Реферат уравнение математической физики
Обновлено: 30.06.2024
Классические уравнения математической физики являются линейными.
Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения,
то функция U + V при любых постоянных и снова является решением.
Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного
дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных
Современная общая теория дифференциальных урав нений занимается
главным образом линейными уравнениями и специальными классами
нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением
различных физических процессов. Сюда относятся явления , изучаемые в
гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при
этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют
Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с
изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так,
например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный
характер и требуют применения различных математических методов.
Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно
широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики,
Расположение материала соответствует основным типам уравнений.
Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач,
§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа
наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами
колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа
называется волновым уравнением . К исследованию этого уравнения приводит
рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний
стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала,
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.
Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по
первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя
струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или
отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны
будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача
заключается в определении формы струны в любой момент времени и
определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
(1)
Пусть выбран любой, где , и его норма:
- дифференциальный оператор.
- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)
Открытое, связное множество называется областью.
По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через или будем обозначать границу области.
- (n-1)-мерное многообразие S в принадлежит классу (), если
для и такие, что:
, где
однозначно проектируется на плоскость , при этом:
D - проекция данного множества на плоскость , - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.
- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в .
, аналогично .
- множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.
Аналогично: .
§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
Читайте также: