Реферат разложение многочленов на множители

Обновлено: 03.07.2024

Правило: для того чтобы вынести за скобки общий множитель, надо:

– выделить наибольший общий делитель коэффициентов

– выделить буквы в наименьшей степени

– вынести общий множитель за скобки, в скобках будет столько,

сколько было слагаемых в условии.

3х − 3у = 3 ∙ х − 3 ∙ у = 3(х − у)

aх + ab = a ∙ x + a ∙ b = a(x + b)

2a − 10 = 2 ∙ a − 2 ∙ 5 = 2 (a − 5)

a2 − a = a ∙ a − a ∙ 1 = a (a −1)

(х − у)2 + (х − у) = (х − у)(х − у) + 1 ∙ (х − у) = (х − у)(х − у + 1)

2(а − b) − a(b − a) = 2(a − b) + a(a − b) = (a − b)(2 + a)

(a − b) = − (b − a) − смена знака

3xy2 + 9x2y3 −12x3y4 =

− выделяем общий множитель для чисел (коэффициентов) − наибольший общий делитель − НОД(3;9;12) = 3

− выделяем общий множитель среди степеней с одинаковым основанием − степень с наименьшим показателем − x1y2

= 3xy2 ∙ 1 + 3xy2 ∙ 3ху − 3xy2 ∙ 4х2у2 = 3xy2 (1 + 3ху −4х2у2)

3xy2 9x2y3 12x3y4

2) применение ФСУ.

a2 − b2 = (a − b)(a + b) − разность квадратов

a2 −2ab + b2 = (a − b)2 − квадрат разности

a2 +2ab + b2 = (a + b)2 − квадрат суммы

3) способ группировки

а 2+ аx + 2a + 2x = (a2 + аx) + (2a + 2x) = a(а+ x) + 2(a + x) = (a + x)(a + 2)

^ Выделение полного квадрата

Сокращение алгебраических дробей

Допустимые значения алгебраической дроби – значения буквы, входящей в дробь, при которых знаменатель не равен нулю.

Все значения а, кроме а =-2 все значения а ,кроме 0 и 3

Дробь можно сократить только на общий множитель, входящий одновременно и в числитель и в знаменатель дроби.

Основное свойство дроби: величина дроби не изменится если числитель и знаменатель разделить или умножить на одно и то же число.

Чтобы сократить дробь надо:

1) выделить общий множитель для числителя и знаменателя

2) разделить числитель и знаменатель на общий множитель

3) если числитель и знаменатель алгебраические суммы,

то необходимо разложить их на множители

4) разложение выполнять по алгоритму 1) 2)

Сам-но с проверкой у учителя самостоятельно

Програма навчальної дисципліни фізична географія материків І океанів (шифр І назва навчальної дисципліни)

Ваш концерн объединяет десятки предприятий, которые специализируются на разработке, выпуске и модернизации систем пво

Цель:
- формировать умение рефлексировать, анализировать, планировать свою деятельность через применение известных правил и формул;
- реализовывать знания и умения для выполнения заданий повышенной сложности;
- воспитывать интерес к предмету.

Содержание

Характеристика фрагмента методики обучения по теме:
“Разложение на множители”
Теория

Более сложные задачи

Список использованой литературы

Работа содержит 1 файл

методика реферат. doc

Кубанский Государственный университет

Тема: “Разработка фрагмента методики обучения по теме:

4 курса 43 группы

и компьютерных наук

Краснодар 2010 год

Характеристика фрагмента методики обучения по теме:

“Разложение на множители”

Тема : Разложение на множители

- формировать умение рефлексировать, анализировать, планировать свою деятельность через применение известных правил и формул;

- реализовывать знания и умения для выполнения заданий повышенной сложности;

- воспитывать интерес к предмету.

Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний, урок – практикум

Методы обучения: наглядный, частично – поисковый, практический

Формы организации: коллективная, групповая, индивидуальная

План фрагмента методики обучения:

Теория
Практика
Задачи
Более сложные задания

Разложение многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Проведем классификацию данных многочленов по способу разложения на множдители:

Метод разложения на множители:

Вынесение общего множителя за скобки
С помощью формул сокращенного умножения
Способ группировки

Вынесение общего множителя за скобки

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Применение формул сокращенного умножения

Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

а2 + 2аb + b2 = (а + b)2

а2 - 2аb + b2 = (а - b)2

а2 - b2 = (а – b)(а + b)

а3 + b3 = (а + b)(а2 - аb + b2)

а3 - b3 = (а - b)(а2 + аb + b2)

Способ группировки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель
Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки
Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки.

Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители.

20х3у2 + 4х2у 15а3b + 3а2b3

а4 –b8 а2 + аb – 5а - 5b

2bх – 3ау - 6bу + ах 2аn - 5bm - 10bn + аm

27b3 +а6 3а2 + 3аb – 7а - 7b

Х2 + 6х + 9 49m4 – 25п2

b(а +5) – с(а + 5) 2у(х – 5) + х(х – 5)

Вынесение общего множителя за скобки: множителя за скобки

Формулы сокращенного умножения:

2bх -3ау -6bу + ах

2аn -5bm -10bn + аm

Метод выделения полного квадрата

Многочлен дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. Чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Пример: x 2 -10x+24= Приемы:

= (x 2 -10x+25)-25+24 = - дополним многочлен слагаемым 25 и отнимем его;

= (x-5) 2 -1 = - выделим полный квадрат;

= (x-5-1)(x-5+1) = (x-6)(x-4) - применили формулу сокращенного умножения.

Комбинация различных приемов при разложении многочленов на множители

Пример 1: 5x 2 -45 Приемы:

Решение: 5x 2 -45 = 5(x 2 -9) = - вынесение общего множителя;

= 5(x-3)(x+3) - использование формул сокращенного умножения.

Пример 2: y 3 -3y 2 +6y-8

Решение: y 3 -3y 2 +6y-8 = Приемы:

= (y 3 -8)-(3y 2 -6y) = - группировка;

= (y-2)(y 2 +2y+4)-3y(y-2) = - формула сокращенного умножения;

= (y-2)(y 2 +2y+4-3y) = - вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки

3а + 12b = 3(а + 4 b)

2у(х - 5) + х(х – 5) = (х – 5)(2у + х)

С помощью формул сокращенного умножения

4х2 + 12ху + 9у2 = (2х + 3у)2

125а3 – 64х3 = (5а – 4х)(25а2 + 20ах + 16х2)

49х4у6 - 0,01а2 = (7х2у3 – 0,1а) (7х2у3 + 0,1а)

3а2 +3аb – 7а - 7b = (3а2 + 3аb) – (7а + 7b) = 3а(а + b) – 7(а + b) = (а + b)(3а – 7)

Цель: Формировать умение рефлексировать, анализировать, планировать свою деятельность через применение известных правил и формул. Реализовать знания и умения для выполнения заданий повышенной сложности.

Этапы практикума
Немного теории
Разложить многочлен на множители значит представить его в видепроизведения более простых многочленов.

Существует несколько способов разложения:
• Вынесение общего множителя за скобки
• Способ группировки
• С помощью формул сокращенного умножения

Практическое применение
Сначала убедимся в том, что разложение на множители – вещь полезная. Вам предлагают решить уравнение
2х2 + х – 6=0.
Для таких уравнений имеется специальное правило решения,но вы его пока еще не знаете. Как быть? Воспользуемся разложением многочлена на множители:
2х2 + х – 6=(2х – 3)(х + 2)
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
(2х – 3) (х + 2)=0
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит,
либо 2х – 3 = 0,
либо х + 2 = 0.
Из первого уравнения х=1,5, а из второго уравнения х = -2 .
Уравнение решено, оно имеет двакорня: –2 и 1,5.

Рассмотрим другую ситуацию
Пусть нужно найти значение числового выражения
532-472
612-392
Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов:
532-472 = (53-47)(53+47) = 6•100 = 6 = 3
612-392 (61-39)(61+39) 22•100 22 11
Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий салгебраическими дробями.

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители.

Пример
Доказать, что для любого натурального числа n выражение
n3+3n2+2n
делится безостатка на 6.

Попробуйте его решить

Посмотрите, как легко это можно сделать
Р = n3+3n2+2n.
Если n=1, то Р =1+3+2=6. Значит, Р делится на 6 без остатка.
Если n=2, то Р =23+3·22+2·2=8+12+4=24. Следовательно, и Р делится на 6 без остатка.
Если n=3, то Р=33+3·32+2·3=27+27+6=60. Поэтому и Р делится на 6 без остатка.

Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся.Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.

Имеем: n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2).
В самом деле n(n+1)= n2+ n, а (n2+n)(n+2)=n3+2n2+n2+2n=n3+3n2+2n.
Итак, Р = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел –четное, т.е. делится на 2. Итак, Р делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6.
Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n3+3n2+2n= n(n+1)(n+2)?

Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.
К этому и перейдем.

Алгоритмы:
Вынесение общего множителя за скобки
Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов

• Найти наибольший общийделитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).

• Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.

• Произведение коэффициента и переменной, найденного на первом и втором шагах, является общиммножителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример
Разложить на множители:
-x4y3-2x3y2+5x2.
Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
1. Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.
2. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.

Рассмотрим основные определения и теоремы о многочленах.

где $n\in Z$, называется многочленом, число $n$ -- степень многочлена. Коэффициенты $A_ ,A_ . A_ $при переменных являются действительными или комплексными числами.

Корень многочлена -- это значение переменной $x$, при котором заданный многочлен обращается в ноль.

При делении многочлена $f(x)$ на $x-a$ получается остаток, который равен $f(a)$.

Если $a$ есть корень заданного многочлена, т.е. $f(a)=0$, то заданный многочлен представляется в виде следующего произведения

где $f_ (x)$ -- многочлен.

Любая целая рациональная функция $f(x)$ имеет хотя бы один корень, вещественный (действительный) или комплексный.

Любой многочлен степени $n$ может быть представлен как разложение многочлена на $n$ линейных сомножителей вида $x-a$ и множитель, который равен коэффициенту при $x^ $:

\[f(x)=A_ \cdot (x-a_ )\cdot (x-a_ )\cdot . \cdot (x-a_ ),\]

где $a_ ,a_ . a_ $ -- корни многочлена.

Записать разложение заданного многочлена $f(x)=x^ -6x^ +11x-6$ на множители.

Готовые работы на аналогичную тему

При $x=1$ получаем $f(1)=0$. Следовательно, исходный многочлен делится на $x-1$ без остатка. После деления получаем разложение многочлена следующего вида:

Найдем корни второго сомножителя, который является квадратным многочленом:

Получим разложение многочлена:

Если заданный многочлен тождественно равен нулю, то все коэффициенты этого многочлена равны нулю.

Если два заданных многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного из этих многочленов равны соответствующим коэффициентам другого.

Определить коэффициенты многочлена $ax^ +bx^ +cx+d$ тождественно равного многочлену $2x^ +3x$.

На основании теоремы 5 получаем, что $a=0,\, \, b=2,\, \, c=3,\, \, d=0$.

Если в разложении многочлена степени $n$ на линейные множители

$f(x)=A_ \cdot (x-a_ )\cdot (x-a_ )\cdot . \cdot (x-a_ )$, (*)

некоторые линейные сомножители оказываются одинаковыми, то данные множители можно объединить, и тогда разложение данного многочлена на множители будет иметь следующий вид:

В формуле (*) корни многочлена $a_ ,a_ . a_ $ могут быть не только вещественными, но и комплексными числами.

Записать разложение на множители многочлена, имеющего корень $x=1$ кратности 2, корень $x=-3$ кратности 3.

Искомое разложение запишется следующим образом:

Многочленом $n$-ой степени называется функция

где коэффициенты $a_ ,a_ ,a_ . a_ ,a_ $ -- постоянные комплексные числа, $a_ \ne 0$, $z\in Z$ -- комплексная переменная. Число $z_ $, при котором многочлен принимает нулевое значение ($P_ (z_ )=0$), называется корнем многочлена.

Любой многочлен, степень которого $n\ge 1$, имеет комплексный корень.

Найти корни заданного многочлена $P(z)=z^ +2z+2$ и разложить на множители.

$z_ =-1-i,z_ =-1+i$ - комплексные корни многочлена

Искомое разложение запишется следующим образом:

Многочлен $P_ (z)$ комплексной переменной $z$ с действительными коэффициентами $a_ ,a_ ,a_ . a_ ,a_ $ обладает следующими свойствами:

Если $\bar$ - число, комплексно-сопряженное для числа $z$, то имеет место равенство $P_ (\bar)=\mathop \limits^ <\_ \_ \_ \_ \_ >$.
Если некоторое число $z_ =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена $P_ (z)$, то число $z_ =\bar_ =a-b\cdot i$ тоже является корнем заданного многочлена.
Если некоторое число $z_ =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена с действительными коэффициентами $P_ (z)$, то $P_ (z)$ без остатка делится на квадратный трехчлен $z^ +pz+q$, где $p=-2a,\; q=a^ +b^ $.
Если некоторое число $z_ =a+b\cdot i$ является корнем заданного многочлена $P_ (z)$ кратности $k$, то число $z_ =\bar_ =a-b\cdot i$ так же является корнем данного многочлена и той же кратности. В разложение заданного многочлена на множители наряду с линейными множителями $x-(a+bi)$ входит столько же линейных множителей $x-(a-bi)$.

Найти комплексные корни заданного многочлена $P(z)=z^ +2z+5$, используя свойства многочленов.

Следовательно, на основании свойств число $z_ =-1+2i$ является корнем заданного многочлена.

Проверить выполнимость свойства $P_ (\bar)=\mathop \limits^ <\_ \_ \_ \_ \_ >$ для многочлена $P(z)=z^ +2z+5$ и комплексного числа $z=1+i$.

Следовательно, равенство $P_ (\bar)=\mathop \limits^ <\_ \_ \_ \_ \_ >$ является верным.

Для многочленов определены следующие операции: сложение, вычитание, умножение. Операция деления многочленов определена не для любых двух многочленов, однако, как и для целых чисел, имеется возможность выполнить деление с остатком.

Вычислить сумму и разность двух многочленов:

$f_ (z)=(1+i)z^ +3z^ +(1-i)\cdot z+5$ и $f_ (z)=(1-3i)\cdot z^ +2z^ +(1+2i)\cdot z+1$.

Понятие многочленов и их свойства. Сущность метода неопределённых коэффициентов. Разложения многочлена на множители. Максимальное число корней многочлена над областью целостности. Методические рекомендации по изучению темы "Многочлены" в школьном курсе.

Рубрика	Математика
Вид	дипломная работа
Язык	русский
Дата добавления	20.07.2011
Размер файла	733,7 K

Подобные документы

Многочлен как сумма или разность одночленов. Запись многочлена в стандартном виде. Операции при сложении и вычитании многочленов. Умножение многочлена на одночлен. Деление многочлена на одночлен. Разложение многочлена на множители, метод группировки.

презентация [53,2 K], добавлен 26.02.2010

Теория высшей алгебры в решении задач элементарной математики. Программы для нахождения частного и остатка при делении многочленов, наибольшего общего делителя двух многочленов, производной многочлена; разложения многочленов на кратные множители.

дипломная работа [462,8 K], добавлен 09.01.2009

Основы теории многочленов от одной переменной. Определение и простейшие свойства многочленов Чебышева. Основные теоремы о многочленах Чебышева. Формальная производная многочлена. Рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициентами.

курсовая работа [1,2 M], добавлен 04.07.2015

Понятие многочлена и его степени. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. Многочлены от одной переменной. Равенство и значение многочленов. Операции над многочленами, основные понятия схемы Горнера. Кратные и рациональные корни многочлена.

курсовая работа [90,2 K], добавлен 15.06.2010

Определение и общие свойства ортогональных функций (многочленов). Рекуррентная формула и формула Кристоффеля-Дарбу. Элементарные свойства нулей, их плотность. Сущность первого и второго рода многочленов Чебышева. Нули многочленов и отклонение от них.

курсовая работа [2,5 M], добавлен 30.06.2011

Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.

реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013

Изучение полиномиальных уравнений и путей их решений. Доказательство теорем Безу и Штурма. Ознакомление с правилами использования формул Виета, математических методов Лобачевского, касательных и пропорциональных отрезков для определения корней многочлена.

Читайте также: