Решение экономических задач с помощью двойного интеграла реферат

Обновлено: 07.07.2024

Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются длины, площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается. В физике интеграл используют для вычисления р аботы переменной силы, пути, пройденный телом , нахождения д авление жидкости на вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой; в биологии - для нахождения ч исленности популяций, биомассы популяций, средней длины пролета птиц. Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла. Можно привести еще массу примеров применения определенного интеграла. Нас заинтересовало при менение определенного интеграла для решения различных экономических задач. Результат поисков и вычислений мы изложили в нашей работе.

Объект исследования - определенный интеграл функции одной переменной.

Предмет исследования - определенный интеграл в задачах экономики.
Целью данной работы является изучение возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач.

Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.
Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.
Показать возможности использования определенного интеграла при решении прикладных задач экономики.

Гипотеза: применение определенного интеграла во многом облегчает решение прикладных задач экономики.

Определенный интеграл. Основные термины и условия существования

Интеграл (от лат. Integer – целый ) – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. Существуют два определения определённого интеграла.

Определение 1. Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается , где функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: (1) формула Ньютона-Лейбница.

Определение 2. Пусть функция f (X ) задана в некотором промежутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔX i = X - X (i = 0, 1,2, . n-1) обозначим через λ. Возьмем в каждом из частичных промежутков [X , X ] по произволу точку X = ξ ; X ≤ ξ ≤ X (i = 0, 1, … , n-1) и составим сумму σ = f( ξ ) ΔX ι . Пусть I конечный предел данной суммы: I = σ.

Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом

В случае существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [a, b] Другими словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число. Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.)

Примеры применение определенного интеграла в экономике

Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка , определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений. И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач , но и универсальным языком всей экономич еской теории, создает новые возмож ности для эконом ических иссл едований. Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике.

При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которого используется определенный интеграл.

Пример 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение: Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы. Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.

Общее уравнение параболы имеет вид .

Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений

являются следующие числа: а =- , b=0, с=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид у= .

Площадь половинки палубы корабля равна

Для окраски половины палубы необходимо 0,25 S = (кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется 2∙0,25S=2∙ 266,7 (кг).

Пример 2. Определить объем продукции, произведенной рабочим, если производительность труда характеризуется функцией . Определить выработку рабочего: а) за весь рабочий день; б) за третий час работы; в) за последний час работы, если продолжительность рабочего дня 6 часов; г) провести экономический анализ задачи.

Решение: Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t 1 до t 2 будет выражаться формулой: . В нашем случае

Найдем общую выработку рабочего за весь день (6 часов)

Определим выработку рабочего за третий час работы

Определим выработку рабочего за последний час работы

Вероятно, работа утомительна и требует большого напряжения, поэтому к концу дня падает производительность труда.

Применение определенного интеграла в оценке дифференциации доходов населения

Определенный интеграл применяют и при оценке дифференциации доходов населения. Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Еще в начале XX в. экономист В. Парето установил, что неравенство в доходах населения присуще каждой стране. В 1920-е гг. ученые-статистики американец Макс Лоренц и итальянец Коррадо Джини независимо друг от друга провели исследование неравенства распределения дохода и разработали специальные показатели, позволяющие судить о неравенстве этого распределения: кривую Лоренца и коэффициент Джини . Введем эти понятия. Кривая Лоренца отражает кумулятивные (накопленные) доли дохода населения. Построение кривой Лоренца удобнее всего рассмотреть на следующем примере:
Представим экономику, состоящую из 3-х агентов: А, B, C. Доход агента А составляет 200 единиц, доход агента В составляет 300 единиц, доход агента С составляет 500 единиц. Для построения кривой Лоренца найдем доли индивидов в общем доходе. Общий доход составляет 1000. Тогда доля индивида А составляет 20%, доля В составляет 30%, доля С составляет 50%.
Далее будем искать кумулятивные (накопленные) доли доходов и численности населения для индивидов, начав с самого бедного и постепенно включая более богатых индивидов: Доля в населении индивида А составляет 33%. Доля его дохода составляет 20%.Затем включим в анализ более богатого индивида – индивида В. Совместная доля А+В в населении составляет 67%. Совместная доля А+В в доходе составляет 50% (20%+30%).
Далее включим в анализ еще более богатого индивида С. Совместная доля А+В+С в населении составляет 100%. Совместная доля А+В+С в доходе составляет 100% (20%+30%+50%). Отметим полученные результаты на графике. Линия, соединяющая левую нижнюю точку и правую верхнюю точку графика, называется линией равномерного распределения доходов . Это гипотетическая линия, которая показывает, что было бы, если доходы в экономике распределяются равномерно. При неравномерном распределении доходов кривая Лоренца лежит левее этой линии, причем чем больше степень неравенства, тем сильнее изгиб кривой Лоренца. А чем ниже степень неравенства, тем более она приближена к линии абсолютного равенства. В нашем случае кривая Лоренца выглядит как кусочно-линейный график. Это получилось так, потому что в нашем анализе мы выделили только три группы населения. С ростом числа рассматриваемых групп населения кривая Лоренца будет выглядеть в виде кривой. Кривая Лоренца позволяет судить о степени неравенства доходов в экономике по ее изгибу. Для количественного измерения степени неравенства дохода по кривой Лоренца существует специальный коэффициент – коэффициент Джини. Коэффициент Джини равен отношению площади фигуры, ограниченной прямой абсолютного равенства и кривой Лоренца, к площади всего треугольника под кривой Лоренца.

Чем выше неравенство в распределении доходов, тем больше коэффициент Джинни приближается к единице. И чем выше равенство в распределении доходов, тем меньше данный коэффициент. При абсолютном равенстве он достигает нуля.

Задача: По данным исследования распределения доходов в одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением , где х – доля населения, у – доля доходов населения. Найти коэффициент Джинни.

Решение: Изобразим заданную кривую

Это четверть окружности с центром в точке (0,1), радиуса R=1, удовлетворяющая условиям (область изменения функции) и ( по смыслу задачи). Проведем также и биссектрису у=х. Тогда коэффициент Джини вычисляется по формуле

Тогда коэффициент Джинни

Высокое значение коэффициента показывает существенное неравномерное распределение доходов среди населения в данной стране.

4. Кривая Лоренца и коэффициент Джини для России

После изучения материалов по теме, мы заинтересовались, как же выглядит кривая Лоренца и коэффициент Джини для нашей страны, как она менялась с течением времени. В интернете мы нашли множество графиков и таблиц. Предлагаем их и вам ( приложение 1). Кривые Лоренца для России, построенные на основе экспертных оценок распределения денежных доходов населения в РФ, и определенные коэффициенты Джини (приложение 2), свидетельствуют об усилении неравенства населения в доходах. Неравенство в распределении доходов является не только важным экономическим показателем, но и характеристикой социального благополучия или неблагополучия в обществе. Именно поэтому оно выходит на передний план в современных дебатах о перспективах глобального и регионального развития.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.

Рассмотренные в данной работе примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла. Так в процессе выполнения были рассмотрены примеры практических задач в области экономики, решаемые с помощью определенного интеграла. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы достигнута.

Эта работа позволила нам глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал работы оказался нам очень полезен и в подготовке к выпускным экзаменам, и возможно, пригодится и в дальнейшей нашей учебе.

Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	16.06.2014
Размер файла	508,3 K

Подобные документы

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.

курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013

Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.

презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013

Определение определенного интеграла, правила вычисления площадей поверхностей и объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов. Понятие и виды дифференциальных уравнений, способы их решения. Действия над комплексными числами, понятие и свойства рядов.

краткое изложение [145,1 K], добавлен 25.12.2010

История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.

курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013

Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011

Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.

презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014

Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.

Пример готовой курсовой работы по предмету: Высшая математика

Содержание

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 5

1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения 5

1.2. Геометрический смысл двойного интеграла 6

1.3. Физический смысл двойного интеграла 7

1.4. Простейшие свойства двойного интеграла 8

2. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 8

2.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 8

2.2. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) 14

2.3. Переход к полярным координатам в двойном интеграле 16

3. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 19

3.1. Геометрические приложения двойного интеграла 19

3.2. Физические приложения двойного интеграла 20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

Выдержка из текста

В сокровищнице науки и культуры есть идеи, которые, возникнув в глубокой древности развиваясь и совершенствуясь, прошли черев все последующие времена и успешно служат человечеству сейчас. К ним, безусловно следует отнести идею интеграла в математике.

В определенный период своего развития математика подошла к такому рубежу, когда назрела необходимость решения насущных задач, связанных с фундаментальными открытиями. Одними и теми же задачами занимались часто многие математики, и установить приоритет, указать, кто первый сделал то или иное открытие, затруднительно.

Список использованной литературы

1. Балдин, К.В. Математический анализ: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. — М.: Флинта, МПСУ, 2013. — 368 c.

2. Боярчук, А.К. Справочное пособие по высшей математике. Т.

2. Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы / А.К. Боярчук, И.И. Ляшко, Я.Г. Гай. — М.: ЛИБРОКОМ, 2012. — 256 c.

3. Будаев, В.Д. Математический анализ. Функции одной переменной: Учебник / В.Д. Будаев, М.Я. Якубсон. — СПб.: Лань, 2012. — 544 c.

4. Гаврилов, В.И. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский. — М.: ИЦ Академия, 2013. — 336 c.

5. Горлач, Б.А. Математический анализ: Учебное пособие / Б.А. Горлач. — СПб.: Лань, 2013. — 308 c.

6. Лейнартас, Е.К. Математический анализ: Учебное пособие для бакалавров / А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н. Лукин; Под ред. А.М. Кытманов. — М.: Юрайт, 2012. — 607 c.

7. Лоссиевская, Т.В. Математический анализ: несобственные интегралы: Учебное пособие / Т.В. Лоссиевская. — М.: МИСиС, 2012. — 61 c.

8. Ляшко, И.И. Справочное пособие по высшей математике. Т.

2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента: Часть

2. Дифференциальное исчисление векторного аргумента / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай. — М.: ЛКИ, 2013. — 224 c.

9. Ляшко, И.И. Справочное пособие по высшей математике.Т.

2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. Часть

1. Радя: Учебное пособие / И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай. — М.: ЛКИ, 2012. — 224 c.

10. Просветов, Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие / Г.И. Просветов. — М.: БИНОМ. ЛЗ, 2011. — 208 c.

11. Протасов, Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. — М.: Флинта, Наука, 2012. — 168 c.

12. Шершнев, В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие / В.Г. Шершнев. — М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 164 c.

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Министерство Науки и Образования Республики Казахстан

Евразийский Национальный Университет имени Л.Н. Гумилева

на тему: Применение двойного интегралаВыполнили:

Ткаченко А., ММФ, МКМ-22.

Абикенова Ш.К., к.ф.-м.н., ст.пр. кафедры

фундаментальной и прикладной информатики Астана, 2012

двойной интеграл механика

1. Двойной интеграл

. Приложения двойных интегралов к задачам механики

а) масса плоской пластинки переменной плотности

б) статические моменты и центр тяжести пластинки

в) моменты инерции пластинки

. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов

б) Вычисление площади плоской области

. Вычисление площади поверхности

1. Двойной интеграл Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменнойf(x)≥0 выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).

Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник (рисунок 2). Используя ряд чисел < x0, x1, . xm >, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение

Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства

Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение

где - некоторая точка в прямоугольнике и .

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю:

Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как

2. Приложения двойных интегралов к задачам механики а) Масса плоской пластинки переменной плотности

Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости Оху и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно пренебречь.

Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы площадки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.

Определенная таким образом поверхностная плотность будет зависеть только от положения данной точки, т. е. являться функцией ее координат:

Если бы плотность была постоянной (), то масса всей пластинки равнялась бы , где S - площадь пластинки. Найдем теперь

Читайте также: