Скалярное произведение векторов реферат

Обновлено: 14.05.2024

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ - обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0

При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2

Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

Вычисляется по формуле:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → - это числовая проекция a → на b → , n p a → a → - проекция b → на a → соостветсвенно.

Сформулируем определение произведения для двух векторов:

Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) в декартовой системе используют:

a → , b → = a x · b x + a y · b y ,

для трехмерного пространства применимо выражение:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) на декартовой системе.

Следует отложить векторы

O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .

Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → - O A → = b → - a → = ( b x - a x , b y - a y ) .

Рассмотрим треугольник O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) .

Тогда из первого определения следует, что b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · ( a → , b → ) , значит ( a → , b → ) = 1 2 · ( a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 ) .

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ( ( a 2 x + a y 2 ) 2 + ( b 2 x + b y 2 ) 2 - ( ( b x - a x ) 2 + ( b y - a y ) 2 ) 2 ) = = 1 2 · ( a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - ( b x - a x ) 2 - ( b y - a y ) 2 ) = = a x · b x + a y · b y

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) и ( a → , a → ) = a x 2 + a y 2 .

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :

  1. коммутативность ( a → , b → ) = ( b → , a → ) ;
  2. дистрибутивность ( a → + b → , c → ) = ( a → , c → ) + ( b → , c → ) , ( a → + b → , c → ) = ( a → , b → ) + ( a → , c → ) ;
  3. сочетательное свойство ( λ · a → , b → ) = λ · ( a → , b → ) , ( a → , λ · b → ) = λ · ( a → , b → ) , λ - любое число;
  4. скалярный квадрат всегда больше нуля ( a → , a → ) ≥ 0 , где ( a → , a → ) = 0 в том случае, когда a → нулевой.

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Из определения имеем, что ( a → , b → ) = a y · b y + a y · b y и ( b → , a → ) = b x · a x + b y · a y .

По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Отсюда следует, что ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b → ) = ( a ( 1 ) → , b → ) + ( a ( 2 ) → , b → ) + . . . + ( a ( n ) → , b → )

и ( a → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( n ) → ) = ( a → , b ( 1 ) → ) + ( a → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a → , b → ( n ) ) ,

( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( m ) → ) = = ( a ( 1 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 1 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 1 ) → , b ( m ) → ) + + ( a ( 2 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 2 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 2 ) → , b ( m ) → ) + . . . + + ( a ( n ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( n ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( n ) → , b ( m ) → )

Скалярное произведение с примерами и решениями

Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:

  1. ( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) ;
  2. ( a → , b → ) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
  3. ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y или ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
  4. ( a → , a → ) = a → 2 .

Рассмотрим некоторые примеры решения.

Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

Решение

По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2

Ответ: ( a → , b → ) = 21 2 .

Заданны векторы a → = ( 1 , - 1 , 2 - 3 ) , b → = ( 0 , 2 , 2 + 3 ) . Чему равно скалярной произведение.

Решение

В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + ( - 1 ) · 2 + ( 2 + 3 ) · ( 2 + 3 ) = = 0 - 2 + ( 2 - 9 ) = - 9

Ответ: ( a → , b → ) = - 9

Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A ( 1 , - 3 ) , B ( 5 , 4 ) , C ( 1 , 1 ) .

Решение

Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

A B → = ( 5 - 1 , 4 - ( - 3 ) ) = ( 4 , 7 ) A C → = ( 1 - 1 , 1 - ( - 3 ) ) = ( 0 , 4 )

Подставив в формулу с использованием координат, получим:

( A B → , A C → ) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .

Ответ: ( A B → , A C → ) = 28 .

Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.

Решение

( a → , b → ) = ( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) . Применив свойство дистрибутивности, получим:

( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) = = ( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → )

Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → ) = = 7 · 5 · ( m → , m → ) + 7 · 8 · ( m → , n → ) + 3 · 5 · ( n → , m → ) + 3 · 8 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → )

По свойству коммутативности преобразуем:

35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → )

В итоге получим:

( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) .

Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos ( m → , n → ^ ) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Ответ: ( a → , b → ) = 411

Если имеется числовая проекция.

Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = ( 9 , 3 , - 3 ) , проекция b → с координатами ( - 3 , - 1 , 1 ) .

Решение

n p a → b → → = - n p a → b → → = - ( - 3 ) 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = - 11 ,

Подставив в формулу, получим выражение:

( a → , b → ) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + ( - 3 ) 2 · ( - 11 ) = - 33 .

Ответ: ( a → , b → ) = - 33 .

Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.

Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = ( 1 , 0 , λ + 1 ) и b → = ( λ , 1 , λ ) будет равным -1.

Решение

Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

( a → , b → ) = 1 · λ + 0 · 1 + ( λ + 1 ) · λ = λ 2 + 2 · λ .

В дано имеем ( a → , b → ) = - 1 .

Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , отсюда λ = - 1 .

Физический смысл скалярного произведения

Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .

Решение

Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , ( F → , S → ^ ) = 45 ° , получим A = ( F → , S → ) = F → · S → · cos ( F → , S → ^ ) = 5 · 3 · cos ( 45 ° ) = 15 2 2 .

Ответ: A = 15 2 2 .

Материальная точка, перемещаясь из M ( 2 , - 1 , - 3 ) в N ( 5 , 3 λ - 2 , 4 ) под силой F → = ( 3 , 1 , 2 ) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

Решение

При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = ( 5 - 2 , 3 λ - 2 - ( - 1 ) , 4 - ( - 3 ) ) = ( 3 , 3 λ - 1 , 7 ) .

По формуле нахождения работы с векторами F → = ( 3 , 1 , 2 ) и M N → = ( 3 , 3 λ - 1 , 7 ) получим A = ( F ⇒ , M N → ) = 3 · 3 + 1 · ( 3 λ - 1 ) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .

По условию дано, что A = 13 Д ж , значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = - 3 , значит и M N → = ( 3 , 3 λ - 1 , 7 ) = ( 3 , - 10 , 7 ) .

Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:

Скалярное произведение векторов – это действие над двумя векторами, результатом которого является число и оно не зависит от системы координат, а также характеризует длину векторов-сомножителей и угол между ними.

Скалярное произведение двух векторов (теория и примеры) обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Что такое скалярное произведение векторов

Скалярное произведение x двух векторов и (обозначается x ) называется число равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:

На основании свойства 1 проекции (1): прl = ,^ уравнение запишется:

В физике работа постоянной силы при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути находится как скалярное произведение этих векторов:

Основные свойства скалярного произведения

Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать свойства, рассмотрим их:

1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):

2. Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

3. Для произвольных векторов , , :

4. Скалярное произведение 2 векторов и равняется нулю x тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны

Таблица скалярного умножения ортов. Согласно определению 1 x = x x аналогично x = , x , а по свойству (4) x = x = x =

Скалярное произведение векторов в координатной форме

При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.

Действительно, при помощи свойств, у нас получается:

Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Формулы для нахождения скалярного произведения

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

Длина вектора

Если в формуле (1) , тогда:

Расстояние между двумя точками

Допустим, есть две точки:

Находится как длина вектора = по формуле (4):

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

и выходит из свойства 4 и формулы (3):

Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):

Декартовые прямоугольные координаты вектора в базисе есть его проекциями на соответствующие оси координат.

Действительно, согласно формуле (9) получается:

пр = = = , пр = = , пр = = .

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора называются косинусы углов , созданные между вектором и координатными осями .

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

Задача

Найти скалярное произведение векторов:

Решение

Исходя из формулы (3) у нас получается:

Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

Задача

Даны точки Найти скалярное произведение векторов .

Решение

Сначала найдём векторы:

Согласно формуле (3) получается:

Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

Задача

Для параллелограмма, построенного на векторах и вычислить:

  1. длину сторон, то есть и ;
  2. косинус и синус угла;
  3. площадь.

Решение

Находим векторы тогда:

2) = = = = (угол – тупой), = = =

Задача

Найти модуль вектора = , если , , , ^ =

Решение

Согласно формуле (4) = . Находим = = = + = , тогда .

Задача

Найти направляющие косинусы вектора и значения выражения .

Решение

Проверим, что для произвольного вектора

Направляющие косинусы вектора полностью определяют направление вектора и они есть координатами единичного вектора , что совпадает за направлением с , то есть:

Ответ

Скалярное произведение двух векторов (теория и примеры) обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Министерство общего и профессионального образования

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Администрация Сысертского городского округа

Реферат по геометрии

Исполнитель: Бесов Владислав

Ученик 9а класса

Руководитель: Годова И.В

г. Сысерть 2008 г.

Глава 1. Векторы. . 4.

1.1. О трактовке понятия вектора…………………………………………………..4

Глава 2. Операции над векторами. 8

2.1. Композиция параллельных переносов. 8

2.2. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 10

2.3 Коллинеарные вектора . 14

2.4.Свойства операции над векторами . 18

2.5. Скалярное произведение двух векторов и его свойства……………. 20

Глава 3 Приложение векторов при доказательстве теорем и решению задач. 21 3.1. Применение векторов при доказательстве теорем . 21

3.2. Применение векторов при решении задач. 24

Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. Работы К. Веселя, Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими опера­циями над векторами в двумерном пространстве — в плоскости.

В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мё­биуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Бы­ли созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля, тензорный анализ, общая теория многомерного векторного прост­ранства. Эти теории были использованы при построении специаль­ной и общей теории относительности, которые играют исключитель­но важную роль в современной физике.

О трактовке понятия вектора

Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сей­час теоретико-множественной трактовкой основных понятий школь­ного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.

Уже на уроках физики в VIII классе изложение материала ве­дется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься прежде всего над тем, как наиболее есте­ственно ввести в курс математики восьмилетней школы понятие вектора, как эффективнее применять это понятие при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.

Известно, что существует несколько подходов к введению этого понятия.

В физике при помощи вектора изображаются различные направ­ленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существен­но связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.

В математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

В традиционных математических курсах вектор также опреде­лялся как направленный отрезок. При этом два вектора считались равными, если они имели одну и ту же длину и направление. Одна­ко такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственные, но различ­ные понятия: равенство и эквивалентность. Между тем равенство математических объектов трактуется сейчас как их совпадение, а эквивалентность – как любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Анализируя понятие вектора, нетрудно обнаружить, что с гео­метрической точки зрения вектор — это объект, характеризуемый направлением (т. е. некоторым множеством сонаправленных лучей) и длиной.

рефлективности: (А, В) ~ (А, В);

симметричности: если (А, В) ~ (С, D ), то (С, D ) ~

транзитивности: если (А, В) ~ (С, D ) и ( C , D ) ~ ( K , M ), то (А, В) ~ (К, М).

С помощью рассмотренного отношения эквивалентности произ­водится разбиение множества пар точек плоскости на непересека­ющиеся подмножества (классы), элементами которых являются эк­вивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Следовательно, один и тот же параллельный перенос Т (вектор) можно задать при помощи бесконечного множества эквива­лентных между собой пар точек (А, В) ~ (А1, В1) ~ (А2, В2) . (рис. 4), т. е. Т = ТАВ = Т А1В1 = Т А2В2 = . .

Так как всякий класс (подмножество) эквивалентных пар определяется любым его представителем — любой его парой, то тем самым всякая пара точек плоскости задает (определяет) некоторый вектор на плоскости. При этом эквивалентные пары определяют один и тот же вектор, а неэквивалентные пары — различные век­торы. Если вектор задается парой (А, В) (А ≠ В), то его обозначают. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а расстояние │АВ│ — его длиной. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Пусть теперь вектор задается парой (В, В), т. е. парой, у которой первая точка совпадает со второй; такой вектор называется ну­левым вектором и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю, т. е. │ │= │ │= 0, а направление его не опреде­лено. Итак, любой вектор плоскости полностью определяется за­данием одной пары точек А и В, где В = (А). Заметим, что на­правленный отрезок АВ выступает при такой трактовке вектора лишь как удобное наглядное изображение вектора. Любой вектор ≠ 0 имеет бесконечное множество изображений в виде направлен­ных отрезков.

Итак, мы рассмотрели возможность введения понятия вектора как множества пар точек, задающих один и тот же параллельный перенос, т. е. множество всех пар ( X , У), для которых T ( X )= Y , есть вектор. Это множество пар ( X , Y ) иногда называют графиком параллельного переноса.

В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Кафедра алгебры и геометрии Курсовая работа

По линейной алгебре и геометрии:

Скалярное произведение двух векторов Тирасполь 201 г. Оглавление Введение

Список используемой литературы

В моей работе рассматривается приложение скалярного произведения к решению ряда задач, среди которых большинство носит прикладной характер. Мною решены задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. В начале работы помещены основные определения и свойства скалярного произведения. Затем приводятся подобные решения типовых задач, среди которых часть решена в общем виде. Основными источниками, которыми я пользовалась при написании работы, являются: “Сборник задач по аналитической геометрии Д.В. Клетеник”, “Геометрия. 9 класс. Атанасян Л. С, Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б., Юдина И. И”, “”.

Скалярное произведение двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторовобозначается символом(порядок записи сомножителей безразличен, т. е. ).

Если угол между векторамиобозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой (1) Скалярное произведение векторовможно выразить также формулой Из формулы (1) следует, что , если острый угол, , если угол тупой;в том и только в том случае, когда векторыи перпендикулярны (в частности, , еслиили ).

Скалярное произведениеназывается скалярным квадратом вектора и обозначается символомИз формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: Если векторыизаданы своими координатами: то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов: Уголмежду векторами даётся формулойили в координатах Проекция произвольного векторана какую-нибудь осьопределяется формулой где единственный вектор, направленный по оси . Если даны углы . . . которые осьсоставляет с координатными осями, тои для вычисления проекций вектораможет служить формула Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

ü = Алгебраические свойства: ü

ü Пример. Даны два неколлинеарных вектора a и b. Найти вектор x компланарный векторамиудовлетворяющий системе уравнений Поскольку векторыинеколлинеарны, то они образуют базис на плоскости. Любой компланарный им вектор можно представить в виде Поэтому исходную систему можно переписать в виде Решение этой системы Таким образом искомый вектор Геометрический смысл скалярного произведения

Длина вектора связана со скалярным произведением формулой. Если вектор задан своими координатамив ортонормированной системе координат, то .

Таким образом Во многих случаях необходимо получить единичный вектор x, имеющий то же направление, что и заданный ненулевой вектор a. Эта задача называется нормализацией вектора. Поскольку искомый вектор имеет то же направление, то

скалярный произведение вектор геометрический Откуда

Смотри также Нормализация вектора

Угол между ненулевыми векторами связан со скалярным произведением формулой Если векторы заданы своими координатамиив

Читайте также: