Решение логарифмических уравнений реферат

Обновлено: 05.07.2024

Цель исследования: Систематизировать и описать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Задачи исследования:
1. Провести краткий ретроспективный анализ возникновения логарифмов
2. Выбрать рабочее определение логарифмического уравнения и неравенства

Содержание

Введение……………………………………………………………………. ….3
1. История возникновения логарифмов…………………………….………….5
2. Логарифмические уравнения и неравенства………………………………..7
2.1. Понятие логарифма
2.2 Понятие логарифмического уравнения
2.3. Понятие логарифмического неравенства
2.4. Свойства логарифма
3. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств……………12
3.1 по определению логарифма
3.2 замена переменной
3.3 по основным свойствам и формулам логарифма
3.4 метод потенцирования
3.5 метод приведения логарифмического уравнения к квадратному
3.6 метод логарифмирования обеих частей уравнения
3.7 метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию
3.8 графический метод
4. Методы решения логарифмических неравенств…………………………..17
5. Практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств…. 20
Заключение………………………………………………………………………24
Список литературы……………………………………………………………. 25

Работа состоит из 1 файл

курсовая тимом.docx

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

1. История возникновения логарифмов…………………………….………….5

2. Логарифмические уравнения и неравенства………………………………..7

2.1. Понятие логарифма

2.2 Понятие логарифмического уравнения

2.3. Понятие логарифмического неравенства

2.4. Свойства логарифма

3. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств……………12

3.1 по определению логарифма

3.2 замена переменной

3.3 по основным свойствам и формулам логарифма

3.4 метод потенцирования

3.5 метод приведения логарифмического уравнения к квадратному

3.6 метод логарифмирования обеих частей уравнения

3.7 метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

3.8 графический метод

4. Методы решения логарифмических неравенств…………………………..17

5. Практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств…. 20

Если в XVI в. логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложнейшими расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старинные средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.

Во-первых, уже умеем записывать решение показательного уравнения, например уравнения 2х = 5. А значит, знание логарифмов позволит нам решать задачи, сводящиеся к простейшим показательным уравнениям.

Во-вторых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

В-третьих, частое применение находит логарифмическая функция. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяет людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Объект исследования: Логарифмические уравнения и неравенства

Предмет исследования: Методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Цель исследования: Систематизировать и описать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Провести краткий ретроспективный анализ возникновения логарифмов
Выбрать рабочее определение логарифмического уравнения и неравенства
Систематизировать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств
Разработать практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств описанными методами.

Обратимся к материалам исследования.

Для чего были придуманы логарифмы? Конечно для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Неппер, так говорит о своих побуждениях:

В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Определение 1: Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Определение 2: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Определение 3: Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида :

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Введём следущие обозначения: Требуется доказать, что выполняется равенство

А так как степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней. Значит, что и требовалось доказать.

Замечание: Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

Введём следущие обозначения:

Требуется доказать, что выполняется равенство

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

Введем следующие обозначения: Требуется доказать, что

Из следует, что из следует, что Возведя обе части последнего равенства в степень , получим .

Итак, , значит, что и требовалось доказать.

Равенство , справедливо тогда и только тогда, когда

Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифмической функции.

Теорема 5: Если положительные числа, причем отличны от 1, то имеет место равенство

Это есть формула перехода к новому основанию логарифма.

Введем следующие обозначения: Требуется доказать, что

Из следует, что из следует, что Итак Далее, из следует, что . Значит, что фактически и требовалось доказать.

Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.

Если положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство

Доказательство: Применив формулу перехода к случаю, когда , получим:

Если положительные числа, причем , то для любого числа справедливо равенство

Доказательство: Перейдем в выражении к логарифмам по основанию

Еще раз подчеркнем, что все свойства логарифмов получены при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть если о знаке переменной ничего не известно? Можно ли, например, написать , если о знаке числа ничего не известно? Ответ: нельзя! Поскольку при левая часть равенства определена, а правая не определена. В этом случае нас выручит знак модуля. Поскольку правильное равенство выглядит так: .

Это частный случай общей формулы:

Стоит помнить и о том, что заменять выражение выражением можно лишь в случае, когда . Если уверенности в этом нет, но известно, что , то, поскольку выполняется равенство , следует использовать формулу

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы чисел . Такое преобразование называют логарифмированием. Ценность операции логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить вычисления к операциям более низкого порядка.

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Логарифмические уравнения можно решать различными методами:

3.1 ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЛОГАРИФМА

X=8, потому что 2 3 =8

3.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

Замечание 1: Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Замечание 2: Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

О.Д.З. уравнения: log₅(-x 7 )+2=log₂₅x 8 – множество отрицательных чисел.

Обозначим t=-x, тогда t>0.

log₅ t 7 +2=log₅ t 4 , используем формулу log_a α b β = log_a b

3.3. ПО ОСНОВНЫМ СВОЙСТВАМ И ФОРМУЛАМ ЛОГАРИФМА

ОДЗ данного уравнения:

Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.

1) 3 x – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x + 1 > 0 в ОДЗ),

x = 0 − не входит в ОДЗ.

x = 3 − входит в ОДЗ.

3.4. МЕТОД ПОТЕНЦИРОВАНИЯ

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
если log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1.

Представим уравнение в виде log₆(3 x2 +1)-log₆(3 2-x2 +9)=log₆ 2-log₆6.

После потенцирования имеем

3 x2 +1 2 3 х2 +1 2

3 2-x2 9 6 9▪3 -х2 +9 6

Или 3 2х2 -2▪3 х2 -3=0 . Решая это уравнение как квадратное относительно 3 х2 , получим 3 х2 =-1, что не имеет смысла, и 3 х2 =3, откуда Х 2 =1или Х_1,2=± 1.

3.5. МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

Запишем уравнение в виде √log₃х 9 =1+4log₉√3х или √9log₃х+log₃3x, или √ уравнения 9log₃x=1+log₃3+log₃3, или √9log₃x=2+log₃x. Возведя обе части в квадрат, получим 9log₃x=4+4log₃x+log 2 ₃x или log 2 ₃x-5log₃x+4=0. Решая это уравнение как квадратное относительно log₃x, найдем (log₃х)₂=4, откуда получим Х₁=3, Х₂=3 4 =81.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b . (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃ ; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N ₁ ·N ₂ = log_a N ₁ + log_a N ₂ (a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если N ₁ ·N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N ₁ ·N ₂ = log_a |N ₁ | + log_a |N ₂ | (a > 0, a ≠ 1, N ₁ ·N ₂ > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N k = k log_a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s ), то

log_a N 2s = 2s log_a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log_a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x ₂ ).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f (x ) = log_a g (x ) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h _{(x )} f (x ) = log_h _{(x )} g (x ) равносильно одной из систем

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	h (x ) > 0,		h (x ) > 0,
	h (x ) ≠ 1,		h (x ) ≠ 1,
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f (x ) = g (x ) иlog_a f (x ) = log_a g (x )

log_a [f (x )·g (x )] = b иlog_a f (x ) + log_a g (x ) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log₂ (5 + 3log₂ (x - 3)) = 3,	c) log_{(x - 2)} 9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1} (2x 2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, log_a b = c , b = a c и, следовательно,

5 + 3log₂ (x - 3) = 2 3

3log₂ (x - 3) = 8 - 5, log₂ (x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2 1 , x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 - 4x - 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x 2 - 8x + 15) = (2x + 1) 2

или, после элементарных преобразований,

x 2 + 6x -7 = 0,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃ x + log₃ (x + 3) = log₃ (x + 24),

b) log₄ (x 2 - 4x + 1) - log₄ (x 2 - 6x + 5) = - 1 /₂

c) log₂ x + log₃ x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x +3 > 0,
	x +24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

x 2 - 4x + 1 = 1 /₂ (x 2 - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x 2 - 2x - 3 = 0

с решениями x ₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

откуда или или log₂ x = log₆ 3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f (x ) > log_a g (x ) равносильно системе неравенств

	f (x ) > g (x ),
	g (x ) > 0.

Утверждение 2. Если 0 log_a g (x ) равносильно системе неравенств

f (x ) 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h _{(x )} f (x ) > log_h _{(x )} g (x ) равносильно совокупности систем неравенств

		h (x ) > 1,
		f (x ) > g (x ) > 0,
		0 log_a g (x ) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , 2 - x ) ≥ log₃ (x + 8);
		b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log₃ (x 2 - x ) ≥ log₃ (x + 8)	x 2 - x ≥ x + 8,		x 2 - 2x - 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

	x ≤ -2,
	x ≥ 4,	x (-8;-2] [4;+∞).
x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂ 1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Логарифмические уравнения ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если N₁· N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

Замечание. Если, (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

Замечание. Если k — четное число (k = 2s), то

P5. Формула перехода к другому основанию:

в частности, если N = b, получим

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

и, если в (5) c — четное число (c = 2n), имеет место

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x₂).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a? 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a c и, следовательно,

Опять используя определение, получим

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x — 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 — 4x — 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

или, после элементарных преобразований,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x? (0;+?) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Свойства логарифмической функции, методы решения уравнений и неравенств. Использование свойств логарифма. Решение показательных уравнений.

Рубрика	Математика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	12.10.2010
Размер файла	265,0 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Введение

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") - со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b. (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ? 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ? 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a > 0, a ? 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ? 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ? 1, N₁N₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N k = k log_a N (a > 0, a ? 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

log_a N 2 s = 2s log_a |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),

в частности, если N = b, получим

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3)

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4)

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b > 0, a ? 0, |a| ? 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x₂).

4. log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ? 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+?), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ? 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

f(x) = g(x),

f(x) > 0,

g(x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h₍_x₎ f(x) = log_h₍_x₎ g(x) равносильно одной из систем

f(x) = g(x),

h(x) > 0,

h(x) ? 1,

f(x) > 0,

g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x)

log_a [f(x)·g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

d) log₂_x _{+ 1}(2x 2 - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ? 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, b = a c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2 3

3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x - 3 = 2 1 , x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x 2 - 8x + 15) = (2x + 1) 2

или, после элементарных преобразований,

x 2 + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24),

b) log₄(x 2 - 4x + 1) - log₄(x 2 - 6x + 5) = - 1 /₂

c) log₂x + log₃x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x ? (0;+?) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24) ?

log₃x(x + 3) = log₃(x + 24),

x(x + 3) = x + 24,

x 2 + 2x - 24 = 0,

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

x 2 - 4x + 1 = 1 /₂(x 2 - 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x 2 - 2x - 3 = 0

с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x ? (0;+?). Используя свойство P5, получим уравнение

откуда или или log₂x = log₆3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

f(x) > g(x),

g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 log_a g(x) равносильно системе неравенств

f(x) 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h₍_x₎ f(x) > log_h₍_x₎ g(x) равносильно совокупности систем неравенств

h(x) > 1,

f(x) > g(x) > 0,

0 log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ? , 2 - x) ? log₃(x + 8);

Цель данной курсовой работы: разработать средства оценивания учащихся логарифмических уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Изучить стандарты образования по данной теме;
Подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения логарифмических уравнений и неравенств;
Показать, как общие методы решения уравнений применимы для решения логарифмических уравнений и неравенств;
Подобрать средства оценивания логарифмических уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.

Содержание

Глава I. Логарифмические уравнения и неравенства

Определение логарифмических уравнений и неравенств
1.2 Методика решения логарифмических уравнений и неравенств

2.1.Тренинг
2.2. Самостоятельная работа
2.3. Контрольная работа

Глава III. Приложение

Вложенные файлы: 1 файл

курсовик Садриева Эльмира 597 ма.doc

МИНИСТЕРСТВО образования и науки

Российской Федерации

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДАВАНИЯ

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Направление: (математика и английский язык)

Средства оценивания учащихся по теме:

Студент 4 курса

"4" апреля 2013 г. Садриева Эльмира

д.п.н., профессор кафедры теории и технологий
преподавания математики и информатики

"___"_________ 2013 г. Л.Р. Шакирова

Глава I. Логарифмические уравнения и неравенства

Определение логарифмических уравнений и неравенств

1.2 Методика решения логарифмических уравнений и неравенств

2.1.Тренинг

2.2. Самостоятельная работа

2.3. Контрольная работа

Глава III. Приложение

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики.

В школе логарифмическим уравнениям и неравенствам уделяется достаточно мало внимания.

Однако задачи по теме "Логарифмические уравнения и неравенства" встречаются в ЕГЭ, и они довольно часто становятся затруднительными для выпускников.

Так как при решении логарифмических уравнений и неравенств в школе применяется потенцирование, то ОДЗ уравнения расширяется, то есть возможно приобретение корней, в этом случае нужна проверка. Чаще всего возникают ошибки, обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтому необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Изучить стандарты образования по данной теме;
Подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения логарифмических уравнений и неравенств;
Показать, как общие методы решения уравнений применимы для решения логарифмических уравнений и неравенств;
Подобрать средства оценивания логарифмических уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.

Объектом исследования является процесс обучения решению логарифмических уравнений и неравенств на уроках математики.

Предметом исследования являются методические особенности решения логарифмических уравнений и неравенств.

Читайте также: