Реферат интегральная функция распределения
Обновлено: 02.07.2024
ТЕМА: ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).
Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероятности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.
Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f (х) имеет следующий вид:
Иногда это распределение называют законом равномерной плотности . Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.
Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то
откуда с=1/( b - a ).
Теперь функцию f ( x ) можно представить в виде
Построим функцию распределения F ( x ), для чего найдем выражение F ( x ) на интервале [ a , b ]:
Графики функций f ( x ) и F ( x ) имеют вид:
Найдем числовые характеристики.
Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:
Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [ a , b ] совпадает с серединой этого отрезка.
Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:
откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:
Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал ( a , b ) , принадлежащий целиком отрезку [ a , b ]:
Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.
Пример1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
СВ- время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна:
Пример2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем
Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале ( a , b ) , найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.
Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х 3 . Тогда математическое ожидание равно:
Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.
Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.
Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т. е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.
Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т. д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения.
Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f ( x ) имеет вид
где а и s — некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.
Функция распределения F ( x ) в рассматриваемом случае принимает вид
Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, s - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна
Выясним геометрический смысл параметров распределения а и s . Для этого исследуем поведение функции f ( x ). График функции f ( x ) называется нормальной кривой.
Рассмотрим свойства функции f ( x ):
1°. Областью определения функции f ( x ) является вся числовая ось.
3°. Предел функции f ( x ) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.
4°. Функция f a максимум, равный
5°. График функции f ( x ) симметричен относительно прямой х = а.
6°. Нормальная кривая в точках х = а + s имеет перегиб,
На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f ( x ) .
Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.
При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .
При изменении параметра s изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f ( x ) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением s кривая стягивается к прямой х=а .
Использование формул f ( x ) и F ( x ) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим формулам можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и s перейти к нормальному распределению с параметрами а=0, s = 1.
Функция плотности нормального распределения f ( x ) с параметрами а=0, s =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:
Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:
Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал ( a , b ) воспользуемся функцией Лапласа:
Перейдем к стандартной нормальной случайной величине
Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)" .
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).
По условию: a =10, b =50, а=30, s =10, следовательно,
По таблице находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |x —а | d .
Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством
Приняв во внимание равенство:
(функция Лапласа—нечетная), окончательно имеем
Вероятность заданного отклонения равна
На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (- d , d ), больше у той величины, которая имеет меньшее значение d . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра s .
Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.
Решение: Воспользуемся формулой
т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:
Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.
Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением
называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.
Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.
Как видно из формулы , показательное распределение определяется только одним параметром m .
Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:
Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:
Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения
Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.
Найдем вероятность попадания СВ в интервал ( a , b ) :
Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t 0 = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t , то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения F ( t )= P ( T t )=1- e - m t определяет вероятность отказа устройства за время t .
Найдем вероятность противоположного события- безотказной работы за время t :
Функция R ( t ) называется функцией надежности.
Выясним смысл числовых характеристик и параметра распределения.
Математическое ожидание - это среднее время между двумя ближайшими отказами устройства, а величина обратная математическому ожиданию (параметр распределения)- интенсивность отказов, т.е. количество отказов в единицу времени.
Пример. Время безотказной работы устройства распределено по закону
Найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее время безотказной работы. Найти вероятность отказа за время t = 100 часов.
По условию интенсивность отказов m =0,02. Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:
По функции F ( t ) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:
1. Сформулировать равномерный закон распределения. Записать дифференциальную и интегральную функции.
2. Записать формулы для вычисления числовых характеристик равномерно распределенной случайной величины.
3. Сформулировать нормальный закон распределения. Записать дифференциальную и интегральную функции.
4. Описать свойства дифференциальной функции нормально распределенной случайной величины. Пояснить геометрический смысл параметров нормального распределения.
5. При каких значениях параметров функция плотности нормального распределения называется плотностью стандартной нормальной случайной величины?
6. Записать формулу для вычисления вероятности отклонения нормально распределенной СВ от математического ожидания.
7. Сформулировать правило трех сигм и пояснить его суть.
8. Сформулировать показательный закон распределения. Записать дифференциальную и интегральную функции.
9. Каков смысл параметра показательного распределения, если в качестве СВ рассматривать время безотказной работы устройства? Какими выражениями параметр распределения связан с числовыми характеристиками?
ПРИМЕР 2. Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие Л. Вероятность события, А равна р = 0,3. СВ X — число появлений события, А в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ. Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось Читать ещё >
- теория вероятностей и математическая статистика
Интегральная функция распределения ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значение которой начинается от 0 и доходит до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрыв.
Зная ряд распределения дискретной СВ, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно:
ПРИМЕР 2. Произведем один опыт, в котором может произойти или не произойти событие Л. Вероятность события А равна р = 0,3. СВ X — число появлений события А в опыте (дискретная СВ). Необходимо построить функцию распределения СВ.
РЕШЕНИЕ. Ряд распределения СВ X имеет вид:
Построим функцию распределения СВ Л" :
-
1) при х 1 F (x) = P (X Пусть СВ X — число появлений события А в 4 опытах. Эта величина имеет ряд распределения:
Построим функцию распределения СВ X:
Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось
Для непрерывной случайной величины вероятность попасть на интервал равна.
Пусть имеется непрерывная СВ X с функцией распределения F
Найдем отношение этой вероятности к длине участка, то есть среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и устремим Дх к 0. В пределе получим производную функции распределения'.
Функция р <х) —производная функции распределения, характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.
Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, так как р (х) существует только для непрерывных СВ.
Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения р (х) и элементарный участок dx, примыкающий к точке х.
Выразим вероятность попадания СВ X на отрезок от а до [5 через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, то есть интегралу:
Рис. 4.2. Вероятность попадания на элементарный интервал
Геометрически вероятность попадания величины X на отрезок [а, р равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис. 4.3).
Формула (4.7) выражает плотность распределения СВ через интегральную функцию распределения. Поставим обратную задачу — выразим функцию распределения через плотность. Согласно определению
Рис. 4.3. Вероятность попадания на интервал
Из формулы (4.9) с учетом (4.8) получим:
Геометрически F (x) есть не что иное, как площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки х (рис. 4.4). [1] [2]
Рис. 4.4. Вычисление функции распределения через плотность СВ.
Основные свойства плотности распределения
Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 4. Функция распределения непрерывной СВ X равна.
Необходимо найти: коэффициент д, плотность распределения /(х), и, наконец, вероятность />(0,25 2 = а х I = 1, то есть а = 1;
c) / > (0,25 r (0,5)-F (0,25) = 0,25−0,0625 = 0,1875. ПРИМЕР 5. СВ X подчинена закону распределения с плотностью.
Необходимо: а) найти коэффициент д, Ь) построить график плотности распределения ./ (х), с) найти F (x) и построить график, d) найти ве;
Характеристика фундаментального понятия статистической теории и вероятности распределения случайных величин. Особенности интегральной функции равномерности закономерных размеров. Проведение исследования дискретного ряда накопленных относительных частот.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.06.2017 |
| Размер файла | 60,0 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Е.В. Кравец, С. Л. Петухов, Ю. М. Дмитриев
ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В методических указаниях рассматриваются эмпирическое и теоретическое распределения непрерывной и дискретной случайной величины. Методика сопровождается вариантами заданий.
1. Теоретическое и эмпирическое распределения
2. Законы распределения случайной величины
3. Характеристики распределения случайных величин
4. Задание к работе
5. Варианты исходных данных
Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков. Совокупность из всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной. Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов.
Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение), в результате которого получают значение некоторой случайной величины (результат). Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то такое обследование называют сплошным. На практике обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают элементов.
Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. В процессе эксперимента исследуется и анализируется выборочная совокупность и на основании полученных показателей делается вывод о параметрах генеральной совокупности.
Одной из основных задач статистического анализа является получение по имеющейся выборке достоверных сведений об интересующих исследователя характеристиках генеральной совокупности. Поэтому важным требованием к выборке является ее репрезентативность, то есть правильная представимость в ней пропорций генеральной совокупности. Достижению репрезентативности может способствовать такая организация эксперимента, при которой элементы выборки извлекаются из генеральной совокупности случайным образом.
Человека окружает мир событий, многие из которых носят случайный характер. Часто мы замечаем, что одни события при реализации некого комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти,
а могут и не произойти.
Реализация комплекса условий
При нагревании проволоки
Ее длина увеличилась
При бросании игральной кости
При бросании монеты
При низкой температуре
Вода превратилась в лед
Про события А1 и А4 мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про А2; А3 - что они могли произойти, но могло быть и иначе, т.е. наблюдается некая случайность событий.
Таким образом, событие - это исход наблюдения или эксперимента. В свою очередь событие называют случайным, когда оно при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, т.е. это качественный результат эксперимента или экспериментов, если они повторяются многократно. Случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. Она может принимать различные значения даже при неизменном комплексе основных факторов. Различают непрерывные и дискретные случайные величины.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Например, отклонение диаметра партии деталей, обработанных на настроенном станке есть непрерывная случайная величина, т.к. возможны отклонения из-за возникающих погрешностей ввиду неравномерности распределения припуска на обработку, температурных изменений, неоднородности материала и т.д., а диаметр может принять любое значение из определенного промежутка. Значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее перечислены, они непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указывать, какие значения она может принимать, но и как часто.
1. Теоретическое и эмпирическое распределения
При решении многих прикладных задач необходимые вероятностные характеристики соответствующих случайных величин неизвестны исследователю и должны определяться по экспериментальным данным. Такое статистическое описание результатов наблюдений, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляет основное содержание математической статистики.
Полученная в результате статистического наблюдения выборка объема n из значений изучаемого количественного признака X образует вариационный ряд. Ранжированный вариационный ряд получают, расположив значения xj , где , в порядке возрастания значений, то есть .
Фундаментальными понятиями статистической теории являются понятия вероятности и распределения вероятности случайной величины.
Изучаемый признак X может быть дискретным, то есть его значения отличаются на конечную, заранее известную величину (год рождения, тарифный разряд, число людей), или непрерывным, то есть его значения отличаются на сколь угодно малую величину (время, вес, объем, стоимость).
Пусть дискретная случайная величина X может принимать в результате опытов значения … . Отношение числа опытов ni, в результате которых случайная величина приняла значение xi, к общему числу производимых опытов n называется частотой проявления события (частотное определение вероятности). Частота сама является случайной величиной и меняется в зависимости от количества произведенных опытов. Но при большом числе опытов она имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого значения Pi, называемого вероятностью события , (статистическое определение вероятности):
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице так как тот факт, что случайная величина примет в результате опыта одно из своих значений, есть достоверное событие. Эта суммарная вероятность распределена определенным образом между отдельными значениями. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения. Вероятностный ряд является одним из видов законов распределения случайной величины.
Распределение непрерывной случайной величины нельзя задавать при помощи вероятностей отдельных значений. Число значений так велико, что для большинства из них вероятность принять эти значения равна нулю, т.е. событие может произойти, а вероятность его равна нулю. Для непрерывных случайных величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заданную область.
Дискретную случайную величину можно полностью задать вероятностным рядом, указав вероятность для каждого значения :
Частотой mi в случае дискретного признака X называют число одинаковых значений xi , содержащихся в выборке. В ранжированном вариационном ряду одинаковые значения, очевидно, расположены подряд:
Вариационный ряд для дискретного признака X принято наглядно и компактно представлять в виде таблицы, в первой строке которой указаны k различных значений xi изучаемого признака, а во второй строке - соответствующие этим значениям частоты mi , где . Такую таблицу называют статистическим (выборочным) распределением.
Переход от исходного вариационного ряда дискретного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере:
вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) - 7, 17, 14, 17, 10, 7, 7, 14, 7, 14;
ранжированный вариационный ряд -
xj : , где , n = 10;
соответствующее статистическое распределение (, k = 4):
Статистическое распределение для непрерывного признака X принято представлять интервальным рядом - таблицей, в первой строке которой указаны k интервалов значений изучаемого признака X вида (xi-1 - xi ), а во второй строке - соответствующие этим интервалам частоты mi , где . Обозначение (xi-1 - xi ) - указывает не разности, а все значения признака X от xi-1 до xi , кроме правой границы интервала xi .
Для непрерывного признака X частота mi - число различных xj , попавших в соответствующий интервал: xj[xi-1 ; xi ):
Переход от исходного вариационного ряда непрерывного признака X к соответствующему статистическому распределению поясним на простом примере:
вариационный ряд, полученный в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) - 3,14; 1,41; 2,87; 3,62; 2,71; 3,95;
ранжированный вариационный ряд - xj : 1,41; 2,71; 2,87; 3,14; 3,62; 3,95; где , n = 6;
соответствующее статистическое распределение (, k = 3):
Если число различных значений дискретного признака очень велико, то для удобства дальнейших вычислений и наглядности статистическое распределение такого дискретного признака также может быть представлено в виде интервального ряда.
Вместо частот mi во второй строке могут быть указаны относительные частоты (частости). Очевидно, что сумма частот равна объему выборки (выборочной совокупности) n , а сумма относительных частот (частостей) равна единице:
Далее показаны четыре возможных формы представления статистических распределений с соответствующими краткими названиями:
Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально.
Если X - случайная величина, то функция F(x) - интегральная функция распределения вероятностей, или просто функция распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины определяет вероятность P того, что случайная величина принимает значение, меньше x, т.е.
F(x) = P( X Свойства F(x):
1. Интегральная функция распределения принимает значения от 0 до 1.
2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x2) F(x1), если x2 > x1.
3. Вероятность того, что случайная величины X примет значение, заключенное в интервале (а, b) равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:
4. Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от a до b, то:
F(x) = 0, если x a,
F(x) = 1, если x bФункция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Например для функции распределения числа очков выпавших при одно бросании игральной кости.
Непрерывную случайную величину удобнее характеризовать плотностью распределения ( дифференциальной функцией распределения ) :
Следовательно, функция распределения F(x) выражается через плотность распределения:
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащие интервалу (a, b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:
График называют также законом распределения или кривой распределения .
Свойства :
1. 0
2. , если все возможные значения X принадлежат интервалу (a, b)
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от a до b, то математическое ожидание непрерывной случайной величины X:
Матаматическое ожидание - определяет среднее значение случайной величины Х
Дисперсия - отклонение случайной величины Х от среднего значения
,
где
Cреднеквадратическое отклонение
Читайте также: