Реферат по математике 6 класс на тему дроби

Обновлено: 04.07.2024

В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные дроби древних вавилонян. Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках.

Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в "Книге разделов об индийской арифметике".

В XV веке, в Узбекистане, вблизи города Самарканда жил математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши (дата рождения неизвестна). Он наблюдал за движением звезд, планет и Солнца, в этой работе ему необходимы были десятичные дроби. Ал-Каши написал книгу "Ключ к арифметике" (была издана в 1424 году), в которой он показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов. Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел.

Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге "Математический канон" французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 135436 - дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа.

Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Исследовательская работа

Найденов Денис

учащийся 6 класса

Руководитель :

Найденова Нина Ивановна

учитель математики

с. Карапсель, 2019

1.1 Дроби знакомые и незнакомые…………………………………. 5

1.2 Старинные задачи на дроби……………………………………. 6

2. Дроби в жизни современного общества……………………….… 9

2.1 Дроби в повседневной жизни человека…………………..…….. 9

2.2 Дроби в профессиональной деятельности людей……………… 9

Список источников информации…………………………………….. 15

Первое знакомство с дробями прошло еще в раннем детстве, когда я угощал половинкой шоколадки своего друга, делил пополам яблоко с мамой. В разговоре взрослых слышал четверть второго, три четверти пятого или треть первого. О том, что это дроби, я не предполагал, узнал об этом только на уроках математики. Тема дроби меня заинтересовала. В прошлом году я познакомился с историей возникновения первых дробей, узнал имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. При этом встретилось много интересных старинных задач на действия с дробями. Было понятно, что без дробей не обойтись.

Актуальность исследования. Важную роль отводят дробям при лечении людей, измерении времени. Дроби присутствуют в постройке любого здания, возведения мостов и так далее. Решающее значение принадлежит дроби в спортивных соревнованиях. Значение дробей трудно переоценить как в повседневной жизни, так и во многих профессиях.

Таким образом, дроби играют важную роль в жизни человеческого общества. С применением дробных значений человек встречается ежедневно. И мне стало интересно узнать об использовании дробей в различных областях жизни и деятельности человека.

Объект исследования: дроби.

Предмет исследования: использование дробей в нашей повседневной жизни.

Методы исследования: анкетирование, сравнение, обобщение, анализ, изучение литературы и интернет ресурсов.

Гипотеза: я предполагаю, что дроби применяются не только на уроках математики, но и необходимы в повседневной жизни.

Цель исследования: формирование представления о целесообразности использования дробей в различных областях жизни и деятельности человека.

1) обобщить исторический материал о дробях;

2) рассмотреть практическое применение дробей;

3) узнать о профессиях, где используются дроби;

4) провести опрос, определяющий степень значимости дробей в повседневной жизни и деятельности человека;

5) кратко оформить собранный материал в буклет и распространить его среди учащихся 5-6 классов;

6) создать электронную презентацию по рассмотренному материалу.

Методы исследования: изучение справочной и математической литературы, интернет ресурсов, обобщение, сравнение, сопоставление, анализ, анкетирование.

На защиту выносится презентация работы.

Новизна проекта. В ходе работы я узнал много новых терминов и понятий. Поломал голову, разбирая решение старинных задач. Провел опрос учащихся среди 6 - 9 классов и взрослого населения по интересующим меня вопросам (результат опроса представлен в Приложении 2). Встретился с людьми разных профессий.

Практическая значимость: обобщить знания о видах дробей и первоначальное их применение. Исследовать целесообразность использования дробей в различных областях жизни и деятельности человека. Собранный материал оформить в виде буклета и распространить среди ребят. Создать электронную презентацию и использовать ее на уроках при изучении дробей.

1. Немного из истории

1.1 Дроби знакомые и незнакомые

1.2. Старинные задачи на дроби

Из некоторых источников я нашёл интересные задачи разных исторических периодов.

1. Задача ИЗ АКМИМСКОГО ПАПИРУСА

Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

Решение. Первый способ. 1)1-1/13=12/13(ч) сокровищ осталось 2)12/13-1/17=191/221(ч) сокровищ осталось. 191/221 составляет 191 3)191:191*221=221

Второй способ. 1)1-1/13=12/13-осталось после первого изъятия.
2)12/13*1/17=12/221-взял другой. 3)1/13+12/221=17/221+12/221=29/221-взяли всего. 4)1-29/221=192/221-осталось и это равно 192. 5)192:192/221=221 было первоначально.

Третий способ. 1) 1 – 1/17 = 16/17 (с.) – составляют 192. 2) 1 – 1/13 = 12/13 (с.) – составляет остаток в первый раз. 3) 192 : 16 ・ 17 = 204 – составляют 12/13 сокровищницы. 4) 204 : 12 ・ 13 = 221. Ответ: 221 было первоначально.

2. Задача Герона Александрийского (I в. н. э.), древнегреческий инженер,

физик, механик, математик, изобретатель.

Бассейн вместимостью 12 м 3 наполняется через две трубы, из которых

через одну поступает в каждый час 1 м 3 воды, а через другую - 4 м 3 . За какое время наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?

Решение. 1) 4+1=5(м 3 ) наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.

2)12:5=2 часа 24 минуты наполнят трубы бассейн. Ответ: за 2 часа 24 минуты.

3. Для переписки сочинения наняты 4 писца; первый мог бы один переписать сочинение за 24 дня, второй - за 36, третий - за 20 и четвертый - 18 дней. Какую часть сочинения напишут они за один день, если будут работать вместе?

Решение. Сочинение принято за 1. 1)1:24 сочинения пишет первый писец за 1 день. 1:36 сочинения - второй писец за 1 день. 1:20 сочинения - третий писец за 1 день. 1:18 сочинения - четвёртый писец за 1 день. 2) 1/24 + 1/36 + 1/20 + 1/18 сочинения они перепишут вместе за 1 день. 3) 360(15 + 10 + 18 + 20)/360 = 63/360 = 7/40 части сочинения напишут писцы за один день, работая вместе.

Ответ: 7/40 части.

4. Задачи и з "Арифметики" Леонтия Филипповича Магницкого.

Решение. Первый способ. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10 = 4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней. Второй способ. Весь бочонок принят за 1, 1/14 часть кади выпивает муж за день, а вместе с женой – 1/10 часть, 1/10 – 1/14=4/140=1/35 часть выпьет жена за день. Всё содержимое жена выпьет за 35 дней. Ответ: 35 дней.

Решение. Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съест 6 возов. Овца съедает воз сена за три месяца, значит, за год она съест 4 воза. Вместе за год они съедят 12+6+4=22 воза сена. Тогда один воз сена они вместе съедят за 12/22 месяца.

Ответ: 12/22 месяца.

6. Задача Эйлера. Леонард Эйлер (1707г.-1783г.) - основатель русской научной математической школы.

Решение. Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а завещанная сумма 49000 рублей. [3, 4]

2. Дроби в жизни современного общества

2.1 Дроби в повседневной жизни человека

Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем, хотя сталкиваемся с ними очень часто дома, на улице, в магазине и так далее. Приведу несколько примеров использования дробей с моим участием.

1. Летом помогал папе в цементировании тротуара. Для приготовления бетонной смеси мы использовали соотношения 1: 4 : 2 : 1/2. Это означает: цемент -1 часть, щебень 4 части, песок - 2 части, вода - 1/2 части.

2. В мои обязанности летом входило убирать скошенную траву с треть круга на нашей улице.

3. Перед ремонтом моей комнаты я с мамой решил две практические задачи с применением дробей, что помогло нам понять, сколько потребуется обоев, клея и краски для ремонта. Измерения длины, ширины и высоты комнаты, вычисление площади выражались десятичными дробями. (Приложение 1)

4. С такими понятиями как размер и длительность нот я узнал на занятиях в музыкальной школе. Счёт длительностей в музыке ведётся от целой ноты, которая считается до четырёх. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти,

8 восьмых, 16 шестнадцатых. Нотная грамотность выражается дробями:

- целая, - половинная, - четвертая, - восьмая, - шестнадцатая.

Вот и музыка живёт в согласии с математикой. Одним из первых эту связь установил древнегреческий философ Пифагор (570 г. до н. э.). Он создал учение о звуке, связал длительность звучания нот с дробями.

2.2 Дроби в профессиональной деятельности людей

Десятичные дроби используются в различных отчётных документах в образовании, торговле, налоговой службе. Хотя облегчения создают вычислительные машины, но работники этих сфер должны, понимать, какие

выполнять вычисления, а, значит, необходимо знать проценты, доли.

А какая точность нужна в медицине! Врач предупреждает и лечит заболевания обратившегося к нему пациента, используя не только профессиональные знания, но и знания из области математики. Доктор с большой точностью высчитывает доли применяемых таблеток на массу тела. Далее с выписанным рецептом человек отправляется в аптеку, и уже фармацевт-продавец считает наименьшее количество упаковок на курс лечения, согласно, прописанного лекарства. Например.

Рецепт. Применять по 0,5 г 3 раза в день в течение 15 дней. Решение. В одной упаковке 12 таблеток лекарства по 0,25 г. 1) На один приём: 0,5: 0,25 = 2 таблетки. 2) На 1 день: 2*3=6 таблеток. 3) На курс лечения:6*15 =90 таблеток.

4) Необходимое количество упаковок: 90:12=7,5. Ответ: 8 упаковок.

При изготовлении лекарственных препаратов от фармацевта требуется предельное внимание при обращении с дробями. Часть лекарств, микстур готовятся в рецептурно-производственном отделе аптеки. Но многие лекарства изготавливают технологи-провизоры на крупных фармацевтических производствах. Всем медицинским работникам нужно знать дроби не просто хорошо, а на отлично, чтобы не причинить вред здоровью человека. Об этом я узнал, беседуя с моим лечащим фельдшером Кравченко Галиной Борисовной. Причем, Галина Борисовна подчеркнула, что с дробями она часто встречается в быту и повседневной жизни.

В кулинарии (как и во всем поварском деле) все основывается на долях, на соотношениях. Стандартные рецепты приготовления видов хлеба основываются на правилах долей. Пекари говорят и понимают язык "долей". Например, тесто содержит основные ингредиенты в пропорции 2:2:7. Любому пекарю понятны эти соотношения: 7- это столько частей муки, 2 - это сколько частей воды (жидкости) и 2 - жиросодержащее (например, маргарин).

В геодезии существует метод съемки земли, называемый космическое зондирование. Этот очень сложный метод можно упростить, используя дроби

при расчетах формул. Благодаря дробным значениям, геодезисты могут получить наиболее качественное изображение поверхности Земли.

Во второй половине 20 века возникла новая отрасль науки - промышленная электроника. Учёные исследуют строение вещества на клеточном, молекулярном и атомном уровнях. Трудно представить, насколько мала молекула. Все вещества на свете состоят из таких малых частиц – молекул. Если попросить всех жителей Земли дать по 1 000 000 000 молекул, то можно собрать только 0,000 000 001 г вещества. Такую маленькую массу очень трудно ощутить на руке. Учёным приходится оперировать всё более мелкими единицами измерения. Эти сверхмалые величины: микро, нано, пико и фемто [6] обозначаются десятичными дробями с множеством нулей. Например, в 1 нанометре содержится 1 миллиардная часть метра: 1 нм =0,000000001 м. Эти величины можно увидеть только под электронным микроскопом. Применяя нанотехнологию [7] , учёные выводят науку на совершенно новую ступень развития. В новом веке нанотехнологий будут нужны ещё более точные дроби.

Судьбу призового места решают дроби и в спорте. Интересна история золотой медали в конькобежном спорте на зимней Олимпиаде в Санкт-Мориц (Швейцария, 1948 год). Оказывается, эту медаль не получил ни один конькобежец. На 2 месте пьедестала стояли 3 человека, на 3 месте – 2 человека, а 1 место осталось свободным. Вся причина была в том, что не учитывались сотые доли секунды, результаты у нескольких спортсменов оказались одинаковыми. Но с развитием технического прогресса результаты спортсменов фиксирует фотофиниш, позволяющий учитывать даже сотые доли секунды.

Цель исследования : провести исследование среди учащихся 6 – 9 классов с целью определения у ребят важности изучения дробей, повышения заинтересованности учащихся при изучении дробей и необходимости использования дробей в повседневной жизни.

В исследовании приняли участие : 27 учащихся.

1. Обладаете ли вы знаниями о дробях?

2. Приходилось ли вам в повседневной жизни пользоваться знаниями о дробях?

3. Необходимы ли знания о дробях в повседневной жизни?

4. В каких сферах чаще всего встречаются дроби?

Вывод. 1. Из 27 опрошенных ребят всего четверо обладают частичными знаниями о дробях, большинство учащихся имеют представления и знания о дробях. И как я ожидал, нет таких ребят, не знающих дроби. (Приложение 2. Диаграмма 1)

2. Большинству из опрошенных ребят приходилось пользоваться дробями в обычной жизни, при этом даже приводили примеры. Но, как, оказалось, есть и те – 3 учащихся, кто никогда не сталкивался с такой ситуацией, этого я не ожидал. Большая часть опрошенных (21 учащийся) считает, что знание дробей

необходимо в повседневной жизни, с чем я полностью согласен, но были те, кто полагает, что эти знания им не нужны. (Приложение 2. Диаграмма 2)

3. Все опрашиваемые указали использование дробей в сферах образования и торговли. Применение дробей в медицине указали 16 ребят, а в творчестве – 12 из числа опрошенных. Во всех сферах встречаются дроби, считают 18 учащихся. И я полагаю, что дроби встречаются, скорее всего, во всех сферах. (Приложение 2 . Таблица 3)

Основное свойство дроби. Умножение и деление десятичных дробей. Обозначение множества рациональных чисел. Сокращение обыкновенных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей. Десятичное число как удобная форма записи дроби с указанными знаменателями.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	27.09.2009
Размер файла	919,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Дроби

Обыкновенной дробью называется число вида где m и n - натуральные числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n - её знаменателем.

Если n = 1, то дробь имеет вид и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Две дроби и называются равными, если

Например, так как Из этого определения следует, что дробь равна любой дроби вида где m - натуральное число. В самом деле, так как то Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю, то получится дробь, равная данной.

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например, (здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например, - несократимая дробь.

Модель 1.5. Сокращение обыкновенных дробей

Обыкновенная дробь называется правильной, если её числитель меньше её знаменателя, то есть m n.

Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Модель 1.6. Сравнение обыкновенных дробей

Пусть, например, даны две дроби и Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим Итак, две дроби и приведены к общему знаменателю:

Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит, Следовательно, Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби и можно привести к знаменателю 56. В самом деле:

Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.

Десятичные дроби

Дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще , может быть записана в виде десятичной дроби.

Например, Аналогично можно записывать неправильную дробь и смешанное число, например

По сути, десятичное число - просто удобная форма записи дроби с указанными знаменателями.

Рассмотрим десятичную дробь 3,1415. Имеем:

Таким образом, в десятичной дроби 3,1415 содержится 3 единицы, 1 десятая, 4 сотых, 1 тысячная, 5 десятитысячных. Вообще, в десятичной дроби может быть сколько угодно разрядов: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные и т. д.

Рассмотренную дробь можно записать так:

Но а Таким образом, десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей.

Ясно, что верно и обратное: десятичная дробь не изменится, если отбросить нули, стоящие справа в конце неё. Например, (нули, не стоящие в конце числа, отбрасывать нельзя). Перечислим, как с десятичными числами можно проводить известные нам арифметические операции.

Модель 1.9. Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание десятичных чисел производится точно так же, как сложение и вычитание целых чисел, нужно только записывать одноимённые разряды один под одним. Например,

Умножение

Умножение десятичных дробей проводится следующим образом. Перемножаем данные числа, как целые, не обращая внимания на запятые. Затем ставим в произведении запятую по следующему правилу: число знаков после запятой в произведении равно сумме чисел знаков после запятой во всех сомножителях. Заметим, что до постановки запятой отбрасывать знаки нельзя.

Модель 1.10. Умножение и деление десятичных дробей

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Рассмотрим, например, дробь и будем делить числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки. При этом для нас будет важным то, что число 2 можно представить в виде 2,000.

Если записать последовательно все получающиеся при этом делении остатки, то получится: 13, 11, 8, 12, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7, 2, 3, 13, .

Понятно, что все эти остатки меньше делителя, то есть 17; это означает, что на некотором шаге должен появиться остаток, который уже встречался раньше. После этого остатки, а значит и цифры в десятичной записи частного, будут повторяться. В нашем примере это происходит на 16 шаге и, начиная с 17-й, все цифры повторяются.

Такая повторяющаяся группа цифр называется периодом. Для краткости период часто пишут в круглых скобках:

Если период начинается сразу после запятой, как в нашем примере, то дробь называется чисто периодической. Если же период не начинается сразу после запятой, а ему предшествуют несколько цифр, то такая десятичная дробь называется смешанной периодической. Например, 0,234(2837468).

Модель 1.11. Обыкновенные и десятичные дроби

Оказывается, что можно провести и обратную операцию, а именно, по любой десятичной дроби найти обыкновенную дробь, ей равную. Как это делается, покажем на примере.

Все дроби вида m/n, где m - целое число, а n - натуральное, могут быть представлены в виде конечных или периодических десятичных дробей.

Целые числа, конечные и периодические десятичные дроби (положительные и им противоположные, которые называются отрицательными дробями) составляют множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел обозначается

Выясним, как можно сравнивать десятичные дроби. Из всего вышесказанного следует, что сумма, разность, произведение и частное двух десятичных дробей снова будут десятичной дробью.

Говорят, что десятичная дробь a больше другой десятичной дроби b, и обозначают этот факт так: a > b, если разность a - b - положительное число. Говорят, что десятичная дробь a меньше другой десятичной дроби b, и обозначают этот факт так: a

В данном исследовательском проекте по математике на тему "Обыкновенные дроби в жизни людей" автор изучает историю возникновения дробей, даёт определение "обыкновенная дробь", а также наглядно показывает обыкновенные дроби.

Подробнее о проекте:

В авторском исследовательском проекте по математике "Обыкновенные дроби в жизни людей" ученик 5 класса стремится показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни. Учащийся дает развернутое определение понятия "дроби в математике", а также приводит подробную характеристику обыкновенных дробей.

Введение

С первого знакомства с дробями было понятно, что они очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними.

В обычной жизни, и взрослым, и детям каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и даже в определенный момент кажется, что нас больше окружают не целые, а дробные числа, что является актуальностью данной темы.

Мне стало интересно узнать: как и когда появились дроби? В какой сфере жизни больше всего практически их применяют? Хотелось в ходе исследования этого вопроса убедиться и убедить других в необходимости дробей в повседневной жизни.

Объект исследования: обыкновенные дроби

Предмет исследования: использование дробей в нашей повседневной жизни.

Цель: показать, что дроби нужны не только в математике, но и в повседневной жизни.

Узнать, что такое дробь, какие виды дроби существуют
Изучить историю возникновения дробей.
Рассмотреть применение дробей в повседневной жизни.
Оценить достижения науки в данной области.

Понятие дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n - показывает на сколько долей разделена единица, а m – показывает сколько таких долей содержится в дроби.

В математике применяются следующие виды дробей:

обыкновенная дробь;
правильная дробь;
неправильная дробь;
смешанная дробь;
десятичная дробь.

Дроби разные нужны, дроби всякие важны

Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной (например 3/7), если больше или равен - неправильной (например 7/3).

Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными. Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа. Например, для смешанной дроби число 3 - целая часть, 2/5 - дробная.

Десятичная дробь, это дробь, которая записывается без знаменателя.

Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д.

История возникновения дробей

Память человечества не сохранила для нас имя изобретателя колеса. Также невозможно назвать точно даже тот отрезок времени, когда появились дроби.

Можно предположить, что потребность делить целое на части возникала ещё в первобытном обществе. Могло быть и так…

Были у древнего человека жена и двое детей. Вот пошла однажды древняя женщина собирать плоды и нашла всего лишь 1 яблоко. Детей у неё двое, а яблоко одно. Наверное, она догадалась: взяла каменный нож да и разделила это яблоко на 2 половины.

Дроби в Древнем Египте

У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4000 лет назад имели десятичную систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Одним из первых известных упоминаний о дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 1/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Вавилонские дроби

Жители древнего Вавилона примерно за 3000 лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла 1/60 часть высшей единицы. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы. Число 60 прекрасно делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян.

Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602, 603 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360˚, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическимидробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

Дроби в Древней Греции

Греки работали с обыкновенными дробями не часто, поэтому использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятеричным дробям.

Дроби в Древнем Китае

В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Дроби на Руси

1/2 - половина, полтина	1/3 – треть
1/4 – четь	1/6 – полтреть
1/8 - полчеть	1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть	1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)	1/5 – пятина
1/7 - седьмина	1/10 - десятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Дроби в других государствах древности

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека

Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. И все же, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине, на работе и так далее. Покажу лишь малую часть того, где мы можно увидеть присутствие дробей.

В медицине. Чтобы приготовить необходимое лекарство нужно знать его состав, записанный с помощью дробей, или, когда врач назначает больному ½ таблетки.

Дроби в кулинарии. Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.

Дроби в музыке. Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот. Древнегреческий философ Пифагор (570 г. до н. э.), один из самых первых установил связь музыки и математики. Он создал учение о звуке. Пифагор связал длительность звучания нот с дробями.

Счёт длительностей в музыке ведётся от целой ноты, которая считается до четырёх. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти, 8 восьмых, 16 шестнадцатых. Так музыка живёт в согласии с математикой.

Дроби в географии: Материк Евразия занимает 1/3 часть суши;

Масштаб карты равен 1/50000

Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Например, масштаб карты 1/10000 означает, что 1см на карте соответствует 10000 см на местности.

Дроби в спорте. Когда смотрим ½ финала матча по футболу.

Дроби в юридической деятельности. Взрослые в жизни встречаются с такими ситуациями: в наследство каждый по завещанию получили, например А- 1/8 имущества наследодателя; Б. – 6/17; В. - завещано всё остальное . Какие доли достались каждому из наследников?

Дроби для портных. Портной при раскрое одежды использует дроби. (рукав длины три четверти - ¾ или брюки длины 7/8)

В настоящее время невозможно представить ни одну отрасль промышленности или сельского хозяйства, или строительства, где бы в расчётах не встречалось дробных чисел.

На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия, называется она - разметчик. Разметчик намечает на заготовке линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму.

Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.

"Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части. Значит, простейшее решение - резать каждую пластинку на 12 равных частей - не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Как же быть?

Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.

Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т.п.

Оказывается, разметчик представил дробь 7\12 в виде суммы единичных дробей 1\3 + 1\4. Значит, если из 7 данных пластинок 4 разрезать на три равные части каждую, то получим 12 третей, то есть по одной трети для каждой детали. Остальные 3 пластинки разрежем 4 равные части каждую, получим 12 четвертей, то есть по одной четверти для каждой детали. Аналогично, используя представления дробей в виде суммы единичных дробей 5\6 = 1\2+1\3; 13\12 =1\3+3\4; 13\36 =1\4+1\9.

Практическая часть. Мои наблюдения

Ситуация 1. В парке стоит молодой человек с букетом цветов:

Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, например, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.

Ситуация 2. Ученик в одежде повара. Готовит тесто для пряников.

- Для пряников понадобится 1 яйцо, один с четвертью стакана муки, две с половиною столовой ложки меда, треть чайной ложки соли, половина чайной ложки имбиря. Всё тщательно перемешиваем и печем пряники.

Приготовленные блюда нужно умело делить на порции.

Ситуация 3. На столе стоит тарелка. В ней 5 пирожное.

Решение было такое: нужно 5 пирожное разделить пополам каждый. Затем ещё 2 пирожное разделить на 3 части. Получается 6 абсолютно равных частей.

Дроби в математике.

Учитель математики после изучения сокращения дробей задал домашнее задание. Найти значение выражения рациональным способом.

65 : (407 : 9) 22 (37 : 26) - (2911 : 213) 6 (35: 287) : 45

На первый взгляд, обыкновенные натуральные числа. Сначала надо решить действия в скобках, потом делить и умножать. Но, здесь должна быть какая-то хитрость?! Надо найти рациональный способ. Я решил данное выражение так:

1) Записал выражение в виде дроби.

2) Преобразовал каждое натуральное число в виде произведения двух множителей.

3) В полученных дробях получились числа, которых можно сократить.

4) Получил ответ

Заключение

При выполнении своего проекта, я узнал много нового и интересного о дробях. Думаю, что эти знания пригодятся в учебе. Прочитал много книг и разделов из энциклопедий. Познакомился с первыми дробями, которыми оперировали люди, узнал новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях. А особенно то, что дроби используются почти во всех сферах деятельности человека, а это значит, что людям всех профессий нужно обязательно изучать дроби! Уметь решать задачи на дроби, знать правила сложения и вычитания, умножения и деления дробей.

Без знания математики, особенно знания дробей вся современная жизнь была бы невозможна. Например, у нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать, сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, то есть точно все измерить, Не было бы ни какой большой промышленности, ни какой коммерции.

В заключении можно сказать, что дроби бывают разные, дроби бывают важные. Знание понятия математическая дробь очень важно!

Считаю, что материалы моей работы будут интересными для других учащихся. Они могут быть использованы как на уроке, так и для проведения учителями внеклассных мероприятий по математике.

Читайте также: