Реферат объемные геометрические фигуры

Обновлено: 14.05.2024

До настоящего времени в курсе геометрии мы занимались планиметрией - изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, полностью расположенных в плоскости. Но большинство окружающих нас предметов не являются полностью плоскими, они расположены в пространстве. Раздел геометрии, в котором изучают свойства фигур в пространстве, называется стереометрией (от др. греч. στερεός, "стереос" - "твёрдый, пространственный" и μετρέω - "измеряю").

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Наряду с данными простейшими фигурами в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. При изучении геометрических тел, пользуются изображениями на чертеже.

Рисунок 1 Рисунок 2

На рисунке 1 изображена пирамида, на рисунке 2 - куб. Данные геометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые виды и свойства многогранников.

Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.

От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины - вершинами многогранной поверхности.

На рис.1 изображены объединения многоугольников, удовлетворяющие указанным требованиям и являющиеся многогранными поверхностями. На рис.2 изображены фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.

Многогранная поверхность делит пространство на две части - внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.

5 Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Треугольную пирамиду также называют тетраэдром. На рис.1 изображена четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD и боковыми гранями SAB, SBC, SCD, SAD.

Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра - боковыми ребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды (на рис.1 точка S - вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC, SD - боковые ребра, отрезки АВ, ВС, CD, AD - ребра основания).

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). На рис.1 SO - высота пирамиды.

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис.2 SN - апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.

Многогранник, две грани которого - равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой.

многогранник пирамида призма параллелепипед

Пару равных n-угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы. На рис.1 изображена пятиугольная призма.

Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.

Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.

Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Параллелепипед - шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани - прямоугольники); прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник (следовательно, 6 граней - прямоугольники);

Параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом.

Объём Параллелепипед равен произведению площади его основания на высоту.

Каждый многогранник имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром. Аналогично определяется кубический метр и кубический миллиметр, и т.д.

В процессе измерения объемов при выбранной единице измерения объем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и ее частей укладывается в этом теле. Число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов. Поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.

Основные свойства объемов:

Равные тела имеют равные объемы.
Если тело составлено из нескольних тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Для нахождения объемов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери.

Принцип Кавальери состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой.

Итак, многогранники изучает раздел геометрии под названием стереометрия. Многогранники бывают разных видов (пирамида, призма и т.д.) и имеют разные свойства. Также, следует отметить, что многогранники в отличие от плоских фигур имеют объем и располагаются в пространстве.

Большинство окружающих нас предметов находятся в пространстве, и изучение многогранников помогает нам составить представление об окружающей нас реальности с точки зрения геометрии.

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.

2. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Муниципальное автономное образовательное учреждение

с углублённым изучением отдельных предметов

Асбестовского городского округа

ОБЪЁМНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

проектная работа

Кобелева Анна Александровна, 8 лет

ученица 2б класса

Руководитель:

Иванова Татьяна Васильевна, учитель I квалификационной категории

Актуальность.

Цель : узнать, как можно самостоятельно изготовить объёмные геометрические фигуры.

Изучить литературу по заданной теме

Провести интервью с учителем математики

3. Составить алгоритм изготовления объёмной геометрической фигуры

4 . Сделать и оформить выводы

Если у фигуры 4 угла, значит это объёмная фигура.

I .Теоретическая часть.

1.Что такое геометрические фигуры. 4

2.Как связаны между собой плоские и объёмные геометрические фигуры? …………………………………………………………………….8

II .Практическая часть.

2.Алгоритм изготовления объёмных геометрических фигур..11

I . ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Что такое геометрические фигуры

Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка – это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. Она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол – это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость – это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Четырехугольники

Параллелограмм – это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат – это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб – это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда.

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция – это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом отрезок, соединяющий центр и замкнутую линию (окружность), принято называть радиусом.

Интересный факт: если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура. Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

К этой категории стоит отнести геометрические фигуры разнообразных форм, ломаная линия контуров которых замыкается.

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

К этой категории причисляют следующие конструкции:

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

2. Как связаны между собой объемные и плоские геометрические фигуры?

Объемные и плоские геометрические фигуры тесно связаны между собой.

Если плоскую геометрическую фигуру вращать вокруг оси, образуется объемная геометрическая фигура. Такие фигуры еще называют телами вращения. Так образуются конус, сфера, цилиндр, тор.

Еще бывают объемные геометрические фигуры, поверхность которых ограничена плоскими геометрическими фигурами. Например, куб имеет квадратные грани, пирамида – треугольные, призма – прямоугольниками и т.д.

II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Анкетирование

Какие объемные фигуры вы знаете?

Что общего у всех объемных фигур?

Участвовали 22 человека.

Куб-4 человека . Все остальные фигуры ребята могли описать, но не знают как они называются.

Объём-20 человек. Потому что они называются объёмными

Пирамида Хеопса -2 человека.

Из проведённого анкетирования я поняла, что мои сверстники вообще смутно представляют себе о существовании таких фигур. А , главное, их роли в нашей жизни. После этого анкетирования эта работа приобрела больший смысл.

Алгоритм изготовления объёмной геометрической фигуры

В первую очередь необходимо вооружиться подручными средствами: бумагой, линейкой, карандашом, ножницами, клеем.

Далее необходимо построить чертеж. Такой чертеж называется разверткой. Его построить достаточно сложно. Нужно точно откладывать размеры и размечать линии сгибов. Это под силу тем, кто уже изучал в школе черчение. Гораздо проще распечатать готовую развертку на принтере.

У каждой фигуры грани имеют определенную форму: квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, шестиугольник, круг и т.д. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство:

где В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника.

Далее вырезаем заготовку по контуру. Обязательно необходимо предусмотреть участки для склеивания фигуры.

После этого нужно согнуть шаблон по линиям сгиба. Чтобы линия сгиба была ровной и острой, можно воспользоваться металлической линейкой.

Остается аккуратно склеить фигуру.

Выполняя эту работу, меня очень захватил процесс конструирования этих моделей. Для этого мне понадобились такие качества, как усидчивость, старательность, внимательность, ловкость рук. Но самое главное, это чувство радости от того, что у тебя получается.

В ходе работы над проектом, я училась самостоятельно искать ответы на вопросы, училась сотрудничать с родителями, братом. Училась преодолевать себя ради себя самой. Я училась задавать вопросы и обрабатывать анкеты, делать выводы.

В результате, я узнала алгоритм изготовления объёмных геометрических фигур.

Моя гипотеза о том, что если у фигуры 4 угла, значит это объёмная фигура не подтвердилась. Ведь у объёмных может быть и углов больше, а 4 угла может иметь и плоский прямоугольник.

Я сделала свой первый шаг в мир геометрии. Это только начало. В дальнейшем я бы хотела бы исследовать предметы, которые строятся на основе этих объёмных геометрических фигур. Но это тема уже следующего проекта.

Содержание

1. История развития геометрии. Происхождение названия геометрических фигур.
2. Теоретическая сущность понятий объемных геометрических фигур.
3. История методики развития представлений о геометрических фигурах у детей.
4. Возрастные особенности ознакомления детей с объемными геометрическими фигурами.
4.1. Методика ознакомления с объемными геометрически фигурами.
4.2. Методика ознакомления детей со свойствами объемных геометрических фигур.
.
5. Современная методика и этапы формирования представлений о форме предметов и объемных геометрических фигур у детей дошкольного возраста.
6. Примеры конспектов занятий (Л. С. Метлина, И. В. Житко, З. А. Михайлова, Е. В. Соловьева).
7. Примеры обучающих ситуаций в разных видах деятельности.
8. Конспекты дидактических игр.

Прикрепленные файлы: 1 файл

Все сразу.docx

В дальнейшем постепенно начинает вычленяться познавательная деятельность детей, появляются приемы осязательно-двигательного и зрительного обследования формы геометрических фигур и их сравнение сначала с жизненными предметами, а затем, наоборот, жизненных предметов с формами геометрических фигур (ощупывание отдельных предметов, осмотр их с разных сторон и др.). Наконец, обследование становится системным и планомерным и производится по контуру фигуры: внимательно рассматривается соотношение сторон фигуры, проводится их пересчет, измерение расстояний, сторон фигуры и др. Как показали исследования, развитие познавательной деятельности детей значительно ускоряется и совершенствуется под обучающим руководством взрослого. Отсюда следует вывод о необходимости обучать детей с раннего возраста правильным приемам обследования формы геометрических фигур; развивать способность выявлять их простейшие свойства, учить выбирать по слову и образцу среди фигур разного цвета и размера; учить группировать геометрические фигуры по разным признакам (форме, размеру, цвету); учить находить в окружающих предметах сходство с известными геометрическими фигурами; учить видоизменять фигуры, составляя из них модели предметов.

4. Возрастные особенности ознакомления детей с объемными геометрическими фигурами. .

Выделение и познание ребенком формы предмета, как свойства, происходит в деятельности с предметами под контролем зрения и правильного отражения в речи названия формы.

До 3-х лет дети сопоставляют признак формы с конкретными предметами, т.е. каждую из фигур они воспринимают абсолютно. Дети различают геометрические фигуры только по образцу и только контрастные по форме (контраст заключается в том, есть углы (препятствия) или нет). У детей очень низкий уровень обследования форм, т.к. глаз ребенка охватывает только лишь внутреннюю область фигуры, ограничиваясь беглым зрительным восприятием. Поэтому ребенок не может точно определить контур, форму фигуры. При зрительном обследовании схватываются лишь отдельные свойства фигуры, а фигура в целом не опознается. До 3-х лет неизвестные фигуры воспринимаются как знакомые предметы.

В 3-5 лет под влиянием обучения дети способны выделить некоторые характерные свойства геометрических фигур в сравнении с другими фигурами. Ребенок уже не отождествляет геометрические фигуры с предметами, а лишь сравнивает. Например: круг как колесо.

Дети еще не могут обобщить фигуры по форме, т.к. мешают признаки: цвет, размер, расположение в пространстве и др. Детям еще сложно различать близкие по форме плоские и объемные геометрические фигуры (круг-шар), хотя это ему не сложно сделать по образцу.

В 5-6 лет дети способны воспринять геометрическую фигуру как эталон, т.е. абстрагировать признак формы от других признаков предметов (цвета, величины, расположения в пространстве, пропорций частей). Способны различать близкие по форме плоские и объемные фигуры. Могут устанавливать связь между свойствами фигуры и ее названием.

До двух лет дети сопоставляют признак формы с конкретными предметами, т.е. каждую из фигур они воспринимают абсолютно. Дети различают геометрические фигуры только по образцу и только контрастные по форме (контраст заключается в том, есть углы (препятствия) или нет). У детей очень низкий уровень обследования форм, т.к. глаз ребенка охватывает только лишь внутреннюю область фигуры, ограничиваясь беглым зрительным восприятием. Поэтому ребенок не может точно определить контур, форму фигуры. При зрительном обследовании схватываются лишь отдельные свойства фигуры, а фигура в целом не опознается. До трех лет (если название фигуры не было введено в словарь ребенка), неизвестные фигуры воспринимаются как знакомые предметы. Например, цилиндр – стаканчик.

В 3–5 летпод влиянием обучения дети способны выделить некоторые характерные свойства геометрических фигур в сравнении с другими фигурами (катится – не катится, есть препятствия или нет, устойчивая фигура – неустойчивая). Ребенок уже не отождествляет геометрические фигуры с предметами, а лишь сравнивает. Например, цилиндр, как стаканчик.

Дети еще не могут обобщить фигуры по форме, т.к. мешают признаки: цвет, размер, расположение в пространстве и др. Детям еще сложно различать близкие по форме плоские и объемные геометрические фигуры (круг–шар), хотя это ему не сложно сделать по образцу. Например, не могут сказать, что яблоко имеет форму шара.

В 5–6 летдети способнывоспринять геометрическую фигуру как эталон (яблоко, мяч – это шар), т.е. абстрагировать признак формы от других признаков предметов (цвета, величины, расположения в пространстве, пропорций частей). Способны различать близкие по форме плоские и объемные фигуры. Могут устанавливать связь между свойствами фигуры и ее названием. Дети способны провести обобщение по форме.

4.1. Методика ознакомления с объемными геометрически фигурами

1 этап(до трех лет). Организуем выполнение характерных действий с предметами разной формы, вводим название геометрических фигур в пассивный словарь детей. Педагог детского сада с самого начала использует общепринятые термины. Чаще всего дети раннего возраста используют для названия формы название часто встречающегося предмета. На первом этапе это допустимо. Однако нельзя навязывать ребенку слово-заместитель, придуманное взрослым. Педагог может повторять за ребенком его название, но тут же параллельно произносить правильное название.

Предлагаются упражнения по нахождению фигуры по образцу, а потом и по названию.

2 этап (3–6 лет). Учим детей осознавать свойства геометрических фигур на основе сравнения фигур между собой. Вводим название фигур в активный словарь. Сначала между собой сравниваются сильно контрастные фигуры одинаковой объемности, а затем малоконтрастные одинаковой объемности и, наконец, малоконтрастные разной объемности (например, круг и шар).

Для детей 3–4 лет показывают и сравнивают:

Шар и куб (катится – не катится, нет препятствий - есть препятствия, можно построить башенку – нельзя построить башенку);

Для детей 4–5 лет:

Цилиндр с шаром и кубом (в одном положении цилиндр обладает свойствами шара, в другом положении куба);
Конус и цилиндр (у конуса внизу и вверху разная толщина, у цилиндра одинаковая, из конусов нельзя построить башенку; цилиндр линейно катится, а конус - по кругу);

Для детей 5–6 лет:

Пирамида и конус (разные боковые поверхности, основания);
Овалоид и шар (овалоид катится в одном направлении, а шар в разные стороны; у шара одинаковая толщина снизу вверх и слева на право, а у овалоида – разная толщина);
Призма четырехугольная и куб (у куба равные ребра, у призмы не равные);
Треугольная призма и четырехугольная (разная форма оснований; из треугольной призмы не всегда можно построить башенку);
Овалоид и цилиндр (овалоид неустойчив в любом положении).
Сравнение плоских и объемных фигур. Круг сравниваем с шаром, квадрат с кубом, овал с овалоидом, прямоугольник с призмой, прямоугольник с цилиндром, треугольник с конусом, треугольник с пирамидой, треугольник с треугольной призмой.

3 этап (5–6 лет). Задачи:

1. Учить детей обобщению фигур по форме.

Детям даётся несколько моделей одной и той же фигуры, которые отличаются по различным признакам (цвет, размер, пропорции частей, расположение в пространстве). Предлагается обследовать все модели и сказать, что общего (указываются характерные признаки). Затем дети должны назвать фигуры одним словом. Даются упражнения на группировку фигур (по разным основаниям)

2. Учить определять форму окружающих предметов.

- определить форму показанного предмета;

- ведущий называет форму, а дети должны найти (назвать) предмет такой же формы.

Очень важно правильно отражать в речи форму предметов. Существуют следующие варианты:

1. Для названия формы предмета используется название геометрической фигуры.

- шкаф (тумбочка) имеет форму четырехугольной призмы,

- поверхность стола имеет форму прямоугольника.

2. Используется прилагательное, образованное от названия геометрической фигуры (прямоугольная). Здесь обязательно следует указывать: объемная форма или плоскостная (шкаф прямоугольный объемный, поверхность стола – прямоугольная плоская).

Педагог должен следить, чтобы дети не использовали название плоских геометрических фигур для обозначения в речи формы объемных предметов

4.2. Методика ознакомления детей со свойствами объемных геометрических фигур

Осязательно-двигательное обследование. Плоские фигуры обследуем пальчиками, объемные ладошкой

Подсчет углов, сторон; сравнение по количеству.

Сравнение сторон, углов и осей по величине с помощью наложения, путем сгибания или использования условной мерки. Для сравнения углов по величине используется условная мерка, равная прямому углу.

Наложение одной фигуры на другую. При наложении обращается внимание на то, что фигуры отличаются наличием лишних кусочков.

Построение башенки (только для объемных предметов). Проверяем: можно поставить фигуры друг на друга или нет.

Прятанье в ладошки фигур (проверяем плоская или объемная фигура).

Создание формы предмета: рисование, закрашивание, вырезание плоских фигур, лепка и конструирование объемных фигур.

Упражнения на группировку.

- фигуры отличаются только по форме,

- фигуры разного цвета, размеров, пропорций.

Упражнения на создание фигуры из частей.

Методы показа отличия плоских и объемных фигур:

- Применяется подсчет углов (например, у квадрата – 4, а у куба – 8).

- Плоские фигуры можно изобразить на листе бумаги в процессе рисования или аппликации, а объемные – в процессе лепки или конструирования из бумаги или строительных деталей. Если надо нарисовать объемный предмет, то его изображаем в виде соответствующей плоской фигуры.

Замечания о цилиндре.В среднем дошкольном возрасте цилиндр сравнивается с шаром и кубом. Сначала показывается, чем похож и чем отличается цилиндр от шара, а затем – от куба.

Цилиндр для сравнения с шаром кладется на бок, и выделяются сходства фигур:

боковая поверхность обеих фигур не имеет препятствий.
шар и цилиндр катятся.
если положить шар на шар и цилиндр на цилиндр, то башенка не получается.

Затем цилиндр переворачивается на основание, так он на шар не похож (есть препятствие, не катится, башенку из цилиндров можно построить). Обращается внимание, что в таком положении он похож на куб. Делается вывод: цилиндр – хитрая фигура, если лежит на боку – похожа на шар, если стоит на основании, то – на куб.

В старшем дошкольном возрасте цилиндр сравнивается с овалоидом в процессе лепки. Сначала выясняется, чем похожи эти фигуры. Затем показывается единственное отличие: если цилиндр стоит на основании, то он устойчив, а овалоид неустойчив в любом положении. Существуют также отличия в приемах лепки.

Замечания о конусе. Отличия конуса от цилиндра:

из цилиндров можно построить башенку; а из конусов – нельзя;
цилиндр катится вперед – назад, конус – по кругу;
у цилиндра и пол, и потолок имеют форму круга;
толщина цилиндра внизу и вверху одинаковая, конус внизу толстый, а вверху тоненький.

В старшем дошкольном возрасте детям предлагаем сравнить с конусом пирамиду и треугольную призму.

Цель: изучить объемные тела параллелепипед и пирамиду.

Задачи:

- рассмотреть типы, основные элементы, свойства параллелепипеда и пирамиды;

- изучить основные формулы параллелепипеда и пирамиды;

- сделать развертку для параллелепипеда и пирамиды;

- изготовить модели двух объемных тел: параллелепипед и пирамиду.

Вложение	Размер
Проект по математике "Объемные тела"	66 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Проект по математике

Выполнил: Попоудин Кирилл

Руководитель: Токарева И.А.

Цель: изучить объемные тела параллелепипед и пирамиду.

- рассмотреть типы, основные элементы, свойства параллелепипеда и пирамиды;

- изучить основные формулы параллелепипеда и пирамиды;

- сделать развертку для параллелепипеда и пирамиды;

- изготовить модели двух объемных тел: параллелепипед и пирамиду.

Ход выполнения проекта.

Поиск и изучение литературы по теме проекта.
Составление краткой характеристики объемных тел (параллелепипеда, пирамиды).
Поиск разверток параллелепипеда и пирамиды.
Изготовление моделей объемных тел.
Создание презентации по данной теме.

Назначение проекта. Использование на уроках математики моделей объемных тел для наглядного изучения их элементов и свойств. Возможность использования не только в 5 классе, но и в начальных классах (первое знакомство с геометрическими фигурами). А так же использование в старших классах на уроках геометрии.

Учебник. Математика: 5 класс: для общеобразовательных организаций/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2014.
Учебник. Математика: 5 класс: для общеобразовательных учреждений/ Н.Я Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцберд. – М.: Мнемозина, 2010.
Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов/ Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн. – М.: Просвещение, 1989.
Различные интернет источники.

Геометрия – одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетия до нашей эры).

Геометрия возникла в результате практической деятельности людей: нужно было строить жилища, прокладывать дороги, устанавливать границы земельных паев и определять их размеры.

На уроках математики мы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и имеем представление, что такое точка, прямая, луч, угол. Мы знакомы с понятиями круг, прямоугольник, квадрат, треугольник, куб.

В пятом классе мы более подробно изучили такие фигуры как прямоугольный параллелепипед и пирамида.

Мне стало интересно более подробно изучить объемные тела такие, как параллелепипед и пирамида.

Различается несколько типов параллелепипедов:

Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники .
Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы параллелепипеда

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными .

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными .

Отрезок , соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями .

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Площадь боковой поверхности S б =Р о *h, где Р о - периметр основания,

Площадь полной поверхности S п =S б +2S о , где S о - площадь основания

Площадь боковой поверхности S б =2c(a+b), где a, b - стороны основания,

c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S п =2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь поверхности :
Объём : , где - ребро куба.

Параллелепипеды вокруг нас

Параллелепипед широко распространён в жизни.

Пирамида ( др.-греч. ) - многогранник , одна из граней которого (называемая основанием ) - произвольный многоугольник , а остальные грани (называемые боковыми гранями ) - треугольники , имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные ( тетраэдр ), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса .

боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;
боковые ребра - общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник , а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые рёбра правильной пирамиды равны;
в правильной пирамиде все боковые грани - равнобедренные треугольники;
в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Пирамиды вокруг нас

Изучая курс истории Древнего мира, мы познакомились с одним из семи чудес света - египетскими пирамидами.

Эта конструкция очень распространена в строительстве. Треугольник (из которых состоит пирамида) – это единственная геометрическая фигура, которая сохраняет свою форму под воздействием нагрузки, приложенной к соединительным точкам, или стыкам, даже если эти стыки являются шарнирными. Если деформируется (удлиняется, сжимается, скручивается) только одна сторона, треугольник не теряет форму.

Читайте также: