение укажем соответствия между коэффициентами различных форм ряда Фурье:
Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала
Разложение в ряд Фурье является основой спектрального представления периодических сигналов.
Совокупность коэффициентов или образует амплитудный частотный спектр периодического сигналa. Это зависимость амплитуд гармоник сигнала от частоты. Набор - фазовый спектр, зависимость начальных фаз гармоник от частоты. При этом односторонний спектр имеет составляющие только на частотах
, -двусторонний - на частотах , -Член ряда с k=0 называется постоянной составляющей (ПС), с k=1 - первой, или основной гармоникой, k=2 - второй гармоникой сигнала и т.д. Обычно спектры для наглядности представляются в виде графиков. В любом случае для периодических сигналов характер спектров - линейчатый.
Общий вид амплитудного спектра. Амплитуды гармоник при возрастании k.
Частота и номер гармоники связаны очень просто: или
Спектр фаз - нечетная функция аргумента k.
Общий вид:
Ввиду четной/нечетной симметрии спектров для действительных сигналов достаточно отображать только часть спектра, соответствующую положительным частотам, т.е. использовать односторонние спектры.
Заключение
Задачу представления сигналов в частотной области называют спектральным анализом или Фурье-анализом. Спектральный анализ широко используется в ряде прикладных областей, в том числе обработке сигналов.
Спектральный анализ периодических сигналов основывается на разложении сигнала в ряд Фурье.
Комплексная форма ряда Фурье:
Тригонометрические ряды Фурье:
Амплитудный спектр периодического сигнала - это зависимость амплитуд гармоник сигнала или от частоты или номера гармоники.
фазовый спектр - зависимость начальных фаз гармоник сигнала от частоты или номера гармоники. Гармоники - собственные функции линейных систем.
Спектры полностью определяют сигнал.
Литература
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 2000. -462 с
2. Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов. Учебное пособие. - СПб.: БХВ Петербург, 2005. - 768 с.
Подобные документы
Расчет спектра сигнала через ряд Фурье. Диапазон частот, в пределах которого заключена часть энергии колебания. Восстановленный сигнал из гармоник. Алгоритм восстановления и дискретные значения времени. Изучение спектрального представления сигналов.
лабораторная работа [356,3 K], добавлен 18.05.2019
Общие сведения о радиотехнических сигналах, их спектральное представление. Анализ периодических сигналов посредством рядов Фурье. Преобразование заданного графического изображения импульса в аналитическую форму, его разложение в тригонометрический ряд.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 28.12.2011
Понятие, сущность, размерность, виды, классификация, особенности преобразования и спектральное представление сигналов, их математическое описание и модели. Общая характеристика и графическое изображение аналогового, дискретного и цифрового сигналов.
реферат [605,8 K], добавлен 29.04.2010
Спектральный анализ аналоговых непериодического и периодического сигналов. Анализ аналоговой линейной электрической цепи во временной и частотной области. Расчет и построение спектра коэффициентов комплексного ряда Фурье. Расчет шины спектра сигнала.
курсовая работа [582,6 K], добавлен 02.09.2013
Характеристика видов и цифровых методов измерений. Анализ спектра сигналов с использованием оконных функций. Выбор оконных функций при цифровой обработке сигналов. Исследование спектра сигналов различной формы с помощью цифрового анализатора LESO4.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 03.05.2018
Спектральный анализ периодического и непериодического управляющих сигналов. Особенности поинтервального описания входного сигнала. Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого и второго порядков.
контрольная работа [827,4 K], добавлен 07.03.2010
Расчет спектральной плотности непериодических сигналов. Спектральный анализ непериодических сигналов. Определение ширины спектра по заданному уровню энергии. Расчет автокорреляционной функции сигнала и корреляционных функций импульсных видеосигналов.
Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические функции. Их значение обусловлено рядом причин, основными из которых являются:
– гармонические сигналы инвариантны (не изменяются) относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой;
– техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста.
Кроме того, известно (курс математики), что любое негармоническое колебание, удовлетворяющее определенным условиям, можно представить в виде суммы гармонических колебаний. При этом говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала, а отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.
Спектральный состав периодических колебаний
Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодическое колебание со следующим свойством:
, n = 1, 2, …,
где Т – период колебания.
Известно, что любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (интервал, на котором функция определена, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва функции существуют переходы от одного конечного значения к другому), может быть представлена рядом Фурье. Если ряд Фурье представлен в тригонометрической форме, то его запись имеет следующий вид:
, k = 0, 1, 2, …,
где .
То есть периодическое колебание можно представить как сумму постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами k w1 (гармоник), причем совокупность амплитуд гармоник называется спектром амплитуд колебания , а совокупность начальных фаз называется спектром фаз колебания .
Очень часто используют комплексную форму ряда Фурье. Для перехода к этой форме воспользуемся формулой Эйлера:
.
Тогда ряд Фурье запишется в виде
.
Отсюда легко определяются комплексные амплитуды гармоник:
.
Поскольку периодическое колебание известного периода Т полностью описывается совокупностью амплитуд и фаз своих составляющих, то задание спектра такого колебания сводится к заданию его спектров амплитуд и фаз.
Пример графического изображения спектров амплитуд и фаз некоторого периодического колебания приведен на рисунке 1.
Рис. 1. Графическое изображение спектров амплитуд и фаз колебания
Каждая частотная составляющая изображается на графике спектра одним вертикальным отрезком – спектральной линией. Длина отрезка определяет величину амплитуды или начальной фазы , а местоположение отрезка на оси частот – частоту составляющей ().
Иногда пользуются и табличным способом задания спектра (табл. 1).
| Частота | 0 |  |  |  |  |
| Амплитуда |  |  |  |  |  |
| Начальная фаза | – |  |  |  |  |
Пример. Определить спектральный состав колебания, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами .
В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формуле ряда Фурье в комплексной форме находим
.
Комплексная амплитуда пропорциональна функции вида , график которой показан на рисунке 2.
Рис. 2. График функции
Амплитуды гармоник определяются как модуль :
и пропорциональны функции вида , график которой показан на рисунке 4.
Рис. 4. График функции
График спектра амплитуд при показан на рисунке 5.
Рис. 5. График спектра амплитуд
Пунктирная линия, построенная по формуле , называется огибающей спектра амплитуд, в которую вписываются амплитуды гармоник на своих частотах . Нули огибающей будут на тех частотах, на которых
(n = 1, 2, 3, …),
откуда . Постоянная составляющая определяется как .
В пределах первого лепестка огибающей спектра амплитуд () комплексная амплитуда положительна и вещественна, значит (). В области частот величина вещественна и отрицательна, значит (). Следовательно, начальные фазы гармоник изменяются на 180° при переходе через нули огибающей. График спектра фаз показан на рисунке 6.
Рис. 6. График спектра фаз
Изменение периода следования импульсов Т приводит к сгущению (при увеличении) или разряжению (при уменьшении) спектральных линий.
Изменение длительности импульсов вызывает смещение нулей огибающей на оси частот, положение же спектральных линий при этом остается без изменения. В том случае, когда скважность последовательности импульсов , последовательность обладает богатым спектром, содержащим очень большое число медленно убывающих по амплитуде гармоник, и широко используется в синтезаторах частот.
Спектр амплитуд позволяет наглядно судить о соотношении между амплитудами гармоник и о полосе частот, в пределах которой расположены энергетически значительные частотные составляющие.
Для периодического колебания средняя мощность Р ср может быть представлена формулой
.
Кроме того, доказано, что средняя мощность периодического колебания равна сумме средних мощностей составляющих гармоник:
.
Это равенство называют равенством Парсеваля. Сопоставляя квадраты амплитуд гармоник, можно судить о распределении общей мощности периодического колебания по диапазону частот, а, следовательно, строить радиотехнические устройства, ограничивая спектр передаваемого колебания требуемым числом спектральных составляющих, тем самым уменьшая частотный диапазон передаваемых сигналов. Обычно спектр ограничивают частотой, на которой сумма мощностей постоянной составляющей и вошедших в этот диапазон гармоник составляет не менее 90 % полной средней мощности колебания.
Анализ периодических колебаний в электрических цепях
В основу анализа линейных электрических цепей, находящихся под воздействием периодических негармонических колебаний, лежит принцип наложения. Его суть применительно к негармоническим воздействиям сводится к разложению негармонического периодического колебания в одну из форм ряда Фурье и определения реакции цепи от каждой гармоники в отдельности. Результирующая реакция находится как сумма полученных частных реакций.
Анализ проведем на примере. Пусть ко входу последовательной RC -цепи (рис. 7) подведено воздействие в виде периодической последовательности видеоимпульсов с амплитудой А = Е и скважностью .
Требуется определить реакцию – напряжение на элементе емкости .
На вход цепи поступает периодическое колебание, разложение которого в ряд Фурье дает следующий результат:
Из ряда видно, что в составе разложения отсутствуют гармоники с четными номерами, так как скважность последовательности импульсов равна 2. Ограничимся первыми тремя членами разложения. Приложенное напряжение содержит постоянную составляющую , первую и третью гармоники с нулевыми начальными фазами. Найдем напряжение на емкости от постоянной составляющей приложенного напряжения:
.
Комплексное действующее напряжение от первой гармоники будет равно:
Аналогично находим напряжение на емкости от 3-й гармоники
.
Теперь можно записать мгновенное значение напряжения на емкости в виде ряда:
.
Действующее значение напряжения определяем, как
.
Частотный состав непериодического колебания
От периодического колебания к непериодическому можно просто перейти, если не изменяя формы импульса безгранично увеличивать период его следования, что, в свою очередь, приведет к бесконечно близкому расположению друг к другу спектральных составляющих, а значения их амплитуд становятся бесконечно малыми. Однако начальные фазы этих составляющих таковы, что сумма бесконечно большого числа гармонических колебаний бесконечно малых амплитуд отличается от нуля и равна функции только там, где существует импульс. Поэтому понятие спектра амплитуд для непериодического колебания не имеет смысла, и его заменяют, используя прямое и обратное преобразования Фурье.
Известно, что функция, удовлетворяющая заданным условиям, может быть представлена интегралом Фурье (обратное преобразование Фурье)
.
Используя прямое преобразование Фурье, приходим к интегралу
.
Функция называется комплексной спектральной плотностью амплитуд , а ее модуль – спектральной плотностью амплитуд . Аргумент называют фазовым спектром непериодического колебания.
В качестве примера рассмотрим колебание, описываемое экспоненциальной функцией при положительном вещественном значении параметра a.
Найдем спектральную плотность:
Особенностью комплексного спектра является его распространение, как на положительную, так и на отрицательную области частот. Графики нормированного амплитудного и фазового спектров представлены на рисунке 8.
Рис. 8. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса:
а – нормированный амплитудный спектр; б – фазовый спектр
Распределение энергии в спектре непериодического колебания
Пусть непериодическое колебание описывается функцией . Тогда можно записать
.
Проинтегрируем это выражение по переменной в бесконечных пределах:
В этом выражении
,
где – комплексная величина, сопряженная с .
.
Произведение двух сопряженных комплексных величин равно квадрату модуля одной из них, поэтому
.
Так как левая часть равенства определяет энергию колебания , то это можно сказать и о правой части. Но тогда
есть ни что иное, как энергия колебания, приходящаяся на один радиан полосы частот для текущей частоты w.
Иными словами, является спектральной плотностью энергии колебания и характеризует распределение энергии в полосе частот колебания:
.
Энергетически значимые участки спектра расположены в тех частотных полосах, в которых значение спектральной плотности относительно велики.
Пример. Определить спектральную плотность энергии прямоугольного видеоимпульса с параметрами: длительность , амплитуда и располагается симметрично относительно начала отсчета времени.
На основании формулы прямого преобразования Фурье найдем спектральную плотность амплитуд
Спектральную плотность энергии легко определить путем возведения в квадрат спектральной плотности амплитуд:
Введем безразмерную переменную и представим результаты определения спектральной плотности амплитуд и спектральной плотности энергии в следующем виде:
;
.
Теперь легко построить нормированные спектры как функций безразмерной частотной переменной (рис. 9 и 10).
Рис. 9. График нормированной спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса как функции параметра
Рис. 10. Нормированный энергетический спектр прямоугольного
видеоимпульса как функции безразмерной частотной переменной
Библиографический список
1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей.– М.: Радио и связь, 1986.
2. Суднищиков В. С. Основы теории передачи и устройства преобразования сигналов (часть 1).– Орел:
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.– М.: Наука, 1986.
Введем понятие спектра периодической функции. Оно основывается на возможности представления сигнала либо в виде вещественного ряда Фурье (1), либо в виде комплексного ряда (4). Это означает, что вещественные коэффициенты и , или комплексные коэффициенты несут полную информацию о периодической с известным периодом функции. Набор коэффициентов и называется вещественным спектром сигнала. Коэффициенты несут в себе информацию о том, из каких по амплитуде гармонических сигналов состоит исходный сигнал (частоты отдельных гармоник не зависят от формы сигнала и равны ). Поэтому набор называется амплитудным спектром. Коэффициенты определяют фазы отдельных гармоник, их совокупность называется фазовым спектром.
В результате использования комплексной формы ряда (4) получают комплексный спектр сигнала – набор комплексных коэффициентов . В отличие от вещественного спектра, комплексный спектр определен как для положительных, так и для отрицательных частот. Ниже мы покажем, что модули этих коэффициентов определяют амплитуды гармоник и поэтому могут называться амплитудным спектром, а аргументы (фазовый спектр) определяют начальные фазы гармоник. Из формулы (6) следует, что если функция вещественна, то . Из этого соотношения вытекает свойство четности для амплитудного комплексного спектра и нечетность для фазового.
Посмотрим, как связаны между собой вещественный и комплексный спектры. Запишем ряд (4) в виде
Слагаемые с отрицательными номерами могут быть выражены через слагаемые с положительными номерами, так как и . Тогда останется только сумма с положительными номерами
После суммирования экспонент с одинаковыми номерами получим следующее выражение:
Сравнивая ряды (1) и (9), получим искомую связь вещественного и комплексного спектров: и .
Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных гармоник, его называют дискретным или линейчатым. Частоты гармоник обратно пропорциональны периоду , то есть если, например, увеличить период в 2 раза, то гармоники в спектре станут располагаться в два раза ближе друг к другу. Для спектров характерно, что чем уже импульс, тем шире его спектр.
Функция представляется суммой гармоник с частотами , амплитудами и фазами . Совокупность амплитуд называется амплитудным спектром функции , а совокупность фаз — фазовым спектром.
Спектр периодической функции является дискретной функцией, ее график имеет линейчатую форму.
Комплексная форма ряда Фурье
Произведем в формуле (1)для ряда Фурье замену получим:
Из формул и следует, что и .
— комплексные амплитуды, тогда
Совокупность комплексных амплитуд называется спектром комплексных амплитуд функции .
Комплексная форма интеграла Фурье
Полагая в формуле Фурье , ,
Итак, комплексная форма интеграла Фурье имеет вид: (5), где (6) или (7).
Функция называется спектральной функцией для функции , а функцию (8) называют спектральной плоскостью функции .
Величины и называются амплитудой и фазой колебания , соответствующего частоте . Амплитудный спектр здесь – непрерывная кривая в отличие от столбчатого спектра для периодической функции.
(2’) при первое слагаемое в силу (3). Здесь (4)
Запишем интеграл Фурье в виде двух равенств:
Здесь формулы (2) и (1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, которые устанавливают связь между образом и прообразом : .
Свойства преобразования Фурье:
Дифференцирование прообраза: — в точках непрерывности.
При одностороннем преобразовании Фурье
Для -ной производной:
Дифференцирование спектральной плотности: .
Теорема смещения спектра: .
Определение: Сверткой функций называется функция .
Образ свертки двух функций равен произведению их образов: .
Спектральная плотность некоторых функций
Литература Колобов стр 95
Непрерывная или кусочно – непрерывная функция ∂(t,λ) аргумента t, зависящая от параметра λ называется иглообразной, если:
Пусть — непрерывная функция и числа а, b – разных знаков. По теореме о среднем существует такое . Если то и , отсюда , в то же время при : ∂-функция Дирака вводится равенством
Итак, ∂-функция может быть определена равенствами: .
Если ввести ∂-функцию, запаздывающую на t 0 , то при получим фильтрующее свойство:
Ряд Фурье — это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте
Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.
Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье [из формулы (9.11)] предельным переходом при стремлении периода Тк бесконечности.
На функцию при представлении ее интегралом Фурье накладывают ограничение, а именно, полагают, что есть величина конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет.
Так как по определению [см. формулу (9.2)], а при есть величина конечная, то
Преобразуем выражение — стоящее под знаком суммы в формуле (9.11). С этой целью произведение заменим на [под (о будем понимать изменяющуюся (текущую)частоту]. В ряде Фурье разность двух смежных частот Следовательно,
При заменив дифференциалом получим
Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию времени в функцию частоты преобразование (9.12) называют прямым преобразованием Фурье, — спектром функции Это комплексная величина, зависящая от вида функции . В соответствии с (9.12) в (9.11) заменим на — и учтем, что при изменении бот — до также изменяется от — до Следовательно,
Заменив сумму интегралом, найдем
Формула (9.13) представляет собой запись интеграла Фурье (формулу обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую функцию в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами конечно, но произведение бесконечно мало, так как бесконечно мало значение
В соответствии с формулой (9.13) для нахождения реакции системы на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно большого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакцию на все воздействия.
Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратными.
Отметим, что представление функции в комплексной форме в виде интеграла Фурье [формулы (9.13)] привело к необходимости формально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сумма слагаемых подынтегральной функции (9.13) при дает синусоидальные колебания частоты .
Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования по Лапласу:
Если учесть, что при , и заменить на то (9.14) переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра функции могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последних заменить на .
Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр функции полагая, что при .
Изображение по Лапласу Заменим на и получим спектр есть комплексная величина, равная Модуль ее равен аргумент . Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б.
Пример 110. Найти для прямоугольного импульса (рис. 9.1, в) амплитудой А и длительностью
Решение. По формуле (9.12) определим спектр
График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Пунктиром показана огибающая. Аргумент для прямоугольного импульса вычислим по формуле . График показан на рис. 9.1, д. При значениях возрастает скачком на .
Обратим внимание на то, что при определении путем замены на в формуле для следует соблюдать некоторую осторожность, если функция имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в в виде дельта-функции. Например, изображение функции по Лапласу равно тогда как спектр функции равен не Чтобы показать это, определим спектр функции а затем устремим
Первое слагаемое правой части при и при стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции второе слагаемое правой части при равно Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем ) по от до
Поэтому и спектр функции равен . В примере 110 при определении функции (см. рис. 9.1, в) слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у функции имеются два равных по значению, но противоположных по знаку скачка при слагаемые выпадают.
Читайте также: