Решение краевых задач реферат
Обновлено: 03.07.2024
Названные уравнения представлены в канонической форме, которая включает безразмерные относительные переменные, обычно приводимые к диапазонам изменения [0,1] и [-1,1]. Размерности слагаемых согласуются посредством параметров уравнения.
Основным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных является аппроксимация уравнения системой алгебраических уравнений или системой дифференциальных уравнений. Эти два вида аппроксимаций в литературе получили название метод сеток и метод прямых.
Метод сеток реализуется в том случае, когда частные производные, входящие в уравнение, заменяются в каждой точке заданной области конечно-разностными выражениями, полученными из значений искомого решения в окружающих точках. Количество уравнений в системе связано с шагом дискретизации временной и пространственных переменных и формой границы области решения. Число точек, попавших внутрь области решения, определяет число неизвестных и уравнений.
Метод прямых относится к случаю, когда одна из независимых переменных является временем (случай нестационарных задач) или когда одну из пространственных переменных (случай стационарных задач) пропорционально связывают со временем. Частные производные от независимых переменных, не связанных с временем, аппроксимируют конечными разностями. В результате, оставшиеся дискретными независимые переменные сочетанием своих значений определяют общее число дифференциальных уравнений, которые в общем случае являются краевыми.
Аппроксимирующие дифференциальные уравнения с краевыми условиями невозможно интегрировать как систему уравнений Коши. Линейная система краевых задач многократно решается с частными начальными условиями и по результатам решений краевые условия пересчитываются в начальные. Нелинейной системе для приближенного вычисления начальных условий потребуются итерационные процедуры, рассмотренные выше.
Математические модели, сформированные по методам сеток и прямых, могут быть решены методом математического моделирования с применением аналоговых или псевдо аналоговых операционных блоков, а также методом аналогий.
Метод аналогий (аналоговое моделирование) заключается в том, что для каждого уравнения математической модели подбирается физический объект, переменные состояния которого связаны таким же уравнением. В подавляющем большинстве случаев в качестве аналоговых объектов используются схемы с электрическими и электронными компонентами. Особенно простыми аналогами уравнений математических моделей являются уравнения электрических схем, полученные на основании законов Ома и Кирхгофа.
Итак, все рассмотренные методы используют конечно-разностную аппроксимацию, к рассмотрению которой мы переходим.
1.3 Конечные разности и аппроксимация производных
1.3.1 Определение конечных разностей
Конечная разность "вперед" для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением: , где функция задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.
Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:
Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i : .
Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением
Линейность конечно-разностного оператора позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+) и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как
где должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности k-го порядка .
Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1) :
g(i+1) = Eg(i) = (1+)g(i)= g(i) + g(i).
Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить значение ординаты функции g(i) в точке (i+n) через конечные разности различных порядков:
где - число сочетаний из n элементов по k ;
многочлен степени k от целой переменной n (), имеющий k сомножителей. При k=n .
Относительно начала координат (i=0 - начало таблицы) функция целочисленной переменной g(n) представляется разложением по многочленам различных степеней от 0 до n. Для больших степеней конечные разности равны нулю.
С другой стороны, так как , то
Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.
1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования
Значение функции на удалении h от некоторой точки можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:
где - оператор дифференцирования,
- оператор сдвига, выраженный через оператор p .
h- шаг по оси действительной переменной
Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:
Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:
Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:
Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:
Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и :
Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:
После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:
Коэффициенты минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.
Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.
1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.
При численном решении жестких задач возникают трудности, связанные с неустойчивостью счета . Если для задачи Коши проблема устойчивости разработана достаточно подробно, то для краевых задач это значительно более сложная проблема. Отметим, что в отличие от задачи Коши для жестких систем, для решения которой имеются встроенные функции в системах компьютерной математики MathCAD , Mathlab и др., методы решения жестких краевых задач надо программировать самому.
В этом разделе рассмотрим методы решения жестких краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений .
Начнем изложение с популярного в вычислительной математике алгоритма метода дифференциальной прогонки [14]. С ним связаны существенные успехи в решении сложных задач, и его изобретение считается по праву ярким событием в истории развития современной вычислительной математики.
Любопытно, что метод прогонки предназначен для решения задачи, на первый взгляд не содержащей никаких проблем.
Пусть требуется решить краевую задачу для системы двух уравнений
с краевыми условиями
Коэффициенты ради простоты считаем постоянными. Очень важны их числовые значения.
Объясним причины, по которым метод сведения краевой задачи к задачам Коши не работает. Проанализируем известный метод. Ради простоты положим .
Найдя решение двух задач Коши:
ищем решение в виде линейной комбинации:
а коэффициенты определим, подставив его в краевые условия.
Что же из этого получится? Посмотрим, какие последствия имеют большие значения коэффициентов (и в самом ли деле они большие).
Как известно, точное общее решение рассматриваемой системы уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
где — некоторые числа (которые легко вычисляются, но они нам не
нужны),— произвольные постоянные, - корни характеристического уравнения
Таким образом, почти любое частное решение (в том числе построенные нами два линейно независимых решения) есть сумма (с примерно равными коэффициентами ) двух экспонент: одной- сильно растущей (типа ), второй — сильно убывающей (типа ).
Теперь обратимся к исходной задаче. Прежде всего, подчеркнем, что выбор больших значений коэффициентов а и b не был произвольным, он продиктован практикой. Наиболее близким содержательным примером задачи, качественные черты которой хорошо передает разбираемая модельная, является прохождение излучения через слой большой оптической толщины, например прохождение потока нейтронов, источником которого является ядерный реактор, через слой защиты. В этом случае одно краевое условие задает поток нейтронов, падающий на внутреннюю поверхность защиты, второе условие означает отсутствие потока нейтронов, падающих на внешнюю границу защиты.
Интересующая же нас величина имеет смысл потока нейтронов, выходящего со стороны внешней границы защиты.
Искомое решение есть функция типа (в этом, собственно, и состоит назначение защиты: ослабить поток нейтронов примерно в раз). Мы же пытаемся получить его в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений, в каждом из которых решающую роль играет именно растущая экспонента.
Получить функцию типа в виде линейной комбинации решений, в которых главную роль играют компоненты типа (они должны взаимно погаситься), — очень трудная вычислительная задача, сопровождающаяся резким падением точности. Следует принять во внимание и накопление погрешностей вычислений. В рассматриваемом случае, допустим, при интегрировании задач Коши методом порядка погрешность аппроксимации у левого конца траектории имеет величину порядка ( — шаг численного интегрирования). Ее последствия у правого конца траектории достигнут величины и нужно, чтобы они были заметно меньше искомого решения, т. е. величины порядка .
Итак, имеем ориентировочное соотношение для шага численного интегрирования: то есть
Даже при получаем , то есть нужно брать сетку с миллионом узлов. Укажем, что фактически такие задачи решаются методом прогонки при условиях В нашем случае , т. е. вполне приемлем, например, расчет при и даже при
Приступим к описанию метода прогонки . Отметим, что в вычислительной математике важна не столько внешняя форма задачи, сколько качественные свойства искомых решений. Абсолютно одинаковые внешне задачи часто требуют существенно разных методов. Та же самая задача при (или на интервале ) без всяких затруднений может быть решенаметодом фундаментальных решений.
Рассмотрим детально метод дифференциальной прогонки . Будем искать связь между компонентами решения вида
Заменяя и приводя подобные члены, получаем
Приравнивая к нулю коэффициенты при и единице, приходим к уравнениям для:
Эти уравнения дополним начальными данными, используя стандартный прием метода прогонки. Левое краевое условие запишем в виде того же самого прогоночного соотношения: Очевидно, следует положить Итак, получены задачи Коши. Они могут быть проинтегрированы (например, численно), и можно считать, что функции у нас уже есть. Перейдем к следующему характерному элементу прогонки — разрешению правого краевого условия. Имея условие и прогоночное соотношение при легко находим значение
Наконец, рассмотрим заключительный этап прогонки. Опять-таки отклоним напрашивающийся рецепт: раз мы знаем можно (формально) интегрировать задачу Коши справа налево. Но эта задача так же неустойчива, как и задача Коши, решаемая слева направо.
Воспользуемся уравнением Заменяяиз прогоночного соотношения получаем уравнение для :
Проинтегрируем задачу справа налево, попутно определяя
Перейдем к анализу метода прогонки, рассматривая для общности краевые условия вида В этом случае
Рассмотрим поле направлений . На плоскости введем кривую
Анализ показывает, что
В [13] предлагается и исследуется метод решения некоторых жестких линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений - метод расщепления оператора. Основное изложение проводится для уравнения четвертого порядка типа Орра — Зоммерфельда, играющего существенную роль при исследовании гидродинамической устойчивости . Дадим описание метода .
с граничными условиями
Предполагается, что R- большой параметр,вещественны, остальные величины могут быть комплексными.
Будем далее считать, что
и что-величины ограниченные; точнее, предполагается, что существуют
— гладкие функции на отрезке [0, а]. Предполагаем, что не принимает вещественных неположительных значений.
Составим для каждого х характеристическое уравнение
Тогда квадратное уравнение в силу сделанных предположений, при больших R имеет один из корней большой, а другой- ограниченный. Обозначим их, соответственно,.
Легко проверить, что
В силу предположений, сделанных относительно , квадратные корни издля больших R не лежат на мнимой оси. Обозначим черезтот квадратный корень из , который лежит в правой полуплоскости. Тогда существует такое положительное число , для которого при достаточно больших R имеет место. Выберем такое и закрепим его обозначение для всего дальнейшего изложения. Далее для краткости пишем вместо.
Прямыми выкладками убеждаемся, что уравнение (2.1.1) эквивалентно системе
Смысл приведения уравнения (2.1.1) к виду (2.1.3) — (2.1.6) следующий. Если взять какие-либо начальные приближения и , то, подставляя их в правую часть соотношения (2.1.6) и решая уравнения (2.1.3) — (2.1.5), получаем и — следующие приближения. Уточним прежде всего алгоритм полученияипо и .
Шаг 1. По и строим , используя (2.1.6).
Шаг 2. Из уравнения (2.1.5) получаем общее выражение для.
Для этого решаем задачи Коши
Тогда общее решение уравнения (2.1.5) имеет вид
Шаг 3. Из уравнения (2.1.4) получаем общее выражение дляв виде
где функции — решения следующих задач Коши:
Отметим, что получены в результате решения устойчивых задач Коши: и вычисляются справа налево, — слева направо. Тогда коэффициент входит как раз с тем знаком, который обеспечивает устойчивость интегрирования уравнений в нужном направлении (напомним, что ). Поэтому, в частности, при большихвсе перечисленные функции остаются ограниченными равномерно по
Шаг 4. Перейдем, наконец, к решению уравнения (2.1.3). Возьмем из четырех граничных условий (2.1.2) два:
Для практического счета и для исследования выбор именно этих двух условий наиболее удачен. Решим следующие краевые задачи:
Тогда общее выражение для решения , удовлетворяющего (2.1.3) — (2.1.5) и указанным выше двум условиям (2.1.2), имеет вид
Здесьпредполагается такой, что однородная задача
не имеет нетривиальных решений. Если, например,,то это предположение выполняется и указанные краевые задачи решаются численно устойчиво.
Две пока неизвестные константы, входящие в (2.1.7), определим из требования выполнения двух пока не использованных условий (2.1.2):
Получим относительно и систему линейных алгебраических уравнений
то, решив эту систему, найдем и и тем самым получим следующее приближениеи.
Рассмотрим множество решений дифференциального уравнения удовлетворяющих только левым краевым условиям методом ортогональной прогонки. Обозначим это многообразие через [3].
При каждом фиксированном значении t многообразие является просто линейным (точнее, афинным) подпространством га-мерного фазового пространства. Его размерность, очевидно, есть.
Рассмотрим аналогичное подпространство, образованное всеми траекториями, удовлетворяющими правым краевым условиям.
Находим частное решение неоднородной задачи, удовлетворяющее неоднородным левым краевым условиям. Для этого находим любую точку , удовлетворяющую системе линейных уравнений , и с такими данными Коши проинтегрируем систему. Полученное решение обозначим через . Построимлинейно-независимых решений однородной системы , удовлетворяющих однородным левым краевым условиям. Обозначим эти решения через. Их можно получить решением соответствующих задач Коши. Данные Коши для этих решений строятся просто. Пусть в матрице, составленной из к n -мерных строк не вырождена матрица из первых к столбцов. Тогда т. е. все компоненты с номерамиравны нулю, кроме равной единице. Первые компонент получаются решением системы линейных уравнений
Явное представление имеет вид
Вышеприведенные качественные соображения подсказывают путь, на котором следует искать устойчивый метод решения такой краевой задачи: надо работать не с индивидуальными решениями, а с многообразиями. Стандартный метод решения краевых линейных задач, пример метода, основанного именно на использовании подходящего набора индивидуальных решений дифференциального уравнения. Они неустойчивы, вычислительно неустойчивым оказывается и такой алгоритм. Перейдем к методам, в которых используются многообразия. Есть два стандартных, двойственных друг другу способа описания линейных подпространств размерности (где — параметр, — -мерная гиперплоскость в при каждом ( t ).
Достаточно знать некоторую точку ивекторов (обозначим образующих базис в , и тогда есть множество точек вида
где a — произвольные числа.
Можно выделить системой — линейных уравнений, имеющих ту же форму, в которой заданы краевые условия
где — система - линейно-независимых векторов внекоторые числа.
Почему же он в такой форме не пригоден? Причина в том, что не всякие формально правильные базисы приводят к устойчивому представлению многообразия.
Как уже отмечалось, эффект жесткости системы не сразу приводит к столь неприятным последствиям. При малых временах разница между и еще не очень велика.
Итак, назначим некоторое число такое, что , и проинтегрируем систему длятак, как было указано выше. В момент времени мы имеем представление вида.
Перейдем к другому, более удобному для наших целей представлению. Для этого систему векторов подвергнем стандартной процедуре ортонормировки и превратим ее в ортонормированный базис
Имея и , решение в каждый момент времени находим как единственную точку пересечения-мерной гиперплоскости с - мерной гиперплоскостью . Фактически это сводится к системе линейных уравнений с неизвестными :
В работе [8] Виноградова Ю.И. и Виноградова А.Ю . трудности решения жёстких краевых задач предлагается преодолевать путём разделения интервала интегрирования на сопрягаемые участки, а выражение этого сопряжения производить через формулы теории матриц.
Рассматривается система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
где – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1,
– производная искомой вектор-функции размерности 8х1,
– квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8,
– вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.
Краевые условия имеют вид:
где – значение искомой вектор-функции на левом крае размерности , – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности , – вектор внешних воздействий на левый край размерности ,
– значение искомой вектор-функции на правом крае размерности, – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности , – вектор внешних воздействий на правый край размерности .
Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), включая края:
Имеем краевые условия в виде:
Можем записать матричные уравнения сопряжения участков:
где – матричная экспонента или матрица Коши (матрициант) .
Это мы можем переписать в виде, более удобном для нас далее:
где - единичная матрица.
Тогда в объединенном матричном виде получаем систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:
Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.
В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i -ом узле:
Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.
2.2 Исследование жестких линейных краевых задач методом параметризации
2.2.1 Схема метода параметризации, алгоритм, условия сходимости
На отрезке рассмотрим линейную краевую задачу
где непрерывны на , В и С - - матрицы, , , непрерывна на
Решением задачи (2.2.1), (2.2.2) является непрерывно дифференцируемая на вектор-функция , удовлетворяющая системе дифференциальных уравнений (2.2.1) и равенству (2.2.2) (в точках уравнению (2.2.1) удовлетворяют односторонние производные ).
В работе Д.С. Джумабаева [28] для решения линейной двухточечной краевой задачи (2.2.1)-(2.2.2) был предложен метод параметризации.
Возьмем шаг , который ровно раз укладывается на отрезке , и по нему произведем разбиение
Сужение функции на r -й интервал обозначим через , т.е. - вектор-функция размерности n , определенная и совпадающая с на . При этом задача (2.2.1), (2.2.2) сведется к эквивалентной многоточечной краевой задаче
Здесь (2.2.5) - условия сшивания решения во внутренних точках разбиения. Если - решение краевой задачи (2.2.1), (2.2.2), то очевидно, что система его сужений является решением многоточечной краевой задачи (2.2.3)-(2.2.5). И, наоборот, если система вектор - функций решение задачи (2.2.3)-(2.2.5), то функция , получаемая склеиванием систем функции, будет решением исходной краевой задачи.
Через обозначим значение функции в точке и на каждом интервале произведем замену Получаем краевую задачу с параметром
Задачи (2.2.3)-(2.2.5) и (2.2.6)-(2.2.8) эквивалентны в том смысле, что если система функций является решением (2.2.3)-(2.2.5), то система пар будет решением (2.2.6)-(2.2.8), и наоборот: если решение (2.2.6)-(2.2.8), то решение (2.2.3)-(2.2.5). Однако задача (2.2.6)-(2.2.8) выгодно отличается тем, что здесь появились начальные условия которые позволяют определить из интегральных уравнений
Вместо подставим соответствующую правую часть (2.2.9) и, повторив этот процесс раз, получим
Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:
где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.
Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:
Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:
8 Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Этот алгоритм обсчитан на компьютерах в кандидатской диссертации.
Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:
Начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:
где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.
9 Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова
Эта замена формул Рунге-Кутта на формулу теории матриц обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.
В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:
На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:
Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.
10 Метод половины констант
Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.
Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:
Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:
Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.
Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:
V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v
V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)
и подставим в эту формулу выражение для Y(0):
V∙ K(1←0) ∙ ∙ = v - V∙Y*(1←0).
Таким образом мы получили выражение вида:
где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:
Тогда можем записать:
Отсюда получаем, что:
c = D2 ∙ ( p - D1∙ u )
Таким образом, искомые константы найдены.
совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:
V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ = p.
Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:
Отсюда получаем, что:
Таким образом, искомые константы найдены.
11 Применяемые формулы ортонормирования
Эти формулы обсчитаны в кандидатской диссертации.
Взято из: Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г. 635 стр.
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка n:
Здесь над векторами поставим черточки вместо их обозначения жирным шрифтом.
Будем рассматривать строки матрицы А системы как векторы:
Ортонормируем эту систему векторов.
Первое уравнение системы А= делим на .
При этом получим:
Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Поможем написать работу на аналогичную тему
Похожие рефераты:
Предложена физико-математическая модель крупномасштабных перекрестных эффектов. Расчеты обобщены на теорию порядка и хаоса, устойчивости и катастроф. На основе выполненных расчетов построена дидактика явлений переноса.
Определение вкладов ионов различного сорта в общий ионный перенос и изучение концентрационной зависимости их вклада может оказаться полезным для лучшего понимания динамики ионного транспорта в подобных соединениях.
Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.
Зависимость стационарной концентрации триплетных молекул акцептора энергии от мощности возбуждения. Зависимость интенсивности СФ от мощности возбуждения. Зависимостью интенсивности обычной фосфоресценции от интенсивности возбуждения.
Магнитогорский Государственный Технический Университет имени Г.И.Носова Кафедра математики Реферат Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными
В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка.
Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
Метод коллокаций - определение функции, удовлетворяющей линейное дифференциальное уравнение и линейные краевые условия. Определение коэффициентов конечной суммы в выражении для приближенного решения дифференциального уравнения методом Галёркина.
Вычисление определенного интеграла методом “Монте-Карло” Определенный интеграл f(x)dx по методу “Монте-Карло”
Решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов с помощью метода Винера-Хопфа. Решение задач в случае бесконечного и полубесконечного промежутка. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению Лапласа.
Создание программы на языке матрично-ориентированной системы Mat LAB. Особенности математической интерпретации метода. Оценка влияния величины шага интегрирования и начальных значений на качество и точность вычислений. Анализ полученных результатов.
Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
Преобразования уравнений, нахождение соответствующих критериев подобия. Подобие стационарных и нестационарных физических полей. Масштабные преобразования алгебраических и дифференциальных уравнений. Моделирование задач с начальным и граничным условиями.
Метод решения дифференциальных уравнений, разработанный В. И. Алехиным (метод АВИ), применяется для определения переноса вредных веществ в гетерогенных средах.
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
Характеристики метода Эйлера. Параметры программы, предназначенной для решения систем линейных уравнений и ее логическая структура. Блок-схема программы и этапы ее работы. Проведение анализа результатов тестирования, исходя из графиков интераций.
Нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность ее решения доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.
В задачах, решаемых аналитически, φ и ρ обычно зависят только от одной координаты. При интегрировании можно вычислять интегралы как неопределенные, не забывая выписывать +const, а затем отдельно находить эти константы.
ВВЕДЕНИЕ Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Методы решения одного нелинейного уравнения: половинного деления, простой итерации, Ньютона, секущих. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0. Применение методов к конкретной задаче и анализ решений.
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Разностные методы решения дифференциальных уравнений. 4
1.1. Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями. 4
1.2. Операторная форма записи дифференциальных краевых задач 8
1.3. Нормы. Погрешность приближённого решения. Сходимость. Порядок сходимости 14
1.4. Устойчивость 16
Глава 2. Решение смешанной краевой задачи для гиперболическогоуравнения разностным методом. 19
2.1. Общая постановка задачи 19
2.2. Cмешанная краевая задача с граничными условиями третьего рода 20
Заключение 27
Список используемой литературы 28
Приложение 29
Глава 1. Разностные методы решения дифференциальныхуравнений.
Материал, приведенный в этой главе, взят из книги [1], [2], [3].
Характерной особенностью различных разностных методов является то, что в качестве приближенного решения выбирается сеточная функция. Выделим основные пункты построения и исследования разностных схем.
1. Заменить область непрерывного изменения аргумента на дискретную область изменения. Это дискретное множествоточек называется сеткой или решеткой, а отдельные точки этого множества - узлами сетки. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.
2. Заменить в узлах этой сетки производные искомой функции разностными отношениями, использовав формулы численного дифференцирования.
3. Проверить условие аппроксимации разностной схемы.
4. Доказать устойчивость построенной разностной схемы. Это один из наиболееважных и сложных вопросов. Если схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностной схемы судят о теореме доказанной ниже.
В результате получилась система алгебраических уравнений для определения приближённого решения. Такая система часто называется разностной схемой. Точно так же можно заменить и частные производные и свести краевую задачу для дифференциальногоуравнения в частных производных к алгебраической системе. Функция, определенная в узлах сетки называется сеточной функцией.
1 Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями.
Мы ввели уже понятие сетки, узлов сетки, разностной схемы и сеточной функции .
Обозначим
[pic] - искомая функция, [pic],
[pic] - открытая область с границей [pic],
[pic]- сетка на [pic], где h -вещественный положительный параметр, характеризующий густоту точек на сетке.
[pic]- сеточная функция, совпадающая с точным решением дифференциальной краевой задачи [pic] во всех узлах сетки [pic], называемая точным решением на сетке или точным сеточным решением.
Теперь рассмотрим примеры сеток.
Пример 1.
Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный отрезок [0, 1] на N.
Читайте также: