Случайные события и их классификация реферат
Обновлено: 02.07.2024
Опытом или испытанием называется реализация определенных условий, которые можно повторить.
Примеры:
1. бросание монеты;
2. игральный кубик;
3. выстрел из ружья или пистолета;
4. вытаскивание карты из колоды;
Определение: Случайным событием называется любой возможный исход опыта.
Обозначение: А, В, С…
Примеры:
1. бросание монеты:
А – герб;
В – решка;
2. игральный кубик:
А1 – значение 1;
А2 – значение 2; …
А6 – значение 6;
3. выстрел из ружья или пистолета:
А – попадание;
В – промах;
4. вытаскивание карты из колоды:
А – туз;
В – бубновая дама;
С – бубновая масть;
Определение: События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одно испытание. В противном случае они называются совместными.
Примеры:
1. бросание монеты; несовместная
2. игральный кубик; несовместная
3. выстрел из ружья или пистолета; несовместная
4. вытаскивание карты из колоды; (А,В – несовместная; В,С – совместная;
А,С – совместная)
Определение: События называются единственно-возможными, если какое-либо из них произойдет в результате испытания.
Примеры:
1. бросание монеты; единственно-возможное;
2. игральный кубик; единственно-возможное
3. выстрел из ружья или пистолета; единственно-возможное
4. вытаскивание карты из колоды; не единственно-возможное
Определение: Если события несовместные и единственно-возможные, то они называются группой событий.
Примеры:
1. бросание монеты; полная группа
2. игральный кубик; полная группа
3. выстрел из ружья или пистолета; полная группа
4. вытаскивание карты из колоды; неполная группа
Определение: События считаются равновозможными, если нет никаких оснований предполагать, что какое-либо из них может происходить чаще, чем другое.
Примеры:
1. бросание монеты; равновозможное
2. игральный кубик; равновозможное
3. выстрел из ружья или пистолета; не равновозможное
4. вытаскивание карты из колоды; не равновозможное
Определение: Если события образуют полную группу и являются равновозможными, то они составляют классическую схему исходов.
Примеры:
1. бросание монеты; классическая схема
2. игральный кубик; классическая схема
3. выстрел из ружья или пистолета; нет классической схемы
4. вытаскивание карты из колоды; нет классической схемы
Определение: Если два события составляют полную группу, то они называются противоположными.
Обозначение: А и Ā
Примеры:
1. бросание монеты; противоположное событие
2. игральный кубик; не является противоположным
3. выстрел из ружья или пистолета; противоположное событие
4. вытаскивание карты из колоды; не является противоположным
Определение: Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате испытания.
Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.
События называют несовместным, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.
Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.
2.2 Определение вероятности
Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.
Поставим перед собой задачу дать количественную опенку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через w1, w2, w3 и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w1 – появился белый шар; w2, w3 – появился красный шар; w4, w5, w6 – появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w2, w3, w4, w5, w6.
Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит w2, или w3, w4, или w5, или w6. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w2, w3, w4, w5, w6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А) = 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой:
Р(А) = m\n, где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n следовательно,
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m\n < 1, следовательно,
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 24510
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Случайное событие и его вероятность
Любая наука, развивающая общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы скорости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них.
Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего от него зависит только решение: что именно наблюдать и какие явления фиксировать.
Если результат опыта варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повторении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет каждый раз оговаривать.
Случайным событием (или, короче, просто событием) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.
Рассмотрим несколько примеров событий.
Опыт - бросание монеты; событие A - появление герба.
Опыт - бросание трех монет; событие B - появление трех гербов.
Опыт передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них.
Опыт - выстрел по мишени; событие D попадание.
Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е - появление туза.
Тот же опыт, что в при мере 5; событие F - появление карты червонной масти.
Рассматривая перечисленные в наших примерах события A, B, C, видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более воз можно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем
Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Что бы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события.
Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, которые вообще не происходят. Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероятно, чем "выпадение снега в Москве тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.
Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: " камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником ".
Противоположностью достоверного события является невозможное событие - то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости ".
Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие события - возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую то долю единицы.
Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон вероятностей - числа от нуля до единицы.
Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P (A) удовлетворяет условию:
Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.
Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю:
Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":
"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным. Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице:
Читайте также: