Реферат по теме окружность девяти точек pandia ru

Обновлено: 05.07.2024

Цели урока: учащиеся научатся определять окружность – как геометрическую фигуру, научатся различать элементы окружности: центра окружности , радиуса окружности , хорды окружности, диаметра окружности, дуги окружности.

образовательная : изучение понятия окружности и ее элементов, установление зависимости между диаметром окружности и её радиусом, вывод формул.

развивающая: развитие познавательного интереса, навыков исследовательской работы, умения работать в команде

воспитательная: воспитание самостоятельности, чувства ответственности за качество и результат выполняемой работы.

Планируемые результаты обучения:

- формирование умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры;

- развитие креативности мышления, инициативы, находчивости, активности при решении математических задач;

- развитие способности к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Метапредметные:

- формирование умения видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в окружающей жизни;

- формирование умения планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

- формирование теоретических и практических представлений об окружности как о геометрической фигуре и её элементах;

-формирование умений применения изученных понятий для решения задач практического характера.

11. Тип урока: урок объяснения новой темы

12. Формы работы учащихся: индивидуальная, фронтальная, групповая

13. Необходимое техническое оборудование: Ноутбук, интерактивная доска, карточки с заданиями, лист оценивания, линейка, транспортир, карандаш, циркуль.

Методы обучения: проблемно-диалогический, проблемно-поисковый, метод самостоятельной работы, практические методы, коррекционно- развивающие задачи.

Обучение детей с ЗПР должно обеспечить их, с одной стороны, овладением предметных ЗУНов, а с другой стороны коррекцию умственного, психического развития. Доказано необходимость такой специальной коррекционно-развивающей работы по развитию познавательной деятельности и восполнению пробелов в овладении основными учебными навыками для успешного обучения таких детей в школе. У детей с ЗПР без такой специальной системы коррекционно-педагогической работы математические представления формируются неполноценно и не могут являться основой для усвоения школьного курса математики при дальнейшем обучении. Для лучшего усвоению материала по данной теме урок получение новых знаний был разделён в два этапа, то есть на два урока

На данном уроке используется деятельностный подход, в основу которого положена главная идея – развитие личности обучающегося через самостоятельное открытие знаний и социальное взаимодействие. Главная задача учителя на уроке – способствовать активной мыслительной деятельности каждого ученика. В процессе проблемного диалога обучающиеся самостоятельно выдвигают гипотезы, формулируют определения, делают выводы.

На уроке обучающиеся проводят исследовательскую работу, в ходе которой формулируют определение окружности, выводят формулу для вычисления диаметра и радиуса окружности, строят разнообразные модели окружности, узнают о происхождении математических терминов.

Главной особенностью урока является то, что он проводится на вариативном материале, с постоянным нарастанием сложности заданий. Учебный материал рассматривается с разных сторон, в результате этого происходит перенос универсальных учебных действий на более высокий уровень. Урок разработан на основе межпредметной связи математики с историей и работой на местности.

Учитель использует на уроке элементы здоровьесберегающей технологии, Кинезиологические упражнения (это комплекс движений, позволяющих активизировать межполушарное воздействий). Основное внимание уделяется особенностям детей с ЗПР и для предотвращению перегрузок и грамотному использованию технических средств обучения на уроке выполняется смена видов деятельности, применение на уроке современных информационных технологий обучения, использование разнообразного дидактического материала способствует эффективной работе учеников на уроке.

Нажмите, чтобы узнать подробности

Проектная работа по теме:

Выполнила: ученица 8б класса Стекачёва Елизавета

Руководитель: учитель математики Затеева Валентина Павловна

Содержание: 1.Актуальность темы. 2.Цель и задачи. 3.Что такое замечательны точки треугольника? 4.Точка пересечения серединных перпендикуляров. 5.Точка пересечения биссектрис. 6.Точка пересечения высот. 7.Точка пересечения медиан. 8.Точка Торричели. 9.Окружность девяти точек. 10.Прямая Эйлера. 11.Немного из истории открытия замечательных точек. 12.Вывод. 14.Источники литературы.

3.Что такое замечательны точки треугольника?

4.Точка пересечения серединных перпендикуляров.

5.Точка пересечения биссектрис.

6.Точка пересечения высот.

7.Точка пересечения медиан.

9.Окружность девяти точек.

11.Немного из истории открытия замечательных точек.

Актуальность темы.

Цель и задачи. ЦЕЛЬ : Исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств. ЗАДАЧА 1 Изучить классификацию замечательных точек треугольника. ЗАДАЧА 2 Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника . ЗАДАЧА 3 Уметь строить замечательные точки треугольника. ЗАДАЧА 4 Изучить область применения замечательных точек.

Цель и задачи.

ЦЕЛЬ : Исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств.

Изучить классификацию замечательных точек треугольника.

Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника .

Уметь строить замечательные точки треугольника.

Изучить область применения замечательных точек.

Что такое замечательны точки треугольника? Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника. Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно.

Что такое замечательны точки треугольника?

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно.

Точка пересечения серединных перпендикуляров. - Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. -Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Точка пересечения серединных перпендикуляров.

- Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности.

-Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Точка пересечения биссектрис. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. ОМ=ОА=ОС

Точка пересечения биссектрис.

Точка пересечения высот.

-Точка пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого являются основания высот, совпадает с точкой пересечения высот треугольника.

Точка пересечения медиан. -Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. -Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади. -Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов , началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю

Точка пересечения медиан.

-Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

-Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади.

-Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов , началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю

Точка Торричели. - Замечание: Точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.

Точка Торричели.

- Замечание: Точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.

Окружность девяти точек. -Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы: Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Окружность девяти точек.

-Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Прямая Эйлера -Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.

Прямая Эйлера

-Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.

Немного из истории открытия замечательных точек. В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением. Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ : ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.

Немного из истории открытия замечательных точек.

В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением. Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ : ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.

Вывод. Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

Источники литературы: - Факультативный курс по математике, автор И.Л. Никольский,Москва,Просвещение,1991. -Энциклопедический словарь юного математика Савин А.П. М. Педагогика,1989 https://ru.wikipedia.org

Источники литературы:

- Факультативный курс по математике, автор И.Л. Никольский,Москва,Просвещение,1991.

Чтобы решить задачи, связанные с вычислением площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников, необходимо знать формулы их площадей и уметь преобразовать. Например, чтобы найти площадь треугольника в разных типах задач ОГЭ, по крайней мере, нужно знать три формулы площади треугольника. Но мне и моим одноклассникам сложно их запомнить и научиться применять.
Счел возможным собрать воедино основные геометрические фигуры и формулы для расчета их площадей и создать стенд в кабинете математики. Просто создать стенд на ватмане мне показалось немного старомодным, поэтому я решил использовать свободную часть стены кабинета математики и превратить ее в предметно-развивающую зону

Оценить 460 0

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с. Киселёвка

Ульчского района Хабаровского края

Проектная работа

Предметно-развивающая зона кабинета математики

Автор проекта: Швец Кирилл, ученик 9 класса

Руководитель: Ойдуп Елена Баторовна,

Требования к предметно-развивающим зонам

Виды геометрических задач

Плоские фигуры и их площади

Четырехугольники. Свойства четырехугольников

Треугольник. Свойство треугольников

Окружность и круг

Стена, как средство для запоминания

Составление эскиза предметной зоны кабинета математики

Оформление предметной зоны кабинета

Актуальность.

В этом году мне предстоит сдать основной государственный экзамен по математике. Чтобы сдать успешно экзамен, мне нужно применять знания в практической ситуации, уметь решать уравнения, задания на тождественное преобразование дробей, многочленов, текстовые алгебраические и геометрические задачи.

При подготовке к экзамену у меня возникли трудности при решении геометрических задач. Эти задачи требуют сформированности умений решать практические задачи, связанные с нахождением различных геометрических величин, выполнять расчеты, используя формулы площадей, основные формулы тригонометрии, умений переводить условие задачи с описанием реальной ситуации на язык геометрии.

Проблема . Чтобы решить задачи, связанные с вычислением площадей треугольников, четырехугольников и многоугольников, необходимо знать формулы их площадей и уметь преобразовать. Например, чтобы найти площадь треугольника в разных типах задач ОГЭ, по крайней мере, нужно знать три формулы площади треугольника. Но мне и моим одноклассникам сложно их запомнить и научиться применять.

Счел возможным собрать воедино основные геометрические фигуры и формулы для расчета их площадей и создать стенд в кабинете математики. Просто создать стенд на ватмане мне показалось немного старомодным, поэтому я решил использовать свободную часть стены кабинета математики и превратить ее в предметно-развивающую зону.

Гипотеза: создание в кабинете математики зоны с изображением плоских геометрических фигур и формул для вычисления их площадей поможет ученикам в решении геометрических задач и украсит кабинет.

Цель: создание дополнительной платформы для отработки и запоминания формул площадей плоских геометрических фигур в виде предметно-развивающей зоны кабинета математики.

-провести анализ типов геометрических задач на ОГЭ на расчет площадей геометрических фигур;

- изучить требования к предметно-развивающим зонам;

- разработать эскиз зоны, содержащий изображение фигур и формулы площадей;

Новизна данной работы: зонирование кабинета математики.

Практическая значимость: наглядный стенд поможет в решении геометрических задач на нахождение площадей.

Объект. Предметно-развивающая зона кабинета математики.

Предмет. Предметно-развивающая зона с изображением геометрических фигур и формул их площадей.

- поиск и изучение литературы;

-анализ и систематизация полученной информации;

- обобщение полученной (в ходе исследования) информации.

Ожидаемый результат: проанализированы КИМы ОГЭ по математике, создана предметно-развивающая зона кабинета математики.

Теоретическая часть

Предметно-развивающая зона кабинета математики

Предметно – развивающая среда - это комплекс эстетических, психолого-педагогических условий, необходимых для осуществления педагогического процесса, рационально организованный в пространстве и времени.[3]

В предметно-развивающую среду входят следующие зоны:

2. Информационная зона.

5. Санитарно-гигиеническая зона.

Информационная зона – располагается по всему периметру кабинета и представлена стендами на стенах. Стенды оформляются в цветном варианте, что притягивает взор детей, вызывая желание познакомиться с информацией.

Что необходимо разместить на стенде в кабинете математики?

Каждый знает, что математика является царицей наук. Стоить отметить, что в кабинете математики должны быть различные плакаты и стенды с таблицами и следующей основной информацией:

Основные школьные формулы по следующим наукам: алгебра, планиметрия, тригонометрия, геометрия;

Разного рода историческая информация: это могут быть портреты математиков или интересные факты о их жизни.

Стенды с таблицами;



Виды геометрических задач в ОГЭ по математике.

Задания части I ОГЭ по математике предназначены для проверки базовой математической компетентности выпускников 9 класса.

При проверке базовой математической компетентности экзаменуемые должны продемонстрировать владение основными алгоритмами, знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, приемов решения задач), умение пользоваться математической записью, применять знания к решению задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.

Из 19 заданий первой части ОГЭ предлагают 5 геометрических задач (№ 15-19). Они представляют собой задачи на вычисление расстояний, углов, длин и площадей плоских фигур, в том числе по готовому чертежу. Эти задания направлены на проверку умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.[4]

Задание 16 представляет собой задачу, связанную с окружностями и их элементами.

С четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами мы встречаемся в 17 задании . Необходимо знать формулы вычисления площади четырехугольников, а также их свойства.

B некоторых случаях подобные задачи можно решить, разбив данную фигуру на прямоугольные треугольники и квадраты, площади которых легко вычислить. Если четырёхугольник не является выпуклым или если угол между его диагоналями отличен от прямого, но вершины четырёхугольника являются линиями сетки, можно дополнить его до прямоугольника, проведя через его вершины прямые по линиям сетки. После этого из площади полученного прямоугольника нужно вычесть площади дополняющих фигур, которыми будут прямоугольные треугольники и квадраты. Эту же идею можно использовать и при вычислении площадей треугольников с вершинами в узлах сетки, если стороны треугольника не лежат на линиях сетки.

Задание 19 направлено на проверку умения проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.

Плоские фигуры и их свойства

2. 3 .1 Четырехугольники. Свойства четырехугольников.

Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющимися соседними, также называются противоположные.[1]

Рассмотрим произвольный треугольник. Теорема Эйлера об окружности девяти точек гласит: основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр — точку пересечения высот — с вершинами треугольника, лежат на одной окружности — окружности девяти точек.

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.


Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны). Для гомотетичных фигур и в силе формулы отношения периметров и площадей подобных фигур.


При гомотетии с центром в ортоцентре треугольника и коэффициентом 1/2 описанная окружность треугольника переходит в окружность девяти точек.

При этой гомотетии центр описанной окружности переходит в центр окружности девяти точек. Следовательно, центр окружности девяти точек — середина отрезка, соединяющего ортоцентр треугольника с центром его описанной окружности.

При гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -1/2 вершины треугольника переходят в середины противоположных сторон. Поэтому при этой гомотетии высоты переходят в серединные перпендикуляры, а ортоцентр — в центр описанной окружности. Это значит, что центр тяжести треугольника (точка пересечения его медиан) лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и расположена вдвое ближе к центру описанной окружности, чем к ортоцентру.

Таким образом, центр описанной окружности, центр тяжести, центр окружности девяти точек и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.

Теорема Гамильтона

Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.

Теорема была доказана выдающимся ирландским математиком и физиком XIX века Уильямом (Вильямом) Роуэном Гамильтоном в 1861 г.

Ассоциация


Три треугольника Гамильтона в теореме Гамильтона образуют так называемый глаз дракона

Применение

Теорема Гамильтона используется, как составная часть, в теореме Джонсона


Все три синие окружности проходят через две разные вершины остроугольного треугольника ΔABC о его ортоцентр H и имеют одинаковый радиус. Внешняя красная окружность используется в теореме Джонсона

Следствия

· Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.

· Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

· Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона имеют три центра JA, JB и JC. Эти три центра образуют вершины треугольника Джонсона ΔJAJBJC , который равен исходному треугольнику Δ ABC и имеет попарно параллельные с ним стороны.

Читайте также: