Сложение приближенных значений чисел реферат
Обновлено: 07.07.2024
В практической деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины, площади, объема, массы, температуры и так далее.
Числа, встречающиеся на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие – только приблизительное. Первые называют точными , вторые – приближенными .
Точное значение величины удается найти лишь в некоторых случаях.
Можно точно указать число вагонов железнодорожного поезда.
Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в классе.
В книге 512 страниц, число 512 – точное.
В шестиугольнике 9 диагоналей, число 9 – точное.
В классе есть 29 учеников, число 29 – точное.
Однако по большей части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.
Чаще всего удобно пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.
Лишь приблизительно оценивают :
– количество зрителей телепередачи,
– количество перелетных птиц,
– количество деревьев в лесу.
Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 – приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.
Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 – приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.
Приближенные значения получаются в результате измерений.
Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет. Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м , не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное значение величины.
Невозможно, точно измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора (линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными качествами.
Невозможно точно измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета самолета и так далее.
Приближенные значения получают при округлении истинных значений величин.
Приближённые и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах .
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа.
Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.
Для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3 , 6 , 7 , а сомнительными 1 и 4 . В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет выглядеть таким образом – 3,67 .
Число 2,19563 в расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его числом 2,196 или даже числом 2,20 , которые являются приближенными значениями числа 2,19563 с излишком.
Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и к приближённому числу.
Границы значения величины.
Всякое измерение (длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и небольшая разность.
Рассмотрим процесс определения массы детали с помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.
Обозначим массу детали в граммах через m , тогда результат взвешивания можно записать в виде двойного неравенства :
Заменив потом гирю 10 г гирей 5 г , и убедимся, что масса детали больше 25 г,
Положив на чашу весов с гирьками еще 2 г , заметим, что масса детали меньше чем 27 г.
Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали в граммах :
26 г – приближённое значение с недостачей,
27 г – приближённое значение с излишком.
Другими словами, мы установили границы значения массы в граммах. Число 26 – нижняя граница, число 27 – верхняя граница.
Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2 г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.
Зная пределы значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая зависит от первой.
Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника :
5,4 ≤ а ≤ 5,5.
Надо найти пределы периметра Р .
Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле :
Р = 3а .
Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а ≥ 16,2 .
Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а ≤ 16,5 .
Числа 16,2 и 16,5 – приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Записать решение можно и так :
5,4 ≤ а ≤ 5,5,
5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Пусть известны границы какого-то числа х :
Надо оценить значение выражения 1 /х .
Из условия задачи определяем, что х – число положительное .
Поскольку х ˃ 3 , то
Поскольку х , то
Выходит, что
Заменим границы значения выражения 1 /х десятичными дробями. Число 1 / 6 можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением с недостачей), а число 1 / 3 – лишь больше (приближением с излишком). Поскольку
то границами значения выражения 1 /х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4 .
Заменив нижнюю границу числом 0,1, а верхнюю – числом 0,4 , мы расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения 1 /х.
по известным правилам округления, то получили бы, что
Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1 /х могло бы очутиться вне полученных границах.
Способ записи приближённых чисел.
Приближённые значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения.
На рулоне обоев написано, что его длина равна
Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м, то есть точное значение длины может отличаться от приближённого значения, равного 18 м, не более чем на 0, 3 м. Другими словами длина рулона должна находиться между
18 – 0,3 = 17,7 м и
18 + 0,3 = 18,3 м .
Если измеряя длину х некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427 м и меньше чем 6,429 м, то записывают :
х = 6,428 ± 0,001 м.
Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью до
0,001 м (одного миллиметра).
При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40 , запись 0,02 от 0,0200 и так далее.
Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей цифры ).
Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398 , но не 2,421 и не 2,382 .
То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в виде 380 , а в виде 38 ∙ 10 . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) верна.
Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 10 2 , или это число можно также записать в виде 4,7 ∙ 10 3 и так далее.
Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.
В числе 0,00385 три значащие цифры.
В числе 0,03085 четыре значащие цифры,
В числе 2500 – четыре,
В числе 2,5 ∙ 10 3 – две.
Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Через то, что мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.
Вычисления с приближенными данными.
Вычисления с приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами, можно так же получить приближённые числа.
При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном числе.
х ≈ 17,2 и у ≈ 8,407 .
Найдём приближённое значение суммы х и у .
х + у ≈ 25,607 .
Из данных приближённых значений 17,2 и 8,407 менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то есть до десятых, получим:
х + у ≈ 25,6 .
х ≈ 6,784 и
у ≈ 4,91 .
Найдём приближённое значение разности х и у .
х – у ≈ 1,874 .
Из данных приближённых значений 6,784 и 4,91 менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть. до сотых, получим :
х – у ≈ 1,87 .
Найдите разность приближенных значений
х = 1,52 ± 0,01 и
у = 0,27 ± 0,02 .
Данным приближенным значением отвечают двойные неравенства
1,51 ≤ х ≤ 1,53 и
0,25 ≤ у ≤ 0,29.
Умножим все части последнего двойного неравенства на –1 , получим
– 0,29 ≤ – у ≤ – 0,25.
Прибавив это двойное неравенство к первому, получим
1 ,22 ≤ х – у ≤ 1 ,28, или
х – у = 1,25 ± 0,03.
Несколько иначе поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление производится с учётом относительной точности данных. В этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде
а × 10 n ,
и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.
х ≈ 0,86 и
у ≈ 27,1 .
Найдём приближённое значение произведения х и у .
Перемножив 0,86 и 27,1, получим :
Запишем данные числа и результат в стандартном виде :
23,306 = 2,3306 × 10 1 .
В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71 две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых. Получим :
ху ≈ 2,3 × 10 1 = 23.
х ≈ 60,2 и
у ≈ 80,1 .
Найдём приближённое значение произведения х и у .
Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так далее долями.
В произведении получаем 4822,02 . Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.
Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,23 и 80,14 . Тогда точное произведение будет 4826,8322 , так что цифра единиц в приближённом произведении (2) отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.
х ≈ 563,2 и
у ≈ 32 .
Найдём приближённое значение частного х и у .
Разделив 563,2 на 32 , получим:
х : у ≈ 17,6 .
Запишем данные числа и результат в стандартном виде :
563,2 = 5,632 × 10 2 ;
Из этой записи видно, что число 1,76 следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим :
х : у ≈ 1,8 × 10 ≈ 18.
При умножении и делении приближённых чисел нужно в результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом данном с наименьшим числом значащих цифр.
Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
Теория приближённых вычислений позволяет:
– зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий ;
– брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов ;
– рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:
где и – приближенные значения чисел; и – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.
Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле
Вычитание приближенных значений чисел
Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:
где и – приближенные значения чисел; и – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.
Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле
Умножение, деление,возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня
Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем погрешности произведения (частного). Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице.
| Функция | Граница абсолютной погрешности | Граница относительной погрешности | Номер формулы |
 |  |  | 2.5 |
 |  |  | 2.6 |
 |  |  | 2.7 |
 |  |  | 2.8 |
 |  |  | 2.9 |
 |  |  | 2.10 |
 |  |  | 2.11 |
 |  | | 2.12 |
Примеры.
1. Даны приближенные значения числа ; ; ; . Какое из этих трех приближений является лучшим?
Решение. Находим:
Лучшим приближением числа является
2. Длина детали заключена в границах Найдите границу абсолютной погрешности измерения детали.
Решение. Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ: Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет Величину можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т. е. Длина детали , найденная с точностью до , заключена между приближенными значениями числа :
3. Найдите границу абсолютной погрешности приближенного значения числа , все цифры которого верны в строгом смысле.
Решение. Граница абсолютной погрешности этого числа равна , т. е. половине единицы последнего разряда, сохраняемого в записи.
4. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:
Решение. 1) Граница погрешности не превосходит единицы разряда десятых (неравенство верное). Следовательно, верными являются цифры и .
2) Так как , то все цифры приближенного числа верны.
3) Поскольку , верными являются цифры и .
4) Так как , то верны цифры , и .
5. За приближенное значение числа взято число . Являются ли цифры числа верными?
Решение. Так как , то цифры и – верные в строгом смысле.
6. Приближенное значение числа округлить до первого справа верного разряда.
Решение. Первая справа верная цифра находится в разряде десятых, поэтому число округляем до десятых: . Новое значение границы погрешности сумме границы погрешности и погрешности округления , т. е. . Число является приближенным значением числа с точностью до . Цифры и верные.
7. В результате измерений получили, что длина карандаша равна см, а длина комнаты см. Что можно сказать о качестве двух измерений?
Решение. Будем считать границу абсолютной погрешности измерений равной Найдем относительные погрешности этих измерений:
Следовательно, качество измерения длины комнаты значительно выше, чем качество измерения длины карандаша.
8. Найдите относительную погрешность числа , если обе цифры его верны в строгом смысле.
Решение. По условию, ; поэтому
9. Какие цифры числа являются верными?
Решение. По формуле находим
Верными являются две первые цифры: и .
10. При вычислении некоторой величины стало известно, что Сколько верных цифр нужно взять, чтобы приближенное значение имело относительную погрешность не больше ?
Решение. Чтобы значение было наибольшим, примем . По формуле ) получим Следовательно, нужно взять две верные цифры.
11. Найдите сумму приближенных значений чисел
Решение. Имеем
Граница абсолютной погрешности заключена в пределах В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц).Полученный результат округлим до единиц:
12. Вычислить разность двух приближенных значений чисел Найдите
Решение. По формуле вычислим границу абсолютной погрешности разности
В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как Итак, Абсолютная погрешность разности . В приближенном числе все цифры верные.
По формуле находим относительную погрешность разности:
13. Найдите верные цифры произведения приближенных значений чисел
Решение. Имеем Границы абсолютной погрешности сомножителей равны и . По формуле находим относительную погрешность произведения:
По формуле (1.2) находим границу абсолютной погрешности произведения:
Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых):
14. Вычислите объем цилиндра если Укажите верные цифры ответа.
Решение. Имеем Используя формулы и и полагая находим относительную погрешность:
По формуле находим границу абсолютной погрешности
Верными цифрами являются и .
15. Найдите границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел
Решение. Имеем По формуле находим относительную погрешность частного:
По формуле находим границу абсолютной погрешности частного:
Полученный результат означает, что в частном все три цифры верные.
16. Вычислите , если известно, что
Решение. Находим:
17. Вычислите относительную погрешность, допущенную при вычислении площади квадрата, если приближенное значение стороны квадрата равно
Решение. По формуле получим
18. Вычислите относительную погрешность, допущенную при извлечении квадратного корня из числа
Решение. По формуле получим
19. Вычислите границу абсолютной погрешности при нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны
Решение. Имеем По формулам и находим границу абсолютной погрешности:
Таким образом, Верными являются первые две значащие цифры и .
20. С какой точностью надо измерить длину стороны квадрата, чтобы при вычислении его площади граница абсолютной погрешности не превышала ? Грубое приближенное значение стороны квадрата равно
Решение. Так как , то используя формулу получим , откуда
Итак, если измерить величину с погрешность, не превышающей , то погрешность не превысит
21. С какой точность надо измерить длину ребра куба , чтобы при вычислении его объема граница абсолютной погрешности не превышала Грубое приближенное значение ребра куба ровно .
Решение. Так как то, используя формулу (2.9), получим т. е.
Следовательно, если измерить величину с погрешностью, не превышающей то погрешность не превысит
© 2014-2022 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.016)
Читайте также: