Система линейных уравнений реферат

Обновлено: 02.07.2024

Системы линейных уравнений общего вида. M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (1) имеет бесчисленное множество решений. Список литературы. Здесь аi j и bi (i =; j =) — заданные, а xj — неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (1) в виде: AX = B, (2). Теорема… Читать ещё >

Система линейных уравнений методы решения систем линейных уравнений и решение задач ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

1. Критерий совместности Кронекера-Капелли
2. Метод Гаусса
3. Формулы Крамера
4. Матричный метод
5. Системы линейных уравнений общего вида
Список литературы

1. Критерий совместности Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений имеет вид [1]:

a11×1 + a12×2 +… + a1n xn = b1,

a21×1 + a22×2 +… + a2n xn = b2, (1)

am1 x1 + am1 x2 +… + amn xn = bm.

Здесь аi j и bi (i =; j =) — заданные, а xj — неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (1) в виде: AX = B, (2)

где A = (аi j) — матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,…, xn) T,

B = (b1, b2,…, bm) T — векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных xj и из свободных членов bi.

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,…, cn) называется решением системы (1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,…, xn каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество [2]; другими словами, если существует вектор C= (c1, c2,…, cn) T такой, что AC = B.

Система (1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

Матрица образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и́A совпадают, т. е.

Для множества М решений системы (1) имеются три возможности:

1) M = Æ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т. е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда

r (A) = n. При этом число уравнений — не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0

3. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (3), т. е. определитель матрицы А

и n вспомогательных определителей D i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D x x i = D i (i =). (4)

Из (4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D i = 0 (i=), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

ФЕДИРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ДАЛЬНИВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВЛАДИВОСТОТСКИЙ ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Факультет политических наук и социального управления

Кафедра государственного и муниципального управления

Система линейных уравнений

Студентки группы 1113а

Лариной Натальи Владиславовны

Винокурова Татьяна Васильевна, к. м. н., доцент кафедры математического анализа

Глава 1. Критерий совместимости……………………………………………….3

Глава 4. Матричный метод……………………………………………………. 14

Система линейных уравнений имеет вид:

Здесь а_ij и b_i (i = ; j = ) - заданные, а x_j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

где A = (а_ij) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x₁, x₂. x_n) T , B = (b₁, b₂. b_m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x_j и из свободных членов b_i..

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c₁, c₂. c_n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x₁, x₂. x_n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c₁, c₂. c_n) T такой, что AC ? B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой, если она не имеет решений.

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и ? совпадают, т.е.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

M = ? (в этом случае система несовместна);

M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m ? n); если m > n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0 (1) (если a₂₂ (1) 0)

Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Матрица этой системы имеет вид:

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим x_m. По найденному x_m из (m-1) уравнения находим x_m-1. Затем по x_m-1 и x_m из (m-2) уравнения находим x_m-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x₁ из первого уравнения.

Если у нас число уравнений меньше числа неизвестных, то мы придем не к треугольной системе, а к ступенчатой.

Так как прямой ход метода Гаусса прервется, когда уравнения закончатся, а неизвестные еще останутся. В таком случае в каждом уравнении системы перенесем все члены с неизвестными x_k+1,….,x_m в правую часть.

Придавая неизвестным x_k+1,….,x_m (называемым свободными) произвольные значения, получим треугольную систему из которой последовательно найдем все остальные неизвестные (называемые базисными). Так как произвольные значения можно придавать любыми способами, система будет иметь бесчисленное множество значений.

В решении следующего примера не будем выписывать каждую систему, а ограничимся лишь преобразованиями над матрицами:

Такая модификация метода называется методом Жордана-Гауcса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х₁ и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система:

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

и n вспомогательных определителей D _i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:

Решение. Главный определитель этой системы:

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D _i ( i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

Отсюда x₁ = D ₁/D = 1, x₂ = D ₂/D = 2, x₃ = D ₃/D = 3, x₄ = D ₄/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1) T .

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ? 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A - 1 B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A - 1 B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений:

Решение. Обозначим:

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.

Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A - 1 B. В данном случае

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₂ = 1/5 (-3?6 +1?3 - 1?5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2

x₃ = 1/5 (1?6 - 2?3 + 3?5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3

Итак, С = (1, -2, 3) T .

Г.И. Кручкович. “Сборник задач по курсу высшей математике”, М. “Высшая школа”, 1973 год.

В.СШипачев. “Высшая математика”, М. “Высшая школа”, 1985 год.

Тема моего доклада – различные решения систем линейных уравнений.
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и не редко это системы уравнений.
Проблема исследования заключается в выделении двух важных для начинающих разбираться в данной теме методах решения систем уравнений, метода Гаусса и правила Крамера.
Цель работы состоит в изучении теоретических основ и их практическое применение.

Содержание

II. История возникновения системы
уравнений
III. Системы уравнений
1. Что такое система уравнений?
2. Способы решения систем уравнений
Решение системы способом подстановки
Решение системы способом сравнения
Решение системы способом сложения
Решение системы графическим способом
2.5 Решение системы методом определителей
3. Что такое система линейных уравнений с n неизвестными?
4. Матричный метод решения систем линейных уравнений
5. Правило Крамера
6. Метод Гаусса

Работа содержит 1 файл

Система линейных уравнений.doc

Министерство образования и науки Республики Бурятия
Комитет по образованию
г. Улан-Удэ

Научно-практическая конференция

Работу выполнила Сапунова Анастасия Германовна

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №2

с углубленным изучением отдельных предметов

уравнений

III. Системы уравнений

Решение системы способом подстановки
Решение системы способом сравнения
Решение системы способом сложения
Решение системы графическим способом

2.5 Решение системы методом определителей

3. Что такое система линейных уравнений с n неизвестными?
4. Матричный метод решения систем линейных уравнений
5. Правило Крамера
6. Метод Гаусса

IV. Заключение

Тема моего доклада – различные решения систем линейных уравнений.

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и не редко это системы уравнений.

Система уравнений представляет собой большой и важный момент математики, решающий как более простыми методами, так и с помощью графических функций.

В учебниках мы знакомимся с несколькими способами решения систем уравнений, и отрабатываем решение по заранее известным правилам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений систем уравнений.

Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать системы уравнений. И для этого необходимо знать все возможные способы решений, которые могут пригодиться на экзамене ЕГЭ, при поступлении в ВУЗы и даже различных жизненных ситуациях.

Все сказанное выше определяет актуальность темы выполненной работы.

Проблема исследования заключается в выделении двух важных для начинающих разбираться в данной теме методах решения систем уравнений, метода Гаусса и правила Крамера.
Цель работы состоит в изучении теоретических основ и их практическое применение.

ЗАДАЧИ ДОКЛАДА

Произвести анализ учебно – методической литературы по решению систем линейных уравнений.
Произвести анализ различных способов решения систем уравнений
Изучить историю развития систем уравнений.
Изучить различные способы решения систем уравнений и апробировать материал на практике.

II. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СИСТЕМЫ

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

III. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Что такое система уравнений?

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно
Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Способы решения систем уравнений

Решение системы способом подстановки

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
Записать ответ: х=…; у=… .

Решение системы способом сравнения

Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении
Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных
Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной
Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение
Записать ответ: х=…; у=… .

Решение системы способом сложения

Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
Сложить почленно уравнения системы
Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
Записать ответ: х=…; у=… .

Решение системы графическим способом

Выразить у через х в каждом уравнении
Построить в одной системе координат график каждого уравнения
Определить координаты точки пересечения
Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Решение системы методом определителей

Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель D .
Найти - определитель D _x, получаемый из D заменой первого столбца на столбец свободных членов.
Найти - определитель D _y, получаемый из D заменой второго столбца на столбец свободных членов.
Найти значение переменной х по формуле D _x / D .
Найти значение переменной у по формуле D _y / D .
Записать ответ: х=…; у=… .

Что такое система линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система может иметь единственное решение.
Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁+ x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A: . Поскольку A -1 A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

Содержание

Введение. 2
Глава I. Историческая справка. 4
Глава II. Системы линейных уравнений. 5
2.1Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. 5
2.2Основные методы решения систем линейных уравнений с 2-мя неизвестными..8
2.3Системы линейных уравнений с тремя неизвестными. 12
2.4Основные методы решения систем линейных уравнений с 3-мя неизвестными.14
Глава III. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. 17
3.1 Понятие определителей 2-го порядка. 17
3.2 Основные свойства определителей 2-го порядка. 19
3.3 Понятие определителей 3-го порядка. 21
3.4 Основные свойства определителей 3-го порядка. 23
Глава IV. Решение систем с двумя, тремя неизвестными с помощью определителя. 25
4.1 Метод Крамера. 25
4.2 Метод Гаусса. 27
Глава V. Результаты проведенного исследования. 30
Заключение. 35
Список литературы. 36
Приложение. Банк задач для самостоятельного решения. 37

Работа состоит из 1 файл

Алгебра.docx

Глава I. Историческая справка. . . . 4

Глава II. Системы линейных уравнений. . . . 5

2.1Системы линейных уравнений с двумя неизвестными. . 5

2.2Основные методы решения систем линейных уравнений с 2-мя неизвестными..8

2.3Системы линейных уравнений с тремя неизвестными. . 12

2.4Основные методы решения систем линейных уравнений с 3-мя неизвестными.14

Глава III. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. . . 17

3.1 Понятие определителей 2-го порядка. . . 17

3.2 Основные свойства определителей 2-го порядка. . 19

3.3 Понятие определителей 3-го порядка. . . 21

3.4 Основные свойства определителей 3-го порядка. . 23

Глава IV. Решение систем с двумя, тремя неизвестными с помощью определителя. 25

4.1 Метод Крамера. . . . 25

4.2 Метод Гаусса. . . . 27

Глава V. Результаты проведенного исследования. . . 30

Список литературы. . . . . 36

Приложение. Банк задач для самостоятельного решения. . ..37

Действительно, чем стремительнее развивает свой шаг прогресс, тем более зависимыми мы становится от точной науки. Математика повсюду. От кодирования данных для телефонных карт памяти, до сложнейших расчетов при прогнозировании погоды.
Среди работодателей, распахивающих двери дипломантам физматов, числятся крупные консалтинговые, страховые и финансовые компании. Ну и разумеется, компьютерные фирмы, публикующие львиную долю вакансий для математиков.

Таким образом, переоценить значение математики в нашей жизни очень трудно.

2) Проанализировать и отобрать задания по указанной теме.

3) Рассмотреть способы решения систем линейных уравнений и выбрать наиболее рациональные.

4) Составить банк задач для самостоятельной работы.

Проблема: Выявление рациональных методов решения систем линейных уравнений с несколькими переменными (решение систем линейных уравнений с несколькими переменными известными методами довольно громоздкое, особенно для систем содержащих параметр)

Объект исследования: Системы линейных уравнений

Предмет исследования: Методы решения систем линейных уравнений

Характеристика материала исследования: Рассматривались системы линейных уравнений с несколькими переменными, предлагаемые для подготовки к единому государственному экзамену, а также задания, предлагаемые на вступительных экзаменах в ВУЗ.

Использованные методы: Анализ, сравнение, обобщение.

Новизна работы: Удалось выявить методы решения систем линейных уравнений с несколькими переменными, отличные от известных, которые оказались наиболее рациональными при решении.

Практическая значимость: Данную работу можно использовать в качестве учебного пособия как для самостоятельной подготовки учащихся к выпускному и вступительному экзаменам по математике, так и для решения задач на уроках и факультативах

Глава I. Историческая справка.

В алгебре под определителем понимается функция, зависящая от n-значения, которое обозначает скалярную величину и представляется в соотношении с конкретным параметром (nxn) квадратной матрицы.

Еще одной важной фигурой в проведении исследований математического феномена детерминанта или определителя, стал прусский математик Якоби. В своих работах исследователь большое количество времени посвятил изучению функционального определителя, который впоследствии стали называть определителем Якоби.

В результате заинтересованности подобного феномена и исследования его свойств с давних времен, в современной математике стали известны такие понятия как осесимметричный определитель, пер-симметрический определитель, отклонения в значениях определителей и др.

Глава II. Системы линейных уравнений.

2.1 Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

где х, у – неизвестные, f₁, f₂, g₁, g₂ – действительные числа.

Если левые и правые части уравнений системы являются многочленами от х и у или их можно представить в виде отношения многочленов, то систему называют алгебраической.

Решением системы называется пора чисел х₀, у₀, при подстановке которых соответственно вместо х и у каждое уравнение системы становится верным числовым равенством. Множество решений может быть, в частности, пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений (несовместна).

Решить систему – значит найти все ее решения или установить, что система не имеет решений.

Процесс решения системы обычно состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к другим, более простым. При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения. Что касается посторонних для данной системы решений, которые могут появиться при преобразовании системы, то их обычно отсеивают с помощью проверки.

Если в результате преобразования системы (1) получена система

такая, что каждое решение системы (1) является решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1). Аналогично, уравнение

называют следствием системы (1), если равенство

верно для каждой пары чисел x₀,y₀, образующих решение системы (1).

Если система (2) является следствием системы (1), а система (1) также является следствием системы (2), то эти системы называются равносильными. Иначе говоря, системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, две системы, не имеющие решений, являются равносильными.

Используя определения равносильности и следствия, можно утверждать, что:

Если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение равносильным ему, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная при этом система будет равносильна исходной;
Если к данной системе присоединить уравнение, являющееся следствием этой системы, то полученная система будет равносильна исходной;
Если какое-либо уравнение данной системы заменить его следствием, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет следствием исходной.

При решении систем уравнений нередко приходится применять такие преобразования систем, как умножение обеих частей уравнения на одно и то же число (или одну и ту же функцию), почленное сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы, возведение обеих частей уравнения в n-ю степень.

Сформулируем утверждения, связанные с этими преобразованиями, опустив в записи системы неизвестные.

полученная почленным сложением и вычитанием уравнений системы (1), равносильна системе (1).

является следствием системы (1). Если же функции f₂ и g₂ принимают неотрицательные значения в области определения системы (1), т.е. на множестве, где определены функции f₂ и g₂ , то система (3) равносильна системе (1).

Если не существует таких пар чисел x и y, при которых обе функции f₂ и g₂ одновременно обращаются в нуль, то система

является следствием системы (1), а при дополнительном требовании, что одновременно не обращаются в нуль функции f₂ и g₂, система (5) равносильна системе (1).

Эти свойства преобразований систем, доказательство которых легко можно получить самостоятельно, широко применяются при решении систем с двумя и тремя переменными.

Введем еще одно понятие, играющее важную роль при решении систем уравнений.

Пусть система уравнений имеет вид

Будем говорить, что система (6) равносильна совокупности систем

если каждое решение системы (6) является решением хотя бы одной из систем (7), (8) и всякое решение каждой из систем (7), (8) есть решение системы (6).

Обычно это понятие применяется в случае, когда левую часть одного из уравнений системы (6) удается разложить на множители. Пусть, например, f₁=fg, где f и g – многочлены (или функции, которые определены на одном и том же множестве). Тогда система

Читайте также: