Реферат по геометрии 9 класс
Обновлено: 30.06.2024
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Движения. Преобразования фигур
Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение".
1. Отображения, образы, композиции отображений.
Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N.
Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" означает соответствие точкам точек.
О точке X', соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X' = f(X) . Множество точек X', соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M' = f(M) .
Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N.
Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны.
Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X' множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.
Неподвижной точкой отображения (называется такая точка A, что ((A) = A.
Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными.
Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X' = f(X) (N, а затем X' при отображении g перешла в точку X'' (P, то тем самым в результате X перешла в X''.
В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.
Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.
2. Определение движения.
Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|.
Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.
Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.
3. Общие свойства движения.
Свойство 1 (сохранение прямолинейности) .
При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .
Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|.
При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|.
Таким образом, точки A', B', C' лежат на одной прямой, и именно точка B' лежит между A' и C'.
Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:
Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.
Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.
Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.
Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.
Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.
Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.
4. Параллельный перенос.
Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X' и Y', что XX' = YY'.
Основное свойство переноса:
Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY.
Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.
Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.
Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX' = AA' для всех точек Х.
5. Центральная симметрия.
1. Точки A и A' называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O лежат на одной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О) .
Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.
Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной.
2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.
Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y' = -XY.
Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY.
Вместе с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX'.
Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY.
Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.
Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA'.
6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости) .
1. Точки A и A' называются симметричными относительно плоскости (, если отрезок AA' перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.
Две фигуры F и F' называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (, а плоскость (плоскостью симметрии.
2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) .
Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.
См. Доказательство 1.
Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.
Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.
7. Поворот вокруг прямой.
Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве.
Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол (- углом поворота.
Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота.
Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.
См. Доказательство 2.
Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.
7.1. Фигуры вращения.
Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.
7.2. Осевая симметрия.
Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A', что прямая a перпендикулярна отрезку AA' и пересекает его в середине. Про такие точки A и A' говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.
8.1. Неподвижные точки движений пространства.
Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев: У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос) .
Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия) .
Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой) .
Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия) .
Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение) .
Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.
8.2. Основные теоремы о задании движений пространства.
Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A'B'C'. Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A', B в B', C в C'. Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A'B'C'.
Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A'B'C'D'. Тогда существует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A', ((B) = B', ((C) = C', ((D) = D'.
9. Два рода движений.
Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации.
9.1. Базисы и их ориентация.
Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости.
Тройка базисных векторов называется правой (левой) , если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно.
9.2. Два рода движения.
Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.
Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.
Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.
Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.
Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.
10. Некоторые распространенные композиции.
Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания.
10.1. Композиции отражений в плоскости.
Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.
Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости.
Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так: Композиция отражения в 2 параллельных плоскостях есть параллельный перенос.
Композиция отражения в 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.
Центральная симметрия относительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.
10.2. Винтовые движения.
Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт.
Теорема 2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение (в частности поворот вокруг прямой или перенос) .
10.3. Зеркальный поворот.
Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол (называется композиция поворота вокруг оси a на угол (и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота.
Теорема 3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией.
10.4. Скользящие отражения.
Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.
Теорема 4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть скользящее отражение.
Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельным переносом.
Движение плоскости второго рода является скользящим отражением.
При создании реферата были использованы следующие книги:
1. "Геометрия для 9-10 классов". А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.
Попробуйте УМНЫЙ ПОИСК по курсам повышения квалификации и профессиональной переподготовки
Войти с помощью:
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Всего 158 материалов
5787397 5711106 5711084 5642179 5635162 5635138 5599708 5554430 5543131 5486991 5467094 5463576 5425308 5425264 5425254 5395121 5284937 5269886 5139063 5053177
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
40%
Если Вы не нашли темы для своего учебника, то можете добавить оглавление учебника и получить благодарность от проекта "Инфоурок".
- Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- Для учеников 1-11 классов
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах
Время чтения: 0 минут
В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля
Время чтения: 1 минута
В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей
Время чтения: 1 минута
Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной
Время чтения: 1 минута
В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной
Время чтения: 0 минут
РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
63-теорема. Паралелограммдын жактарынын узундуктарынын квадраттарынын суммасы диагоналдарынын узундуктарынын квадраттарынын суммасына барабар.
ӨӨ. Кординаталар башталышы параллелограммдын бир чокусунда, абсцисса огу анын бир жагында жаткандай кылып коорднаталар системасын тандап алабыз.
OA=a деп белгилесек, анда A(a; 0), болот. С чокусунун кординаталары b жана с болсун: C(b, c). Анда B чокусунун кординаталары a+b жана с болору тушунуктуу: B(a+b, c).
Эми OABC параллелограммынын жактарынын жана диоганалдарынын узундуктарынын квадраттарын эсептеп, теореманын шартын канааттандыра тургандыгын текшереуу керек.
Жактарынын узундуктарынын квадраттарын эсептейбиз
Диоганалдарынын узундуктарынын квадраттарын эсептейбиз
64-теорема: Уч бурчтуктун оорто сызыгы негизине паралель жана анын жарымына барабар.
ДАЛИЛДӨӨ. Бул теорема мурда далилденген, азыр векторлорду колдонуп далилдоо керек. ABC уч бурчтугу берилсин
EF -анын орто сызыгы. AB, BC, AC, EF, векторлорду белгилейбиз.
AC=AB+BC жана ЕС=ЕF+FC, болот. Мында EC=1/2AC, FC=1/2BC болоору тушунуктуу. Анда 1/2AC=EF+1/2BC болот. Эми EF=1/2AB болот. Векторду санга кобойтуунун негизинде векторлору бирдей багытталгандыктан EF=1/2AB болот.
Тема: Жылдыруу
Аныктама. Эгерде F фигурасынын ар бир чекити кандайдыр бир эреженин жардамы менен F’ фигурасынын бир гана чекитине туура келтирилсе, анда бул амалды F фигурасын F’ фигурасына геометриялык озгортуу деп атайбыз.
Чекиттердин арасындагы аралык сакталгандай кылып геометриялык озгортуу жылдыруу деп аталат.
ОКТУК, БОРБОРДУК СИММЕТРИЯЛАР
А ныктама. MM’ кесиндиси L туз сызыгына перпендикулярдуу болуп, ал туз сызык аркылуу тен экиге болунсо, анда M жана M’ чекиттери L туз сызыгына карата симметриялуу деп аталат.
Окко карата симметриянын касиеттери:
Окко карата симметрияда эки чекиттин аралгы озгорбойт.
Окко карата симметрия – бул жылдыруу болот. Мунун тууралыгы жылдыруунун аныктамасынан жана 1-касиеттен келип чыгат.
Окко карата симметриялуу фигуралар барабар болушат. Бул ырастоо фигуралардын барабардыгынны аныктамасы жана 1-касиеттин негизинде далилденет.
Аныктама. Эгерде MM’ кесиндиси О чекитинде тен экиге болунсо, анда М жана М’ чекиттери О чекитине карата симметриялуу деп аталышат.
Пирамида-многогранник,основание которого-многоугольник,а грани-треугольники,которые имеют общую вершину.По числу углов основания пирамиды различают на треугольные,четырехугольные и т.д.
Общая вершина боковых граней-вершина пирамиды.Высота пирамиды-перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на плоскость основания.
Виды пирамид
1.Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а высота, которая опущена из вершины пирамиды на плоскость основания является отрезком, который соединяет вершину пирамиды с центром основания.
Свойства правильной пирамилы:
1.Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой
2.Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
3.Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.
P- периметр основания
Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:
S- площадь боковой поверхности
2.Пирамида, вписанная в конус- пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершина пирамиды- вершина конуса. Боковые ребра пирамиды- стороны, образующие конус.
3.Пирамида,описанная около конуса- пирамида, основание которой есть многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина пирамиды- вершина конуса. Плоскости боковых граней касательны плоскостям конуса.
4.Усечённая пирамида- пирамида, которая получается следующим способом: берётся произвольная пирамида, и через точку бокового ребра проводится плоскость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: пирамида подобная исходной и многогранник, который называется усечённой пирамидой. Основаниями усечённой пирамиды служат подобные многоугольники.
Если усечённая пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями. Высота боковой грани называется апофемой правильной усечённой пирамиды. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на нижнее основание, называется высотой усечённой пирамиды.
Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.
Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
V=1/3*H(S 1 +S 2 +(S 1 +S 2 )^ 0,5
H- высота усечённой пирамиды
S 1 , S 2 -площади оснований усеченной пирамиды
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
Читайте также: