Реферат задачи на смеси и сплавы
Обновлено: 05.07.2024
Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ.
Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов pA , выраженное формулой
где MA – масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M – масса всей смеси (сплава, раствора).
Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы (1) для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества A в растворе используется формула
где VA , – объём вещества А в растворе, а V – объем всего раствора.
Определение 2 . Формулу (1) называют формулой для массовой концентрации вещества A в смеси (сплаве, растворе), а формулу (2) – формулой для объёмной концентрации вещества A в растворе.
При решении задач считается, что при слиянии нескольких растворов (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов соответственно.
Приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей (сплавов, растворов), а также при решении задач на объёмные концентрации растворов, являются общими, что мы и увидим при решении следующих типовых задач
Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы
Задача 1 . Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти концентрацию полученного раствора кислоты в воде.
Решение . В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится
литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем
литров, то концентрация кислоты в этом растворе равна
Задача 2 . Имеется 27 килограммов смеси цемента с песком с 40% содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы процентное содержание цемента в ней стало 30% ?
Решение . Обозначим буквой x количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в 27 килограммах смеси с 40% содержанием цемента содержится
килограммов цемента, а после добавления x килограммов песка масса смеси станет равной
килограммов, то после добавления песка процентное содержание цемента в получившейся смеси будет составлять
По условию задачи
Ответ . 9 килограммов.
Задача 3 . Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?
Решение . Обозначив буквой x массу 8% раствора соли, а буквой y – массу 13% раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.
На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 200 миллилитров 9% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 200) миллилитров.
На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 300 миллилитров 17% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 300) миллилитров.
Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
Ответ . Смешали 70 мл 8% раствора и 55 мл 13% раствора.
Задача 4 . Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти процентное содержание меди в первом и во втором сплавах.
Решение . Обозначим x % и y % - процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.
На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из 1 килограмма первого сплава и 2 килограммов второго сплава. Масса этого сплава – 3 килограмма.
На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из 4 килограммов первого сплава и 1 килограмма второго сплава. Масса этого сплава – 5 килограммов.
Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :
Ответ . В первом сплаве содержание меди 30% , во втором сплаве содержание меди 60% .
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ , опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
Решение задач на смеси и сплавы при подготовке к егэ. Работа заняла первое место на школьной научно- практической конференции.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| doklad_konferenciya_2012___smesi_splavy.doc | 85.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Автор - Коновалова Юлия, ученица 11 класса А
Консультант – Собчинская Л. Л.,
учитель математики МБОУ СОШ № 18
Введение…………………………………………………………………………………..3 Глава I. Алгоритм решения текстовых задач на концентрацию и совместную работу……………………………………………………………………………………. 5 1.1. Решение задач на концентрацию……………………………………………………6 1.2. Решение задач на совместную работу……………………………………………. 12 Глава II. Практическая часть…………………………………………………………….16 Заключение………………………………………………………………………………..18 Список литературы……………………………………………………………………….19 Приложение……………………………………………………………………………. 20
Ознакомление учащихся со способами решений текстовых задач на концентрацию и работу;
Проведение выборочного анкетного опроса среди учащихся МБОУ СОШ № 18;
Задачи: Дать определение концентрации; Повысить уровень знаний в данной области; Выработать алгоритм решения задач; Предоставить ряд текстовых задач данного типа для самопроверки. Методы исследования: Изучение научно - популярной, учебной и справочной литературы , КИМов для подготовки экзамена по математике ; Сравнение алгоритмов решения задач на концентрацию и задач на работу; Визуализация данных; Анкетирование.
Гипотеза: задачи на концентрацию и совместную работу вызывают у учащихся затруднения, но их решение сводится к определённому алгоритму, который применяется к задачам данного типа.
Объект исследования: математика. Предмет исследования: задачи на концентрацию, сплавы и работу.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования изобретения. Древние говорили: Научить нельзя, можно только научиться.
Глава I. Алгоритм решения текстовых задач на концентрацию и совместную работу.
Для того, чтобы лучше понимать условия задач на концентрацию и работу, необходимо раскрыть следующие понятия:
концентрация раствора – отношение массы чистого вещества (твёрдого вещества) к массе всего раствора . Она показывает долю вещества в растворе. Процент - одна сотая любого вещества. Производительность объекта - скорость работы .
1.1. Решение задач на концентрацию.
В данных задачах речь идет о сплавах, растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора, масса которых х и у, то получившаяся смесь будет иметь массу х + у. Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию. В смесях и растворах содержится некоторая масса чистого вещества, которую и отражает концентрация. При решении таких задач удобно пользоваться таблицей, которая помогает понять задачу и по которой легче составить уравнение или систему, так как она нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки. Такая таблица имеет стандартный вид, который легко использовать для записи любой задачи данного типа:
Масса твёрдого вещества (m тв)
Масса вещества (m р-ра)
Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси: Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами. Составить математическую модель задачи и решить ее. Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.
Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, а во втором – 15 г соли. Какова концентрация этих растворов. Какой будет концентрация, если оба эти раствора смешать?
К = 12/80*100% = 3/20*100% = 15 (%) – концентрация 1 раствора. К = 15/120*100% = 5/40*100% = 12,5 (%) – концентрация 2 раствора. К = 27/200*100% = 27/2 = 13,5 (%) – концентрация смеси.
Ответ: 15; 12,5; 13,5.
Смешали 200 г 10 % - го сахарного сиропа и 300 г 20 % - го сахарного сиропа. Какова концентрация полученной смеси?
m тв.1 = 200*10/100 = 20 (г) – в 1 растворе. m тв.2 = 300*20/100 = 60 (г) – во 2 растворе. К = 80/500*100% = 16 (%) - концентрация полученной смеси.
Какое количество сухого вещества содержится в 150 граммах 3 % - го водного раствора этого вещества? В каком количестве 8 % - го раствора содержится такое же количество этого вещества? Решение:
m тв.1 = 150*3/100 = 4,5 (г) - сухого вещества в1 растворе. m тв.2 = 150*8/100 = 12 (г) - сухого вещества во 2 растворе.
Какое количество 8 % - го водного раствора сухого вещества надо взять, чтобы его можно было развести водой до получения 100 граммов 3 % - го раствора этого же вещества? Решение:
2 раствор (с H 2 О)
m тв.2 = 3*100/100 = 3 (г) m р-ра.1 = 100*3/8 = 37,5 (г) m Н2О = 100 – 37,5 = 62,5 (г)
Морская вода содержит 5 % соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней увеличилась до 20 %? Решение:
m тв.1 = 5*80/100 = 4 (кг) m р-ра. 2 = 100*4/20 = 20 (кг) m Н2О = 80-20 = 60 (кг)
Сколько килограммов воды надо добавить к 20 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3 % до 2 %? Решение:
m тв.1 = 3*20/100 = 60/100 = 0,6 (кг) m р-ра 2 = 100*0,6/2 = 50 * 0,6 = 30 (кг) m Н2О = 30 – 20 = 10 (кг) Ответ: 10.
Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30 %, а во втором – 50 % золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 35 % золота? Решение:
0,3x+0,5y = 0,35*(x+y) 0,3x – 0,35x = 0,35y- 0,5y - 0,05x = - 0,25y x = 5y 5/1 = x/y
1.2. Решение задач на совместную работу.
Решение задач на работу сводится к знанию следующей формулы: А = Р*t, где Р – это производительность, t – время, А – выполненная работа (готовая). При этом для записи условий таких задач также удобно использовать таблицу и алгоритм, который применяется для решения задач на концентрацию. Как правило, в них не даётся значений работы и времени выполнения совместной работы, поэтому удобно работу принимать за единицу, а время за неизвестную переменную t.
Мастер делает всю работу за 3 ч, а его ученик – за 6 ч. Какую часть работы делает каждый из них за 1ч? Какую часть работы сделают они вместе за 1ч? За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно? Решение:
⅓ – делает мастер 1/6 – делает ученик
1 ⅓ + 1 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = ½ t * ⅓ + t * 1/6 = 1 3/6 * t = 1 t = 6/3 t = 2 (ч)
Для разравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить вся работу за 36 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно? Решение:
Пусть t – время, за которое обе машины выполнят всю работу. Тогда t*(1/36) + t*(1/45) = 1 (45 + 36) / 1620 * t = 1 81/1620*t = 1 t = 1620/81 t = 20
Три экскаватора различной мощности могут отрыть котлован, работая отдельно: первый – за 10 дней, второй – за 12 дней, а третий – за 15 дней. За сколько времени они отроют котлован, работая совместно? Решение:
Пусть t – время, за которое они отроют котлован, работая совместно. Тогда t*1/10 + t*1/12 + t*1/15 = 1 (6+5+4)*t/60 = 1 15*t/60 = 1 t = 60/15 t = 4
Школа заказала в швейной мастерской спортивную форму для участников соревнований. Одна швея может выполнить весь заказ за 20 дней, второй для выполнения заказа требуется 3/5 этого времени, а третьей – в 2 ½ раза больше времени, чем второй. За сколько времени выполнят весь заказ три швеи, работая совместно? Решение:
3*5/20 = 12 (дн.) – время выполнения заказа II. 5*12/2 = 30 (дн.) – время выполнения заказа III. 3) Пусть t – время, за которое они выполнят заказ, работая совместно. Тогда t*1/20 + t*1/12 + t*1/30 = 1 (3+5+2)*t/60 = 1 t = 60/10 t = 6 Ответ: 6.
Глава II. Практическая часть.
В ходе научного исследования мной было проведено анкетирование учащихся 11 класса МБОУ СОШ № 18. Всего опрошено 23 человека. Всем предлагалось ответить на следующие вопросы: Вызывают ли у Вас затруднения решение задач на концентрацию и совместную работу? Знаете ли Вы способы решения данных задач?
Цель данного опроса:
В ходе научного исследования мной были решены следующие цели и задачи:
Ознакомила учащихся со способами решений задач;
Провела выборочный анкетный опрос среди учащихся МБОУ СОШ № 18;
Рассмотрела определение концентрации ; Выработала следующий алгоритм решения задач на концентраию:
Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами. Составить математическую модель задачи и решить ее. Изучить полученное решение, провести критический анализ результата. Таким образом, данная научная работа имеет практическое значение, так как может служить пособием при подготовке к сдаче экзаменов.
Список литературы: Большая иллюстрированная энциклопедия школьника/ Сост. К. Гисперт – Москва: АСТ. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2005. Габриелян О. С. Химия. Базовый уровень. – М.: Дрофа, 2009. Математика:
Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – Москва: Экзамен, 2010.
Типовые тестовые задания/ Под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко – Москва: Национальное образование, 2011.
Задачи для самостоятельного решения .
1. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2 : 1, 3 : 1, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго. Ответ: 1,92 кг, 0,96 кг, 9,12 кг. 2. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов 3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего. Ответ: 13,75 кг, 5,5 кг, 2,75 кг. 3. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов 4 : 1, 1 : 1, 1 : 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение олова и свинца в нем составило 2 : 3. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго. Ответ: 6,4 кг, 3,2 кг, 14,4 кг. 4. Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих металлов 1 : 1, 1 : 5, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение золота и серебра в нем составило 2 : 1. Найти массу каждого исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого. 5. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова? Ответ: 3 кг , 7 кг. 6. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра? 7. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди? Ответ: 9 кг и 6 кг. 8. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42% золота? Ответ: 15 кг. 9. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока? Ответ: 300 кг. 10. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны растворы? Ответ: 3 : 2. 11. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах. Ответ: 5%. 12. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного раствора. Определить концентрацию полученного раствора. Ответ: 12,5%. 13. Какое количество воды надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5% раствор уксуса? Ответ: 1300 гр. 14. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем повысилась на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли? Ответ: на 4%. 15. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%. Ответ: 60 кг. 16.Имеются два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11? Ответ: 1 кг, 7 кг. 17. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая в отношении 3 : 7. По сколько ведер надо взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 : 5? Ответ: 9 ведер из первой и 3 ведра из второй. 18. Два раствора, из которых первый содержал 800 г безводной серной кислоты, а второй 600 г безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определить вес первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем процент содержания безводной серной кислоты во втором. Ответ: 4 кг и 6 кг. 19. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором сплаве. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, содержание меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг. Ответ: 20% и 60%. 20. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца содержится в сплаве? Ответ: 108 г цинка и 184 г свинца. 21. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров смеси. Сколько кислоты было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л меньше кислоты, чем в первом? Ответ: 20 литров. 22. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке? Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг. 23. Имеется два сосуда. В одном содержится три литра 100%-ной серной кислоты, а в другом два литра воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый – один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная кислота. Сколько серной кислоты в процентах содержится теперь в первом сосуде? Ответ: 72%. 24. Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное содержание меди в исходных кусках? Ответ: 40% и 100%.
Актуальность темы в настоящее время, объясняется тем, что в России модернизация касается и образования. Единый государственный экзамен должен не только определить уровень подготовки выпускников школ, но и задать направление развития школьной математики на ближайшие несколько лет. В школьном курсе математики мало времени уделяется задачам на растворы, смеси и сплавы. Однако задачи на смеси часто включают в экзаменационные варианты 11-го, а иногда и 9-го класса, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытывают сложности при их решении.
Описание разработки
Введение
Доминирующей идеей федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике является интенсивное развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критического мышления, овладения математическими знаниями и умениями на всех ступенях обучения, использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности.
Актуальность данной темы в настоящее время, объясняется тем, что в России модернизация касается и образования. Единый государственный экзамен должен не только определить уровень подготовки выпускников школ, но и задать направление развития школьной математики на ближайшие несколько лет.
Актуальность данной темы обусловлена ещё и тем, что единый государственный экзамен как форма аттестации перешла из экспериментального в штатный режим.
Цель проекта: использование педагогических технологий в учебном процессе с целью повышения качества знаний, умений и навыков.
Задачи проекта:
Повысить интерес и мотивацию учеников к изучению математики.
Развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся.
Совершенствовать навыки работы с учебником.
Разработать методику для подготовки учащихся к ЕГЭ.
Методы исследования: анализ методической и учебной литературы, базы данных математических задач "Задания для подготовки к единому государственному экзамену" для учащихся 10, 11 - х классов
Предполагаемые продукты
Разработки нестандартных уроков.
"Банк тестовых заданий".
Разработка методики повторения перед ЕГЭ.
Конечный результат: успешная сдача ЕГЭ, возможность получить аттестат о среднем образовании учащихся.
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. В процессе решения задач на смеси и сплавы в арсенал приемов и методов человеческого мышления включается индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.
В школьном курсе математики мало времени уделяется задачам на растворы, смеси и сплавы. Однако задачи на смеси часто включают в экзаменационные варианты 11 - го, а иногда и 9 - го класса, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытывают сложности при их решении.
Задачи на смеси и сплавы имеют практическое значение, являются хорошим средством развития мышления учащихся. Они расширяют базовый курс математики и позволяют учащимся осознать практическую ценность математики. Задачи на растворы, смеси и сплавы обладают диагностической и прогностической ценностью, то есть с их помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, то есть лишний раз проверить и оценить свои способности к математике. При решении задач на растворы, смеси и сплавы очевидны межпредметные связи с химией, физикой и экономикой, знание этого повышает учебную мотивацию учащихся по всем предметам.
Трудности при решении этих задач могут возникнуть на различных этапах:
составления математической модели ( уравнения, системы уравнений, неравенства)
решения полученной модели;
анализа математической модели ( по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнений в системе или слишком много неизвестных и пр. )
Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют рисунки, чертежи, схемы, таблицы и пр. Очень важно разобраться в самом тексте задачи, вникнуть в условия, составить алгоритм решения. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.
Перед тем как приступить к объяснению различных способов решения подобных задач, примем некоторые основные допущения.
При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов, что отражает закон сохранения массы.
Определение. Процентным содержанием (концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси.
Эта величина может быть выражена либо в дробях, либо в процентах.
Измерять количество компонентов в смеси будем в единицах массы, а не объема, т. к. изменение массы происходят линейно, а изменение объема – по более сложной зависимости, и все равно приходится переходить к изменениям массы, но уже используя плотность веществ.
Концентрация – это безразмерная величина.
Сумма массовых долей всех компонентов, составляющих смесь, очевидно, равна единице.
Различные способы решения задач
В дальнейшем в начале каждой задачи указано, начиная с какого класса можно ее решать. Это позволит учителю сэкономить время при подготовке к уроку, так как одну и ту же задачу можно использовать в 5 - м или 6 - м классе при изучении темы, а потом ее включить при повторении в 9 - м или 11 - м классе. В процессе решения задач учащиеся повторяют как найти часть от числа и число по его части, прямую и обратную пропорциональные зависимости, способы решения уравнений и другое.
1. В колбе было 140 г 10% - го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее долили 60 г 30% - го раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе.
Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс) под редакцией С.А. Шестакова. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.
- составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
- решения полученной модели;
- анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты:не хватает уравнения в системе и пр.).
Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.
- масса раствора (смеси, сплава);
- масса вещества;
- доля (% содержание) вещества.
При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.
Урок по решению этих задач целесообразно провести в ходе обобщающего повторения по алгебре в конце 9 класса.
Цель урока :обобщение, углубление, систематизация знаний, умений, навыков учащихся, развитие творческих способностей учащихся.
I ) Актуализация опорных знаний обучаемых.
С помощью таблицы повторить основные теоретические сведения по данной теме. При этом учащиеся составляют опорный конспект (или используют “Приложение 1”, где уже напечатаны основные теоретические сведения, тексты задач и незаполненные таблицы к задачам).
Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда
- доля вещества в растворе;
- доля воды в растворе;
· 100 % - концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе;
· 100% - процентное содержание воды в растворе;
При этом · 100 % + · 100% = 100%.
Примечание 1. Вместо воды можно брать любую жидкость – основание, в которой можно растворить то или иное вещество.
Примечание 2. С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.
Примечание 3. Вместо весовых мер веществ и воды можно брать доли или части (mч и Мч ).
II) Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них.
Таблица для решения задач имеет следующий вид:
| Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание вещества (доля содержания вещества) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
III) Решение задач.
Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.
Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:
Ответ:концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна 32 %.
Очень часто в жизни приходится решать следующую задачу.
Задача 2.Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Анализируя таблицу, составляем уравнение :
Ответ :1,55 кг воды.
Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.
Анализируя таблицу, составляем уравнение :
0,12у + 0,2у = 0,01х·2у
Получили уравнение с двумя переменными, учитывая, что , имеем
Ответ :концентрация раствора 16 %.
Задача 4. Смешали 8кг 18 % раствора некоторого вещества с 12 кг 8 % раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Уравнение для решения задачи имеет вид:
0,01х·20 = 0,18·8 + 0,08·12
Ответ:концентрация раствора 12 %.
Задача 5 Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано?
Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)
Выполним вторую операцию:
| I раствор | 40 % = 0,4 | х | 0,4х |
| II раствор | 15 % = 0,15 | у | 0,15у |
| Кислота | 80 % = 0,8 | 3 | 0,8·3 |
| Смесь II | 50 % = 0,5 | х + у +3 | 0,5(х + у +3) |
Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).
Для решения задачи получаем систему уравнений:
Решаем систему уравнений:
Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.
Задача 6. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.
Итак, получаем систему уравнений :
Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.
Задача 7. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?
·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве
·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве
121+255=376 (кг) – масса III сплава
88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве
376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве
Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.
Задача 8. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.
По условию задачи А :В = 5 :6, тогда
В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.
Решаем уравнение относительно . Получим =.
Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.
Задача 9.Из полного бака, содержащего 256 кг кислоты, отлили п кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили п кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 8 раз, раствор в баке стал содержать 1 кг кислоты. Найдите величину п.
В этой задаче важно правильно определить и сохранить вид отдельных выражений – количество кислоты и долю кислоты в растворах, чтобы выявить закономерность.
Кроме того это должно тренировать и закреплять соответствующие модели отдельных бытовых действий.
Составляем уравнение для решения задачи :
Ответ :n = 128.
IV) Домашнее задание: составить и решить не менее двух задач на “растворы, смеси и сплавы”.
Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.
В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.).
Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи.
Крамор В.С., Лунгу К.Н. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры”, часть I. – М.:Аркти, 2001.
Читайте также: