Реферат операции с классами

Обновлено: 28.06.2024

Классом - называется определенная совокуп­ность предметов, имеющих некоторые общие признаки.

Из двух и более классов с помощью определенных операций можно образовать новый класс. Основными операциями над классами являются объединение классов (сложение), пересечение классов (умножение), образование дополнения к классу (отрицание) и вычитание класса (разность).

При рассмотрении операций над классами вводятся следующие обозначения:

А, В, С… - произвольные классы;

1 – универсальный класс;

0 – пустой класс;

– знак объединения классов (сложения);

∩ - знак пересечения классов (умножения);

А´ (не А) – дополнение к классу А.

Операции над классами иллюстрируются круговыми схемами, универсальный класс обозначается прямоугольником.

Объединением классов называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из таких объектов, каждый из которых является элементом, по крайней мере, одного из слагаемых классов. Полученный в результате сложения класс А В называется суммой.


А – класс депутатов Государственной Думы.

В – класс юристов.

А В – класс, содержащий всех депутатов Госдумы и всех юристов.

Пересечение классов (умножение) – логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из общих умножаемым классам элементов. Класс А ∩ В, полученный в результате умножения, называется произведением.

Вычитание классов – логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из элементов уменьшаемого класса, не принадлежащих вычитаемому классу.


А-В

В результате вычитания получается класс, состоящий из химических элементов, не являющихся металлами.


Образование дополнения к классу (отрицание) – логическая операция, состоящая в образовании нового класса, не А (А´ ) который состоит из элементов универсального класса, не принадлежащих дополняемому классу А. Универсальный класс символически обозначается 1; графически – прямоугольником.

Законы логики классов: определения, формулы.

Операции над классами подчиняются определенным законам. Обоснование отдельных законов производится с помощью круговых схем; при этом каждому классу на круговой схеме соответствует определенная плоскость. Результат операции, выполняемой в первую очередь, на схемах заштриховывается горизонтальной линией, последующие – вертикальной.

Законы сложения и умножения

1. Закон подобия (идемпотентности) – класс, сложенный сам с собою, или умноженный на себя, равен самому себе.

А ∩ А=А (умножение) Пример: класс счастливчиков; класс студентов.

2. Закон коммутативности – результат сложения и умножения двух классовне зависит от того, в каком порядке берутся эти классы.

3. Закон ассоциативности – результат сложения и умножения более чем двух классов не зависит от порядка выполнения действий.

А ∩ (В ∩ С)= (А ∩ В) ∩ С.

4а. Закон поглащения (элиминации) для сложения относительно умножения – сумма какого-либо класса и произведения двух классов, одним из сомножителей которого является этот класс, равна этому классу.


4б. Закон поглащения (элиминации) для умножения относительно сложения – произведение какого-либо класса и суммы двух других классов, одним из слагаемых которой является этот класс, равно умножаемому классу.


А ∩ (А В) = А.

5а. Закон дистрибутивности (между тремя классами) умножения относительно сложения.

А ∩ (В С) = (А ∩ В) (А ∩ С).



5б. Закон дистрибутивности сложения относительно умножения

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)



Законы дополнения

Законы дополнения вытекают из свойств противоречащих понятий, каковыми являются дополнение и дополняемое понятие.

Операции с классами - такие логические действия, которые приводят к образованию нового (в общем случае) класса. Существуют следующие операции: объединение, пересечение, вычитание, дополнение к классу.

Объединение (сумма классов) - это класс тех элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из исходных классов. Объединение обозначается А+В или А В. При выражении операции объединения пользуются обычно союзом "или"' в неисключающем смысле. При объединения могут встретиться следующие шесть случаев:

Пересечение (умножение) классов - это класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множествах (это множество элементов, общих обоим множествам). Пересеченне обозначается А×В или А В; пустое множество ǿ . При пересечении возможны следующие шесть случаев:

Законы операций объединения и пересечения

1. Законы идемпотентности: А+А=А; А×А=А.

2. Законы коммутативности: А+В=В+А; А×В=В×А.

3. Законы ассоциативности: (А+В)+С=А+(В+С); (А×В)×С=А×(В×С)

4. Законы дистрибутивности: (А+В)×С=(А×С)+(В×С); (А×В)+С=(А+С)×(В+С)

5. Законы поглощения: А+(А×В)=А; А×(А+В)=А

Вычитание классов. Разностью множеств (классов) А и В называется множество тех элементов класса, которые не являются элементами класса В. Разность обозначается А-В.

Для операции вычитания классов справедливы законы:

1) А-В≤А; 2) А≤В↔А-В=ǿ; 3) А=(А-В)+(А-В); 4) В×А-В=ǿ; 5) В≤В-(А-В) (запись А≤В обозначает включение класса А в класс В; запись А↔В обозначает эквивалентность классов).

Дополнением к классу А называется класс А*, который, будучи сложенным с А , дает рассматриваемую область предметов, универсальный класс (эта область обозначается I - единицей) а в пересечении с классом А дает ǿ, т.е. для которого А+А*=1 и А×А*=ǿ, откуда А*=1-А. Поэтому операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операций вычитания (из универсального класса). Для операции дополнения действительны также следующие законы: 1*=ǿ; ǿ*=1; (А*)*=А.

Описание использования интерактивных и активных форм проведения занятий

Лекция содержит элементы проблемной и интерактивной лекции (см Методическое пособие для преподавателей).

По ходу лекции студентам задаются вопросы на повторение, на взаимосвязь отдельных частей курса, перед аудиторией ставятся проблемные вопросы, требующие дополнительного обсуждения на семинарах.

Приветствуются и встречные вопросы слушателей.

Задания на СРС

Ознакомление с предложенной литературой, конспектом лекций.

Проработка вопросов для самопроверки знаний, вопросов для обсуждения на семинаре, подготовка эссе, рефератов (докладов).

Выдача домашнего задания №2 См. Методическое пособие для семинарских занятий.

Список рекомендуемой литературы

Основная

Берков. В.Ф., Яскевич Я.С., Павлюкевич В.И. Логика: Учебное пособие / 12-е изд. – Минск: Тетра Системс, 2012. – Ч. I, Гл. 2.

Войшвилло, Е.К., Дегтярев М.Г. Логика: Учебник для вузов. – М.: ВЛАДОС – 2010. – Гл.V,VI,VII.

Лобастов Г.В. Логика: Учебник. – М. 2010 - Гл. II.

Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике – М.: Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС. – 1997. – статьи по основным понятиям темы

Дополнительная

Аристотель. Первая аналитика. Вторая аналитика. // Соч. в 3-х т. – Т.2. – М., 1978.

Арно А., Николь П. Логика, или Искусство мыслить. – М., 1991.

Гегель Г.В. Наука логики. // Соч. в 15 т. – Т. 1-2. – М., 1937-1959.

Кант И. Логика. Пособие к лекциям. // Трактаты и письма. – М.,1980.

Ссылки (INTERNET) на РЕСУРСЫ ПО ЛОГИКЕ

Лекция 4

Суждение.

План лекции

Простое суждение и его виды. Структура простого суждения.

Атрибутивное суждение, его типы. Распределенность терминов в простом категорическом суждении.

Сложное суждение и его виды. Таблица истинности логических связок.

Отношения между суждениями. Логический квадрат.

Основные понятия: суждение, простое суждение, сложное суждение, суждение атрибутивное, суждение релятивное, суждение экзистенциальное, субъект, предикат, квантор, связка, частноутвердительные, общеутвердительные, частноотрицательные, общеотрицательные суждения,суждение, сложное суждение, логическая связка, конъюнкция, дизъюнкция нестрогая, дизъюнкция строгая, импликация, эквиваленция, отрицание.

Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Традиционная логика является двузначной, так как здесь суждение принимает одно из двух значений истинности: оно либо истинно, либо ложно. Если утверждающееся или отрицающееся в суждении соответствует действительности, то суждение истинно; в противном случае суждение ложно. Суждения выражаются в языке повествовательными предложениями.

Суждения бывают простые и сложные (состоящие из нескольких простых).

Виды простых суждений

1. Суждения свойства (атрибутивные) – в них утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности.

2. Суждения существования (экзистенциальные) – в них утверждается или отрицается существование предметов (материальных и идеальных) в действительности.

Суждения существования и суждения с отношениями можно привести к виду атрибутивного суждения (суждения свойства).

Структурно простое атрибутивное суждение состоит из субъекта (S), предиката (P), связки и квантора (кванторного слова).

Субъект суждения - это понятие о предмете суждения.

Предикатом суждения называется понятие о признаке предмета, рассматриваемого в суждении.

Связка между субъектом и предикатом может быть выражена одним словом (есть, суть, является и т.д.) или группой слов (не есть, не суть, не является и т.п.), или тире, или простым согласованием слов.

Квантор (кванторное слово: "все", "ни один", ''некоторые" и т.д.) указывает, относится суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или только к его части.

Все три указанных вида представляют собой простые категорические суждения. По качеству связки ("есть" или "не есть") категорические суждения целятся на утвердительные и отрицательные суждения. По количеству (в зависимости от того, обо всем ли классе предметов идет речь, о части этого класса или об одном предмете) суждения делятся на общие, частные и единичные.

Операции с классами — это такие логические действия, кото­рые приводят нас к образованию нового (в общем случае) класса.

Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.

Объединение (или сумма) двух классов — это класс тех элемен­тов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих двух клас­сов 17 : Объединение обозначается:илиОбъединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел. Объединив класс поэтов и класс советских поэтов, получим класс поэтов.

При объединении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 9—14).


Общей частью, или пересечением, двух классов называется класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множе­ствах, т. е. это множество (класс) элементов, общих обоим мно­жествам 18 . Пересечение обозначаетсяили— пустое множество. При пересечении могут встретиться следующие 6 слу­чаев (рис. 15—20, где результат пересечения заштрихован).



Основные законы логики классов. Законы операций объединения и пересечения

1. Законы идемпотентности.

А + А = А. А х А = А.

2. Законы коммутативности. Эти законы существуют в алгеб­ре, в арифметике, в теории множеств и в логике классов.

А + В = В+А. А В=В А.

3. Законы ассоциативности. Они существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и в логике классов.

(А+В) + С = А + (В+С). (A х B) х C=A х (B х С).

4. Законы дистрибутивности.

(A+B)C=(A х С)+(B х С). (A х B) + C=(A + С) х (B+С).

5. Законы поглощения. Этих законов нет в арифметике и в школьном курсе алгебры.

А + (А х В)=А. А х (А+В)=А.


Промежуточный результат изображен горизонтальной штри­ховкой. В первом законе поглощения он равен А В, а во вто­ром — равен А + В. Конечный результат изображен вертикаль­ной штриховкой; он равен классу А.

Вычитание классов


Рассмотрим два множества (класса) А и В, из которых В может и не быть частью А. Разностью множеств (классов) А и В на­зывается множество тех элементов класса А, которые не являют­ся элементами класса В. Разность обозначается А —В.

Могут встретиться следующие пять случаев (если классы А и В не пусты и не универсальны).

1-й случай (рис. 23). Класс А включает в себя класс В. Тогда разностью А — В будет заштрихованная часть А, т. е. множество тех элементов, которые не суть В. Например, если мы из множе­ства звуков русского языка (А) вычтем множество гласных звуков (В), то получим множество согласных звуков, изображенное на чертеже в виде заштрихованного кольца.

4-й случай (рис. 26). Класс А и класс В не имеют общих элементов.



Для операции вычитания классов справедливы следующие законы:


В интерпретации логических алгебр посредством классов за­письобозначаетвключение класса А в класс В;обозна­чает эквивалентность классов (А тогда и только тогда, когда В ).

Дополнение к классу А

Дополнением к классу А называется класс А" который, будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении с классом А даетт. е. для которогоОткудаА' = 1- А, поэтому



Для операции дополнения кроме указанных выше установ­лены и следующие законы:

III. Определить отношения между следующими понятиями:

1. Оказание помощи больному, неоказание помощи боль­ному.

2. Каменный дом, трехэтажный дом, одноэтажный дом, недо­строенный дом.

3. Уважение к старшему, неуважение к старшему.

4. Героизм, трусость.

5. Педагогический институт, биологический факультет.

6. Мать, дочь, бабушка, внучка, сестра.

7. Населенный пункт, город, город на Днепре, столица, город Украины.

8. Спутник планеты, естественный спутник, спутник Земли, Юпитер, спутник Юпитера, Луна.

9. Пожар, молния, стихийное бедствие, явление природы.

10. Пожар, причина пожара, взрыв атомной бомбы, поджог.

IV. Дать характеристику (указать вид, состав, правильность) сле­дующих определений:

1. Дентин — особое вещество, покрывающее зубы.

2. Наружное ухо — это ушная раковина.

3. Регенерация — процесс восстановления утраченных или поврежденных частей тела.

4. Жанр — устойчивая форма художественного произведения.

5. Мировоззрение писателя — система его взглядов на окру­жающий мир.

6. Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называет­ся правильной.

7. Архаизмы — это слова, вышедшие из употребления вслед­ствие замены их новыми.

8. Рука — орган и продукт труда.

9. Ботаника — наука, изучающая растения.

10. Кость — это орган, обладающий сложным строением.

11. Печень — это крупный орган массой около 1,5 кг.

12. Фразеология — раздел науки о русском языке, изуча­ющий смысловые и структурные особенности фразеологических единиц, их типы и функционирование в речи.

13. Круглый цилиндр можно получить, вращая прямоуголь­ник вокруг одной из его сторон, поэтому круглый цилиндр называется также цилиндром вращения.

14. Окончание—это изменяемая часть слова, с помощью которой образуется определенная грамматическая форма с конкретным грамматическим значением, выражающая грамматичес­кое подчинение данного слова другому слову.

15. Путь крови от левого желудочка через артерии, капил­ляры и вены всех органов тела до правого предсердия называется большим кругом кровообращения.

16. Футуризмом называют одно из декадентских художест­венных течений XX века.

17. Безличными называются предложения, сказуемое кото­рых не допускает при себе подлежащего.

18. Прямой речью называется точно воспроизведенная речь, переданная от лица того, кто ее произнес.

19. Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое делится каждое из них.

20. Шар можно получить, вращая полукруг (или круг) вокруг его диаметра.

V. Какие способы введения понятий использованы в приведен­ных ниже примерах (сравнение, различение, описание, характери­стика, разъяснение посредством примера)?

3. Сердце человека четырехкамерное. В состоянии относи­тельного покоя сердце ритмично сокращается примерно 70—75 раз в минуту. Сокращение обоих предсердий длится около 0,1 секунды. Масса сердца составляет примерно 300 граммов.

5. Кровяная сыворотка — плазма, в которой уже нет фиб­риногена.

6. Природные компоненты — это горные породы и рельеф их поверхности, вода, воздух, растительность, животный мир и по­чва.

7. «Представьте себе непроходимый экваториальный лес. Ог­ромные деревья стоят, как древние крепости, воздушные мосты из лиан, похожие на толстый кабель, соединяют верхушки дере­вьев на головокружительной высоте. Здесь растут огромные яр­кие грибы, цветы с резким запахом.

1. Местоимения по значению делятся на личные, возвратные, притяжательные, указательные, вопросительные, относительные, определительные, отрицательные, неопределенные.

2. Второстепенные члены предложения делятся по своему грамматическому значению на дополнения, определения и обсто­ятельства.

3. Клетки бывают шаровидные, дисковидные, призматичес­кие, кубические, веретенообразные и многогранные.

4. Скелет крыла птицы состоит из одной плечевой кости, двух костей предплечья — локтевой и лучевой — и нескольких костей кисти.

5. Железы делят на железы внешней секреции и железы внут­ренней секреции.

6. Семенные растения делятся на голосемянные и покрытосе­мянные.

7. В эволюции органического мира выделяют два вида от­бора: естественный и искусственный.

8. Щелочи делят на активные и малоактивные.

9. Часы делятся на наручные, настенные, настольные, башен­ные.

10. По назначению транспорт делится так (рис. 31).


11. Лучи делятся на ультрафиолетовые, видимые и инфра­красные.

12. По механическому составу почвы подразделяются на гли­нистые, суглинистые, супесчаные, песчаные.

13. Основными структурными элементами игры являются: игровой замысел, сюжет игры или ее содержание, игровые дейст­вия, роли, правила.

15. Существует несколько видов тепловых двигателей: па­ровая машина, двигатель внутреннего сгорания, паровая тур­бина, газовая турбина, реактивный двигатель.

16. Игрушки делятся на образные, технические, игрушки-за­бавы, маскарадно-елочные, спортивно-моторные, музыкальные я озвученные, театральные, дидактические, строительный мате­риал, игрушки-самоделки.


VII. 1. Обобщить и ограничить следующие понятия: река; геоме­трическая фигура; город в Крыму; мораль; студенческий отряд; европеец.

2. Правильно ли проведены ограничения: строение — комна­та; строение — беседка; населенный пункт — столица — центр столицы — центр современной столицы?

VIII 1. Произвести операции над классами А, В, С, изображен­ными на рис. 33 (объединение, пересечение, вычитание).


2. Изобразить кругами Эйлера отношение между понятиями: колхозник, хлебороб, орденоносец. Произвести операции над объемами этих понятий (объединение, пересечение, вычитание); найти дополнение к каждому из этих классов и указать его универсум.

Операции с классами (объемами понятий): пересечение, объединение, вычитание и дополнение.

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Операции с классами— это такие логические действия, которые приводят нас к образованию нового (в общем случае) класса.

Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.

Объединение (или сумма) двух классов — это класс тех элементов, которые принадлежат хотя бы к одному из этих двух классов17: Объединение обозначается: или Объединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел. Объединив класс поэтов и класс советских поэтов, получим класс поэтов.


Класс, составляющий симметрическую разность классов А и В, на чертеже выделен штриховкой. Симметрическая разность не содержит общих членов классов А и В.

При объединении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 9—14).


Общей частью, или пересечением, двух классов называется класс тех элементов, которые содержатся в обоих данных множествах, т. е. это множество (класс) элементов, общих обоим множествам18. Пересечение обозначается или — пустое множество. При пересечении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 15—20, где результат пересечения заштрихован).





Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Читайте также: